Файл: МАТАН!!!!!!!!!!!.doc

1. Понятие первообразной. Основные свойства (лемма, теорема)

Def Функция F(x) называется первообразной для функции f(x)на некотором промежутке Х, если для любого х Х выполняется условие F’(x)=f(x). Например, функция F(x)=sinx является первообразной для функции f(x)=cosx на всей прямой, т.к. при любом значении x(sinx)’=cosx

Лемма: Функция, производная которой на некотором промежутке Х равна 0 постоянна на этом промежутке. f’(x)=0(xX), то f(x)=c

Доказательство: пусть во всех т. промежутка Х f’(x)=0, тогда для любых 2-х точек функция f(x) определена и непрерывна на [x1,x2] и дифференцируема на (x1,x2) и существует точка (x1,x2) такая, что выполняется Т. Лагранжа, т.е. f(x2)-f(x1)=f’()(x2-x1), где x1<<x2. Т.к. f’()=0, то f(x2)=f(x1)=0, т.е. значения функции во всех точках промежутка одинаковы, т.е. f(x)=С, где С- некоторое число.

[Т] Если F(x)- первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, то любая другая первообразная для f(x) на том же промежутке может быть представлена в виде F(x)+C, где С- произвольная постоянная.

Доказательство: Пусть F(x)- первообразная для функции f(x) на некотором промежутке Х, т.е. F’(x)=f(x). Пусть Ф(х) некоторая другая первообразная для функции f(x) на промежутке Х, т.е. Ф’(x)=f(x). Тогда для любого хХ (Ф(x)-F(x))’=Ф’(x)-F’(x)=f(x)-f(x)=0 Т.о. мы получили, что производная функции равна 0, а это означает по лемме, что функция Ф(х)-F(x) постоянна, т.е. Ф(х)-F(x)=С, на промежутке Х, где С- некоторое число. Следовательно, Ф(х)=F(x)+C.

Следствие 1: множество функций F(x)+C, где F(x) одна из первообразных для функции f(x),а С- произвольная постоянная исчерпывает все множество первообразных функций для f(x)

2. Понятие неопределенного интеграла.

Def Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на промежутке Х, то множество функций {F(x)+C}, где С- произвольная постоянная называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается символом f(x)dx=F(x)+C. При этом f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dx- подынтегральным выражением, а переменная х- переменная интегрирования. f(x)dx- выражает множество всех первообразных для функции f(x) на промежутке Х.

Def Восстановление функции по ее производной или что тоже самое: отыскание неопределенного интеграла называется интегрированием этой функции, т.к. F’(x)=f(x) F’(x)dx=F(x)+C

Интегрирование- операция обратная дифференцированию и правильность интегрирования определяется следующим образом: мы должны продифференцировать результат и если получили подынтегральную функцию, то операция выполнена верно.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е. (f(x)dx)’=f(x) и d( f(x)dx)=f(x)dx Док-во: (f(x)dx)’=(F(x)+C)’=F’(x)=f(x) и df(x)dx=(f(x)dx)’dx=f(x)dx

2. d(f(x)dx)=f(x)dx, дифференциал от неопределенного интеграла на промежутке Х равен подынтегральному вырожению.

---

Док-во: d(f(x)dx)=d(F(x)+C)=(F(x)+C)’dx=F’(x)dx=f(x)dx

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной, т.е. dF(x)=F(x)+C. Док-во: т.к. dF(x)=F’(x)dx, то по определению F'(x)dx=F(x)+C

4. Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, т.е. если k=const0, то kf(x)dx=kf(x)dx. Док-во: пусть F(x) первообразная для f(x) на промежутке Х, т.е. xX F’(x)=f(x)kF(x) первообразная для kf(x), т.е. (kF(x))’=kF’(x)=kf(x). Из определения следует, что kf(x)dx=k[F(x)+C]=kF(x)+C1=kf(x)dx, где С1=кС, ч.т.д.

5. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций отдельно, т.е. (f(x)g(x))dx=f(x)dxg(x)dx. Док-во: пусть F(x) и G(x) являются первообразными для функций f(x) и g(x) на промежутке Х, т.е. хХ F’(x)=f(x), G'(x)=g(x). Тогда функции F(x)G(x) являются первообразными для функция f(x)g(x). Следовательно, f(x)dxg(x)dx=(F(x)+C1)(G(x)+C2)=(F(x)G(x))+(C1C2)=[F(x)G(x)]+C=(f(x)g(x))dx

Это свойство справедливо для любого конечного числа слагаемых.

3. Методы замены переменной

1. Непосредственное интегрирование.

С помощью табл осн интегралов.

2. Метод подстановки или метод замены переменных.

Достаточно часто введение новой переменой позволяет свести интеграл к табличному

[Т] Пусть функция х=(t) определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х- множество значений этой функции, на котором определена функция y=f(x), т.е. на T определена сложная функция y=f[(t)]. Тогда если на множестве Х функция f(x) имеет первообразную F(x), то справедлива формула f(x)dx|_x=(t)= f[(t)]’(t)dt. Док-во: Пусть функция F(x) является первообразной для функции f(x) на множестве Х. Рассмотрим на множестве T сложную функцию F[(t)]. Продифференцируем ее по правилам дифференцирования сложной функции: F’[(t)]*’(t)=f’[(t)]*’(t) мы получили что эта функция имеет на множестве Т первообразную F[(t)]. f[(t)]*’(t)dt=F[(t)]+C=F(x)+C|_x=(t)= f(x)dx|_x=(t). Получили искомую формулу замены переменных в неопределенном интеграле.

Замечание: При замене переменных в неопределенном интеграле иногда более удобно задавать не х как функцию t, а задавать t как функцию от х.

4. Метод интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям основан на использовании формулы дифференцирования произведения двух функций.

[Т] Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на некотором промежутке Х и пусть функция u’(x)*v(x) имеет первообразную на этом промежутке, т.е. существует v(x)u’(x)dx. Тогда на промежутке Х функция имеет u(x)v’(x) также имеет первообразную и справедлива формула: u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)- v(x)u’(x)dx. Доказательство: Из равенства [u(x)*v(x)]’=u’(x)v(x)+u(x)v’(x) следует u(x)v’(x)=[u(x)v(x)]’-u’(x)v(x). Первообразной функции [u(x)v(x)]’ на промежутке Х является функция u(x)v(x). Функция u’(x)v(x) имеет первообразную на Х по условию теоремы. Следовательно, и функция u(x)v’(x) имеет первообразную на промежутке Х (как разность интегрируемых функций). Интегрируя последнее равенство, получим формулу u(x)v’(x)dx=u(x)v(x)- v(x)u’(x)dx (формула интегрирования по частям в неопределенном интеграле).

---

Т.к. v’(x)dx=dv, u’(x)dx=du, то ее можно записать в виде udv=uv-vdu.

За u выбирают ту часть подынтегральной функции, которая упрощается дифференцированием, а за dv ту часть, интеграл от которой существует

5. Основные типы интегралов берущихся по частям.

Общие рекомендации: Практика показывает, что большая часть интегралов берущихся по частям может быть выделена в следующие группы:

1. Подынтегральная функция содержит в виде множителя одну из следующих функций: arctgx, arcctgx, arcsinx, arccosx,log и их квадраты, степени этих функций, а также lnx- их полагают за u, а оставшаяся часть это производные известных функций, т.е. интеграл от оставшейся части подынтегрального выражения существует.

2. Интегралы вида (ax+b)ⁿ sinkx, (ax+b)ⁿ coskx, (ax+b)ⁿ е^кх, где а,b,к=const, n- натуральное число. Эти интегралы берутся n- кратным интегрированием по частям. U=(ax+b)ⁿ 1kn, dv- оставшаяся часть выражения.

3. Интегралы вида: е^хasin(bx)dx, е^axcos(bx)dx, sin(lnx)dx, cos(lnx)dx. Исходный интеграл обозначается за I, берется 2 раза по частям и получаем в правой части выражение, содержащее исходный интеграл I, т.е. мы получаем уравнение относительно исходного интеграла, решаем его относительно I.

