ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2021
Просмотров: 805
Скачиваний: 1
3.
x
·
=
y
−
x
−
1
,
y
·
= ln(
x
2
−
y
);
4.
x
·
=
−
2
xy,
y
·
=
y
−
x
2
+
y
2
+ 4;
5.
x
·
=
y,
y
·
=
−
sin
x
;
6.
x
·
= 4
x
2
−
y
2
,
y
·
= 2
x
(
y
−
2)
−
8;
7.
x
·
= 2
y
+
√
1
−
3
y
−
sin
x,
y
·
=
−
sin
x
;
8.
x
·
= 2
xy,
y
·
=
x
2
+
y
2
−
4;
9.
x
·
=
x
2
−
y
2
+ 12
,
y
·
=
x
2
+
y
2
−
20;
10.
x
·
=
y
(
y
−
x
)
,
y
·
= ln(
x
−
y
2
−
1);
11.
x
·
= (2
x
−
y
)(
x
−
2)
,
y
·
=
xy
−
2;
12.
x
·
=
y
−
x
2
−
x,
y
·
= 3
x
−
x
2
−
y
;
13.
x
·
=
y
2
−
x
2
,
y
·
= ln((1
−
x
+
x
2
)
/
3);
14.
x
·
=
−
2
xy
+ 2
y
2
,
y
·
= 2
x
−
y
2
;
15.
x
·
=
x
2
−
y,
y
·
=
x
2
−
(
y
−
2)
2
16.
x
·
=
e
y
−
e
x
,
y
·
= ln(5
−
x
2
);
17.
x
·
= (
y
−
1)(3
x
+
y
−
5)
,
y
·
=
x
2
+
y
2
−
5;
18.
x
·
=
x
(
x
2
−
2) +
y,
y
·
=
x
(3
x
4
−
1)
−
2
y
;
19.
x
·
=
x
2
−
y
2
−
1
,
y
·
= 2
y
;
20.
x
·
= ln(1
−
y
+
y
2
)
,
y
·
= 3
−
p
x
2
+ 8
y
;
21.
x
·
=
x
(
x
+
y
−
3)
,
y
·
=
y
(2
−
x
);
22.
x
·
=
y
2
−
x,
y
·
= ln(1
−
y
+
y
2
)
−
ln 3;
23.
x
·
= arctan(
xy
+
y
2
)
,
y
·
=
y
2
−
4
x
;
24.
x
·
=
−
2
x
−
2
xy,
y
·
=
x
4
−
y
3
;
25.
x
·
=
x
+ 2
xy
2
,
y
·
=
−
2
y
+ 4
x
2
y
;
26.
x
·
=
y
−
3
x
−
x
3
,
y
·
= 6
x
−
2
y
;
Êîíòðîëüíûå âîïðîñû
Òåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà
1. Äàòü îïðåäåëåíèå ðåøåíèÿ, îáùåãî ðåøåíèÿ ÄÓ, çàäà÷è Êîøè, èíòå-
ãðàëüíîé êðèâîé.
2.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ÄÓ
y
0
=
f
(
x, y
)
?
3. Êàêîé óãîë íàêëîíà èìååò èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ óðàâíåíèÿ
xy
0
+
y
=
y
2
ln
x
â òî÷êå [ 1,1]?
4. ×òî òàêîå èçîêëèíà ÄÓ
y
0
=
f
(
x, y
)
? Êàêîé óãîë íàêëîíà èìåþò èíòå-
ãðàëüíûå êðèâûå óðàâíåíèÿ
y
0
= 2
x
(1
−
y
)
â òî÷êàõ ãèïåðáîëû
y
= 1
−
1
/
2
x
?
26
5. Êàê âûäåëèòü îáëàñòè âîçðàñòàíèÿ (óáûâàíèÿ) ðåøåíèÿ ÄÓ
y
0
=
f
(
x, y
)
? Êàê íàéòè èõ òî÷êè ýêñòðåìóìà? Ñäåëàòü ýòî äëÿ óðàâíåíèÿ
y
0
=
y
−
x
2
+ 2
x
−
2
.
6. Êàê âûäåëèòü îáëàñòè âûïóêëîñòè ââåðõ (âíèç) ðåøåíèÿ ÄÓ
y
0
=
f
(
x, y
)
? Êàê íàéòè èõ òî÷êè ïåðåãèáà? Ñäåëàòü ýòî äëÿ óðàâíåíèÿ
y
0
=
y
−
x
2
+ 2
x
−
2
.
7. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ çà-
äà÷è Êîøè äëÿ ÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà. Óêàæèòå îáëàñòü åäèíñòâåííîñòè (ò.
å. ìíîæåñòâî òî÷åê
(
x
0
, y
0
)
òàêèõ, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåí-
íîå ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ
y
(
x
0
) =
y
0
) äëÿ óðàâíåíèÿ:
a)
y
0
=
xy
+
e
−
y
; á)
y
0
=
√
x
−
y
; â)
y
0
=
x/y
; ã)
y
0
= (
y
+ 1)
/
(
x
−
y
)
.
8. Ïîêàçàòü,÷òî äëÿ óðàâíåíèÿ
y
0
=
|
y
|
1
/
2
â êàæäîé òî÷êå îñè àáñöèññ íà-
ðóøàåòñÿ åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ.
9. Ïîêàçàòü, ÷òî çàäà÷à
y
0
=
y
α
èìååò ïî êðàéíåé ìåðå äâà ðåøåíèÿ äëÿ
0
< α <
1
è îäíî äëÿ
α
= 1
. Ïîñòðîèòü èíòåãðàëüíûå êðèâûå äëÿ
α
= 1
è
α
= 1
/
2
.
10. Ïîêàçàòü,÷òî ÄÓ
y
0
=
y/x
ïðè íà÷àëüíîì óñëîâèè
y
(0) =
y
0
èìååò
áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé âèäà
y
=
cx
, åñëè
y
0
= 0
è íå èìååò íè îäíîãî
ðåøåíèÿ, åñëè
y
0
6
= 0
.
11. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ çàäà÷à Êîøè äëÿ ÄÓ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåí-
íûìè èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå?
12. Êàêèå ðåøåíèÿ òåðÿþòñÿ ïðè ðàçäåëåíèè ïåðåìåííûõ â ÄÓ:
à)
y
0
=
xy
2
+ 2
xy
; á)
xy
0
=
y
(
x
2
+ 1)
; â)
xdy
−
y
(
x
2
−
1)
dx
= 0
?
13. Êàêèå ðåøåíèÿ òåðÿþòñÿ ïðè ðàçäåëåíèè ïåðåìåííûõ â óðàâíåíèè
y
0
= 2
√
y
? Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ ýòîãî ÄÓ, èçîáðàçèòå èíòåãðàëüíûå êðè-
âûå.
14. Êàêîâ îáùèé âèä è ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ îäíîðîäíîãî ÄÓ ïåðâîãî ïî-
ðÿäêà?
15. Êàêîâ îáùèé âèä è ìåòîä èíòåãðèðîâàíèÿ ëèíåéíîãî ÄÓ ïåðâîãî ïî-
ðÿäêà? Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ çàäà÷à Êîøè äëÿ òàêîãî óðàâíåíèÿ èìååò åäèí-
ñòâåííîå ðåøåíèå?
16. Êàêîâ îáùèé âèä è ìåòîäû ðåøåíèÿ ÄÓ: à) Áåðíóëëè? á) Ðèêêàòè?
17. Êàê èíòåãðèðóåòñÿ ÄÓ â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ? ×òî òàêîå èíòåãðè-
ðóþùèé ìíîæèòåëü?
18. Ïðèâåñòè ïðèìåð: à) ÄÓ ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè; á) îäíîðîä-
íîãî ÄÓ; â) ëèíåéíîãî ÄÓ ïåðâîãî ïîðÿäêà; ã) ÄÓ Áåðíóëëè; ä) ÄÓ Ðèê-
êàòè; å) ÄÓ â ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõ.
27
Òåîðèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé âûñîêîãî ïîðÿäêà
1. Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ çàäà÷à Êîøè äëÿ ÄÓ
n
-ãî ïîðÿäêà?
2. Ìîãóò ëè ãðàôèêè äâóõ ðåøåíèé ÄÓ êàñàòüñÿ äðóã äðóãà â íåêîòîðîé
òî÷êå
x
0
, y
0
äëÿ ÄÓ: à)
y
0
=
x
+
y
2
; á)
y
00
=
x
+
y
2
; â)
y
(3)
=
x
+
y
2
?
3. Ìîãóò ëè ãðàôèêè äâóõ ðåøåíèé ÄÓ ïåðåñåêàòüñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå
x
0
, y
0
äëÿ ÄÓ: à)
y
0
=
x
+
y
2
; á)
y
00
=
xy
2
?
