ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 951
Скачиваний: 1
Для этого разложим неизвестную функцию
Ψ
F
(
ξ
)
по базисному набо-
ру
{
Φ
n
(
ξ
)
}
:
Ψ
F
(
ξ
) =
X
n
0
c
n
0
Φ
n
0
(
ξ
)
,
(3.22)
где коэффициенты
{
c
n
}
подлежат определению. Теперь подставим
(3.22) в (3.21), умножим слева на
Φ
∗
n
(
ξ
)
и проинтегрируем по
ξ
. В
результате получается система линейных однородных алгебраических
уравнений для
F
и набора коэффициентов
{
c
n
}
:
X
m
0
F
nn
0
c
n
0
=
F c
n
.
(3.23)
Ее можно получить из (3.21) и с помощью формализма Дирака на ос-
нове соотношения полноты (3.11) и переобозначений
F
nn
0
≡ h
n
|
ˆ
F
|
n
0
i
,
c
n
≡ h
n
|
F
i
.
Дифференциальное уравнение (3.21) и
матричное
уравнение (3.23)
эквивалентны. В результате их решения получается один и тот же
спектр
F
. Оператору
ˆ
F
теперь сопоставляется его матрица
F
nn
0
в
G
-
представлении, а функции
Ψ
F
(
ξ
)
— упорядоченный набор коэффици-
ентов
{
c
n
}
, т. е.
G
-представление абстрактного вектора
Ψ
F
гильбертова
пространства.
Условием нетривиальной разрешимости системы (3.23) относитель-
но
{
c
n
}
является обращение в нуль ее детерминанта, т. е. уравнение для
собственных значений
F
становится алгебраическим:
k
F
nn
0
−
F δ
nn
0
k
= 0
.
(3.24)
С каждым значением
F
, найденным из (3.23), вычисляются наборы
{
c
n
}
, которые затем нормируются условием
X
n
|
c
n
|
2
= 1
.
В импульсном представлении, которое является непрерывным, мат-
ричное уравнение (3.23) превращается в
интегральное уравнение Фред-
гольма
, ядром которого является матрица
F
pp
0
≡ h
p
|
ˆ
F
|
p
0
i
:
Z
F
pp
0
c
F
(
p
0
) d
3
p
0
=
F c
F
(
p
)
.
(3.25)
Матричная формулировка
квантовой механики впервые была пред-
ложена в 1925 г. В. Гейзенбергом, который построил такую формаль-
ную схему квантовой механики, в которой вместо координат и скоро-
стей микрочастиц фигурировали некоторые абстрактные алгебраиче-
ские величины — матрицы. Связь между различными наблюдаемыми
91
величинами давалась весьма простыми правилами. Идея Гейзенберга
была развита М. Борном и П. Йорданом. Так возникла
«матричная
механика»
. Вскоре после открытия уравнения Шредингера была пока-
зана математическая эквивалентность «матричной» и «волновой» фор-
мулировок, которые просто соответствуют различным представлениям
векторов состояний и операторов (в этом легко убедиться, если сопо-
ставить уравнения (3.21) и (3.23)).
Переход от одного представления к другому затрагивает вид как
волновых функций, так и операторов. Неизменными, однако, остаются
следующие фундаментальные величины и соотношения:
– нормировка волновых функций;
– ортогональность волновых функций;
– коммутационные соотношения между операторами (а, значит, со-
отношения неопределенностей и интегралы движения);
– собственные значения операторов.
Таким образом, вид представления не влияет на значения наблюдаемых
характеристик исследуемой системы. Тем не менее, удачно выбранное
представление часто позволяет значительно упростить решение кон-
кретных задач.
3.5.
Энергетическое и импульсное представления
уравнения Шредингера
Рассмотрим временн´ое уравнение Шредингера с некоторым гамиль-
тонианом
ˆ
H
в координатном представлении:
i
}
∂
∂t
Ψ(
ξ, t
) = ˆ
H
Ψ(
ξ, t
)
.
(3.26)
Если известны базис и спектр стационарного гамильтониана
ˆ
H
0
(дру-
гого, чем
ˆ
H
, который может зависеть от времени):
ˆ
H
0
ϕ
n
(
ξ
) =
E
n
ϕ
n
(
ξ
)
,
(3.27)
то решение уравнения (3.26) можно искать в виде разложения по этому
базису с зависящими от времени коэффициентами
c
n
0
(
t
)
:
Ψ(
ξ, t
) =
X
n
0
c
n
0
(
t
)
ϕ
n
0
(
ξ
)
.
(3.28)
92
Подставляя (3.28) в (3.26) и проецируя на
ϕ
n
, получаем энергетиче-
ское представление уравнения Шредингера (3.26) в базисе гамильтони-
ана
ˆ
H
0
:
i
}
d
c
n
(
t
)
d
t
=
X
n
0
H
nn
0
c
n
0
(
t
)
,
(3.29)
где
H
nn
0
≡ h
ϕ
n
|
ˆ
H
|
ϕ
n
0
i
— матричный элемент гамильтониана уравне-
ния (3.26) по базису собственных функций гамильтониана уравнения
(3.27). Система обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка (3.29) эквивалентна уравнению Шредингера (3.26) — диффе-
ренциальному уравнению второго порядка в частных производных.
В импульсном представлении временн´ое уравнение Шредингера ста-
новится
интегро-дифференциальным
:
i
}
d
c
p
(
t
)
d
t
=
Z
H
pp
0
c
p
0
(
t
) d
3
p
0
,
(3.30)
где
H
pp
0
≡ h
p
|
ˆ
H
|
p
0
i
.
