ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.04.2021
Просмотров: 947
Скачиваний: 1
которой, как от параметра, зависит волновая функция в фиксирован-
ный момент времени
t
: координаты, импульса, энергии и т.д. Здесь
мы рассмотрим наиболее распространенные представления зависимо-
сти операторов и волновых функций от времени. В отличие от всех
предыдущих случаев (см., например, (3.13)), соответствующие унитар-
ные преобразования должны теперь явно содержать зависимость от
времени.
Представление Шредингера
Если гамильтониан системы не зависит от времени, удобно пользо-
ваться операторами, математическая форма которых также не зависит
от времени. В этом случае изменение состояний и средних значений
во времени связано лишь с зависимостью от времени волновых функ-
ций (в дираковском представлении — с «вращением» вектора состояния
в гильбертовом пространстве «кет»-векторов). Такой способ описания
эволюции системы во времени называется
представлением Шрединге-
ра
, и мы им пользовались в предыдущих главах. Операторы и волновые
функции в представлении Шредингера будем отмечать индексом «
S
».
Чтобы лучше понять суть представления Шредингера, введем опе-
ратор
ˆ
U
ev
(
t
)
эволюции квантовой системы во времени соотношением
Ψ
S
(
ξ, t
) = ˆ
U
ev
(
t
)Ψ
S
(
ξ,
0);
ˆ
U
ev
(0) = ˆ1
,
(3.35)
где
Ψ
S
(
ξ,
0)
— волновая функция системы в начальный момент времени
t
0
= 0
. Для определения явного вида
ˆ
U
ev
(
t
)
подставим волновую функ-
цию в форме (3.35) во временн´ое уравнение Шредингера с гамильтони-
аном
ˆ
H
. В результате получим «уравнение движения» для оператора
эволюции:
i
}
∂
ˆ
U
ev
(
t
)
∂t
= ˆ
H
ˆ
U
ev
(
t
);
ˆ
U
ev
(0) = ˆ1
.
(3.36)
Его формальное решение для случая независящего от времени гамиль-
тониана имеет вид:
ˆ
U
ev
(
t
) = exp
−
i
}
ˆ
Ht
.
(3.37)
Унитарность
ˆ
U
ev
(
t
)
очевидна.
Итак, если в момент времени
t
= 0
система находилась в состоянии
Ψ
S
(
ξ,
0)
, а физической величине
F
соответствовал оператор
ˆ
F
(будем
обозначать его как
ˆ
F
S
), то в момент
t
оператор сохраняет тот же са-
мый вид, а волновая функция получается из
Ψ
S
(
ξ,
0)
путем унитарного
преобразования (3.35). Соответственно среднее значение
F
тоже меня-
ется с течением времени, и это изменение обусловлено исключительно
зависимостью от времени волновой функции:
96
h
F
i
=
h
Ψ
S
(
ξ, t
)
|
ˆ
F
S
|
Ψ
S
(
ξ, t
)
i
.
(3.38)
Представление Гейзенберга
Альтернативный представлению Шредингера метод описания вре-
менной эволюции квантовой системы, т. е. когда от времени зависят
только операторы, но не волновые функции, называется
представлени-
ем Гейзенберга
. Волновым функциям и операторам в этом представле-
нии будет приписываться индекс «
H
». Суть представления Гейзенберга
проще всего понять, если попытаться ответить на вопрос — а нельзя ли
получить то же самое среднее значение
F
в момент времени
t
, что и
даваемое выражением (3.38), считая, что волновая функция остается
той же, что и в момент
t
= 0
(обозначим ее через
Ψ
H
:
Ψ
H
≡
Ψ
S
(
ξ,
0)
)?
