ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2021
Просмотров: 793
Скачиваний: 1
ÔÅÄÅÐÀËÜÍÎÅ ÀÃÅÍÒÑÒÂÎ ÏÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈÞ
ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÎÅ ÎÁÐÀÇÎÂÀÒÅËÜÍÎÅ
Ó×ÐÅÆÄÅÍÈÅ
ÂÛÑØÅÃÎ ÏÐÎÔÅÑÑÈÎÍÀËÜÍÎÃÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß
¾ÂÎÐÎÍÅÆÑÊÈÉ ÃÎÑÓÄÀÐÑÒÂÅÍÍÛÉ
ÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒ¿
Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ
Ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå äëÿ âóçîâ
Ñîñòàâèòåëè:
Å.Ï. Áåëîóñîâà,
È.Ä. Êîñòðóá,
Ò.È. Ñìàãèíà
Èçäàòåëüñêî-ïîëèãðàôè÷åñêèé öåíòð
Âîðîíåæñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà
2009
Óòâåðæäåíî íàó÷íî-ìåòîäè÷åñêèì ñîâåòîì ôàêóëüòåòà ÏÌÌ 26 ìàÿ
2009 ã., ïðîòîêîë 9
Ðåöåíçåíò äîöåíò êàôåäðû ôóíêöèîíàëüíîãî àíàëèçà è îïåðàòîðíûõ
óðàâíåíèé êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê È.Ô. Ëåæåíèíà
Ó÷åáíîå ïîñîáèå ïîäãîòîâëåíî íà êàôåäðå íåëèíåéíûõ êîëåáàíèé ôàêóëü-
òåòà ÏÌÌ Âîðîíåæñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà.
Ðåêîìåíäóåòñÿ äëÿ ñòóäåíòîâ âòîðîãî êóðñà ôàêóëüòåòà ÏÌÌ.
Äëÿ ñïåöèàëüíîñòè 010501 Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà
Çàäàíèÿ ïðåäíàçíà÷åíû ñòóäåíòàì 2 êóðñà äíåâíîãî è âå÷åðíåãî îò-
äåëåíèé äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîé ðàáîòû ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì.
Êðîìå çàäà÷, ïðèâåäåíû êîíòðîëüíûå âîïðîñû, ïîçâîëÿþùèå ñòóäåíòàì
ïðîâåðèòü ñåáÿ è âûÿñíèòü êà÷åñòâî óñâîåíèÿ ìàòåðèàëà.
 êàæäîì ðàçäåëå äàåòñÿ ññûëêà íà ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçäåëû ó÷åáíîé
ëèòåðàòóðû.
ÎÑÍÎÂÍÀß ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
[1]. Òèõîíîâ À.Í. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ / À.Í. Òèõîíîâ,
À.Á. Âàñèëüåâà, À.Ã. Ñâåøíèêîâ. Ì. : Ôèçìàòëèò, 2002. 232 ñ.
[2]. Ïîíòðÿãèí Ë.Ñ. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ /
Ë.Ñ. Ïîíòðÿãèí. Ì. : Íàóêà, 1982. 332 ñ.
[3]. Ôèëèïïîâ À.Ô. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíè-
ÿì / À.Ô. Ôèëèïïîâ. Ì. : Íàóêà, 2000. 176 ñ.
ÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÀß ËÈÒÅÐÀÒÓÐÀ
[4]. Áîðîâñêèõ À.Â. Ëåêöèè ïî òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëü-
íûõ óðàâíåíèé / À.Â. Áîðîâñêèõ, À.È. Ïåðîâ. Ì. Èæåâñê : Ðåãóëÿðíàÿ
è õàîòè÷åñêàÿ äèíàìèêà, 2004. 540 ñ.
[5]. Êðàñíîâ Ì.Ë. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëü-
íûì óðàâíåíèÿì / Ì.Ë. Êðàñíîâ, À.È. Êèñåëåâ, Ã.È. Ìàêàðåíêî. Ì. :
Âûñø. øê., 1978. 287 ñ.
[6]. Ñàìîéëåíêî À.Ì. Äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ : ïðèìåðû è çà-
äà÷è / À.Ì. Ñàìîéëåíêî, Ñ.À. Êðèâîøåÿ, Í.À. Ïåðåñòþê Ì. : Âûñø. øê.,
1989. 383 ñ.
