ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 10.04.2021
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îò ïåðâîíà÷àëüíîãî êîëè÷åñòâà?
Îòâåò:
m
0
≈
56
,
6
ã;
t
≈
7
,
84
÷àñ.
á)  öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå îáúåìîì
V
0
àòìîñôåðíûé âîçäóõ àäèàáàòè-
÷åñêè (áåç îáìåíà òåïëîòîé ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé) ñæèìàåòñÿ äî îáúåìà
V
1
. Âû÷èñëèòü ðàáîòó ñæàòèÿ, åñëè äàâëåíèå âîçäóõà
P
=
P
0
(
V
0
/V
1
)
k
(çàêîí Ïóàññîíà), ãäå
k
ïîñòîÿííàÿ äëÿ äàííîãî ãàçà âåëè÷èíà.
Îòâåò:
A
= (
P
0
V
0
/
(
k
−
1))(
V
k
−
1
0
/V
k
−
1
1
−
1)
.
Çàäàíèå 3. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïåð-
âîãî ïîðÿäêà ([3, 2, 4 6], [5, 4 7]).
1
. y
0
x
3
sin
y
+ 2
y
=
xy
0
;
2
. y
0
= (
y
+ 2)
/
(
x
+ 1) +
tg
((
y
−
2
x
)
/
(
x
+ 1));
3
. y
0
+
y
cos
x
=
e
−
sin
x
;
4
. y
0
= cos(
x
−
y
−
1);
5
. y
0
x
3
=
y
2
(
y
−
xy
0
);
6
. y
0
+ cos((
x
+
y
)
/
2) = cos((
x
−
y
)
/
2);
7
. y
0
= (
y
+
p
x
2
−
y
2
)
/x
;
8
. xdx/
(
xdy
+
ydx
) =
√
1 +
x
2
;
9
. xyy
0
=
p
x
4
−
y
4
+
y
2
;
10
.
(2
x
+ 3
y
−
1)
dx
= (5
−
4
x
−
6
y
)
dy
;
11
.
(1 +
x
2
)
y
0
−
2
xy
= 4
p
y
(1 +
x
2
)
arctg
x
;
12
.
(2
xe
y
+
y
4
)
y
0
=
ye
y
;
13
.
(2
x
2
y
ln
y
−
x
)
y
0
=
y
;
14
. y
0
−
y
2
e
x
=
−
2
y
;
15
. yy
0
+
x
= (
x
2
+
y
2
)
/
2
x
;
16
.
(
y
+ 2)
dx
= (2
x
+
y
−
4)
dy
;
17
. dx/
(
p
x
2
−
y
) =
dy/
(2
x
(1 +
p
x
2
−
y
));
18
. xy
2
y
0
−
y
3
=
x
4
/
3;
19
.
(
xchy
+
shx
)
y
0
+
shy
+
ychx
= 0;
20
.
(
y
0
+ 1) ln((
y
+
x
)
/
(
x
+ 3)) = (
y
+
x
)
/
(
x
+ 3);
21
y
0
= 3
x
+
p
y
−
x
2
;
22
.
(4
xy
−
3)
y
0
+
y
2
= 1;
23
. y
0
−
8
x
√
y
= 4
yx/
(
x
2
−
1);
24
. y
0
+
tg
y
=
x
sec
y
;
25
.
(1
/x
−
y
2
/
(
x
−
y
)
2
)
dx
= (1
/y
−
x
2
/
(
x
−
y
)
2
)
dy
;
26
. y
0
= 1
/
2
√
x
+
3
√
y.
16
Çàäàíèå 4. Íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåå çà-
äàííîìó óñëîâèþ ([3, 4 6], [5, 4 7]).
1
.
(
x
−
1)
xy
0
+
y
=
x
2
(2
x
−
1)
,
y
(2) = 4;
2
. y
0
= 1
/
(
x
cos
y
+ sin 2
y
)
,
y
(1) = 0;
3
.
4
y
6
+
x
3
= 6
xy
5
y
0
,
y
(1) = 1;
4
.
