Файл: Предмет.pdf

После  выполнения  преобразований  может  потребоваться  повторный 

визуальный  анализ.  В  случае  простейших  задач  исследования  этот  этап 

может отсутствовать. 

5.

Статистический анализ 

После  этого  можно  приступать  собственно  к  выбору  метода  анализа, 

адекватного поставленной задаче, и его последовательному исполнению. 

6.

Представление результатов 

Для  облегчения  последующих  выводов  и  заключений  полученные 

результаты  следует  представить  в  виде  обобщенных  таблиц,  а  также 

адекватных, убедительных и эффективных графиков. 

7. 

Выводы

Основные понятия теории вероятностей 

Теория  вероятностей

  —  это  раздел  математики,  изучающий 

закономерности  случайных  явлений,  наблюдающиеся  при  массовом 

повторении испытаний.  

Теория 

вероятностей

– 

математическая 

наука, 

изучающая 

закономерности в случайных явлениях. 

Испытанием

  называется  осуществление  на  практике  какого-нибудь 

комплекса условий. 

Событием

  называется  всякое  явление,  о  котором  имеет  смысл 

говорить, что оно происходит или оно не происходит при наличии комплекса 

условий. 

Если событие при реализации определенного комплекса условий может 

произойти,  а  может  и  не  произойти,  то  оно  называется 

случайным

. 

Случайные  события  представляют  собой  различные  возможные  исходы 

испытания. 

Вероятность  события  (Р)

  определяется  как  частота,  с  которой  это 

событие  происходит  в  большой  серии  последовательных  испытаний; 

другими словами, это отношение числа «успехов» (ожидаемых результатов) 

к общему числу испытаний. Таким образом, вероятность – это всегда число, 

лежащее  между  единицей  (событие  происходит  при  каждом  испытании)  и 

нулем (событие не происходит никогда). 

Считают,  что  события,  имеющие  очень  малую  вероятность,  в 

единичных испытаниях не произойдут, т.е. такие события рассматривают как 

практически невозможные

. Если же вероятность события достаточно велика, 

его принято считать 

практически достоверным

. 

Если  в  условиях  испытания  появление  одного  события  исключает 

появление других событий, то такие события называются 

несовместимыми

. 

Вероятность,  которую  можно  указать  до  опыта,  называют 

априорной

(

апостериорной

). 

Основные теоремы теории вероятностей 

Теорема  сложения  вероятностей

: 

Вероятность  суммы  двух 

несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий. 

Р(А+В)=Р(А)+Р(В) 

Суммой

  нескольких  событий  называется  событие,  состоящее  в 

появлении хотя бы одного их этих событий. 

Следствие  1

.  Если  события 

А

1

, 

А

2

,  …

А

n

  образуют  полную  группу 

несовместимых событий, то сумма их вероятностей равна единице: 

1

(

) 1

n

i

i

P A







Следствие  2

.  Сумма  вероятностей  противоположных  событий  равна 

единице: 

( )

( ) 1

P A

P A





Теорема  умножения  вероятностей:

Понятие 

независимости  событий

– важное понятие. Определяется оно следующим образом. Пусть имеется два 

события А и В и их вероятности равны Р(А) и Р(В) соответственно. Событие 

А

  называется 

независимым

  от  события 

В

,  если  вероятность  события 

А

  не 

зависит от того, произошло событие 

В

  или  нет. Тогда  вероятность  того, что 

произойдут  оба  события 

Р(А 

и

  В)

,  равна 

Р(А)·Р(В)

.  Другими  словами,  два 

события 

независимы

, если частота, с которой происходят оба события, равна 

произведению частот обоих событий, взятых отдельно. 

Р(АВ) =

Р(А)·Р(В)

Следствие 1

. Если событие 

А

 не зависит от события 

В

, то и событие 

В

не зависит от события 

А

. 

Следствие  2.

  Вероятность  произведения  двух  независимых  событий 

равна произведению вероятностей этих событий. 

Условные вероятности. 

Событие 

А

  называется 

зависимым

  от  события 

В

,  если  вероятность  события 

А

  меняется  в  зависимости  от  того,  произошло 

событие 

В

 или нет. 

Вероятность  события 

А

,  вычисленная  при  условии,  что  имело  место 

другое  событие 

В

,  называется 

условной  вероятностью  события  А 

и 

обозначается 

Р(А|В)

 или 

Р

В

(А)

. 