Энергетическое и импульсное представления стационарного уравне-
ния Шредингера
ˆ
H
Ψ(
ξ
) =
E
Ψ(
ξ
)
получаются соответственно из (3.23) и (3.25) при помощи замен
ˆ
F
→
ˆ
H
,
F
→
E
.
3.6.
Матричная форма оператора производной по
времени величины
F
Рассмотрим квантовую систему с гамильтонианом
ˆ
H
. Как известно,
оператор производной по времени физической величины
F
, характери-
зующей эту систему, содержит частную производную оператора
ˆ
F
по
времени и коммутатор
ˆ
F
с
ˆ
H
(см. (1.107)). В
G
-представлении (для
определенности — дискретном) соотношение (1.107) принимает вид:
d
F
d
t
nn
0
=
∂
∂t
F
nn
0
+
1
i
}
( ˆ
F
ˆ
H
−
ˆ
H
ˆ
F
)
nn
0
(3.16)
=
=
∂
∂t
F
nn
0
+
1
i
}
X
n
00
(
F
nn
00
H
n
00
n
0
−
H
nn
00
F
n
00
n
0
)
,
где для матричного элемента оператора
ˆ
A
введено обозначение
A
nn
0
≡
≡ h
G
n
|
ˆ
A
|
G
n
0
i
.
Если гамильтониан
ˆ
H
квантовой системы является стационарным
(
∂
ˆ
H/∂t
= 0)
, то в энергетическом
E
n
-представлении (в котором
H
nn
0
=
93
=
E
n
δ
nn
0
, где
E
n
— спектр оператора
ˆ
H
) матричный элемент операто-
ра производной по времени физической величины
F
выражается через
матричный элемент оператора самой этой величины и его частную про-
изводную по
t
:
d
F
d
t
nn
0
=
∂
∂t
F
nn
0
+
1
i
}
(
E
n
0
−
E
n
)
F
nn
0
.
(3.31)
Здесь
A
nn
0
≡ h
E
n
|
ˆ
A
|
E
n
0
i
.
В качестве примера использования полученных результатов, запи-
шем соотношение (3.31) применительно к оператору координаты (т. е.
положим
ˆ
F
=
r
и учтем обращение в нуль частной производной
r
по
времени):
d
r
d
t
nn
0
=
1
i
}
(
E
n
0
−
E
n
)
r
nn
0
.
Замечая, что оператор скорости
ˆ
v
≡
ˆ
d
r
d
t
связан с оператором импульса
соотношением (которое нетрудно получить из (1.107) с гамильтонианом
ˆ
H
в виде (1.82))
ˆ
d
r
d
t
=
ˆ
p
m
,
получаем полезное во многих приложениях соотношение между мат-
ричными элементами координаты и импульса:
p
nn
0
=
i
m
}
(
E
n
−
E
n
0
)
r
nn
0
.
(3.32)
Соотношение (3.32) можно также получить прямыми вычислениями с
использованием коммутационных соотношений и самосопряженности
гамильтониана
ˆ
H
(см. [3] основной литературы, ч. 1), что является од-
ним из свидетельств непротиворечивости матричного формализма.
3.7.
Унитарные преобразования
Переход от одного представления к другому является частным слу-
чаем так называемого
унитарного преобразования
, которое осуществ-
ляется с помощью некоторого унитарного оператора
ˆ
U
:
|
a
0
i
= ˆ
U |
a
i
.
(3.33)
Напомним определение унитарного оператора:
ˆ
U
†
= ˆ
U
−
1
.
94
Для доказательства унитарности перехода от одного представле-
ния волновых функций к другому воспользуемся дираковской техни-
кой. Коэффициенты
h
G
m
|
F
n
i
преобразования (3.13) образуют матрицу.
Данная матрица унитарна:
X
n
h
G
m
|
F
n
i h
G
m
0
|
F
n
i
∗
=
h
G
m
|
X
n
|
F
n
i h
F
n
|
|
{z
}
ˆ
1
|
G
m
0
i
=
h
G
m
|
G
m
0
i
=
δ
mm
0
.
В соответствии с правилом преобразования (3.33) для
вектора
и
определением обратного оператора получаем правило преобразования
для
оператора
при унитарном преобразовании абстрактных векторов
состояний (или волновых функций):
ˆ
F
0
= ˆ
U
ˆ
F
ˆ
U
−
1
.
(3.34)
На основании (3.33), (3.34) нетрудно показать, что при любых уни-
тарных преобразованиях остаются неизменными следующие фундамен-
тальные конструкции квантово-механической теории:
– средние значения физических величин;
– собственные значения операторов;
– скалярные произведения векторов в гильбертовом пространстве
(а значит, ортогональность и нормировка);
– матричные элементы операторов;
– коммутационные соотношения между операторами (а значит, со-
отношения неопределенностей и интегралы движения).
Частным примером унитарных преобразований являются сдвиги и
повороты системы координат (см. задачи 24 и 25 части 1 в [3]).
Унитарные преобразования важны потому, что в ряде случаев удач-
но выбранное преобразование позволяет существенно упростить реше-
ние задачи.
Канонические преобразования координат и импульсов в гамиль-
тоновом формализме классической механики являются классическим
аналогом унитарных преобразований.
3.8.
Представления зависимости операторов и вол-
новых функций от времени
Теория представлений имеет несколько аспектов. В предыдущих
разделах рассматривались различные способы выбора переменной, от
95