ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2021
Просмотров: 796
Скачиваний: 1
Îòñþäà
x
(
t
) = 0
,
04 +
ce
−
at/
10800
.
Èç íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ
x
(0) = 0
,
12
íàéäåì, ÷òî
c
= 0
,
08
. Ñëåäîâàòåëüíî,
x
(
t
) = 0
,
04 + 0
,
08
e
−
at/
10800
.
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìîùíîñòè âåíòèëÿòîðîâ
a
âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâèåì
x
(10) = 0
,
06
. Èìååì
0
,
06 = 0
,
04 + 0
,
08
e
−
a/
1080
, îòêóäà
a
= 1080 ln 4
≈
1500 (
ì
3
/
ìèí
)
.
Ïðèìåð 2. Ñîñóä, ïëîùàäü
S
=
S
(
h
)
ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ êîòîðîãî
åñòü èçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ âûñîòû
h
, íàïîëíåí æèäêîñòüþ äî óðîâíÿ
H
. Â
äíå ñîñóäà èìååòñÿ îòâåðñòèå ïëîùàäè
ω
, ÷åðåç êîòîðîå æèäêîñòü âûòå-
êàåò. Èçâåñòíà ñêîðîñòü
v
=
v
(
h
)
èçìåíåíèÿ îáúåìà
V
æèäêîñòè â ñîñóäå
îò óðîâíÿ
h
æèäêîñòè â ñîñóäå (íàïîðà). Îïðåäåëèòü âðåìÿ
t
, çà êîòîðîå
óðîâåíü æèäêîñòè ïîíèçèòñÿ îò íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ
H
äî ïðîèçâîëü-
íîãî
h
è âðåìÿ
T
ïîëíîãî îïîðîæíåíèÿ ñîñóäà.
Ðåøåíèå. Ïóñòü âûñîòà æèäêîñòè â ñîñóäå â ìîìåíò âðåìåíè
t
ðàâ-
íà
h
. Êîëè÷åñòâî æèäêîñòè
∆
V
, âûòåêàþùåå èç ñîñóäà çà ïðîìåæóòîê
âðåìåíè îò
t
äî
t
+ ∆
t
, ìîæíî ïîäñ÷èòàòü êàê îáúåì öèëèíäðà ñ ïëîùà-
äüþ îñíîâàíèÿ
ω
è âûñîòîé
v
(
h
)
. Òàêèì îáðàçîì,
∆
V
=
ωv
(
h
)∆
t
. Ýòîò
æå îáúåì æèäêîñòè ìîæåò áûòü âû÷èñëåí äðóãèì ñïîñîáîì. Âñëåäñòâèå
óòå÷êè âîäû óðîâåíü
h
æèäêîñòè â ñîñóäå ïîíèçèòñÿ íà âåëè÷èíó
∆
h
,
ñëåäîâàòåëüíî,
dV
=
−
S
(
h
)∆
h
(çíàê ìèíóñ áåðåòñÿ ïîòîìó,÷òî
∆
h <
0
).
Ïðèðàâíèâàÿ äðóã äðóãó îáà âûðàæåíèÿ äëÿ
∆
V
, ñîñòàâèì óðàâíåíèå
ωv
(
h
)∆
t
=
−
S
(
h
)∆
h.
Ïåðåõîäÿ ê ïðåäåëó ïðè
∆
t
→
0
è ðàçäåëÿÿ ïåðåìåííûå, ïîëó÷èì
dt
=
−
S
(
h
)
ωv
(
h
)
dh,
îòêóäà
t
=
1
ω
Z
H
h
S
(
h
)
v
(
h
)
dh.
Âðåìÿ
T
ïîëíîãî îïîðîæíåíèÿ ñîñóäà îïðåäåëèòñÿ ïî ôîðìóëå
T
=
1
ω
Z
H
0
S
(
h
)
v
(
h
)
dh.
6
Åñëè èñòå÷åíèå ïðîèñõîäèò ÷åðåç ìàëûé ïàòðóáîê, òî
v
=
µ
√
2
gh
, ãäå
g
óñêîðåíèå ñèëû òÿæåñòè,
µ
êîýôôèöèåíò ðàñõîäà. Äëÿ âîäû
µ
= 0
,
6
.
