ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2021
Просмотров: 804
Скачиваний: 1
9.
x
·
=
−
3
x
+
y
+ 5
t
−
1
,
y
·
= 8
x
−
y
+ 6
−
t
+ 10
e
−
2
t
.
10.
x
·
= 2
x
−
y
+ 4
,
y
·
=
x
+ 2
t.
11.
x
·
=
x
+
y,
y
·
=
x
+
y
+
e
5
t
.
12.
x
·
= 25
e
t
−
5
x
−
y,
y
·
=
x
−
3
y
−
36
e
2
t
.
13.
x
·
= 2
y,
y
·
= 2
x
−
3
y
+
e
2
t
.
14.
x
·
= 6
x
−
y
−
6
t
2
−
t
+ 3
,
y
·
= 2
y
−
2
t
−
1
.
15.
x
·
+ 5
y
= cos 5
t,
y
·
+ 5
x
= sin 5
t.
16.
x
·
= 2
x
+
y
−
2 sin
t,
y
·
=
−
2
x
+ sin
t.
17.
x
·
= 2
x
−
y
−
2
e
t
,
y
·
= 3
x
−
2
y
+ 4
.
18.
x
·
= 2
x
−
y,
y
·
=
−
x
+ 2
y
−
10 cos
t.
19.
x
·
=
x
−
2
y,
y
·
= 2
x
−
3
y
+ 1
.
20.
x
·
=
−
x
−
5
y
+ 2 sin
t,
y
·
=
x
+
y
+ 4
.
21.
x
·
=
−
x
−
y
+ sin
t,
y
·
=
x
−
3
y
−
cos
t.
22.
x
·
=
x
+ 2
y
−
cos
t
−
3 sin
t,
y
·
= 4
x
−
y
−
3 cos
t
+ sin
t.
23.
x
·
=
x
−
2
y
+ 2
t,
y
·
= 2
x
−
3
y
+ 1
.
24.
x
·
=
−
x
−
2
y
+ 2
e
−
t
,
y
·
= 3
x
+ 4
y
+
e
−
t
.
25.
x
·
= 3
x
−
2
y
+ 2 cos
t,
y
·
= 4
x
−
3
y
+ cos
t
−
sin
t.
26.
x
·
= 2
y
−
x
+ 1
,
y
·
= 3
y
−
2
x
−
t.
Çàäàíèå 10. Ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè ([3, 14], [6, 22, 23]).
1.
x
·
=
e
t
−
y,
y
·
=
x
+
e
−
t
,
x
(0) =
y
(0) = 1
.
2.
x
·
= 2
y
+ 4
,
y
·
=
−
2
x
+ 3
t
−
2
e
t
,
x
(0) = 3
, y
(0) = 2
.
3.
x
·
= 2
x
+
y
+ cos
t,
y
·
=
−
x
+ 2 sin
t,
x
(0) =
y
(0) = 2
.
4.
x
·
=
x
−
y
+ 3
t
2
/
2
,
y
·
=
−
4
x
−
2
y
+ 4
t
+ 1
,
x
(0) =
y
(0) = 0
.
5.
x
·
= 4
x
−
5
y
−
2
t
2
+ 5
t,
y
·
=
−
2
y
+ 2
t
+ 1
,
x
(0) =
y
(0) = 0
.
6.
x
·
= 4
x
−
5
y
+ 6
t
−
3
,
y
·
= 4
y
+ 2
−
8
t,
x
(0) = 1
, y
(0) = 0
.
7.
x
·
=
−
3
x
−
4
y
+ 2
t,
y
·
=
x
+
y
+
t
−
1
,
x
(0) =
y
(0) = 0
.
8.
x
·
=
y
−
x
+
e
t
,
y
·
=
x
−
y
+
e
t
,
x
(0) =
y
(0) = 1
.
9.
x
·
=
−
y
+ 2
x,
y
·
=
−
x
+ 2
y
−
5
e
t
sin
t,
x
(0) = 2
, y
(0) = 3
.
10.
x
·
= 4
x
+
y
+ 36
t,
y
·
=
−
2
x
+
y
+ 2
e
t
,
x
(0) = 0
, y
(0) = 1
.