4. Существуют интегралы, берущиеся по частям и не относящиеся ни к какой из вышеперечисленных групп.

6. Теорема о представлении рациональной функции в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами.

Рациональная функция имеет вид , где P(x) и Q(x) многочлены, причем P(x) многочлен степени n, q(x) многочлен степени m.

1. nm, то делением многочлена на многочлен мы выделяем целую часть и дробную часть =W(x)+ , где W(x)- некоторый многочлен, а R(x) многочлен степени ниже чем Q(x)

2. n<m то применяют метод неопределенных коэффициентов

Q(x)=A(x-a₁)^₁ (x-a₂)^_2….. (x-a_k)^_k (если D>=0, т.е. можно разложить)

Или

Q(x)=(x²+p₁x+q₁)^1 (x²+p₂x+q₂)^2……… (x²+p_lx+q_l)^{l (3)}

[Т] Каждый многочлен может быть представлен в виде Q(x)=A(x-a₁)^₁ (x-a₂)^_2….. (x-a_k)^_k Или Q(x)=(x²+p₁x+q₁)^1 (x²+p₂x+q₂)^2……… (x²+p_lx+q_l)^l

где а1, а2,аk-это корни многочлена Q(x),причем они м/б кратны А1,А2,АK, м/б действительными или комплексными.

[Т] Если рациональная функция имеет степень многочлена числителя n меньше, чем степень многочлена знаменателя m и многочлен Q(x) имеет вид (3), то эту функцию можно единственным образом представить в виде:

= … … … …+ …

7. Метод неопределенных коэффициентов.

Метод неопределенных коэффициентов

Он заключается в том, чтобы следовать алгоритму: Записать представление 1, привести правую часть к общему знаменателю и группировать при степенях Х, получим дроби с равными знаменателями, присваиваем числители. Получим 2 многочлена, они равны если равны коэффициенты при соответствующих степенях Я, следовательно составляем систему уравнений, приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях Х.

8. Основные типы интегралов от рациональных функций.

Основные типы интегралов, берущихся по частям.

---

1. А/х-а dx= Ad(x-a)/x-a=Aln|x-a|+C

2. Аdx/(х-а)^k=A (х-а)^-kd(x-a)=A(x-a)^1-k/1-k+C (k1)

3. dx=M/2+N =M/22x+p/x²+px+q dx +(N-MP/2)dx/ x²+px+q=M/2ln| x²+px+q|+(N-MP/2)dt/t²+a²

x²+px+q=( x²+2p/2x+p²/4)+q-p²/4=(x+p/2)²+(q-p/4)=т.е.

4. dx=M/2(x²+px+q)^-kd(x²+px+q)+(N-Mp/2)

dt/(t²a²)^k=M/2(x²+px+q)^1-k/1-k +(N-MP/2)Ik

Рекуррентная формула

Ik=…….Ik-1

Рекуррентная формула доказывается с помощью интегрирования по частям

Ik=1/2a²(k-1) (t/(t²a²)^k+(2k-3) dt/(t²a²)^k-1 ) (K>2)

9. Интегрирование тригонометрических функций:

10. Интегрирование некоторых иррациональных функций

11. Понятие интегральной суммы. Геометрический смысл.

Рассмотрим функцию f(x) определенную в каждой точке сегмента [a,b], a<b

Def Будем говорить, что задано разбиение сегмента [a,b] если заданы точки х_0, х_{1, ….,} х _{n, .}

Такие что а= х_0< х_1< х _2<….< х _n=b. { х _n }- разбиение х _n . Рассмотрим на сегменте [a,b] функцию f(x) принимающую в каждой точке сегмента конечные значения. По данному разбиению {x_k} построим ( х _к; _к)= (1)

_к[x_k-1;x_k] , полученное число называют интегральной суммой. Она зависит от способа разбиения Xk и от выбора точек  _к Отрезки получающиеся в результате разбиения [x_k-1;x_k] называются частичными отрезками.  х_к =х_к-х_к-1 – длина частичного отрезка

И тогда интегральную сумму (1) можно записать в виде (х_к;_к)= (2)

