Файл: МАТАН!!!!!!!!!!!.doc

Координатное пространство Аⁿ называют n-мерным Евклидовым пространством и обозначают Еⁿ, если между двумя его точками ХЕⁿ и YЕⁿ введена ф-я расстояния (х,у) по формуле:

||x|| = ((x_i-y_i)²)^1/2

i=1

Еⁿ можно считать нормированным пространством, у которого

||x-y|| = (x,y)

Понятие функции N переменный. Предел функции N переменных.

Понятие функции n- переменных. Пусть каждой точке М из множества точек {M} n-мерного евклидова пространства Еⁿ по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число u из числового множества U. Тогда будем говорить, что на множества {M} задана функция u=f(M) При этом множества {M} и U называются соответственно областью определения (задания) и областью изменения функции f(M), а u частным значением функции в точке M.

Предел функции n-переменных

Пусть каждому К из множества натуральных числе поставлена в соответствие точка МкЕⁿ, то последовательсность точек М1, М2…Мn будет называться последовательностью точек n-мерного Евклидова пространства

Последовательность точек {Мk} включенных в Еⁿназывается сходящейся, если существует такая точка А, что для любого числа >0 можно указать номер N, начиная с которого (при n>N) все точки этой последоватльности будут находится в -окрестности точки А, т.е. р(Мn, А)< Тогда число А называется пределом последовательности {Mn}

Рассмотрим функцию u=f(M), определенную на множестве М, включенном в n-мерное евклидово пространство. (D(f)={M}Еⁿ

Пусть а- некоторая точка n-мерного евклидова пространства:

А{M}
А{M} но в любой -окрестности точки А содержится хотя бы одна точка множества М

Предел функции. Число b называют пределом функции f(M) в точке А (при МА), если для любой последовательности точек {Mn} из множества {M}, сходящейся к точке А (Mn Отлична от А), соответствующая последовательность значений функции {f(Mn)} сходится к b.

По Коши: Число b называется пределом функии f(M) в точке А, если для любого числа >0 можно найти такое число >0, что для всех точек М множества {M} из -окрестности точки А (удовлетворяющих неравенству р(М,А)<) выполняется неравенство |f(M)-b|<

[T] Пусть две функции f(M) и g(M) определенные на одном множестве {M}, имеют соответственно пределы b и с в точке А. Тогда функции f(M)g(M), f(M)g(M) и f(M)\g(M) (при с0) имеют пределы в точке А, равные соответственно bc, bc и b\c.

Функция u=f(M) называется б-м в точке А, если ее предел в ней равен 0

Функция u=f(M) называется б-б в точке А, если ее предел в ней бесконечен

Непрерывность функции N переменных.

Непрерывность функции нескольких переменных

1)Пусть функция u=f(M) определена на множестве {M} н-мерного евклидова пространства. Возьмем точку А{M}, любая -окрестность которой содержит точки множества М.

2)Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если предел функции в этой точке равен значению функции в этой точке

Следствие: для непрерывных функций знак предела и функции можно поменять местами.

3)Непрерывность функции по Гейне: Функция u=f(M) называется непрерывной в т. А, если для любой последовательности {Mn} сходящейся к А, соответствующая ей последовательность {f(Mn)} сходится к f(A)

4) Функция u=f(M) называется непрерывной в точке K, если для любого >0 найдется отвечающее ему положительное число , такое что для всех M принадлежащих {M}, удовлетворяющих условию р(М,А)< выполняется неравенство |f(М)-f(А)|<

5)Функция u=f(M) непрерывна на множестве {M} если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Точки н-мерного евклидово пространства для которых функция u=f(M) не обладает свойством непрерывности называются точками разрыва этой функции.

Приращением или полным приращением функции u=f(M) в точке А называется разность u=f(M)-f(A)

Функция u=f(M) называется непрерывной в точке А, если ее приращение в этой точке является бесконечно малой функцией при M->0.

Непрерывность функции n-переменных по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных.

Рассмотрим частное приращение функции в точке М (X1,X2,..Xn)

Зафиксируем все переменные этой функции, кроме одной, аргументу X1 дадим приращение x1, имеем:

u=f(x1+x1, x2+x2,…Xn)-f(x1, x2,…Xn)

U=f(x1, x2,…xn)

x1U=f(x1+x1, …xn)-f(x1, x2,…Xn)

Причем x1 М’(x1+x1,…xn){M}

Аналогично выводится частное приращение функции по остальным переменным

_х_nU=f(X1,x2, …, Xn-1, Xn+ xn)-F(x1, x2,…Xn)

Функция u=f(x1,x2,…xn) называется непрерывной в т М(x1, x2, …xn) по переменной Хк, если частное приращение этой функции хкU является б-м функцией при хк->0

Для непрерывных функций справедливые теоремы аналогичные теоремам о непрерывных функциях одной переменной:

функций Пусть функции f(M) и g(M) непрерывны на одном и том же множестве {M}

Тогда функции f(M)g(M), f(M)*g(M) и f(M)\g(M) также непрерывна в точке F

(частное при g(A))

Также справедливы:

теорема об устойчивости знака непрерывной функции
2 теорема Больцано-Коши о прохождении любой непрерывной функции через промежуточ-

ное значение

1 и 2 торемы Вейерштраса.

