ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 945
Скачиваний: 1
Глава 1.
Основы квантовой механики
В данной главе читатель знакомится с основными понятиями и ма-
тематическим аппаратом квантовой механики — важнейшего раздела
квантовой теории. В нем исследуется механическое движение в микро-
мире, т. е. в системах с классическим действием
S
, имеющим величи-
ну порядка постоянной Планка
}
. К таким объектам относятся
струк-
турные элементы вещества
: атомы, молекулы, элементарные ячейки
кристаллов, ядра и элементарные частицы. Они образуют так называ-
емый
микромир
(или
квантовые системы
), которому присущи весьма
своеобразные законы движения, изучаемые в специальном разделе фи-
зики —
квантовой механике
. Эти законы существенно отличаются от
законов
классической механики
, описывающих механическое движение
в классической физике. Ряд эффектов (сверхпроводимость, сверхтеку-
честь, ферромагнетизм), а также физико-химические свойства веществ
можно объяснить количественно только в рамках квантовой механики.
1.1.
Предпосылки возникновения квантовой теории
К началу XX в. была создана физическая картина мира, базиру-
ющаяся на механике Ньютона и электродинамике Максвелла. Однако
ряд фактов не получил объяснения в рамках данной концепции.
Первая проблема возникла при исследовании излучения, испускае-
мого нагретыми телами (излучение «черного тела»). Энергия теплового
излучения, вычисляемая в классической электродинамике по формуле
E
=
Z
∞
0
ρ
(
ω
) d
ω,
(1.1)
содержит спектральную плотность энергии
ρ
(
ω
)
(
ω
— круговая часто-
та), имеющую неправильное асимптотическое поведение при больших
частотах:
ρ
(
ω
) =
V ω
2
π
2
c
3
kT
(1.2)
(формула
Рэлея – Джинса
). Здесь
V
— заполняемый излучением объ-
ем,
T
— температура,
k
— постоянная Больцмана. При
ω
→ ∞
плот-
ность (1.2) квадратично возрастает, приводя к расходимости интегра-
6
ла (1.1) — так называемая
«ультрафиолетовая катастрофа»
(УФК) в
классической электродинамике.
Вторая проблема возникла после того, как Э. Резерфорд предло-
жил планетарную модель атома. Электрон при
всегда ускоренном
дви-
жении по атомной орбите (центростремительное ускорение!) должен
был бы непрерывно
излучать
электромагнитные волны, т. е.
терять
свою энергию
. В конечном итоге, в соответствии с законами механики и
электродинамики, электрон упал бы на поверхность ядра (в течение
∼
10
−
10
с). В реальности же
атом устойчив
и, более того, невозбужден-
ные атомы существуют практически бесконечно долго. Необъяснимы-
ми в рамках классической физики остаются также связь между
элек-
трически нейтральными
атомами в молекулах и физико-химические
свойства различных веществ. Наконец, анализ рассеяния электронов на
атомах позволил обнаружить загадочную дискретность (
квантование
)
атомных уровней энергии (опыт Франка – Герца, 1914 г.), а позже бы-
ла установлена и дискретность значений орбитального момента атома
(опыт Штерна – Герлаха, 1922 г.).
Для решения проблемы УФК М. Планк в 1900 г. выдвинул
гипотезу
о квантах
, согласно которой обмен энергией между электромагнитным
излучением и веществом (стенками сосуда) происходит дискретными
порциями, или квантами (позже их назвали
фотонами
) — подобно
ча-
стицам
, а не волнам (дуализм «волна-частица» для света). Энергия
E
фотонов, согласно Планку, связана с частотой
ω
излучения прямой
пропорциональной зависимостью:
E
=
}
ω.
Коэффициент пропорциональности
}
, названный впоследствии
посто-
янной Планка
, имеет размерность действия и явился новой
фундамен-
тальной физической константой
, специфической для микромира. Для
получения согласующегося с опытом распределения энергии в спектре
теплового излучения М. Планк был вынужден сделать предположение
о наличии в стенках сосуда микроскопических осцилляторов, через по-
средство которых осуществляется взаимодействие фотонов со стенка-
ми. В результате такого предположения им была получена знаменитая
формула для спектральной плотности
ρ
(
ω
)
равновесного (теплового)
излучения:
ρ
(
ω
) =
V
}
π
2
c
3
ω
3
h
e
}
ω
kT
−
1
i
−
1
(1.3)
(формула Планка). Легко увидеть, что при низких частотах (
}
ω
kT
)
она переходит в формулу Рэлея – Джинса (1.2).