3
Çàäàíèå 1. Ñ ïîìîùüþ èçîêëèí íà÷åðòèòü ïðèáëèæåííî ðåøåíèÿ
äàííûõ óðàâíåíèé. Âûäåëèòü îáëàñòè âîçðàñòàíèÿ (óáûâàíèÿ) ðåøåíèé
([3, 1], [5, 2]).
1
. y
0
= 2
x
(1
−
y
);
2
. y
0
= 2
y
;
3
. y
0
=
y
−
x
;
4
. y
0
=
y
−
x
2
+ 2
x
−
2;
5
. y
0
= (
y
−
1)
2
;
6
. y
0
= (
y
−
1)
x
;
7
. y
0
=
x
2
−
y
2
;
8
. y
0
= 2(2
x
−
y
);
9
. y
0
=
y
−
x
2
;
10
. y
0
=
x
2
+ 2
x
−
y
;
11
. y
0
= 1
−
y
;
12
. y
0
= 2
−
x
;
13
. y
0
=
x
2
+
y
;
14
. y
0
=
x
2
;
15
. y
0
=
x
+
y
;
16
. y
0
=
x
−
2
y
;
17
. y
0
= cos(
x
−
y
);
18
. y
0
= (
y
−
x
)
/
(
y
+
x
);
19
. y
0
= (
y
+ 1)
/
(
x
−
1);
20
. y
0
= (
x
+
y
)
/
(
x
−
y
);
21
. y
0
= (
x
−
1)
/y
;
22
. y
0
= (2
x
−
y
)
/x
;
23
. y
0
=
−
x/
(4
y
);
24
. y
0
= (
x
−
2
y
+ 3)
/
2;
25
. y
0
=
−
y/x
;
26
. y
0
= 2
/x
−
1
.
Çàäàíèå 2. Ñîñòàâèòü ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ïðèêëàäíûõ çàäà÷ è
ðåøèòü èõ ([3, 3], [5, 5], [6]).
Ïðè âûïîëíåíèè äàííîãî çàäàíèÿ âîçìîæíî ïðèìåíåíèå äâóõ ìåòîäîâ:
1) ìåòîäà ïðèðàùåíèé è 2) ñ èñïîëüçîâàíèåì ôèçè÷åñêîãî ñìûñëà ïðîèç-
âîäíîé êàê ñêîðîñòè ïðîòåêàíèÿ íåðàâíîìåðíîãî ïðîöåññà.
 ïåðâîì ìåòîäå ïðèðàùåíèå ôóíêöèè
∆
y
=
y
(
x
+ ∆
x
)
−
y
(
x
)
íà
ìàëîì ïðîìåæóòêå èçìåíåíèÿ àðãóìåíòà
[
x, x
+ ∆
x
]
ñëåäóåò âûðàçèòü ÷å-
ðåç äàííûå çàäà÷è. Ïîñëå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïðè
∆
x
→
0
âîçíèêàåò
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, êîòîðîå òðåáóåòñÿ ðåøèòü.
Ïðè ïðèìåíåíèè âòîðîãî ìåòîäà ñëåäóåò âîñïîëüçîâàòüñÿ èçâåñòíûìè
ôèçè÷åñêèìè çàêîíàìè. Íèæå ïðèâîäÿòñÿ íåêîòîðûå èç íèõ.
1. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà, ñîãëàñíî êîòîðîìó óðàâíåíèå äâèæåíèÿ
òî÷êè ìàññû
m
ñî ñêîðîñòüþ
v
ïîä äåéñòâèåì ñèëû
F
èìååò âèä
m
dv
dt
=
F.
2. Çàêîí èçëó÷åíèÿ Íüþòîíà, ñîãëàñíî êîòîðîìó ñêîðîñòü îñòû-
âàíèÿ èëè íàãðåâàíèÿ òåëà ïðîïîðöèîíàëüíà ðàçíîñòè òåìïåðàòóð òåëà è
îêðóæàþùåé ñðåäû.