11.
x
·
=
x
+
y
−
t
2
+
t
−
2
,
y
·
=
−
2
x
+ 4
y
+ 2
t
2
−
4
t
−
7
,
x
(0) = 0
, y
(0) = 2
.
12.
x
·
=
x
+
y,
y
·
=
−
2
x
−
y
+
t,
x
(0) = 0
, y
(0) = 1
.
21
13.
x
·
= 4
x
−
5
y
+ 4
t
−
1
,
y
·
=
x
−
2
y
+
t,
x
(0) = 1
, y
(0) = 0
.
14.
x
·
=
−
2
x
+ 2
y
−
20
e
t
,
y
·
=
−
x
−
5
y
−
13
e
t
,
x
(0) = 0
, y
(0) = 1
.
15.
x
·
=
y
−
7
x
+ 7
,
y
·
=
−
2
x
−
5
y
+ 2
,
x
(0) = 4
, y
(0) = 0
.
16.
x
·
=
−
2
y
+ 3
t,
y
·
=
−
2
x
+ 4
,
x
(0) = 2
, y
(0) = 3
.
17.
x
·
=
x
−
y
+ 2 sin
2
t,
y
·
= 2
x
−
y,
x
(0) =
y
(0) = 0
.
18.
x
·
= 3
x
+ 2
y
−
cos
t,
y
·
= 6
x
+ 4
y
+ 7 sin
t,
x
(0) =
−
2
, y
(0) = 1
.
19.
x
·
= 2
x
−
4
y
−
1
−
2
t,
y
·
=
−
x
+ 5
y
−
1 + 4
t,
x
(0) = 1
, y
(0) = 0
.
20.
x
·
=
y,
y
·
=
−
x
+ 1
/
cos
t,
x
(0) = 2
, y
(0) = 3
.
21.
x
·
=
x
+
e
t
−
y,
y
·
= 2
x
+ 4
y
−
2
,
x
(0) =
y
(0) = 1
.
22.
x
·
= 3
x
+
y
+
e
t
,
y
·
=
x
+ 3
y
−
e
t
,
x
(0) =
−
1
, y
(0) = 2
.
23.
x
·
=
x
+ 2
y
+ 16
e
t
,
y
·
= 2
x
−
2
y,
x
(0) =
−
13
, y
(0) =
−
6
.
24.
x
·
=
x
+ 2
y,
y
·
=
x
−
5 sin
t,
x
(0) =
−
1
, y
(0) = 2
.
25.
x
·
=
−
x
+ 2
e
t
−
2
y,
y
·
= 1
−
y
−
z,
z
·
= 1
−
z,
x
(0) =
y
(0) =
z
(0) = 1
.
26.
x
·
= 2
x
+
y
−
2
z
−
t
+ 2
,
y
·
= 1
−
x,
z
·
=
x
+
y
−
z
+ 1
−
t
x
(0) =
y
(0) =
z
(0) = 0
.
Çàäàíèå 11. ([3, 14], [6, 22, 23]). Ðåøèòü ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé
x
·
=
Ax
, ãäå
x
âåêòîð-ñòîëáåö,
A
çàäàííàÿ ìàòðèöà.
Íàéòè ôóíäàìåíòàëüíóþ ìàòðèöó
e
At
, ýêñïîíåíöèàë
e
A
ìàòðèöû
A
è
åãî îïðåäåëèòåëü
det
e
A
.
1.
A
=
−
1
1
1
1
−
1
1
1
1
−
1
2.
A
=
0
1
1
−
2
0
−
1
2
−
1
0
3.
A
=
4 2
−
2
1 3
−
1
3 3
−
1
4.
A
=
−
3
0 1
−
3
0 0
1
−
1 0
5.
A
=
5
−
1
−
4
−
12
5
12
10
−
3
−
9
6.
A
=
3
−
1
−
3
−
6
2
6
6
−
2
−
6
22
7.
A
=
2
−
1
−
1
12
−
4
−
12
−
4
1
5
8.
A
=
0 0 4
0 0 1
−
1 4 1
9.
A
=
2 1
−
1
−
1 0
1
1 1
0
10.
A
=
3
−
2
−
1
3
−
4
−
3
2
−
4
0
11.
