Файл: МАТАН!!!!!!!!!!!.doc

Сделать презентацию

Скачать файл (10,49Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 13.05.2021

Просмотров: 664

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

Необходимое условие локального экстремума

Если ряд  аn хn (1) сходится на при всех значениях х и не только при х=0, то

n=0

существует число R>0 такое, что ряд абсолютно сходится при  х<R и расходится при  х>R.

Матрица называется квадратной, если число строк равно числу столбцов.

Симметричной: Aik=Aki

Определителем матрицы называется число характеризующее матрицу detA

Существуют способы вычисления det:

Минор- некоторый фрагмент матрицы.

Главными минормаи матрицы А называются следующие определители:

А1=А1.1

А2=а1.1*А2.2-А2.1*А1.2

А3=А1.1*А2.2*А3.3+А2.1*А2.2*А1.3+А3.1.*А2.2*А1.3-А3.2.А2.3А1.1-А2.1А12А33

Аm=detA

Квадратичная форма называется положительно определенной, если для любых значений t1,t2,…,tn одновременно не равных 0 она принимает строго положительные значения.

Квадратичная форма называется отрицательно определенной если для любых значений неравенств t1,t2,…tn она принимает строго отрицательные значения.

Квадратичная форма называется знакопеременной если она принимает как строго положительные, так и строго отрицательные значения при разлиынх наборах t1,t2,…tn

Критерий Сильвестра знакопеременной квадратичной формы:

Для того, чтобы квадратичная форма или матрица была + определнной необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были положительными.
Для того чтобы квадратичная форма или мтарица была отрицательно определнной необходимо и достаточно, чтобы знаки главных миноров чередовались, причем первый был отрицательный.

Замечание: если хоть одно из условий не выполняется, то форма знакопеременная

Локальный экстремум функции N переменных. Необходимое условие локального экстремума.

DEF будем говорить, что функция u=f(M) Df=f{M}сЕ ⁿ имеет в точке Мо локальный максимум (минимум) если существует такая - окрестность этой точки в пределах которой значение функции f(Mo) является наибольшим (наименьшим) по сравнению со значениями функции в любой другой точке этой окрестности.

Необходимое условие локального экстремума

Если функция u=f(x1,x2…xn) имеет в точке Mo( частные производные первого порядка по всем переменным Х1,Х2,Х3…Хn и имеет в т Мо локальный экстремум, то все частные проиводные первого порядка в точке Мо обращаются в 0.

Все точки в который частные производные обращаются в 0, в которых все необъодимые условия экстремума выполнены, называются стационарными точками.

Замечание: необходимое условие экстремума может быть записано так: Если функция u=f(m) дифференцируема в точке Мо и имеет в этой точке локальный экстремум, то дифференциал функции du(Mo)=0(тождественное равенство), т.е.

Достаточные условия локального экстремума функции N переменных.

Пусть функция u=f(M) один раз дифференцируема в некоторой окрестности точки Мо и два раза дифференцируема в самой точке Мо, пусть кроме того Мо – стационарная точка. Тогда:

Если d²u в точке Мо положительно определенная квадратичная форма относительно переменных dx1,dx2,…,dxn, то Мо – точка локального минимума
Если d²u в точке Мо отрицательно определенная квадратичная форма, то Мо – точка локального Максимума.
Если d²u в точке Мо знакопеременная квадратичная форма, то экстремум в точке Мо не существует.

Частный случай:

[Т] пусть функция u=f(x,y) один раз дифференцируема в окрестности точки Мо с координатами (хо,уо) и два раза дифференцируема в самой точке Мо и пусть Мо – стационарная точка, тогда если в точке Мо выполнено условие:

, то функция имеет в точке Мо локальный экстремум, причем если в точке Мо>0 , то Мо точка локального минимума.

Если (Мо)<0 то Мо точка локального Max

Если же то экстремум в точке Мо не существует.

Неявные функции.

Def Если переменная u, являющаяся по смыслу функцией переменных х1,х2,…,хn задается посредством функций уравнений F(U,X1,x2,…,xn)=0, то говорят, что функция задана неявно.

Частные производные неявно заданной функции вычисляются по формулам:

Рассмотрим совокупность М неявных функций, которые задаются посредством системы М функциональных уравнений:

(1)

Пусть функции определены, как решение М функциональных уравнений (2)

(2)

Решением системы (2) будет называться совокупность функций, таких что при их подстановки в систему все уравнения этой системы образуются в тождества.