Ответ на этот вопрос легко получить, если переписать правую часть в
(3.38) с учетом (3.35), унитарности оператора
ˆ
U
ev
(
t
)
и нашего опреде-
ления
Ψ
H
:
h
F
i
=
h
Ψ
H
|
ˆ
U
−
1
ev
(
t
) ˆ
F
S
ˆ
U
ev
(
t
)
|
Ψ
H
i
=
h
Ψ
H
|
ˆ
F
H
(
t
)
|
Ψ
H
i
,
(3.39)
где мы ввели зависящий от времени оператор
ˆ
F
H
(
t
) = ˆ
U
−
1
ev
(
t
) ˆ
F
S
ˆ
U
ev
(
t
) = exp
i
}
ˆ
Ht
ˆ
F
S
exp
−
i
}
ˆ
Ht
.
(3.40)
Соотношение (3.39) показывает, что, действительно, мы можем полу-
чить ту же самую информацию о физической величине
F
в момент
времени
t
(т. е. ее среднее значение), считая, что волновая функция не
изменяется со временем, а оператор этой величины меняется со време-
нем согласно (3.40).
Выражение (3.40) дает закон преобразования операторов физиче-
ских величин при переходе от представления Шредингера к представ-
лению Гейзенберга в момент времени
t
, а закон преобразования волно-
вых функций при таком переходе следует из (3.35):
Ψ
H
(
ξ
) = ˆ
U
−
1
ev
(
t
)Ψ
S
(
ξ, t
)
(3.37)
= exp
i
}
ˆ
Ht
Ψ
S
(
ξ, t
)
.
(3.41)
Итак, как уже говорилось, в представлении Гейзенберга изменение
квантовых характеристик микросистемы с течением времени обуслов-
лено зависимостью от времени операторов физических величин (в со-
ответствии с (3.40)). При этом возникает вопрос, как же установить эту
зависимость, если оператор эволюции неизвестен в явном виде? Опера-
торное дифференциальное уравнение для оператора
ˆ
F
H
(
t
)
получается
97
дифференцированием (3.40) (в котором операторы
ˆ
F
S
и
ˆ
H
не зависят
от
t
, поэтому все производные являются частными) по времени и имеет
вид (проверить самостоятельно!):
∂
∂t
ˆ
F
H
(
t
) =
1
i
}
[ ˆ
F
H
(
t
)
,
ˆ
H
]
.
(3.42)
В представлении Гейзенберга это уравнение заменяет временное урав-
нение Шредингера для волновой функции в представлении Шрединге-
ра.
Представление Гейзенберга редко используется в квантовой меха-
нике, однако оно очень удобно в квантовой теории поля.
Представление взаимодействия
Это представление удобно, когда на квантовую систему с гамильто-
нианом
ˆ
H
0
действует внешнее (в общем случае, переменное во времени)
поле. В этом случае полный гамильтониан задачи можно представить
в виде суммы
ˆ
H
(
t
) = ˆ
H
0
+ ˆ
V
(
t
)
,
где
ˆ
V
(
t
)
— оператор взаимодействия системы с полем (часто называе-
мый оператором возмущения). Теперь уже гамильтониан
ˆ
H
(
t
)
зависит
от времени и поэтому оператор эволюции не может быть представлен
в таком простом виде, как в (3.37). Однако и в этом случае можно от
волновой функции
Ψ
S
(
ξ, t
)
в шредингеровском представлении перей-
ти к другому способу описания зависимости квантовых состояний от
времени (называемому
представлением взаимодействия
). Для этого
можно использовать оператор эволюции с гамильтонианом
ˆ
H
0
, кото-
рый имеет тот же вид, что и (3.37) с заменой
ˆ
H
→
ˆ
H
0
. Таким образом,
волновая функция в представлении взаимодействия
Ψ
int
(
ξ, t
)
получа-
ется из волновой функции в представлении Шредингера с помощью
унитарного преобразования
Ψ
int
(
ξ, t
) = exp
i
}
ˆ
H
0
t
Ψ
S
(
ξ, t
)
.