Гипотеза Планка получила дальнейшее развитие при объяснении
явлений
фотоэффекта
и эффекта
Комптона
. В 1905 г. А. Эйнштейн,
7
развивая гипотезу Планка, предположил, что дискретность возника-
ет не только при обмене энергии между излучением и веществом. По
Эйнштейну, всякую электромагнитную волну с волновым вектором
k
(
|
k
|
= 2
π/λ
,
λ
= 2
πc/ω
— длина волны) во многих явлениях можно рас-
сматривать как совокупность
частиц
(фотонов) с энергией
E
=
}
ω
и
импульсом
p
=
}
k
. В частности, это предположение позволило ему объ-
яснить в фотоэффекте наблюдаемую зависимость энергии фотоэлек-
трона от
частоты
, а не
интенсивности
света. В 1922 г. А. Комптоном
было открыто и объяснено с точки зрения гипотезы о фотонах уве-
личение длины волны рентгеновского излучения при его рассеянии на
электронах. (Напомним, что в классической электродинамике частота
электромагнитной волны не меняется при взаимодействии с заряжен-
ными частицами).
Таким образом, гениальность гипотезы Планка состоит в том, что,
как выяснилось, законы взаимодействия света с веществом могут быть
объяснены
только благодаря дуализму
«волна–частица» для света.
Причиной же «ультрафиолетовой катастрофы» как раз и являлось
иг-
норирование корпускулярных свойств света
.
Чтобы учесть дискретность атомных энергий, Н. Бору в 1913 г. при-
шлось ввести ряд постулатов.
Первый
постулат устанавливал существо-
вание у атома «стационарных» состояний, находясь в которых он не
излучает свет, несмотря на ускоренное движение электрона по орби-
те.
Второй
постулат устанавливал кратность величины орбитального
момента электрона
в атоме водорода
постоянной Планка
}
.
Третий
постулат базировался на гипотезе Планка: при внешних воздействиях
атом переходит из одного состояния в другое, испуская или поглощая
квант
света с энергией
}
ω
, равной разности между уровнями энергии
атома. Опыты Франка – Герца (1914 г.) и Штерна – Герлаха (1922 г.)
в какой-то мере подтвердили данные постулаты. Последние позволили
также верно воспроизвести энергетический спектр атома
водорода
—
простейшей атомной системы, однако уже для атома гелия данная тех-
ника оказалась совершенно непригодной. Таким образом,
проблема су-
ществования дискретных уровней энергии атома тоже решается не
полностью в рамках механики Ньютона
, пусть и дополненной новы-
ми постулатами. Причиной неудач в решении проблем атомной физики
является то, что постулаты Бора вводились ad hoc, т. е.
«задним чис-
лом»
, для корректировки существующей теории. Отметим, что такой
же гипотезой ad hoc было и предположение Планка о наличии микро-
скопических осцилляторов в нагретом теле при исследовании равновес-
ного излучения.
Требовался переход к новой концепции механического
движения применительно к микромиру
. Такой переход осуществился
в течение первой четверти XX века.
8
Новая концепция движения действительно оказалась революцион-
ной. Л. де Бройль в 1924 г. предположил, что
микрочастицы
при опре-
деленных условиях могут проявлять
волновые свойства
, так что про-
блемы адекватного описания движения в микромире есть результат
иг-
норирования
волновых свойств
частиц
(дуализм «волна–частица»
для вещества). Гипотеза Л. де Бройля для частиц вещества перекли-
калась с гипотезой М. Планка для частиц света. И эта гипотеза впо-
следствии подтвердилась в эксперименте (см. ниже). Она была развита
позднее М. Борном и приведена им к строгой математической форму-
лировке. Таким образом, идея дуализма «волна–частица» была распро-
странена на
все объекты микромира
. Далее уточнились понятия
изме-
римости
и
совместной измеримости
физических величин. Потребова-
лось даже отказаться от некоторых привычных понятий классической
механики, например, от понятия
траектории
микрочастицы (посколь-
ку в общем случае волновое движение несовместимо с движением по
траектории!), и ввести новые для понимания физические характери-
стики микрочастиц, например, спин. В квантовой теории отсутству-
ет лапласов детерминизм, присущий классической механике. Харак-
тер движения стал вероятностным, однако вероятностная интерпрета-
ция законов микромира принципиально отличается от вероятностной
интерпретации законов классической статистической механики. В по-
следней вероятностный подход обусловлен большим числом степеней
свободы макросистемы. В микромире же
даже в случае единственной
частицы ее движение уже носит вероятностный характер
.