Условная вероятность события 

А

  при  условии  наступления  события 

В

равна: 

(

)

(

)

( )

P AB

P A B

P B



Эта формула называется формулой 

условной вероятности

. 

Формула  полной  вероятности: 

Пусть  дана  группа  несовместных 

событий 

B

1

,  B

2

…

B

n

  и  некоторое  событие 

А, 

подразделяющееся  на  частные 

случаи 

АB

1

,  АВ

2

...  АВ

n

.

И  пусть  даны  вероятности 

Р(B

1

),  Р(В

2

,...Р(В

n

) 

и

условные  вероятности 

Р(А|В

1

),  Р(А|В

2

)...Р(А|В

n

). 

Требуется  определить 

вероятность 

Р(A)

. 

1

( )

( )

( |

)

n

i

i

i

P A

P B

P A B









Эта  формула  называется 

формулой  полной 

вероятности

. 

Формула Байеса.

Пусть дана группа несовместных событий 

B

1

, B

2

…

B

n

 и 

некоторое событие 

А, 

подразделяющееся на частные случаи 

АB

1

, АВ

2

... АВ

n

.

И 

пусть  даны  вероятности 

Р(B

1

),  Р(В

2

,...Р(В

n

) 

и

условные  вероятности 

Р(А|В

1

), 

Р(А|В

2

)...Р(А|В

n

). 

Требуется  определить  условные  вероятности 

Р(В

1

|А)

, 

Р(В

2

|А),...Р(В

n

|А).

1

(

) ( |

)

(

| )

(

) ( |

)

i

i

i

n

i

i

i

P B P A B

P B A

P B P A B







  Эта  формула  называется 

формулой 

Байеса

. 

Вычисление  общих  вероятностей  всегда  начинают  с  некоторых 

допущений,  а  затем  рассчитывают  вероятность  некоторого  определенного 

события.  При  расчете  обратных  вероятностей  задача  состоит  в  том,  чтобы, 

исходя  из  некоторого  имевшего  места  события  или  группы  событий, 

определить  вероятность  того,  что  некоторое  общее  утверждение  более  или 

менее  истинно.  В  такой  форме  задача  неразрешима  и,  более  того, 

бессмысленна,  если  под  «вероятностью»  мы  имеем  в  виду  «частоту 

события». Общее утверждение не может быть истинным только в некоторой 

доле случаев. 

Основные формулы комбинаторики 

Комбинаторика  изучает  количество  комбинаций,  подчиненных 

определенным  условиям,  которые  можно  составить  из  элементов, 

безразлично  какой  природы,  заданного  количества  множества.  При 

непосредственном  вычислении  вероятностей  часто  используют  формулы 

комбинаторики. 

Перестановками

 называют комбинации, состоящие из одних и тех же 

n 

различных элементов и отличающихся только порядком их расположения. 

Число всех возможных перестановок 

P

n

 = n!

Размещениями

  называют  комбинации,  составленные  из 

n

  различных 

элементов  по 

m

  элементов,  которые  отличаются  либо  составом  элементов, 

либо их порядком. Число всех возможных размещений 

(

1)(

2)...(

1)

m

n

A

n n

n

n m







 

Правило  суммы

:  Если  некоторый  объект  А  может  быть  выбран  из 

совокупности объектов 

m

 способами, а другой объект В может быть выбран 

n

способами, то выбрать либо А, либо В можно 

m+n

 способами. 

Правило произведения:

 Если объект А можно выбрать из совокупности 

объектов 

m

  способами  и  после  каждого  такого  выбора  объект  В  можно 

выбрать 

n

  способами,  то  пара  объектов  (А,  В)  в  указанном  порядке  может 

быть выбрана 

mn

 способами. 

Признак. Классификация признаков 

Признак

 – свойство, проявлением которого один предмет отличается от 

другого. 

Колебания величины одного и того же признака, наблюдаемые в массе 

однородных  членов  статистической  совокупности,  называют 

вариациями

,  а 

отдельные  числовые  значения  варьирующего  признака  принято  называть 

вариантами

. 

Признаки: 

качественные

,  или 

атрибутивные

,  и 

количественные

(условно). 

Обычно  в  статистике  различают  три  типа  значений  переменных: 

количественные, номинальные 

и

 ранговые

.