A
=
1
−
1
−
1
1
1
0
3
0
1
12.
A
=
0 1 1
1 0 1
2 2 1
13.
A
=
−
2 1 2
−
1 0 2
−
2 0 3
14.
A
=
1
−
1
1
1
1
−
1
0
−
1
2
15.
A
=
2 1
−
2
−
1 0
0
1 1
−
1
16.
A
=
1
−
2
−
1
−
1
1
1
1
0
−
1
17.
A
=
2
−
1
2
1
0
2
−
2
1
−
1
18.
A
=
3
12
−
4
−
1
−
3
1
−
1
−
12
6
19.
A
=
2
−
1
−
1
2
−
1
−
2
−
1
1
2
20.
A
=
0 1
−
1
1 0
−
1
2 2
−
3
21.
A
=
4
−
1
0
3
1
−
1
1
0
1
22.
A
=
2
0
−
1
1
−
1
0
3
−
1
−
1
23.
A
=
2 1
−
2
−
1 0
0
1 1
−
1
24.
A
=
1
0
−
1
−
6
2
6
4
−
1
−
4
25.
A
=
−
1 1
−
2
4 1
0
2 1
−
1
26.
A
=
2
−
1
1
1
1
−
1
1
−
1
2
Çàäàíèå 12. Ïîëüçóÿñü îïðåäåëåíèåì óñòîé÷èâîñòè ïî Ëÿïóíîâó, âû-
ÿñíèòü, óñòîé÷èâû ëè ðåøåíèÿ äàííûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì ñ óêàçàííûìè
íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè ([1, 15], [3, ãë. 5, 1], [5, ãë. 5, 1] ).
1.
t
2
x
·
=
−
3
tx
+ 2
, x
(1) = 1;
2.
x
·
=
t
(
x
−
1)
, x
(1) = 2;
3.
x
·
=
t
2
−
x, x
(1) = 1;
4.
x
·
= 2
tx
+ 2
t, x
(0) = 0;
5.
x
·
= 2
x
−
t
2
, x
(0) = 0;
6.
x
·
=
t
2
+ 2
x, x
(0) = 3;
23
7.
x
·
=
t
+
x, x
(0) = 1;
8.
x
·
= 2 +
t, x
(0) = 1;
9.
tx
·
−
x
= 2
t
2
e
−
2
t
, x
(1) =
e
−
2
;
10.
x
·
= (2
−
t
3
)
x, x
(0) = 0;
11.
x
·
=
−
y, x
(0) = 0
,
y
·
=
x,
y
(0) = 0;
12.
x
·
= 4
y,
x
(0) = 0
,
y
·
=
−
x, y
(0) = 0;
13.
x
·
=
−
x
−
3
y, x
(0) = 0
,
y
·
= 3
x
−
y,
y
(0) = 0;
14.
x
·
=
x
−
7
y,
x
(0) = 0
,
y
·
= 2
x
−
8
y, y
(0) = 0;
15.
2
x
·
+
y
·
=
−
5
y, x
(0) = 0
,
x
·
−
2
y
·
=
−
5
x, y
(0) = 0;
16.
x
·
+
y
·
=
x
−
y, x
(0) = 0
,
y
·
−
x
·
=
x
+
y, y
(0) = 0;
17.
x
·
=
y,
x
(0) = 0
,
y
·
=
−
5
x
−
2
y, y
(0) = 0;
18.
x
·
=
y,
x
(0) = 0
,
y
·
=
−
x
−
2
y, y
(0) = 0;
19.
x
·
= 2
y,
x
(0) = 0
,
y
·
=
−
4(
x
+
y
)
, y
(0) = 0;
20.
x
·
= 8
y,
x
(0) = 0
,
y
·
=
−
2
x, y
(0) = 0;
21.
x
·
= 4
x
−
y,
x
(0) = 0
,
y
·
=
−
2(
x
+ 3
y
)
, y
(0) = 0;
22.
x
·
= 3
y,
x
(0) = 0
,
y
·
=
−
x
−
4
y, y
(0) = 0;
23.
x
·
=
y,
x
(0) = 0
,
y
·
=
−
2
x
−
2
y, y
(0) = 0;
24.
x
·
= 2
x
−
t
2
x, x
(0) = 0;
25.
x
·
= 4
x
−
t
2
x, x
(0) = 0;
26.
x
·
=
x
−
2
t
3
x, x
(0) = 0
.