(
x
+ 1)
y
0
=
y
−
1
,
y
îãðàíè÷åíî ïðè
x
→
+
∞
;
5
. y
0
= 2
x
(
π
+
y
)
,
y
îãðàíè÷åíî ïðè
x
→
+
∞
;
6
. dy
= (2
y
+
x
2
+
x
)
dx,
y
(0) = 0;
7
. y
0
+
y
=
e
−
x
−
xe
2
x
,
y
(0) =
−
2;
8
. y
0
+ 2
y
=
e
−
2
x
+ sin
x,
y
(0) = 1;
9
.
2
xy
0
(
x
−
y
2
) +
y
3
= 0
,
y
(1) = 1;
10
. y
0
+ 2
xy
= 2
xy
2
,
y
(0) = 1;
11
. y
0
sin
x
−
y
cos
x
=
−
sin
2
x/x
2
,
y
→
0
ïðè
x
→
+
∞
;
12
. y
0
sin 2
x
= 2(
y
+ cos
x
)
,
y
îãðàíè÷åíî ïðè
x
→
π/
2;
13
. y
0
+
y
tg
x
= 1
/
cos
x,
y
(0) = 1;
14
. y
0
−
2
xy
= 3
x
2
−
2
x
4
,
y
(0) = 2;
15
. y
0
+
y
=
e
x
+
xe
2
x
,
y
(0) =
−
1;
16
. y
0
+
x
=
x
2
−
3
y,
y
(0) = 1;
17
. y
0
−
x
=
y
+ sin
x,
y
(0) = 2;
18
. y
0
−
x
sin
x
=
y,
y
(0) = 0;
19
. dy
= (
y
−
2
e
−
x
)
dx,
y
→
0
ïðè
x
→
+
∞
;
20
.
3
y
2
y
0
+
y
3
= 1
,
y
(0) = 2;
21
.
2
xy
0
−
3
y
= 3
x
2
y
1
/
3
,
y
(1) = 0;
22
.
(
x
+ 2
y
)
y
0
= 1
,
y
(0) =
−
1;
23
. xy
0
−
y
=
x
tg
y/x,
y
(1) =
π/
2;
24
. y
0
−
y
= 2
x
−
3
,
y
(0) = 3;
25
.
(2
e
y
−
x
)
y
0
= 1
,
y
(2) = 0;
26
.
[2
x
−
ln(
y
+ 1)]
dx
−
x
+
y
y
+1
dy
= 0
,
y
(1) = 0
.
Çàäàíèå 5. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ
ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. ×àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâ-
íåíèÿ èñêàòü ìåòîäîì âàðèàöèè ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ ([3, 11], [5,
15]).
1
. y
00
−
y
0
= 2
e
2
x
cos
e
x
;
2
. y
00
−
y
0
=
e
2
x
√
1
−
e
2
x
;
3
. y
00
−
y
= 2
e
x
/
(1
−
e
x
);
4
. y
00
−
y
0
=
e
x
/
(1 +
e
x
);
5
. y
00
−
2
y
0
+
y
=
e
x
/
(
x
2
+ 3); 6
. y
(3)
+
y
0
= sin
x/
cos
2
x
;
7
. y
00
−
y
= 1
/
(
e
x
+ 2);
8
. y
00
+ 2
y
0
+ 2
y
=
e
−
x
cosec
x
;
9
. y
00
+ 2
y
0
+
y
=
e
−
x
/x
;
10
. y
00
+ 4
y
= 1
/
sin 2
x
;
11
. y
00
+
y
= 1
/
(1 + cos
2
x
);
12
. y
00
+
y
= sin
x
+ 1
/
sin
x
;
17
13
. y
00
−
2
y
0
+
y
=
e
x
/x
;
14
. y
00
−
2
y
0
+
y
=
e
x
/
(2
x
2
);
15
. y
00
+
y
= sec
x
;
16
. y
00
−
6
y
0
+ 9
y
= 2
e
3
x
/x
;
17
. y
00
−
10
y
0
+ 25
y
=
e
5
x
/x
2
;
18
. y
00
+
y
= 2
−
cosec
x
;
19
. y
00
+ 2
y
0
+
y
=
xe
x
+ 1
/
(
xe
x
); 20
. y
00
−
2
y
0
+
y
= (
x
2
+ 2
x
+ 2)
/x
3
;
21
. y
00
+ 2
y
0
+
y
= 4
e
−
x
(1 +
x
)
1
/
3
; 22
. y
00
+
y
= cos
x
+ 1
/
sin
x
;
23
. y
00
+ 4
y
= 2
tg
2
x
;
24
. y
00
+
y
= 2
cosec
2
x
;
25
. y
00
−
y
0
−
2
y
= 3
e
x
/
(
e
x
+ 1);
26
. y
00
+
y
= 2
/
sin
3
x.