24.

25. Непрерывность сложной функции.

Непрерывность сложной функции.

X1=

X2= * {N}из к-мерного евклидова пространства

….

Xn=

Введем понятие сложной функции нескольких переменных. Пусть функции

* заданы на множестве {N} к-мерного евклидово пространства, тогда каждой точке N с координатами N(t1, t2, …tk) поставлено в соответствие по формулам *точка М с координатами (х1, х2, …, хn) и пусть множество {M} множество таких точек. Пусть функция u=f(x1,x2,…,xn), задана на множестве {m}Еⁿ Тогда на множестве {N}}Е^k задана сложная функция u=f(x1,x2,…,Xn), где (x1, x2, …,xn) является функцией переменных (t1, t2…. Tk), определяемыми соотношениями *.

Тогда справедлива следующая теорема о непрерывности сложной функции нескольких переменных:

[T] Пусть функции * непрерывны в т. А(а1, а2, …, ак) а функция u=f(x1, x2, …xn) непрерывна в точке B(b1, b2, …bn), где bi=I(a1,a2,…ak) (I= ), тогда сложная функция u=f(1(T)….n(T) непрерывна в точке А(а1, а2, …аn)

Частные производные функции N переменных.

Частная производная функции нескольких переменных.

Рассмотрим функцию u=f(x1, x2,…xn), заданную на множестве {M} n- мерного евклидова пространства. И пусть точка М(x1, x2, …, xn) внутрення точка области определения множества М

Рассмотрим в данной фиксированной точке М отношения частного приращения функции (Хк0) Оно должно быть таким, чтобы вновь полученная т.М с координатами (х1, …Хк-1, Хк+Хn,Xn+1 ….Хn) принадлежала множеству М.

Существует (1)

Def Если существует предел (1) частных приращений функции функции u=f(x1, x2,…xn) в точке М с координатами (х1, х2, ….хn) по переменной Хк к соответствующему приращению Хк аргумента Хк при Хк -> 0, то этот предел называется частной производной функции в т.М по аргументу Хк и обозначается одним из следующих символов: . Частная производная представляет собой обычную производную функции. Одной переменной Хк при фиксированных значениях остальных переменных.

фференцируемость функции N переменных.

[T] Если u=f(x1,x2,x3,…,xn) дифференцируема в точке M(x1, x2,…,xn), то существуют частные производные данной функции по всем переменным, причем , где I= . Доказательство: из условий дифференцируемости функции (2) запишем: xiU=AiXi+iXi, I= . Найдем предел :

Следствия:

условие дифференцируемости функции в точке М можно записать в виде: xkU= (5)
если u=f(x1,x2,x3…xn) дифференцируема в точке М, то ее представление приращение в форме (2) или (3) единственно
Если u=f(x1,x2,…xn) дифференцируема в точке М(x1, x2,…xn), то она непрерывна в каждой точке. (по 4 определению непрерывности функции

Достаточное условие дифференцируемости функции: Если функция u=f(x1, x2,…,xn) имеет частные производные по всем переменным в некоторой окрестности точки Мо( причем все частные производные непрерывны в самой точке Мо, то указанная функция дифференцируема в этой точке.

U=f(x1,x2,…xn) в точке M(x1,…,xn) записывается в виде

Функция u=f(x1,…xn) называется дифференцируемой в т М(x1, x2, …xn), если ее полное приращение представлено в виде

(2)u=A1x1+A2x2+….+AnXn +1x1+…nxn, где А1, А2, …, Аn некоторые числа, не зависящие от X1,X2….X числа, а 1, 2, …m б-м функции соответственно при х1->0, х2->0, …хm->0 Условие называется условием дифференцируемости функции в данной точке М евклидова пространства Е^m

Соотношение (2)называется условием дифференцируемости функции, причем 1=2….n=0, при Х1=Х2=Х3…Хn=0 можно записать следующим образом: u=А1 Х1+ А2 Х2)+…+ Аn Хn

Рассмотрим р= , тогда 1, х=

||р(р(б-м)( )(б-м)=0(р) Аналогично А1 главная часть приращения, а 0(р) б-м более высокого порядка чем р.

уравнение 2 можно записать как u=А1Х1+А2Х2+…+АnХn+0(p)

Если существует Аi0, то главной частью приращения Является А1Х1+А2Х2+…+АnХn+0(p) Она линейна относительно приращения аргумента.

Если Аi=0, I= , то главная часть также будет равна 0 и функция будет дифференцируема в данной точке по определению.

Дифференциал функции N переменных.

Дифференциал функции нескольких переменных

Дифференциалом du дифференцируемой в точке М(х1,х2,…,хn) функции u=f(x1,x2,…,xn) называется главное линейное относительно приращения аргумента часть приращения этой функции в точке М.

Du= A1x1+A2x2+….+AnXn

Если все коэффициенты Ai=0, то дифференциал функции в точке М считается равным 0.

Дифференциал независимой переменной.