Квантовая теория была официально признана в 1926 г. после докла-
да Н. Бора на Конгрессе в Копенгагене. Самым удивительным для того
времени фактом было возникающее в новой теории
квантование
(дис-
кретизация) энергии микрочастицы в случае ее финитного движения
(в ограниченной области пространства). Поэтому новая наука стала на-
зываться
квантовой механикой
. Из-за волнового характера движения
микрочастиц ее также называли и
волновой механикой
. На самом же
деле наука вышла на новый уровень организации материи —
микро-
мир
— и законы движения в нем оказались отличными от законов дви-
жения макроскопических тел. Поэтому более правильным было бы на-
звание «механика микромира», но сохранилось традиционное — кван-
товая механика. Она внесла гигантский вклад в исследование материи
на атомном и субатомном уровне. Квантовая теория дает теоретиче-
ский базис для создания новых материалов с заданными свойствами.
На основе достижений квантовой механики стало возможным исполь-
зование ядерной энергии и создание лазеров.
Квантовая механика не отменяет целиком положения классической
механики. Она лишь переформулировала их применительно к микро-
9
миру. Классическая механика является предельным случаем квантовой
для макромира (при формальном предельном переходе
}
→
0
). Отме-
тим, что формула Планка (1.3), как и другие законы микромира, то-
же может быть получена в строгом квантовомеханическом подходе, не
использующем гипотезу об осцилляторах. Подробный вывод и анализ
формулы Планка содержится в курсе «Термодинамика, статистическая
физика и физическая кинетика».
1.2.
Квантовые состояния. Волновые функции
Принципиальное различие между классическим и квантовым опи-
санием проявляется уже на начальном этапе построения теории дви-
жения микрочастиц. Как и в классической механике, прежде чем ана-
лизировать физические характеристики данной квантовой системы и
их изменение с течением времени, необходимо указать способ задания
ее состояния в определенный момент времени
t
. Механическое состоя-
ние классической системы в момент времени
t
полностью определяется
заданием ее обобщенных координат
q
i
(
t
)
и скоростей
˙
q
i
(
t
)
(или импуль-
сов
p
i
(
t
)
) в этот момент. Число этих величин равно удвоенному числу
степеней свободы системы. В квантовой механике задание состояния
системы является значительно менее подробным (к тому же, ввиду от-
сутствия траектории у квантовой частицы ее координата и импульс
вообще не могут иметь одновременно определенных значений). Подоб-
но тому, как начальное состояние классической системы может быть
различным (в зависимости от величин
q
i
(0)
и
p
i
(0)
), квантовая система
в начальный момент времени также может быть приготовлена в раз-
личных состояниях, отличающихся, например, значениями (или даже
числом) физических величин, которые могут быть одновременно изме-
рены для системы в этих состояниях. В данный момент мы пока не
можем сказать ничего более определенного о свойствах конкретного
квантового состояния и в дальнейшем будем неоднократно уточнять
данное понятие. Однако общим для любого квантового состояния яв-
ляется математический способ его задания (изображения): квантовое
состояние всегда изображается с помощью волновой функции — неко-
торой комплексной функции координат и времени
1
Ψ(
ξ, t
)
(
ξ
— сово-
купность всех обобщенных координат; для частицы в трехмерном ев-
1
В качестве аргумента (динамической переменной) волновой функции можно
выбрать не только координату, но и другие величины: импульс, энергию и т.д. Дан-
ные вопросы исследуются в
теории представлений
(см. гл. 3) — специальном раз-
деле квантовой теории. Далее до гл. 3 мы не касаемся этих аспектов и считаем
волновую функцию зависящей от координат, т. е. используем так называемое
коор-
динатное представление
волновой функции.
10