ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2023
Просмотров: 319
Скачиваний: 2
ПОНЯТИЕ ЦЕЛОГО УРАВНЕНИЯ И ЕГО СТЕПЕНИЦели: ввести понятие целого уравнения и его степени; формировать умение определять степень целого уравнения и решать целые уравнения не выше второй степени.Ход урокаI. Организационный момент.II. Устная работа.Определите, сколько корней имеет уравнение:а) 2х + 1 = 0; д) 3х + 1 = 5 + 3х;б) х2 – 5 = 0; е) х2 + 2х + 1 = 0;в) х5 + 1 = 0; ж) х2 + х + 10 = 0;г) х6 + 2 = 0; з) 1 – 4х = 1 – 4х.III. Объяснение нового материала.На этом уроке достаточно ввести понятие целого уравнения и его степени; рассмотреть примеры приведения целого уравнения к виду Р (х) = 0, где Р (х) – многочлен; обратиться к решению целых уравнений первой и второй степени. Вопрос о методах решения целых уравнений выше второй степени целесообразно изучить на следующем уроке.Объяснение проводится по следующей с х е м е:1. В в е д е н и е п о н я т и я целого уравнения.После формирования определения данного понятия необходимо дать учащимся задание на распознавание целых уравнений.З а д а н и е. Какие из следующих уравнений являются целыми? Ответ объясните.а) х4 + 2х3 – 7 = 0; г) – 5х3 = 0;б) 4х10 = 0,7х8; д) ;в) (х – 1) (3х2 + 5) = х4 + 2; е) = 0.2. В в е д е н и е п о н я т и я степени целого уравнения.После введения данного понятия дать учащимся задание на определение степени целого уравнения.З а д а н и е. Какова степень уравнения:а) 2х5 + 4х – 3 = 0; г) – 5х = 7;б) х7 + 5х = 0; д) (2х + 1) (х – 7) – х = 0;в) х11
= х3; е) 5х2 – 4х2 (1 – х) = 0?
3. Р а с с м о т р е н и е р е ш е н и я линейных и квадратных уравнений как целых уравнений первой и второй степени соответственно.
Необходимо, чтобы учащиеся осознали следующее:
1) изученные ранее линейные и квадратные уравнения являются целыми уравнениями первой и второй степени соответственно;
2) уравнение первой степени может иметь не более одного корня;
3) уравнение второй степени может иметь не более двух корней.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке учащиеся выполняют задания на определение степени целого уравнения и приведение целых уравнений к виду Р (х) = 0. Для решения нужно предлагать им уравнения не выше второй степени.
Упражнения:
1. Приведите уравнение к виду Р (х) = 0 и определите его степень:
а) 2х (1 – 3х) + (х + 4) (х2 – 1) = 0;
б) (х3 – 2) (1 + 3х2) – 3 (х4 – 1) = 5;
в) (х – 1) (х + 2) (х – 3) = х – 4х2 (2 – х5).
2. Какие из следующих чисел –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3 являются корнями уравнения:
а) х3 – 4х = 0;
б) х2 (х + 1) + (х + 4) = 4;
в) х4 – 5х2 + 4 = 0?
3. № 266 (а, в), № 267 (б, г).
4. № 268.
Р е ш е н и е
5х6 + 6х4 + х2 + 4 = 0.
Выражения 5х6, 6х4 и х2 могут принимать только неотрицательные значения при любых значениях х. Поэтому выражение 5х6 + 6х4 + х2 + 4 при любых значениях х принимает только положительные значения, а значит, не может быть равно нулю, то есть уравнение 5х6 + 6х4 + х2 + 4 = 0 не имеет решений.
Д о п о л н и т е л ь н о: № 270.
Р е ш е н и е
Пусть ребро куба равно х см, тогда его объем равен х3 см3. Если увеличить ребро куба на 3 см, то оно станет равно (х + 3) см, а объем куба будет равен (х + 3)3 см3.
Составим и решим уравнение:
(х + 3)3 = х3 + 513;
х3 + 9х2 + 27х + 27 = х3 + 513;
9х2 + 27х – 486 = 0;
х2 + 3х – 54 = 0;
х = 6;
х = – 9 – не удовлетворяет условию задачи.
О т в е т: 6 см.
V. Итоги урока.
В о п р о с ы у ч а щ и м с я:
– Какое уравнение называется целым?
– Что такое степень целого уравнения?
