Файл: Учебное пособие Учебное пособие разработано в Омском государственном тех ническом университете.pdf

26
Рисунок 2.25 – Прямоугольная система координат
Рисунок 2.26 – Угловая (ангулярная) система координат
2.6. Классификация ориентирующих степеней подвижности
Если в заданной точке рабочего пространства манипулятора его схват должен иметь вполне определенную ориентацию, то манипулятор необходи- мо снабдить в общем случае тремя ориентирующими степенями подвижно- сти. Хотя в промышленных роботах обычно обходятся одной - двумя ориен- тирующими степенями подвижности.
Чтобы не вносить помехи в положение схвата или свести их к миниму- му, ориентирующие степени подвижности делают так, чтобы они как можно меньше перемещали схват.

27
Приведем основные манипуляционные системы, обеспечивающие ори- ентирующие движения схвата (рис. 2.27-2.29).
Рисунок 2.27 – Обеспечение полной пространственной ориентации схвата
Рисунок 2.28 – Ротация с дополнительным пространственным движением схвата
Рисунок 2.29 – Ротация схвата
4. Без ориентирующих степеней подвижности (в этом случае оборудо- вание расставляется так, чтобы рука робота оказывалась в требуемом относи- тельно него положении).

28
Следует заметить, что по первой схеме выполнено примерно 10% ориен- тирующих степеней подвижности роботов, по второй – примерно 25%, по третьей – примерно 37%.
Вопросы к лекции 2:
1. Дайте определения основным понятиям структуры манипуляционных систем: манипулятор, кинематическое звено, кинематическая пара, кинема- тическая цепь, разомкнутая и замкнутая кинематические цепи.
2. Приведите классификацию кинематических пар по классам и типам движения.
3. Приведите классификацию робототехнических систем по переносным степеням подвижности.
4. Приведите классификацию робототехнических систем по ориентиру- ющим степеням подвижности.
5. Какие системы координат используются при описании движения ро- бота?
6. Приведите схемы роботов, работающих в наиболее используемых в робототехнике системах координат.
7. Назовите наиболее распространенные в технике схемы манипуляторов роботов.

29

30
Рисунок 3.1 – Положение схвата манипулятора в инерциальной системе координат
В свою очередь, положение i-го звена относительно предыдущего (i-1)- го (рис.3.2) устанавливается с помощью обобщенной координаты q i
(i=1,.., n): го.
-
1)
-
(i но относитель звена го
- i
движении ьном поступател при
-
S
го;
-
1)
-
(i но относитель звена го
- i
движении ом вращательн при
- q
i i
i


а) б)
Рисунок 3.2 – Обобщенные координаты: а) вращательная кинематиче- ская пара; б) поступательная кинематическая пара

31
Следовательно, необходимо иметь математический аппарат, позволя- ющий установить для манипулятора любой конфигурации математиче- скую модель его кинематики, которую в общем виде можно представить следующим образом:
- для прямой задачи кинематики:
















).
t
;
q
,...,
q
,
q
(
f y
^
x
);
t
;
q
,...,
q
,
q
(
f z
^
y
);
t
;
q
,...,
q
,
q
(
f z
^
x
);
t
;
q
,...,
q
,
q
(
z z
);
t
;
q
,...,
q
,
q
(
y y
);
t
;
q
,...,
q
,
q
(
x x
n
2 1
3
n
0
n
2 1
2
n
0
n
2 1
1
n
0
n
2 1
n
0
n
2 1
n
0
n
2 1
n
0
- для обратной задачи кинематики:



















)
t
;
y x
,
z y
,
z x
;
z
,
y
,
x
(
q q
......;
);
t
;
y x
,
z y
,
z x
;
z
,
y
,
x
(
q q
);
t
;
y x
,
z y
,
z x
;
z
,
y
,
x
(
q q
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
n n
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0 2
2
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0
n
0 1
1
Задачи подобного ряда сводятся к преобразованию координат. В об- щем случае для того, чтобы зафиксировать одну систему координат отно- сительно другой необходимо шесть координат: смещение по трем осям и поворот вокруг этих осей.
3.2. Однородные координаты в кинематике манипуляторов роботов.
Матрицы перехода 4×4 кинематических пар 5-го класса
При составлении математических моделей кинематики манипуляторов наибольшее распространение получило матричное исчисление. Долгое вре- мя для этой цели использовалось сочетание матриц поворота размером 3×3, элементами которых были направляющие косинусы углов между осями (трех