Çàäàíèå 13. ([1, 15], [3, ãë. 4, 27 28], [4, 26], [5, ãë. 5,
2]). Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè ïî ïåðâîìó
ïðèáëèæåíèþ èññëåäîâàòü íà óñòîé÷èâîñòü íóëåâîå ðåøåíèå ñèñòåì:
1.
x
·
= 2
e
x
+ 5
y
−
2 +
x
4
,
y
·
=
x
+ 6 cos
y
−
6
−
y
2
;
2.
x
·
= 3
x
−
22 sin
y
+
x
2
−
y
3
,
y
·
= ln(1
−
4
y
) + 2
e
−
9
x
−
2;
3.
x
·
=
x
2
+
e
x
+2
y
−
cos 2
x,
y
·
= 2
√
1 + 2
x
−
2
e
y
−
3
y
;
4.
x
·
=
−
3
x
+ 4
y
+ sin
2
y
−
y
2
,
y
·
=
−
2
x
+ sin
y
+
xe
y
;
5.
x
·
= 3
x
+ 4
e
x
−
4 cos(
y
2
)
,
y
·
= 2
y
−
1 +
3
√
1
−
6
x
;
6.
x
·
= 5
y
2
−
3 cos(
x
2
+
y
) + 3
e
3
x
,
y
·
=
x
−
e
y
2
+
√
1 + 2
x
;
7.
x
·
=
x
+ 2
y
−
sin(
y
2
)
,
y
·
=
x
(
e
x
2
/
2
−
1)
−
x
−
3
y
;
8.
x
·
= 5
x
+
3
2
sin 2
y
−
y
2
x,
y
·
=
y
5
−
2
x
+ 3
e
−
x
−
y
−
3
−
y
;
9.
x
·
= 3
x
−
22 sin
y
+
x
2
−
y
5
,
y
·
=
y
+ cos
x
+ 2
x
−
e
2
y
;
10.
x
·
=
x
2
−
4
x
3
√
1
−
x
+ cos
y
−
1
,
y
·
= 2
e
x
+
y
−
2 +
y
3
;
11.
x
·
=
x
−
y
+
xe
x
−
x
3
y,
y
·
= 2
x
−
x
cos
x
+ 7
y
−
y
5
;
12.
x
·
=
x
2
−
e
x
+ 3
y
+ cos
y,
y
·
= sin(
x
−
2
y
) + ln(1 +
xy
);
13.
x
·
= 3
e
x
−
y
2
−
3 cos(
x
−
y
)
,
y
·
= sin(
x
2
−
y
)
−
4
x
+ 15
y
3
;
14.
x
·
= 2
x
+
y
+
x
sin
y
−
y
cos
y,
y
·
=
x
−
3
y
+
xe
x
;
15.
x
·
=
√
4 + 2
y
−
1
−
cos
2
x,
y
·
=
e
x
+
y
−
1
−
2
x
;
16.
x
·
=
e
x
2
+
y
+ sin
y
−
cos(
x
+
y
)
,
y
·
= 2 sin
x
−
ln(1 +
y
2
)
−
y
3
;
24
17.
x
·
= 3
x
+ 4 cos
y
−
4
e
x
,
y
·
= 2 sin
x
−
ln(1 +
y
2
)
−
y
3
;
18.
x
·
= 7
x
+ 3 sin
y
−
y
2
,
y
·
=
e
x
−
3
y
−
1 + 2
,
5
x
2
;
19.
x
·
=
x
+
e
y
−
cos
y,
y
·
= 3
x
−
y
−
sin(
x
−
2
y
2
);
20.
x
·
=
−
x
+ 3
y
−
sin
y
+
x
2
,
y
·
=
−
x
−
4
y
+ 1
−
cos(
y
2
);
21.
x
·
= 2 sin(
x
−
5
y
) +
e
3
y
−
1
,
y
·
= cos
x
+ 3
e
x
+
y
−
4
y
−
4;
22.