Ïðèìåð 3. Âëàãà, ñîäåðæàùàÿñÿ â ñâåæåèñïå÷åííîì õëåáå, èñïàðÿåò-
ñÿ â îêðóæàþùóþ ñðåäó ñî ñêîðîñòüþ, ïðîïîðöèîíàëüíîé êîëè÷åñòâó âëàãè
â õëåáå, à òàêæå ðàçíîñòè ìåæäó âëàæíîñòüþ íàñûùåííîãî è îêðóæàþùå-
ãî âîçäóõà. Íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî ñâåæåèñïå÷åííîãî õëåáà, ñîäåðæàùåãî
3
êã âëàãè, ïîëîæåíî â ïîìåùåíèå îáúåìîì
100
ì
3
, âîçäóõ êîòîðîãî ïåð-
âîíà÷àëüíî èìåë âëàæíîñòü
25 %
. Íàñûùåííûé âîçäóõ ïðè òîé æå òåì-
ïåðàòóðå ñîäåðæèò
0
,
12
êã âëàãè íà
1
ì
3
. Åñëè â òå÷åíèå ïåðâûõ ñóòîê
õëåá ïîòåðÿë ïîëîâèíó ñâîåé âëàãè, òî ñêîëüêî âëàãè â íåì îñòàíåòñÿ ïî
èñòå÷åíèè âòîðûõ ñóòîê?
Ðåøåíèå. Ïóñòü
x
(
t
)
êã êîëè÷åñòâî âëàãè â õëåáå â ìîìåíò âðåìåíè
t
. Âëàæíîñòü íàñûùåííîãî âîçäóõà ðàâíà
0
,
12
êã
·
100
ì
3
1
ì
3
= 12
êã
;
ïåðâîíà÷àëüíàÿ âëàæíîñòü âîçäóõà
12
êã
·
25 %
100 %
= 3
êã
.
Ñëåäîâàòåëüíî, âëàæíîñòü âîçäóõà â ìîìåíò âðåìåíè
t
ðàâíà
(3+3
−
x
)
êã .
Ñîãëàñíî óñëîâèþ çàäà÷è èìååì óðàâíåíèå
dx
dt
=
kx
(
x
+ 6)
.
Îòêóäà
x
x
+ 6
=
Ce
6
kt
.
Èç íà÷àëüíîãî óñëîâèÿ
x
(0) = 3
íàõîäèì, ÷òî
C
= 1
/
3
. Òàê êàê
x
(1) = 3
/
2
, òî
e
6
k
= 3
/
5
. Ïîýòîìó
x
(
t
) = [
x
(
t
) + 6]
1
3
3
5
t
è, ñëåäîâàòåëüíî,
x
(2) = 0
,
82
êã
.
7
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
1. à) Öèëèíäðè÷åñêèé áàê âûñîòîé
6
ì è äèàìåòðîì îñíîâàíèÿ
4
ì
ïîñòàâëåí âåðòèêàëüíî è íàïîëíåí âîäîé. Çà êàêîå âðåìÿ âîäà, çàïîëíÿþ-
ùàÿ áàê, âûòå÷åò èç íåãî ÷åðåç êðóãëîå îòâåðñòèå ðàäèóñà
1
/
12
ì, ñäåëàí-
íîå â áàêå?
Îòâåò:
t
≈
17
,
7
ìèí.
á) Âåòåð, ïðîõîäÿ ÷åðåç ëåñ, èñïûòûâàÿ ñîïðîòèâëåíèå äåðåâüåâ, òåðÿåò
ñêîðîñòü. Íà áåñêîíå÷íî ìàëîì ïóòè ýòà ïîòåðÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè
âåòðà â íà÷àëå ïóòè è äëèíå ýòîãî ïóòè. Íàéòè ñêîðîñòü âåòðà, ïðîøåäøåãî
â ëåñó 150 ì, çíàÿ, ÷òî íà÷àëüíàÿ åãî ñêîðîñòü áûëà 12 ì/ñ , ïîñëå ïðîõî-
æäåíèÿ â ëåñó ïóòè â 1 ì ñêîðîñòü óìåíüøèëàñü äî 11,8 ì/ñ.
Îòâåò:
v
≈
0
,
93
ì/ñ.
2. à) Â ñîñóä, ñîäåðæàùèé 30 ë âîäû, íåïðåðûâíî ñî ñêîðîñòüþ
5 ë/ìèí ïîñòóïàåò ðàñòâîð, â êàæäîì ëèòðå êîòîðîãî ñîäåðæèòñÿ 0,3 êã
ñîëè. Ñìåñü âûòåêàåò èç ñîñóäà ñ òîé æå ñêîðîñòüþ. Ñêîëüêî ñîëè áóäåò â
ñîñóäå ÷åðåç 5 ìèí?