Çàäàíèå 6. Íàéòè îáùåå ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ñ
ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè. ×àñòíîå ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíå-
íèÿ âûïèñàòü ñ íåîïðåäåë¼ííûìè êîýôôèöèåíòàìè. ×èñëîâûå çíà÷åíèÿ
êîýôôèöèåíòîâ íàéòè äëÿ îäíîãî èç ñëàãàåìûõ ïðàâîé ÷àñòè ([3, 11], [5,
15]).
1
. y
(4)
−
y
=
xe
x
+ cos
x
+ 3
x
3
−
1;
2
. y
00
+ 2
y
0
+ 2
y
=
e
−
x
(cos
x
+
x
);
3
. y
00
+ 2
y
0
+ 5
y
=
e
−
x
cos 2
x
−
3
x
2
−
xe
−
x
+ 4
x
;
4
. y
00
−
2
y
0
+ 2
y
=
xe
x
−
3
e
x
cos
x
−
1 +
x
2
;
5
. y
(4)
−
4
y
(3)
=
e
x
+ 3 sin 2
x
+ 2;
6
. y
(4)
+ 2
y
(3)
+
y
00
= 2
x
2
−
x
+ 4
e
−
x
+ sin
x
;
7
. y
(3)
+ 2
y
00
+ 5
y
0
= 2 cos
x
+
x
−
x
2
e
−
x
;
8
. y
00
−
4
y
0
=
xe
2
x
−
sin
x
+ 3
x
2
;
9
. y
(3)
−
2
y
0
+ 4
y
=
e
−
x
cos
x
−
x
2
+ sin 2
x
;
10
. y
(3)
−
6
y
00
+ 11
y
0
−
6
y
= 12
x
2
e
3
x
−
e
2
x
+ sin
x
;
11
. y
(3)
−
4
y
0
=
xe
2
x
+ sin
x
−
x
2
;
12
. y
(4)
−
4
y
(3)
=
e
2
x
+ 3 sin 2
x
−
2 +
x
2
;
13
. y
(4)
+ 2
a
2
y
00
+
a
4
y
=
x
2
−
2
e
ax
, a >
0;
14
. y
(4)
+ 8
y
00
+ 16
y
= cos 2
x
+ 6
x
−
e
2
x
;
15
. y
(4)
−
2
y
(3)
+
y
00
=
e
3
x
+ 3
x
;
16
. y
(3)
−
2
y
0
+ 4
y
= cos
x
+
x
2
+
e
x
sin
x
;
17
. y
(4)
+
y
00
=
x
2
−
x
+ 2 sin 2
x
+
xe
x
;
18
. y
(3)
−
3
y
00
+ 3
y
0
−
y
= 7
x
−
2 + cos 2
x
+
e
x
;
19
. y
00
+
y
0
=
x
2
e
−
x
+ 1;
20
. y
(4)
−
a
4
y
= 5
a
4
sin
ax
+ (2
x
+ 3)
a
4
,
a >
0;
21
. y
(3)
+
y
00
=
x
2
−
2
−
3
xe
x
+ sin
x
;
22
. y
00
−
6
y
0
+ 8
y
= 5
xe
2
x
+ 2
e
4
x
sin
x
;
23
. y
(4)
+
y
00
= 7
x
−
3 cos 2
x
24
. y
(4)
−
y
00
= (5 +
e
x
) + sin
x
;
25
. y
00
+ 4
y
0
+ 4
y
=
xe
2
x
;
26
. y
00
−
2
y
0
+ 4
y
=
e
x
+ 2
x
+ cos
x.
