Файл: 1 Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений 3.docx

Содержание

Введение

Под численными методами подразумеваются приближенные процедуры, позволяющие получать решение в виде конкретных числовых значений. В настоящее время численные методы являются мощным математическим средством решения многих научно-технических проблем. Это связано как с невозможностью в большинстве случаев получить точное аналитическое решение, так и со стремительным развитием ЭВМ. Несмотря на существование многочисленных стандартных программ и объектно ориентированных пакетов прикладных программ, для научных и инженерно-технических работников необходимо понимание существа основных численных методов и алгоритмов, поскольку зачастую интерпретация результатов расчетов нетривиальна и требует специальных знаний особенностей применяемых методов. В этой связи важно понимать структуру погрешностей при решении конкретных задач и корректность вычислений.Целью контрольной работы является получение навыков решения нелинейных уравнений, построения математических моделей, решения систем нелинейных уравнений различными методами.

1 Численные методы решения нелинейных алгебраических уравнений

В качестве исходных данных необходимо указать отрезок, содержащий только один корень уравнения, отделить корень. Таким образом, надо найти отрезок [a,b], на котором содержится ровно один корень уравнения f(x)=0.Для определения отрезка [a,b] воспользуемся графическим методом.На рабочем листе таблицы Excel протабулируем функцию на интервале [-5;7], построим график и определим отрезки, на которых функция меняет знак, т.е. пересекает ось OX. На этом отрезке находится корень уравнения, который уточним с помощью численных методов. Функция пересекает ось ОХ на отрезках [-4;-3], [-1;0], [6;7], следовательно, на этом отрезке имеется корень.

---

1.1 Метод половинного деления

Метод деления пополам позволяет исключать в точности половину интервала на каждой итерации. При использовании метода считается, что функция непрерывна и имеет на концах интервала разный знак. После вычисления значения функции в середине интервала одна часть интервала отбрасывается так, чтобы функция имела разный знак на концах оставшейся части. Итерации метода деления пополам прекращаются, если интервал становится достаточно малым.Словесный алгоритм.

1. 
   Найдем отрезок [a,b]: f(a)f(b)<0.
   
2. 
   Положим c=(a+b)/2.
   
3. 
   Если f(a)f(c)<0, то положим b=c, в противном случае a=c.
   
4. 
   Если  , то  , в противном случае выполнить пункт 2.
   

Ответ: корень уравнения на отрезке [6; 7] равен 6,73779.

1.2 Метод хорд

Согласно методу хорд, найденный отрезок [-1,5; 0] делится точкой с, которая находится по формуле , на два отрезка, затем выбираем новый отрезок от точки пересечения хорды с осью абсцисс до неподвижной точки, на которой функция сменяет знак и содержит решение. Полученный отрезок переобозначается [a,b] и снова находится с до тех пор, пока не выполнится условие . За приближенное значение корня принимается с_i+1.Ответ: корень уравнения на отрезке [6; 7] равен 6,73805.

1.3 Метод касательных

Суть метода касательных состоит в разбиении отрезка [a; b] (при условии f(a)f(b) < 0) на два отрезка с помощью касательной и выборе нового отрезка от точки пересечения касательной с осью абсцисс до неподвижной точки, на котором функция меняет знак и содержит решение, причём подвижная точка приближается к 

---

ε-окрестности решения.Построение касательных продолжается до достижения необходимой точности решения ε.Метод касательных применим для решения уравнения вида f(x) = 0 на отрезке [a; b], если ни одна точка отрезка [a; b] не является ни стационарной, ни критической, то есть f’(x) ≠ 0 и f’’(x) ≠ 0.Условие неподвижной точки для метода касательных f(x)f’’(x) < 0.Условие начальной точки для метода касательных f(x)f’’(x) > 0.Сначала находим отрезок [a; b] такой, что функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема и меняет знак на отрезке, то есть f(a)f(b) < 0.Далее применяем алгоритм решения.Входные данные: f(x), f’(x), f’’(x), a, b, ε.

1. 
   Если f(a)f’’(a) > 0, то x = a, иначе если f(b)f’’(b) > 0, то x = b.
   
2. 
   Δx = f(x)/f’(x).
   
3. 
   x = x − Δx
   
4. 
   Если |Δx| > ε, то идти к 2.
   

Выходные данные: x.Значение x является решением с заданной точностью ε нелинейного уравнения вида f(x) = 0.Если f(x) = 0, то x — точное решение.Ответ: корень уравнения на отрезке [6; 7] равен 6,73806.

1.4 Комбинированный метод хорд и касательных

С уть комбинированного метода заключается в приближении к искомому корню одновременно с двух сторон отрезка, на котором отделен корень уравнения. Начальным приближением в методе касательных служит тот конец отрезка, на котором выполняется условие Тогда приближение по методу касательных будет происходить слева, а по методу хорд – справа.Ответ: корень уравнения на отрезке [6; 7] равен 6,738.

2 Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений

2.1 Метод Гаусса

Суть метода Гаусса состоит в приведении системы уравнений к треугольному виду с помощью элементарных преобразований строк.Входные данные:  .

---

Прямой ход: , …, , ; , …, ; , …, ;… , …, ; , …, , ; , …, ; , …, ;… , …,

---

;



...

, , ,

, , ,



, ,



Обратный ход:

,

,

,

…

,

,

Выходные данные: x.



Рисунок 1 Метод Гаусса

Ответ: 0,4; 1,5; 0,59; -0,27.

2.2 Матричный метод (метод обратной матрицы)

Суть метода обратной матрицы состоит в умножении обратной матрицы коэффициентов системы линейных уравнений на вектор свободных членов. Для решения методом обратной матрицы системы линейных уравнений вида Ax=b (где A – квадратная матрица n*n коэффициентов системы, а b – вектор свободных членов системы), сначала найдём главный определитель системы Δ. Метод обратной матрицы применим, если главный определитель системы Δ≠0.Ответ: 0,4; 1,5; 0,59; -0,27.

3 Методы численного интегрирования

3.1 Метод прямоугольников

Метод прямоугольников – метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене подынтегральной функции на многочлен нулевой степени, то есть константу, на каждом элементарном отрезке.

---