Îòâåò:
x
(5)
≈
5
,
05
êã.
á) Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé 2 ã áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ìåäëåííî ïî-
ãðóæàåòñÿ â æèäêîñòü. Íàéòè å¼ ñêîðîñòü ÷åðåç 2 ñåêóíäû, ñ÷èòàÿ, ÷òî
ïðè ìåäëåííîì ïîãðóæåíèè ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ æèäêîñòè ïðîïîðöèîíàëü-
íà ñêîðîñòè ïîãðóæåíèÿ (êîýôôèöèåíò ïîãðóæåíèÿ 1).
Îòâåò:
v
≈
12
,
36
ì/ñ.
3. à) Ïîïóëÿöèÿ áàêòåðèé óâåëè÷èâàåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî ñêî-
ðîñòü ðîñòà â ìîìåíò
t
(âðåìÿ âûðàæàåòñÿ â ÷àñàõ) ñîñòàâëÿåò âåëè÷èíó
1
/
(1 + 2
t
)
. Íà÷àëüíîé ïîïóëÿöèè ñîîòâåòñòâóåò 500 îñîáåé. Êàêîé áóäåò
ïîïóëÿöèÿ ïîñëå 6 ÷àñîâ ðîñòà? ïîñëå 8,5 ÷àñîâ?
Îòâåò:
≈
578; 706
.
á) Ïàðàøþòèñò ïðûãíóë ñ âûñîòû 1,5 êì, à ðàñêðûë ïàðàøþò íà âûñîòå
0,5 êì. Ñêîëüêî âðåìåíè îí ïàäàë äî ðàñêðûòèÿ ïàðàøþòà? Èçìåíåíèåì
ïëîòíîñòè ñ âûñîòîé ïðåíåáðå÷ü. Ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà ïðîïîðöèîíàëüíî
êâàäðàòó ñêîðîñòè. Èçâåñòíî, ÷òî ïðåäåëüíàÿ ñêîðîñòü ïàäåíèÿ ÷åëîâåêà â
âîçäóõå íîðìàëüíîé ïëîòíîñòè 50 ì/c.
Îòâåò:
v
(
t
) = 50 th
t/
5
;
t
= (4 + ln 2)
≈
23
c.
4. à) Öèëèíäðè÷åñêèé áàê äëèíîé 6 ì è äèàìåòðîì 4 ì ðàñïîëîæåí
ãîðèçîíòàëüíî. Çà êàêîå âðåìÿ âîäà âûòå÷åò èç áàêà, åñëè îòâåðñòèå ðàäè-
óñà 1/12 ì íàõîäèòñÿ íà óðîâíå ñàìîé íèæíåé èç îáðàçóþùèõ öèëèíäðà?
Îòâåò:
t
≈
18
,
4
ìèí.
8
á) Ïàðàøþòèñò ñïóñêàåòñÿ íà ïàðàøþòå, èìåþùåì ôîðìó ïîëóñôåðû ðà-
äèóñà 4 ì. Åãî ìàññà âìåñòå ñ ìàññîé ïàðàøþòà ðàâíà 82 êã. Íàéòè ñêîðîñòü
ïàðàøþòèñòà ÷åðåç 2 ñ ïîñëå íà÷àëà ñïóñêà è ïóòü, ïðîéäåííûé çà âðåìÿ
t
. Ñ÷èòàòü, ÷òî ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà
F
1
= 0
,
00081
Sv
2
, ãäå
S
ïëîùàäü íàèáîëüøåãî ñå÷åíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíîãî íàïðàâëåíèþ äâèæå-
íèÿ,
v
ñêîðîñòü äâèæåíèÿ.
Îòâåò:
v
=
p
g/α
th(
√
αg t
)
;
v
(2)
≈
4
,
43
/
;
S
= 1
/α
ln(ch
t
(
√
αg t
)
;
α
= 0
,
00081
S/m
.
5. à) Íàéòè âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãî âñÿ âîäà âûòå÷åò èç êîíè÷åñêîé
âîðîíêè âûñîòîé 20 ñì ñ îòâåðñòèåì ïëîùàäüþ
0
,
1
ñì
2
è óãëîì
90
o
ïðè
âåðøèíå êîíóñà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ïîëîâèíà âîäû âûòåêàåò çà 2 ìèí.
Îòâåò:
t
≈
4
,
6
ìèí.