x
·
= 4
e
y
−
10
x
−
4 cos
y,
y
·
= 2
e
x
−
2
−
y
+
x
5
;
23.
x
·
= 2
x
−
e
y
+
p
1 + 3
x
−
y
2
,
y
·
=
y
−
2 sin
y
+ 3
e
y
−
3;
24.
x
·
=
e
2
x
+
y
−
cos 5
y,
y
·
= ln(1 + 2
x
)
−
√
1 + 8
y
;
25.
x
·
= 4 sin
x
+ ln(1 +
y
)
,
y
·
=
x
+
y
+
x
2
y
;
26.
x
·
=
−
x
+ 1
−
cos
y,
y
·
= sin
2
x
+ 1
−
e
y
.
Çàäàíèå 14. Èññëåäîâàòü, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ
α
è
β
íóëåâîå ðåøåíèå àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî ([1, 15], [4, 9] ).
1.
x
IV
+
αx
III
+ 2
x
··
+
βx
·
+
x
= 0;
2.
x
IV
+
αx
III
+ 2
x
··
+
x
·
+ 3
x
= 0;
3.
x
III
+
αx
··
+
βx
·
+ 3
x
= 0;
4.
x
III
+ 2
x
··
+
αx
·
+ 3
x
= 0;
5.
x
IV
+ 3
x
III
+
αx
··
+ 2
x
·
+
βx
= 0;
6.
x
IV
+ 3
x
III
+
αx
··
+ 2
x
·
+
x
= 0;
7.
x
IV
+ 2
x
III
+
αx
··
+
βx
·
+
x
= 0;
8.
x
IV
+
βx
III
+
αx
··
+
x
·
+ 2
x
= 0;
9.
x
IV
+ 2
x
III
+
αx
··
+
x
·
+
x
= 0;
10.
x
IV
+ 3
x
III
+ 4
x
··
+
αx
·
+
βx
= 0;
11.
x
IV
+
αx
III
+
x
··
+ 2
x
·
+
x
= 0;
12.
x
III
+ 3
x
··
+ 3
x
·
+
αx
= 0;
13.
αx
IV
+
x
III
+
x
··
+
x
·
+
βx
= 0;
14.
x
III
+
αx
··
+
x
·
+ 2
x
= 0;
15.
x
IV
+
αx
III
+ 2
x
··
+
x
·
+
x
= 0;
16.
x
III
+ 3
x
··
+
αx
·
+ 2
x
= 0;
17.
x
··
+ (
α
−
1)
x
·
+ (4
−
α
2
)
x
= 0;
18.
2
x
IV
+
αx
III
+
x
··
+
x
·
+
βx
= 0;
19.
x
III
+ 2
x
··
+
αx
·
+
βx
= 0;
20.
x
IV
+ 2
x
III
+ 4
x
··
+
αx
·
+
βx
= 0;
21.
x
IV
+
αx
III
+ 4
x
··
+
βx
·
+
x
= 0;
22.
x
IV
+ 2
x
III
+
αx
··
+
βx
·
+
x
= 0;
23.
x
·
=
y
+ sin
x,
y
·
=
αx
+
βy
;
24.
x
·
=
−
x
+
αy
+
βz,
y
·
=
−
αx
−
y
+
αz,
z
·
=
−
βx
−
αy
−
z
;
25.
x
·
= 2
x
+
αz,
y
·
=
y
+
βz,
z
·
=
βx
+
αy
+ 3
z
;
26.
x
·
=
αx
+
αy,
y
·
=
y
+ 2
z,
z
·
=
βx
+
βy
+
αz
;
Çàäàíèå 15. ([1, ãë.3, 7], [3, 14], [6, 22, 23], [7, 22, 23]). Íàé-
òè âñå îñîáûå òî÷êè (ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ)ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé. Èññëåäîâàòü èõ íà óñòîé÷èâîñòü è îïðåäåëèòü òèïû îñîáûõ òî-
÷åê. Íà÷åðòèòü íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè òðàåêòîðèè ñèñòåìû
1.
x
·
=
xy
+ 12
,
y
·
=
x
2
+
y
2
−
25;
2.
x
·
= 1
−
y
+
x
(
y
−
1)
,
y
·
=
xy
−
2;
25