Под дифференциалом dx_i независимой переменной Хi, понимают любое не зависящее от х1,х2,…,хn число b. В дальнейшем условимся: dxi=i= . Du=A1dx1+A2dx2+…Andxn

Используя результат теоремы или формулу (5)можно записать рабочую формулу для вычисления дифференциала: du=

ифференцирование сложной функции.

Дифференцирование сложной функции.

Рассмотрим вопрос о дифференцировании сложной функции нескольких переменных вида:

U=f(M)=f(X1,x2,…xn) (1)

Xi=i(t1,t2,…,tk), I=1,2,…m (2)

[T] Пусть функция (2) дифференцируема в некоторой точке Nо ( , а функция (1) дифференцируема в точке Мо( , причем Тогда сложная функция u=f(x1,x2,…,xn), где Х1,Х2,…,Хn определяется по формулам (2) дифференцируема в точке Мо, при этом частные производные этой сложной функции вычисляются по формулам:

….

в которых берутся в точке Mо, а частные производные берутся в точке Nо.

С ледствие: если функции x=x(t) , у=у(t) дифференцируемы в точке To, а функция z=f(x,y) дифференцируема в точке Мо(Xo,Yo), где Xo=X(to), yo=y(to), то z=f(x(t),y(t)) дифференцируется в точке to, причем производная сложной функции dz/dt вычисляется по формуле

Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Градиент. Рассмотрим функцию трех переменных u=f(x,y,z). Пусть она определена в некоторой окрестности точки Мо(хо,yo,zo) принадлежащей 3- мерному евклидову пространству и дифференцируема в точке Мо. Рассмотрим всевозможные лучи, выходящие из точки Мо. Каждый такой луч заадется единственным вектором (соs, cos,cos) Угол наклона к осям. Зафиксируем один такой луч. Проведем из точки Мо луч, содержащий единичный вектор M. Зафиксируем на нем точку М и определим отрезок МоМ. Если l- длина этого отрезка, то его координаты (lcos, lcos, lcos) C другой стороны: (x-xo, y-yo, z-zo)

Т.о. получили один и тот же отрезок:

Приравняем

u=f(Xo+lcos, Yo+lcos, Zo+lcos)

Т.о. u- сложная функция.

Производную указанной сложнгой функции по переменной l, взятую в точке l=0 называют производной функции u=f(x,y,z) в точке Мо по направлению, определяемому единичным вектором l. Обозначение:

Производная функции по направлению единичного вектора.

Градиентом функции u=f(x,y,z) в данной точке Мо(xo,yo,zo) называется вектор, координаты которого имеют вид gradu(Mo)=

Если: u=f(x1,x2,…,xn) Mo(

Основные свойства градиента:

Градиент функции y=f(x,y,z) в точке Мо характеризует направление и величину максимального роста функции в точке Мо.
Производные функции u=f(x,y,z) в точке Мо по направлению, определенный градиент этой функции в точке Мо имеет максимальное значение по сравнению со значением производной в этой точке по любому другому направлению

Геометрический смысл градиента:

Линии уровня для функции двух переменных u=f(x,y) называется линия на которой функция сохраняет свое постоянное значение.

Если В каждой точке линии уровня M(xо,yо) построить касательную, то вектор-градиент в точке Мо будет перпендикулярен этой касательной.

Поверхность уровня- фунция u=f(x,y,z) в точке Мо (xo,yo,zo) называется поверхность на которой функция сохраняет свое постоянное значение.

Свойства: если в каждой точке Mo(xo,yo,zo) провести касательную поверхность, то вектор градиент будет ортогонален этой поверхности.

Частные производные высших порядков функции N переменных.

Частные производные высших порядков.

Рассмотрим функцию u=f(x,y,z) вычислим частную производную

Пусть все частные производные существуют в ккаждой точке множества {M}=D(f) Поставим вопрсо о нахождении частных производных по всем переменным по фукнции :

Частная производная взятая от по переменной Хк называется частной производной второго порядка и обозначается , если I=k, то она обозначается как

Смешанные частные производные второго порядка для непрерывной функции равны.

Аналогично, равные смешанные частные производные 3, 4 и т.д.

Дифференциал второго порядка функции N переменных.

Определение дифференциала

u=f(x1,x2,…,xn) y=f(x)

dy=f’(x)dx

d²y=(dy)

Значение дифференциала  взятого от дифференциала первого порядка du в предположении, что х1=dx1…xn=dxn. Называется вторым дифференциалом фукнции в данной точке М(x1,x2,…xn), а вычисляется по формуле

D²u=

+…

Квадратичная форма. Критерий Сильвестра.

Рассмотрим функцию специального вида. Квадратичная форма:

Функция Ф(t1,t2,…,tk)=называется квадратичной формой, где Аik коэффициенты квадратичной формы, t1,t2,…,tn- переменные квадратичные формы, d²u квадратичная форма относительно dx1, ….,dxn c коэффициентом Aik= . Если Aik=Aki, то квадратичная форма называется симметричной. Данной квадратичной форме ставится в соответствие матрица коэффициентов квадратичной формы.