Def Это решение будем называть непрерывным и дифференцируемом в некоторой области D изменения переменных Х1,Х2,…Хn Если каждая из функций U1,U2,…Um непрерывна и дифференцируема в этой области.

Такой определитель называют определителем Якоби или Якобианом.

[T] Система (2) будет разрешима, а решение непрерывно и дифференцируемо, если функция f1,f2,…,fn дифференцируема в окрестности точки Мо, непрерывна в точке Мо, Якобиан отличен от 0 и F1=F2=…=Fn в точке Мо

37. Условный экстремум

Задача отыскания экстремума функции аргументы которой удовлетворяют дополнительному условию связи называется задачей отыскания условного экстремума.

Рассмотрим вопрос отыскания экстремума функции z=f(u1,u2,…um,x1,x2,…,xn)

Будем говорить, что эта функция при наличии условий связи (2) имеет условный максимум (минимум) в точке Мо, координаты которой удовлетворяют этим условиям связи, если существует окрестность точки Мо, для которой значение этой функции в точке Мо является наибольшим (наименьшим) среди всех точек координаты которых удовлетворяют эти условиям связи.

Первый способ решения задачи условного экстремума:

Основная его идея – переход от задачи условного экстремума к задаче безусловного экстремума.

Пусть у функции F1, F2, …Fm дифференцируема в окрестности точки Mо и непрерывны в окрестности точки Мо. Пусть, кроме того, Якобиан неравен 0 в точке Мо. Тогда система (2) имеет непрерывное дифференцируемое решение . Подставим это решение в функцию 2: z=

Метод множителей Лагранжа.

Метод неопределенных множителей Лагранжа. Если система функций уравнений (2) неразрешима, либо ее решение затруднительно для вас, используют более универсальный способ – метод неопределенных множителей Лагранжа. Идея та же – переход от условного экстремума к безусловному.

L=f+1F1+2F2+…+mFm (4)

Функция Лагранжа.

Теперь находим экстремум этой функции. Здесь 1, 2,…n –множители Лагранжа.

Предположим, что функция дифференцируема

L(u1,u2,…um,x1,x2,…,xn,1,2,…n)

Необходимые условия экстремума:

та система содержит u+2m уравнений и u+2m переменных.

Мо(

о(

Для полученных точек проверяем достаточное условие экстремума.

Определение числового ряда, частичной суммы, сходящегося ряда.

Рассмотрим производную числовую последовательность а1, а2,….аn, …

Формально из элементов этой последовательности составим сумму а1+а2+а….+аn=

Такую сумму принято называть числовым рядом или просто рядом а1,а2,…аn, … элементы члены ряда

An – общий член ряда

Сумма первых n членов ряда называется частичной суммой n-переменных

Если для данного ряда предел последовательности частичных сумм не сущетствует, то такой рад называется расходящимся.

Свойства сходящихся числовых рядов.

1⁰Отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на сходимость(расходимость) ряда

2⁰ Если ряд а₁+а₂+…..+а_n+…..=_n₌₁^а_n сходится и имеет сумму S то сход. Также и ряд _n₌₁^ka_n, где k не равняется 0 и постоянное число, при чём сумма этого ряда равна kS

3⁰Если ряды _n₌₁^а_nи _n₌₁^ b_nсходятся и суммы их соответственно равны S’ и S”, то и ряд _n₌₁^(а_n b_n) также сходится , при чём его сумма S=S’S”

2⁰и 3⁰следуют из соответствующих свойств сходящихся последовательностей

4⁰ Общий член а_n сходящегося ряда стремиться к 0 при n0

Необходимое условие сходимости числового ряда. Сходимость гармонического ряда.

Т. Если ряд сходится, то его общий член стремится к 0.

а_n=S_n-S_n_-1и, поскольку ряд сход., S_nS и S_n_-1S при n, где S- сумма ряда отсюда и след. Справедл. Данного св., кот. Наз. Необх. Услов. Сход. Ряда(если оно не соблюдается то ряд расходится)

Замеч. 4⁰явл. необх. Усл. , но не явл. достаточн. ,т.е. по нему нельзя провер. сход. ряда

Сходимость Гармонического ряда

1+1/2+1/3+1/4+…..+1/n+…..=_n₌₁^1/n

lim_n__1/n=0, но тем не менее этот ряд расход.