4
3. Çàêîí òåïëîïðîâîäíîñòè Ôóðüå äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåæèìà,
ïðè êîòîðîì êîëè÷åñòâî òåïëà, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç êàêóþ-ëèáî ïëîùàäêó,
ïîñòîÿííî, òî åñòü òåìïåðàòóðà
T
êàæäîé òî÷êè íå çàâèñèò îò âðåìåíè
è ìåíÿåòñÿ òîëüêî ñ ðàññòîÿíèåì òî÷åê îò íåêîòîðîé îñè.  ýòîì ñëó÷àå
êîëè÷åñòâî òåïëà
dq
, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç áåñêîíå÷íî ìàëóþ ïëîùàäêó, ïåð-
ïåíäèêóëÿðíóþ ê íåêîòîðîé îñè, â íàïðàâëåíèè ýòîé îñè çà ïðîìåæóòîê
âðåìåíè
dt
, ïðîïîðöèîíàëüíî ïëîùàäè ïëîùàäêè
ds
, äëèòåëüíîñòè ïðî-
ìåæóòêà
dt
è ñêîðîñòè ïàäåíèÿ òåìïåðàòóðû â ýòîì íàïðàâëåíèè, òî åñòü
dq
=
−
λ
dT
dn
dsdt,
ãäå
λ
êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè. Çíàê ìèíóñ óêàçûâàåò, ÷òî ïîòîê
òåïëà äâèæåòñÿ â ñòîðîíó ïàäåíèÿ òåìïåðàòóðû.
4. Çàêîí Êèðõãîôà, ñîãëàñíî êîòîðîìó ñóììà ïàäåíèé íàïðÿæåíèÿ
íà âñåõ ó÷àñòêàõ öåïè ðàâíà ýëåêòðîäâèæóùåé ñèëå. Ïðè ýòîì ïàäåíèå íà-
ïðÿæåíèÿ íà ñîïðîòèâëåíèè
R
ïîäñ÷èòûâàåòñÿ ïî ôîðìóëå
u
R
=
Ri
, ãäå
i
âåëè÷èíà òîêà. Ïàäåíèå íàïðÿæåíèÿ íà èíäóêòèâíîñòè
L
âû÷èñëÿåòñÿ
ïî ôîðìóëå
u
L
=
−
L
di
dt
.
Ïðèìåð 1. Â ïîìåùåíèè öåõà âìåñòèìîñòüþ
10 800
ì
3
âîçäóõ ñî-
äåðæèò
0
,
12 %
óãëåêèñëîòû. Âåíòèëÿòîðû äîñòàâëÿþò ñâåæèé âîçäóõ, ñî-
äåðæàùèé
0
,
04 %
óãëåêèñëîòû, â êîëè÷åñòâå
a
ì
3
â ìèíóòó. Ïðåäïîëàãàÿ,
÷òî êîíöåíòðàöèÿ óãëåêèñëîòû âî âñåõ ÷àñòÿõ ïîìåùåíèÿ â êàæäûé ìîìåíò
îäíà è òà æå (ñìåøåíèå ÷èñòîãî âîçäóõà ñ çàãðÿçíeííûì ïðîèñõîäèò íåìåä-
ëåííî), ðàññ÷èòàòü, êàêîâà äîëæíà áûòü ìîùíîñòü âåíòèëÿòîðîâ, ÷òîáû ïî
èñòå÷åíèè
10
ìèíóò ñîäåðæàíèå óãëåêèñëîòû íå ïðåâûøàëî
0
,
06 %
.
Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç
x
(
t
)(%)
ñîäåðæàíèå óãëåêèñëîòû â âîçäó-
õå â ìîìåíò âðåìåíè
t
. Ïðîñëåäèì, êàê èçìåíèòñÿ ïðîöåíòíîå ñîäåðæàíèå
óãëåêèñëîòû â âîçäóõå
∆
x
=
x
(
t
+∆
t
)
−
x
(
t
)
çà ïðîìåæóòîê îò
t
äî
t
+∆
t
.
Çà âðåìÿ
∆
t
âåíòèëÿòîðû äîñòàâÿò
adt
ì
3
âîçäóõà, â êîòîðîì ñîäåðæèò-
ñÿ
0
,
04 %
óãëåêèñëîòû, òî åñòü çà âðåìÿ
∆
t
äîáàâèòñÿ
0
,
04
a
∆
t/
100
ì
3
óãëåêèñëîòû. Çà ýòî æå âðåìÿ óéäåò
a
∆
t
ì
3
âîçäóõà, â êîòîðîì ñîäåðæèò-
ñÿ
a
∆
tx
(
t
)
/
100
ì
3
óãëåêèñëîòû. Âûðàæàÿ
∆
x
â ì
3
, ïîëó÷èì óðàâíåíèå
áàëàíñà óãëåêèñëîòû
∆
x
100
10800 =
0
,
04
a
∆
t
100
−
ax
∆
t
100
,
èëè
dx
dt
=
a
(0
,
04
−
x
)
10800
.
5