18
Çàäàíèå 7. Ðåøèòü çàäà÷ó Êîøè ([3, 11], [5, 16]).
1
. y
(4)
−
y
=
−
8
e
−
x
+
x, y
(0) = 0
, y
0
(0) = 2
, y
00
(0) =
−
4
, y
(3)
(0) = 6;
2
. y
00
+
y
= 4
e
x
,
y
(0) = 4
,
y
0
(0) =
−
3;
3
. y
(3)
+ 2
y
00
+
y
0
+ 2
e
−
2
x
= 0
,
y
(0) = 2
,
y
0
(0) =
y
00
(0) = 1;
4
. y
(3)
+
y
00
=
x
2
+ 2 + 3
e
x
,
y
(0) =
y
0
(0) = 0
,
y
00
(0) = 1;
5
. y
00
+
n
2
y
= 5 sin 2
x,
y
(0) = 1
,
y
0
(0) = 1;
6
. y
(3)
−
y
0
= 3(2
−
x
2
)
,
y
(0) =
y
0
(0) =
y
00
(0) = 1;
7
. y
00
+ 3
y
0
= 3
e
−
3
x
,
y
(0) =
y
0
(0) = 0;
8
. y
00
+ 4
y
= cos 2
x,
y
(0) =
y
0
(0) = 0;
9
. y
00
+ 6
y
0
+ 9
y
= 10 sin
x,
y
(0) =
y
0
(0) = 0;
10
. y
(3)
−
y
00
−
y
0
+
y
= 3
x
−
4
e
x
, y
(0) = 1
, y
0
(0) =
−
1
, y
00
(0) = 0;
11
. y
00
−
2
y
0
=
e
x
(
x
−
3)
,
y
(0) =
y
0
(0) = 2;
12
. y
00
−
2
y
0
+ 2
y
= 4 cos
x,
y
(
π
) =
−
4
,
y
0
(
π
) = 0;
13
. y
(4)
−
y
= 8
e
2
x
,
y
(0) =
−
1
,
y
0
(0) = 0
,
y
00
(0) = 1
,
y
(3)
(0) = 0;
14
. y
00
−
2
y
0
= 2
e
x
,
y
(1) =
−
1
,
y
0
(1) = 0;
15
. y
00
−
2
y
0
+
y
=
e
x
/
(1 +
x
2
)
,
y
(0) =
y
0
(0) = 1;
16
. y
00
−
2
y
0
+ 2
y
=
−
4
x
sin
x,
y
(0) = 1
,
y
0
(0) = 2;
17
. y
00
+ 4
y
0
+ 4
y
= 3
e
−
2
x
,
y
(0) = 0
,
y
0
(0) = 0;
18
. y
00
+
y
= 2 + cos 2
x,
y
(
π/
2) =
y
0
(
π/
2) = 0;
19
. y
(3)
−
3
y
0
−
2
y
= 9
e
2
x
,
y
(0) = 0
,
y
0
(0) =
−
3
,
y
00
(0) = 3;
20
. y
00
−
3
y
0
+ 2
y
= (
x
2
+
x
)
e
3
x
,
y
(0) = 0
,
y
0
(0) = 0;
21
. y
00
+ 16
y
0
+ 15
y
= 4
e
−
3
x/
2
,
y
(0) = 3
,
y
0
(0) =
−
5
,
5;
22
. y
00
−
3
y
0
+ 2
y
= 2
x
−
3
,
y
(0) = 0
,
y
0
(0) = 0;
23
. y
(3)
−
y
0
=
−
2
x,
y
(0) = 0
,
y
0
(0) = 1
,
y
00
(0) = 2;
24
. y
00
−
y
=
x,
y
(0) = 1
,
y
0
(0) =
−
1;
25
. y
00
−
5
y
0
+ 4
y
= 4
x
2
e
2
x
,
y
(0) = 0
,
y
0
(0) = 1;
26
. y
00
+ 2
y
0
−
3
y
=
e
x
,
y
(0) =
y
0
(0) = 0
.