П.п. гармонич. Ряд сходится:

lim_n__S_2n=S

lim_n__S_n=S

S_2n- S_n

lim_n__(S_2n- S_n)=S-S=0

S_2n- S_n=1/(n+1)+1/(n+2)+…..+1/2n>1/2n+1/2n+1/2n+1/2n=n*2n=1/2

Мы пришли к противоречию, гармонич. Ряд расходится.

Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами.

Необходимое и достаточное условие сход. Числового ряда с неотриц. Членами

Пусть _n₌₁^a_n и любой а_n0

Тm. Для того, чтобы ряд с неотриц. Членами сходился н. и д. , чтобы послед. Частичных сумм {S_n} этого ряда была ограниченной.

Доказ. Необходимость: пусть ряд _n₌₁^a_nсходится, тогда по опред послед. Частичных сумм {S_n} также сходится, следовательно по tm всякая сходящаяся послед. Ограничена

Достаточность: пусть {S_n} – ограниченная последовательность ,т.к. любой а_n0, то 0S₁S₂…..S_n, т.е. послед. Монотонная неубывающая, по tm всякая Монотонная неубывающая последовательность сходится и ряд также сходится

43.Признак сравнения.

Пусть для двух рядов си неотрицательными членами (1)и (2)выполняется неравенство ab для всех n. Тогда из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1), а расходимость ряда (1) влечет за собой расходимость ряда (2)

Доказательство: Пусть Sn и Sn’ частичные суммы соответственно рядов 1 и 2. Из условия теоремы следует, что SnSn’ Если ряд 2 сходится, то по теореме о необходимом и достаточном условии сходимости ряда последовательность {Sn’} ограничена, значит, монотонная последовательность {Sn} также ограничесна, т.е. она также сходится. Если ряд 1 расходится, то ряд 2 не может сходиться, иначе в силу первой части доказательства будет сходится и ряд 1. ч.т.д.

Замечание: для того, чтобы проверить сходимость-расходимость числового ряда его надо сравнить с заведомо сходящимся рядом *например бесконечно убывающей геометрической прогрессией) или заведомо расходящимся (например с грамоническим рядом или бесконечной программой с q>1)

4
4.Признак Даламбера.

Пусть дан ряд a_n (111) с положительными членами и существует

n=1

предел lim ((a_n+1)/(a_n))=. Тогда:

n

а) при <1 ряд сходится; б) при >1 ряд расходится.

Док-во: а) Пусть <1 и lim ((a_n₊₁)/(a_n))=. Докажем, что ряд (111)

n

сходится. .По определению предела числовой последовательности для любого >0 существует номер N такой, что при nN выполняется неравенство (a_n₊₁)/(a_n) - < . Отсюда следует, что -< (a_n₊₁)/(a_n)<+ (1). Т. к. <1, то  можно взять настолько малым, что будет выполнено неравенство +<1. Полагая += q, на основании правого из неравенств (1) имеем (a_n₊₁)/(a_n)<q, или a_n₊₁ < a_nq для n=N, N+1, N+2… (2) Придавая n эти значения, из последнего неравенства получаем a_N₊₁<a_Nq, a_N₊₂<a_N₊₁q< a_Nq², a_N₊₃<a_N₊₂q< a_Nq³, …….., т.е. члены ряда a_N₊₁+a_N₊₂+ a_N₊₃+… меньше соответствующих членов ряда, составленного из элементов геометрической прогрессии: a_Nq+ a_Nq²+ a_Nq³+… (3). Так как q<1 , то ряд (3) сходится. Но ряд (2) получен из данного ряда (111 ) в результате отбрасывания конечного числа первых членов, след-но, по теореме о свойстве сходящихся рядов ряд (111) сходится.

б) Пусть теперь >1. Докажем, что ряд (111) расходится. Возьмём  настолько малым, чтобы -<1. Тогда при nN в силу левого из неравенств (1) выполняется неравенство (a_n₊₁)/(a_n)>1 или a_n₊₁> a_n. Таким образом, члены ряда , начиная с некоторого номера N , возрастают с увеличением их номеров, т.е. общий член ряда a_n не стремится к нулю при n. Следовательно, по теореме о необходимом условии сходимости ряда, ряд (111) сходится.

Замечание. При =1, как показывают примеры, ряд (111) может как сходиться, так и расходиться. В этом случае необходимо дополнительное исследование ряда с помощью др. признаков.