(3.43)
Для установления связи оператора
ˆ
F
S
с соответствующим операто-
ром величины
F
в представлении взаимодействия (обозначим искомый
оператор как
ˆ
F
int
(
t
)
), определяемом преобразованием (3.43) для функ-
ций, потребуем, как и в случае перехода в гейзенберговское представ-
ление, чтобы среднее значение величины
F
в представлении взаимо-
действия
h
F
i
=
h
Ψ
int
(
t
)
|
ˆ
F
int
(
t
)
|
Ψ
int
(
t
)
i
(3.44)
98
совпадало с таковым в представлении Шредингера (оно определено в
(3.38)). Выражая из (3.43) функцию
Ψ
S
(
ξ, t
)
через
Ψ
int
(
ξ, t
)
Ψ
S
(
ξ, t
) = exp
−
i
}
ˆ
H
0
t
Ψ
int
(
ξ, t
)
,
(3.45)
подставляя это выражение в (3.38) и сравнивая с (3.44), получаем пра-
вило перехода от представления Шредингера к представлению взаимо-
действия для операторов:
ˆ
F
int
(
t
) = exp
i
}
ˆ
H
0
t
ˆ
F
S
exp
−
i
}
ˆ
H
0
t
.
(3.46)
Подставляя (3.45) во временн´ое уравнение Шредингера для
Ψ
S
(
ξ, t
)
с гамильтонианом
ˆ
H
(
t
) = ˆ
H
0
+ ˆ
V
(
t
)
и учитывая, что оператор
ˆ
H
0
ком-
мутирует с оператором
exp
n
(i
/
}
) ˆ
H
0
t
o
, получаем следующее уравнение
Шредингера для
Ψ
int
(
ξ, t
)
:
i
}
∂
∂t
Ψ
int
(
ξ, t
) = ˆ
V
int
(
t
)Ψ
int
(
ξ, t
)
,
(3.47)
где
ˆ
V
int
(
t
) = exp
i
}
ˆ
H
0
t
ˆ
V
(
t
) exp
−
i
}
ˆ
H
0
t
.
(3.48)
Как и следовало ожидать, это выражение для
ˆ
V
int
(
t
)
является част-
ным случаем общей формулы (3.46) для операторов в представлении
взаимодействия.
Уравнение движения для оператора в представлении взаимодей-
ствия получается дифференцированием выражения (3.46):
∂
∂t
ˆ
F
int
=
1
i
}
[ ˆ
F
int
,
ˆ
H
0
]
.
(3.49)
Преобразованиями, аналогичными описанным выше, можно уста-
новить и связь между представлениями взаимодействия и Гейзенберга
для функций и операторов. Все эти представления физически эквива-
лентны, и каждое из них может быть использовано в качестве основы
для построения формализма квантовой теории, хотя математическая
техника для решения конкретных задач в каждом случае будет су-
щественно различной. Как видно, представление взаимодействия яв-
ляется как бы промежуточным между шредингеровским и гейзенбер-
говским представлениями: в нем зависимость операторов от времени
такая же, как в представлении Гейзенберга с «полным» гамильтони-
аном
ˆ
H
0
(который на самом деле является лишь первым слагаемым
99
в гамильтониане
ˆ
H
(
t
)
), а зависимость волновой функции
Ψ
int
(
ξ, t
)
от
времени определяется как в представлении Шредингера с «полным» га-
мильтонианом
ˆ
V
int
(
t
)
(который определяется лишь вторым слагаемым
в истинном гамильтониане
ˆ
H
(
t
)
рассматриваемой квантовой системы).
Удобство представления взаимодействия как раз и состоит в том, что
иногда удается подходящим разделением полного гамильтониана
ˆ
H
на
две части уравнение для операторов в представлении взаимодействия
решить точно (выбирая выражение для
ˆ
H
0
в достаточно простом, «ре-
шаемом» виде), а для решения уравнения (3.47) для волновой функции
развить эффективные приближенные методы.
100