– Какова степень уравнения 2х3 – 5 + х6 = 0?– Сколько корней может иметь целое уравнение первой степени? второй степени?Домашнее задание: № 266 (б, г), № 267 (а, в), № 269.Д о п о л н и т е л ь н о: № 271.У р о к 25 Дата:
ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЦЕЛЫХ УРАВНЕНИЙЦели: изучить основные методы решения целых уравнений; формировать умение применять эти методы.Ход урокаI. Организационный момент.II. Устная работа.№ 265.III. Проверочная работа.В а р и а н т 11. Какие из чисел: –3; –1; 0; 2; 3 – являются корнями уравнения2х3 + х2 – 13х + 6 = 0?2. Решите уравнение:а) ; б) .3*. Составьте какое-либо уравнение третьей степени, имеющее корни –2; 2 и 5.В а р и а н т 21. Какие из чисел: –2; –1; 0; 2; 3 – являются корнями уравнения 3х3 –– 5х2 – 11х – 3 = 0?2. Решите уравнение:а) = 1; б) – 1 = 0.3*. Составьте какое-либо уравнение третьей степени, имеющее корни 0; –3 и 5.IV. Объяснение нового материала.На этом уроке необходимо рассмотреть два основных метода решения целых уравнений и сделать ряд важных выводов.1. А к т у а л и з а ц и я з н а н и й.В о п р о с ы у ч а щ и м с я:– Какое уравнение называется целым?– Что такое степень целого уравнения?– Как решаются целые уравнения первой и второй степени?2. В ы д е л е н и е м е т о д о в решения целых уравнений.Необходимо, чтобы учащиеся осознали, что им уже известны приемы решения целых уравнений первой и второй степени. Сообщить учащимся, что существуют также формулы корней целых уравнений третьей и четвертой степени, но их использование на практике неудобно.Существуют два основных метода решения целых уравнений выше второй степени:
 |  |
| Метод разложения на множители П р и м е р: х5 – 4х3 = 0; х3 (х2 – 4) = 0; х3 = 0; или х2 – 4 = 0; х = 0. х2 = 4; х = ± 2. О т в е т: –2; 0; 2. | Метод введения новой переменной П р и м е р: 9х4 – 10х2 + 1 = 0. Пусть х2 = а, тогда 9а2 – 10а + 1 = 0; а1 = 1 и а2 = ; х2 = 1 и х2 = ; х = ± 1 и х = ± . О т в е т: ± 1, ± . |
| 2х2 + 3 = 1; или 2х2 = –2. Решений нет. | 2х2 + 3 = 11; 2х2 = 8; х2 = 4; х = ± 2. |
| х2 + х – 1 = –8; или х2 + х + 7 = 0; D = 1 – 28 = –27. Решений нет. | х2 + х – 1 = 5; х2 + х – 6 = 0; х1 = –3, х2 = 2. |
О т в е т: –3; 2.VI. Итоги урока.В о п р о с ы у ч а щ и м с я:– Что называется степенью целого уравнения?– Как решаются целые уравнения первой степени? второй степени?– Существуют ли формулы для решения целых уравнений третьей и четвертой степени? Почему они редко применяются на практике?– Какими методами могут быть решены целые уравнения выше второй степени?– Опишите сущность каждого из методов решения целых уравнений.Домашнее задание: № 272 (б, г, е, з), № 278 (б, г, е), № 276 (б, г). У р о к 26 Дата:
РЕШЕНИЕ ЦЕЛЫХ УРАВНЕНИЙ РАЗЛИЧНЫМИ МЕТОДАМИЦель: продолжить формирование умения применять различные методы при решении целых уравнений выше второй степени.Ход урокаI. Организационный момент.II. Устная работа.Определите, каким методом может быть решено каждое из данных целых уравнений:а) 7х5 + 3х4 = 0; г) ;б) х4 + 3х2 – 4 = 0; д) (х2 – 5)2 + 2(х2 – 5)2 + 1 = 0;в) х3 + х2 + х + 1 = 0; е) (х2 – 2х) (х2 + 4 – 2х) = 3.III. Формирование умений и навыков.На этом уроке учащиеся продолжают применять разные методы решения целых уравнений. При этом внимание уделяется не только грамотному их использованию, но и умению распознавать по внешнему виду уравнения тот метод, который целесообразно применить в данной ситуации.Упражнения:1. № 273 (в. д), № 279 (д), № 282 (а), № 277 (а, в), № 282 (а).2. № 283 (а).Р е ш е н и ех5 + х4 – 6х3 – 6х2 + 5х + 5 = 0.Разложим выражение, стоящее слева, на множители методом группировки. Получим:х4 (х + 1) – 6х2 (х + 1) + 5 (х + 1) = 0;(х + 1) (х4 – 6х2 + 5) = 0;
| х + 1 = 0; или х = –1. | х4 – 6х2 + 5 = 0; х2 = t; t2 – 6t + 5 = 0; t1 = 1, t2 = 5; х2 = 1, х2 = 5; х = ±1, х = ± . |