á) Ìåòåîðèò, íàõîäÿùèéñÿ ïîä âëèÿíèåì çåìíîãî ïðèòÿæåíèÿ, èç ñîñòîÿíèÿ
ïîêîÿ íà÷èíàåò ïðÿìîëèíåéíî ïàäàòü íà Çåìëþ ñ âûñîòû
h
. Êàêîé áûëà
áû ñêîðîñòü ìåòåîðèòà ïðè äîñòèæåíèè èì ïîâåðõíîñòè Çåìëè, åñëè áû
îòñóòñòâîâàëà çåìíàÿ àòìîñôåðà? Ðàäèóñ Çåìëè R = 6377 êì.
Îòâåò:
v
(
h
) =
p
2
gR
(1
−
R/h
)
, v
≈
11
,
2
êì/ñ ïðè
h
−→ ∞
.
6. à) Â ñîñóä, ñîäåðæàùèé 20 ë âîäû, íåïðåðûâíî ñî ñêîðîñòüþ
5 ë/ìèí ïîñòóïàåò ðàñòâîð, â êàæäîì ëèòðå êîòîðîãî ñîäåðæèòñÿ 0,2 êã
ñîëè. Â ñîñóäå ðàñòâîð ïåðåìåøèâàåòñÿ, è ñìåñü âûòåêàåò èç ñîñóäà ñ òîé
æå ñêîðîñòüþ. Ñêîëüêî ñîëè áóäåò â ðàñòâîðå ÷åðåç 4 ìèí?
Îòâåò:
m
(4)
≈
2
,
4
êã.
á) Ìîòîðíàÿ ëîäêà äâèæåòñÿ â ñïîêîéíîé âîäå ñî ñêîðîñòüþ 10 êì/÷. Íà
ïîëíîì õîäó åå ìîòîð áûë âûêëþ÷åí, è ÷åðåç 20 ñ ñêîðîñòü ëîäêè óìåíü-
øèëàñü äî 6 êì/÷. Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ëîäêè ÷åðåç 2 ìèí ïîñëå îñòàíîâêè
ìîòîðà, åñëè ñîïðîòèâëåíèå âîäû ïðîïîðöèîíàëüíî ñêîðîñòè ëîäêè.
Îòâåò:
v
≈
0
,
466
êì/÷.
7. à) Êðóãëûé öèëèíäðè÷åñêèé áàê ñ âåðòèêàëüíîé îñüþ, äèàìåòðîì
2 ì è âûñîòîé 2,25 ì íàïîëíåí âîäîé. Îïðåäåëèòü âðåìÿ îïîðîæíåíèÿ áàêà
÷åðåç êðóãëîå îòâåðñòèå äèàìåòðîì 0,1 ì â äíå áàêà.
Îòâåò:
t
≈
452
c.
á) Âåòåð, ïðîõîäÿ ÷åðåç ëåñ, èñïûòûâàÿ ñîïðîòèâëåíèå äåðåâüåâ, òåðÿåò
ñêîðîñòü. Íà áåñêîíå÷íî ìàëîì ïóòè ýòà ïîòåðÿ ïðîïîðöèîíàëüíà ñêîðîñòè
âåòðà â íà÷àëå ïóòè è äëèíå ýòîãî ïóòè. Íàéòè ñêîðîñòü âåòðà, ïðîøåäøåãî
â ëåñó 150 ì, çíàÿ, ÷òî íà÷àëüíàÿ åãî ñêîðîñòü áûëà 12 ì/ñ , ïîñëå ïðîõî-
æäåíèÿ â ëåñó ïóòè â 1 ì ñêîðîñòü óìåíüøèëàñü äî 11,8 ì/ñ.
Îòâåò:
v
≈
0
,
93
ì/ñ.
8. à) Ïóñòîé æåëåçíûé øàð íàõîäèòñÿ â ñòàöèîíàðíîì òåïëîâîì
9
ñîñòîÿíèè (ò. å. òåìïåðàòóðà â êàæäîé òî÷êå ñ òå÷åíèåì âðåìåíè íå ìå-
íÿåòñÿ). Âíóòðåííèé ðàäèóñ øàðà 6 ñì, âíåøíèé 10 ñì, òåìïåðàòóðà
âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè
200
o
, âíåøíåé
20
o
. Íàéòè òåìïåðàòóðó â òî÷êàõ,
íàõîäÿùèõñÿ íà ðàññòîÿíèè 9 ñì îò öåíòðà øàðà. Êîýôôèöèåíò òåïëîïðî-
âîäíîñòè æåëåçà 0,14.
