ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 11.04.2021
Просмотров: 426
Скачиваний: 1
Законы распределения
В теории вероятностей различают два основных класса случайных
величин:
a)
дискретные
, множество значений которых представляет собой
конечную, или счетную, последовательность;
б)
непрерывные
, значения которых принадлежат к некоторому
диапазону и могут отличаться друг от друга на сколь угодно малую
величину.
Непрерывные распределения
Следующие распределения относятся к непрерывным случайным
величинам.
Нормальное, или Гауссово, распределение
является наиболее
распространенным, поскольку оно пригодно для описания широкого класса
явлений, каждое из которых определяется взаимодействием большого числа
разнородных факторов. Нормальное распределение определяется двумя
параметрами: средним и дисперсией.
Логнормальное распределение
характеризуется двумя параметрами:
средним значением
a
и масштабом
k
, определено для положительных
Х
и
связано с нормальным распределением преобразованием
ln(X)
.
Экспоненциальное распределение
(называемое также обратным
экспоненциальным или показательным) имеет случайная величина,
представляющая интервалы между событиями, когда сами события имеют
пуассоново распределение с интенсивностью
L>0
.
Гамма-распределения
носят более академичный характер, но часто
используются в качестве аргументов различных математических и
статистических вычислений, определены для положительных
Х
.
Нормальное распределение
В любом более или менее симметричном вариационном ряду заметна
одна характерная особенность – накапливание вариант в центральных
классах и постепенное убывание их численности по мере удаления от центра
ряда. Эта особенность варьирования количественных признаков встречается
довольно часто. Так, например, люди среднего роста среди взрослого
населения встречаются довольно часто, а высокорослые или низкорослые
индивиды – значительно реже. Однако в массе одновозрастных индивидов
людей выше и ниже среднего роста оказывается примерно одинаковое
количество.
Впервые на эту закономерность варьирования обратил внимание Кетле
(1835), исследовавших распределение нескольких тысяч американских
солдат по росту.
Описанная закономерность относится не только к человеку. Особенно
примечательно, что не только распределение живых существ и продуктов их
жизнедеятельности, но и случайные ошибки измерений подчиняются этой
закономерности.
Таким образом, прослеживается широко распространенная в природе
закономерность: в массе относительно однородных единиц, составляющих
статистическую совокупность, большинство членов оказываются среднего
или близкого к нему размера, и чем дальше они отстоят от среднего уровня
варьирующего признака, тем реже встречаются в данной совокупности. И это
независимо от формы распределения, что указывает на определенную связь
между числовыми значениями варьирующих признаков и частотой их
встречаемости в данной совокупности. Наглядным выражением этой связи
служит вариационный ряд и его линейный график – вариационная кривая.
Эту закономерность можно воссоздать априори в виде математической
модели, не опасаясь впасть в противоречие с фактами.
Нормальное, или Гауссово, распределение является наиболее
распространенным, поскольку оно пригодно для описания широкого класса
явлений, каждое из которых определяется взаимодействием большого числа
разнородных факторов. Эта универсальность объясняется так называемой
центральной
предельной теоремой
:
если изменение некоторой переменной определено действием
множества факторов, то распределение ее значений приближается к
нормальному закону с увеличением числа воздействующих факторов.
Нормальное распределение определяется двумя параметрами: средним
и дисперсией. Математическое уравнение, описывающее кривую
нормального распределения, имеет вид:
2
2
(
)
2
1
( )
2
i
x
P X
e
dx
(42),
где
- среднее значение;
- среднее квадратичное отклонение,
служащее мерой рассеяния полученных данных относительно среднего
значения;
х
i
– значение варианты;
dx
– малая величина, определяющая
ширину интервала.
В показатель степени числа
е
входит
нормированное
отклонение
(
) /
i
t
x
- величина, играющая важную роль в исследовании свойств
нормального распределения.
Как видно из этой формулы,
закон нормального распределения
(нормальный закон) выражает функциональную зависимость между
вероятностью
Р(Х)
и нормированным отклонением
t.
Он утверждает, что
вероятность отклонения любой варианты
x
i
от центра распределения
,
где
x
i
-
=0
, определяется функцией нормального отклонения
t
. Графически эта
функция выражается в виде кривой вероятности, называемой
нормальной
кривой
(рис. 27).
Рис. 27. Кривая плотности нормального распределения.
Форма и положение этой кривой определяются только двумя
параметрами:
и
. При изменении величины
форма нормальной кривой
не меняется, лишь ее график смещается вправо или влево (рис. 28).
Рис. 28. Кривая нормального распределения (изменение
).
Изменение же величины
влечет за собой изменение только ширины
кривой: при уменьшении
кривая делается более узкой за счет меньшего
рассеяния вариант вокруг средней, а при увеличении
кривая расширяется
(рис. 29). Во всех случаях, однако, она остается строго симметричной
относительно
центра
распределения,
сохраняя
правильную
колоколообразную форму.
Рис. 29. Кривая нормального распределения (изменение
).
Нормальная кривая с параметрами
=1 и
=0 называется
стандартизованной кривой
. Она описывается формулой
2
2
1
( )
2
t
f t
e
(43)
.
Любую нормальную кривую можно привести к стандартной
(вычитанием
из
x
i
и делением на
). Стандартная кривая имеет площадь,
равную единице. Ее вершина, соответствующая
y
max
,
соответствует началу
прямоугольных координат, перенесенному в центр распределения, где
x
i
-
=0
. Вправо и влево от этого центра случайная величина
Х
может принимать
любые значения, и величина каждого отклонения
(x
i
-
)
определяется
функцией его нормированного отклонения
f(t)
.