Çàäàíèå 8. Ïîñòðîèòü ôóíêöèþ Ãðèíà ([3, 13]) è âûïèñàòü ðåøåíèå
êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ
ay
00
+
by
0
+
cy
=
f
(
x
) :
âàð.
a
b
c
Êðàåâûå óñëîâèÿ
1.
1
1
0
y
0
(0) =
y
(1) = 0
2.
1
0
-4
y
(0) =
y
0
(1) = 0
3.
x
-1
0
y
(1) =
y
0
(2) = 0
19
âàð.
a
b
c
Êðàåâûå óñëîâèÿ
4.
1
0
4
y
(0) =
y
(1) = 0
5.
1
-1
0
y
(0) =
y
0
(1) = 0
6.
1
0
-1
y
(0) =
y
0
(1) = 0
7.
1
0
3
y
(0) =
y
0
(1) = 0
8.
1
0
4
y
(0) =
y
0
(1) = 0
9.
1
9
0
y
(0) =
y
0
(1) = 0
10. 1
-6
5
y
(0) =
y
(1) = 0
11. 1
0
9
y
(0) =
y
0
(1) = 0
12.
x
-1
0
y
0
(1) =
y
(2) = 0
13. 1
0
a
2
y
(0) =
y
(
π/
4) = 0
14. 1
0
9
y
(0) =
y
0
(
π
) = 0
15.
x
2
2
x
0
y
(1) =
y
0
(3) = 1
16.
x
2
0
-2
y
(1) = 0
, y
(2)
−
2
y
0
(2) = 0
17. 1
1
0
y
0
(0) = 0
, y
(
x
)
→
0
ïðè
x
→ ∞
18.
x
2
2
x
-2
y
(1) =
y
(2) = 0
19. 1
0
-1
y
0
(0) = 0
, y
0
(2) +
y
(2) = 0
20.
x
1
0
y
(1) = 0
, y
(
x
)
îãðàíè÷åíî ïðè
x
→
+
∞
21. 1
0
9
y
(0) =
y
0
(1) = 0
22. 1
1
-2
y
(0) =
y
(1) = 0
23. 1
0
-4
y
(0) =
y
0
(1) = 0
24. 1
4
-12
y
0
(0) =
y
(1) = 0
25. 1
2
2
y
(0) =
y
0
(1) = 0
26.
x
2
2
x
-2
y
(1) = 0
, y
(
x
)
îãðàíè÷åíî ïðè
x
→
0
Çàäàíèå 9. ([1, ãë. 3, 7], [3, 14], [6, 22, 23], [7, 22, 23]). Ðå-
øèòü ñèñòåìó ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâóìÿ ñïîñîáàìè
(ìåòîäîì Ëàãðàíæà è ìåòîäîì íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ).
1.
x
·
= 2
x
+ 4
y
−
cos
t,
y
·
=
−
x
−
2
y
+ 3 sin
t.
2.
x
·
=
x
+
y
+ 1 +
e
t
,
y
·
= 3
x
−
y.
3.
x
·
= 4
x
+ 3
y
−
11
t
−
2
,
y
·
= 3
x
+ 4
y
−
14
t
−
6
.
4.
x
·
= 2
y
−
5
x
+ 40
e
t
,
y
·
=
x
−
6
y
+ 9
e
−
t
.
5.
x
·
= 2
x
+ 3
y
−
2
−
8
t,
y
·
= 3
x
+ 2
y
+ 8
e
t
−
7
t.
6.
x
·
= 2
x
+
y
+ sin
t,
y
·
= 4
x
+ 2
y
+ cos
t.
7.
x
·
= 2
y
−
5
x
+
e
t
,
y
·
=
x
−
6
y
+
e
2
t
.
8.
x
·
=
x
−
y
+ 3
t
2
,
y
·
= 5
x
−
y
+ 8
t
+ 2
.
20