Диаметр разбиения: максимальная длина частичного отрезка называется диаметром разбиения и обозначается числом d. d=max х_к

Геометрический смысл интегральных сумм:

F(₁)*x₁=S прямоугольника 1

F(₂)*x₂=S прямоугольника 2

f(₁)*x₁+f(₂)*x₂+…. f(n)*x_n=( х_к;_к)=S*

где S* площадь ступенчатой фигуры, т.е. интегральная сумма (2) равна S* Если мы устремим диаметр d к 0, S* будет стремится к площади криволинейной трапеции, т.е. фигурой ограниченной снизу сегментом [a,b], сверху неотрицательной функцией f(x), с боков прямыми x=a, x=b.

x

Xo=a (1) (X1) (2) (X2) (x _{k-1 )} (k) x_k (x_n-1) n ( b=x_n)

Геом.смысл:  - сумма площадей прямоугольников с основаниями Х1, Х2,…  Хn и высотами f (₁), f(₂)…f(_n).

S*= f(_k)*  Хk. Т.о. интегральная сумма представляет собой

площадь ступенчатой фигуры. Но если d0 (n ), то

S* = f((_k ; Xk) = f(x)dx = S криволин. трапеции

---

12. Понятие определенного интеграла.

Def Если существует конечный предел I интегральных сумм  при 0, то этот предел называется определенным интегралом от функции f(x) по отрезку [a,b] и обозначается I= =

Def функция f(x) называется интегрируемой на [a,b] если для любой последовательности разбиений {Xk}, у которой соответствующая последовательность интегральных сумм {k} стремится к одному и тому же числу I.

Def Число I называется определенным интегралом от функции f(x) оп отрезку [a,b], если для любого >0 существует такое >0, что при  (т.е. если отрезок [a,b] разбит на части с длинами Xi<) независимо от выбора точек I выполняется неравенство , или же для любого i[Xi-1, Xi]

Интегрируемость функции по Риману: Число I называется пределом интегральных сумм , зависящих от (х_к;_к) при d0, если для любого положительного числа , найдется соответствующее ему положительное число , большее d, такое что для любого _к будет выполняться | (х_к;_к)-I|<. >0)(d<) _k: | (х_к;_к)-I|< Следует отметить, что существует только один предел  при d0

I=

Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на сегменте [a,b] если для этой функции на указанном сегменте существует I= при d0

Число I называется определенным интегралом Римана от функции f(x) по сегменту [a,b] и обозначается так: I= , где а- нижний предел, b- верхний предел

Следует отметить, что = =

13. Основные свойства определенного интеграла.

Интеграл был введен для случая a<b. Обобщим понятие определенного интеграла, на случаи когда a=b, a>b.

1. Если a=b, то по определению на отрезке нулевой длины полагаем, что =0

Если а>b, то по определению =- (4), т.е. когда отрезок [a,b] при a<b пробегает в направлении от b к а, имеем b=X0, а=Xn, Xi=Xi-Xi-1<0

2. Каковы бы ни были числа а, b и с всегда имеет место равенство: = + (здесь и в дальнейшем предполагается, что интегралы, входящие в доказываемые формулы существуют)

Доказательство: Допустим сначала, что а<c<b, т.к. предел интегральной суммы  не зависит от способа разбиения отрезка [a,b], то будем проводить разбиение так, чтобы точка с всегда была бы точкой разбиения [a,b]. Если например с=х_m, то  можно разбить на две суммы: = = + . Переходя в последнем равенстве к пределу при  мы и получим искомое равенство.

Суть доказанного свойства состоит в том, что определенный интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по его частям.

Доказательство для другого расположения точек a, b, c легко сводится к рассмотренному случаю. Пусть, например, а<b<c, тогда по доказанному, имеем: = + , откуда учитывая (4) получаем = - = + ч.т.д.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, т.е. =к . Доказательство: действительно, для любого разбиения отрезка [a,b] и любого выбора точек _I =k

Переходя к пределу при 0 имеем = = =к = к ., ч.т.д.

4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е.  . Доказательство: действительно, для любого разбиения отрезка [a.b] и любого выбора точек _{I =}Так как = и = , то получаем что ₌ =

---