4. Ñêîëüêî ñóùåñòâóåò ðåøåíèé ÄÓ
y
(
n
)
=
x
+
y
2
, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëî-
âèÿì
y
(0) = 0
,
y
0
(0) = 0
? Ðàññìîòðåòü ñëó÷àè n = 1,2,3.
5. ßâëÿþòñÿ ëè ëèíåéíî íåçàâèñèìûìè íà
R
ñëåäóþùèå ñèñòåìû ôóíê-
öèé: à)
1
,
sin
x,
cos 2
x
; á)
1
, x, x
2
; â)
x
+ 1
,
2
x
2
−
3
,
2
x
2
−
2
x
−
1
?
6. Âûïèøèòå óðàâíåíèå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ÷àñòîòû
ω
ïðè íàëè-
÷èè âûíóæäàþùåé ñèëû
f
(
x
)
. Âûïèøèòå óðàâíåíèå êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà
â ñðåäå ñ òðåíèåì áåç âûíóæäàþùåé ñèëû. Ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ âîçíèêàþò
çàòóõàþùèå ñîáñòâåííûå êîëåáàíèÿ?
Ëèíåéíûå ñèñòåìû ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè
Óñòîé÷èâîñòü
1. ×òî íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé ñèñòåìîé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé â
(ÄÓ) íîðìàëüíîé ôîðìå? Êàê ñòàâèòñÿ çàäà÷à Êîøè äëÿ òàêîé ñèñòåìû?
Êàê ôîðìóëèðóåòñÿ äëÿ íåå òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè?
2. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü (íåçàâèñèìîñòü) ñèñòåìû
âåêòîð-ôóíêöèé íà íåêîòîðîì ïðîìåæóòêå? Áóäóò ëè ëèíåéíî çàâèñèìû
íà ïðÿìîé ñèñòåìû:
a)
0
t
,
t
0
;
b)
4
2
t
,
6
3
t
;
c)
t
t
,
t
2
t
2
;
d)
1
0
0
e
t
,
1
1
0
e
t
,
1
1
1
e
t
?
3.  ÷åì çàêëþ÷àåòñÿ ïðèíöèï ñóïåðïîçèöèè äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì
ÄÓ? Êàê îí ïðîÿâëÿåòñÿ â ñëó÷àå îäíîðîäíûõ ñèñòåì?
4. ×òî íàçûâàåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìîé ðåøåíèé (ÔÑÐ) äëÿ ëè-
íåéíîé ñèñòåìû
n
óðàâíåíèé ïåðâîãî ïîðÿäêà?
5. Ïóñòü
Φ(
t
)
ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà äëÿ ñèñòåìû
x
0
=
Ax
.
Áóäóò ëè ÿâëÿòüñÿ ôóíäàìåíòàëüíûìè äëÿ ýòîé ñèñòåìû ìàòðèöû
Ψ
1
(
t
) = Φ(
t
)
C
,
Ψ
2
(
t
) =
C
Φ(
t
)
, ãäå
C
ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ ìàò-
ðèöà. Îòâåò îáîñíóéòå.
6. Êàêîâà ñòðóêòóðà îáùåãî ðåøåíèÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû ÄÓ ïåðâîãî
ïîðÿäêà? Òîò æå âîïðîñ äëÿ íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû.
28
7. Êàê íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîé ñèñòåìû ÄÓ, çíàÿ ÔÑÐ
äëÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìû?
8. Êàê îïðåäåëÿåòñÿ ìàòðè÷íàÿ ýêñïîíåíòà? Êàê ñ ïîìîùüþ ìàòðè÷-
íîé ýêñïîíåíòû ïîñòðîèòü ÔÑÐ äëÿ ñèñòåìû
x
0
=
Ax
? Êàê çàïèñàòü ñ åå
ïîìîùüþ îáùåå ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû? Êàê íàéòè ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿ-
þùåå óñëîâèþ
x
(0) =
x
0
?
9. Ïóñòü
A
= diag
{
λ
1
, λ
2
,
· · ·
, λ
n
}
äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà. Ïîêàçàòü,
÷òî
e
At
= diag
{
e
λ
1
t
, e
λ
2
t
,
· · ·
, e
λ
n
t
}
.