Îòâåò:
T
(9) = 50
o
.
á) Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé 1 ã äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî ïîä äåéñòâè-
åì ñèëû, ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíîé âðåìåíè, îòñ÷èòûâàåìîìó îò ìîìåíòà
t
= 0
, è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíî ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òî÷êè. ×åðåç 10 ñ
ñêîðîñòü ðàâíÿëàñü 50 ì/ñ, à ñèëà 4 äèíàì. Êàêîâà áóäåò ñêîðîñòü ñïóñòÿ
ìèíóòó ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ?
Îòâåò:
v
= 10
√
725
ñì/ñ.
9. à) Ãëþêîçà ââîäèòñÿ â êðîâü áîëüíîãî ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ
C
ã/ìèí. Â òî æå âðåìÿ ãëþêîçà ðàçëàãàåòñÿ è âûâîäèòñÿ èç êðîâåíîñíîé
ñèñòåìû ñî ñêîðîñòüþ, ïðîïîðöèîíàëüíîé èìåþùåìóñÿ êîëè÷åñòâó ãëþêî-
çû. Çíàÿ ïåðâîíà÷àëüíîå êîëè÷åñòâî ãëþêîçû â êðîâè, íàéòè ðàâíîâåñíîå
êîëè÷åñòâî ãëþêîçû.
Îòâåò:
C/k
, ãäå
k
êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè.
á) Ôóòáîëüíûé ìÿ÷ âåñîì 0,4 êã áðîøåí ââåðõ ñî ñêîðîñòüþ 20 ì/ñ. Ñî-
ïðîòèâëåíèå âîçäóõà ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó ñêîðîñòè è ðàâíî 0,48 ã
ïðè ñêîðîñòè 1 ì/ñ. Âû÷èñëèòü âðåìÿ ïîäúåìà ìÿ÷à è íàèáîëüøóþ âûñî-
òó ïîäúåìà. Êàê èçìåíÿòñÿ ýòè ðåçóëüòàòû, åñëè ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà
ïðåíåáðå÷ü?
Îòâåò:
t
= 17
,
5
ñ,
h
max
≈
16
,
3
ì;
t
= 2
ñ,
h
max
≈
20
ì.
10. à) Ïîãëîùåíèå ñâåòîâîãî ïîòîêà òîíêèì ñëîåì âîäû ïðîïîðöèî-
íàëüíî òîëùèíå ñëîÿ è ïîòîêó, ïàäàþùåìó íà åãî ïîâåðõíîñòü. Ïðè ïðî-
õîæäåíèè ÷åðåç ñëîé òîëùèíû 1 ì ïîãëîùàåòñÿ 1/4 ïåðâîíà÷àëüíîãî ñâå-
òîâîãî ïîòîêà. Êàêàÿ ÷àñòü ñâåòîâîãî ïîòîêà äîéäåò äî ãëóáèíû 4 ì?
Îòâåò:
Q
(4) =
Q
0
0
,
75
4
.
á) Âåñ ëåò÷èêà ñ ïàðàøþòîì ðàâåí 80 êã. Ñîïðîòèâëåíèå âîçäóõà ïðè ñïóñêå
ïàðàøþòà ïðîïîðöèîíàëüíî êâàäðàòó åãî ñêîðîñòè (êîýôôèöèåíò ïðîïîð-
öèîíàëüíîñòè 400). Îïðåäåëèòü ñêîðîñòü ñïóñêà â çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè
è óñòàíîâèòü ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü ñïóñêà.
Îòâåò:
v
(
t
) =
p
mg/k
(
e
2
αt
−
1)
/
(
e
2
αt
+ 1);
v
max
=
p
mg/k
≈
4
,
4
ì/ñ.
11. à) Êèðïè÷íàÿ ñòåíà èìååò
30
ñì òîëùèíû. Íàéòè çàâèñèìîñòü
òåìïåðàòóðû îò ðàññòîÿíèÿ òî÷êè îò íàðóæíîãî êðàÿ ñòåíû, åñëè òåìïå-
ðàòóðà
20
o
C íà âíóòðåííåé è
0
o
C íà âíåøíåé ïîâåðõíîñòè ñòåíû. Íàéòè
òàêæå êîëè÷åñòâî òåïëà, êîòîðîå ñòåíà (íà
1
ì
3
) îòäàåò íàðóæó â òå÷åíèå
10