10. Ïóñòü
X
(
t
)
ðåøåíèå ìàòðè÷íîãî óðàâíåíèÿ
X
0
=
AX
ñ ïî-
ñòîÿííîé ìàòðèöåé
A
, à
Y
(
t
) =
C
−
1
X
(
t
)
C
, ãäå
C
ïîñòîÿííàÿ ìàòðè-
öà, äëÿ êîòîðîé
detC
6
= 0
. Ïîêàçàòü, ÷òî
Y
(
t
)
óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
Y
0
(
t
) = (
C
−
1
AC
)
Y
. Âûâåñòè îòñþäà, ÷òî
e
At
=
Ce
C
−
1
ACt
C
−
1
.
11. Ïóñòü
A
äèàãîíàëèçóåìàÿ ìàòðèöà,
λ
1
, λ
2
,
· · ·
, λ
n
åå ñîáñòâåí-
íûå çíà÷åíèÿ,
C
ìàòðèöà ïåðåõîäà ê áàçèñó èç ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ.
Ïîêàçàòü, ÷òî
e
At
=
C
diag
{
e
λ
1
t
, e
λ
2
t
,
· · ·
, e
λ
n
t
}
C
−
1
.
12. Ïðèâåñòè ïðèìåð ìàòðèö
A
è
B
òàêèõ, ÷òî
e
(
A
+
B
)
t
6
=
e
At
e
Bt
.
13. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñèñòåìà ÄÓ
x
0
=
Ax
èìååò íåíóëåâîå ñòàöè-
îíàðíîå ðåøåíèå
x
(
t
) =
x
0
, òî ó ìàòðèöû
A
åñòü íóëåâîå ñîáñòâåííîå
çíà÷åíèå.
14. Äîêàçàòü, ÷òî åñëè ñèñòåìà ÄÓ
x
0
=
Ax
èìååò íåíóëåâûå îãðàíè-
÷åííûå íà âñåé îñè ðåøåíèÿ, òî ñðåäè ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû
A
åñòü õîòÿ áû îäíî ÷èñòî ìíèìîå.
15. ×åì îòëè÷àåòñÿ ïîíÿòèå óñòîé÷èâîcòè ïî Ëÿïóíîâó îò ïîíÿòèÿ
íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøåíèÿ îò íà÷àëüíûõ äàííûõ?
16. Îáÿçàòåëüíî ëè äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ëèíåéíîé ñèñòåìû
ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíàòìè çíàòü âñå åå ðåøåíèÿ?
17. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè ïî ïåðâîìó
ïðèáëèæåíèþ.  êàêîì ñëó÷àå ýòà òåîðåìà íå äàåò îòâåò íà âîïðîñ îá óñòîé-
÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ?
18. ×òî òàêîå ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà? Êàê îíà èñïîëüçóåòñÿ ïðè èññëå-
äîâàíèè óñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ íåëèíåéíîé ñèñòåìû ÄÓ ïåðâîãî
ïîðÿäêà?
19. ×òî òàêîå èíòåãðàëüíàÿ êðèâàÿ, ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ äëÿ íîðìàëü-
íîé ñèñòåìû ÄÓ? ×òî ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëüíîé êðèâîé è ôàçîâîé òðàåêòî-
29
ðèåé ñèñòåìû ÄÓ äâóõ óðàâíåíèé, èìåþùèõ ðåøåíèå
a
)
x
1
(
t
) = cos
t, x
2
(
t
) = sin
t
;
b
)
x
1
(
t
) = 2 cos
t, x
2
(
t
) = 3 sin
t.
20. ×òî òàêîå òî÷êà ïîêîÿ ñèñòåìû
x
0
=
f
(
x
)
? Êàêàÿ ôàçîâàÿ òðàåê-
òîðèÿ åé îòâå÷àåò?
21. Êàêîâ êðèòåðèé àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè òî÷åê ïîêîÿ äëÿ
ëèíåéíîé ñèñòåìû ÄÓ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè?
22. ×òî òàêîå îñîáàÿ òî÷êà? Ïåðå÷èñëèòå òèïû îñîáûõ òî÷åê íà ïëîñ-
êîñòè.
23. ßâëÿåòñÿ ëè òî÷êà ïîêîÿ ¾óñòîé÷èâûé óçåë¿ óñòîé÷èâûì ïî Ëÿïó-
íîâó ðåøåíèåì? Àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì? Êàê îïðåäåëèòü íàïðàâëå-
íèå äâèæåíèÿ ïî ïðÿìîëèíåéíûì ôàçîâûì òðàåêòîðèÿì? Òå æå âîïðîñû
äëÿ äðóãèõ òèïîâ îñîáûõ òî÷åê.
30