32 осей одной системы координат относительно трех осей другой) и матриц пе- реноса размером 3×1, элементами которых служили координаты по трем осям начала соответствующей системы координат.
Наличие двух матриц разной размерности и разного назначения приво- дило к необходимости использовать операции умножения и сложения мат- риц, к усложнению алгоритма вычисления, а следовательно, к увеличению машинного времени, что сказывается на отработке управляющих сигналов в реальном времени и на управляемости робота.
В последние десятилетия стали использовать комплексные матрицы пе- рехода размером 4×4, позволяющие осуществлять одновременно поворот и перенос (смещение) одних координат по отношению к другим. В этом случае для описания положения точки в пространстве используются однородные координаты, в которых к обычным координатам добавляется четвертая, рав- ная единице. То есть координатами точки будут (x i
, y i
z i
, 1). Если известны однородные координаты (x i
, y i
, z i
, 1) вектора R
i некоторой точки A
i в «ста- рой» i-ой системе координат, то однородные координаты (x i-1
, y i-1
, z i-1
, 1) век- тора R
i-1
этой точки A
i в «новой» (i-1)-й системе координат рассчитываются в общем случае по известным формулам:
,
1
z
90
C
y
90
C
x
90
C
1
;
z z
)
z z
(
C
y
)
y z
(
C
x
)
x z
(
C
z
;
y z
)
z y
(
C
y
)
y y
(
C
x
)
x y
(
C
y
;
x z
)
z x
(
C
y
)
y x
(
C
x
)
x x
(
C
x i
i i
i
О
i
,
1
i i
i
1
i i
i
1
i i
i
1
i i
,
1
i i
О
i
,
1
i i
i
1
i i
i
1
i i
i
1
i i
,
1
i i
О
i
,
1
i i
i
1
i i
i
1
i i
i
1
i i
,
1
i











































(3.1) где C – символ, обозначающий тригонометрическую функцию
«cosinus», x i-1,i
^x i
,…, z i-1,i
^z i
– углы, образуемые осями «старой» i-й системы координат с осями «новой» (i-1)-й системы так, что поворот определенной оси (i-1)-й системы до совмещения с соответствующей осью i-й системы должен видеться против часовой стрелки; i
O
i
1,
i i
O
i
1,
i i
O
i
1,
i z
,
y
,
x



- координаты начала координат О
i i-й системы в системе координат
1
i
1
i
1
i
1
i
Z
Y
X
O




. Три-

33 гонометрические функции
)
z z
(
C
),....,
x x
(
C
i i
,
1
i i
i
,
1
i




называют направля- ющими косинусами осей i-ой системы в (i-1)-ой.
Взаиморасположение i-й системы координат относительно (i-1)-й пред- ставлено на рис. 3.3 и 3.4: на рис. 3.3 показаны координаты i
O
i
,
1
i i
O
i
,
1
i i
O
i
,
1
i z
,
y
,
x



и x i-1
, y i-1
, z i-1
; на рис. 3.4 углы n
0
n
0
n
0
y x
,
z y
,
z x



, определяющие ориентацию i-го звена, относительно (i-1)-го.
Рисунок 3.3 – Расположение i-й системы координат относительно (i-1)-й

34
Рисунок 3.4 – Ориентация i-й систем координат относительно (i-1)-й
Выражение (3.1) можно переписать в матричном виде:
1
z y
x
1 0
0 0
a a
a a
a a
a a
a a
a a
1
z y
x i
i i
34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11
i
,
1
i i
,
1
i i
,
1
i





или в векторном: i
,
i i
,
1
i i
,
1
i
R
R





, (3.2) где
1 0
0 0
a a
a a
a a
a a
a a
a a
34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11
i
,
1
i



– однородная матрица перехода от i-й к (i-1)-й системе координат.

35
Матрицу i
,
1
i


можно представить как блочную матрицу:
,
1 0
L
1
i i
,
1
i i
,
1
i






в которой матрица
)
z z
(
C
)
y z
(
C
)
x z
(
C
)
z y
(
C
)
y y
(
C
)
x y
(
C
)
z x
(
C
)
y x
(
C
)
x x
(
C
a a
a a
a a
a a
a i
1
i i
1
i i
1
i i
1
i i
1
i i
1
i i
1
i i
1
i i
1
i
33 32 31 23 22 21 13 12 11
i
,
1
i






















является матрицей поворота i-й системы координат относительно (i-1)-й и содержит соответствующие направляющие косинусы.
Матрица i
,
1
i
L

является матрицей переноса начала координат i-й си- стемы до совмещения с началом (i-1)-й системы координат: i
O
i
,
1
i i
O
i
,
1
i i
O
i
,
1
i
34 24 14
i
,
1
i z
y x
a a
a
L






Переход от одной системы координат к другой с помощью матричного аппарата оказывается удобным средством описания кинематики манипулято- ра.
Чтобы использовать матричный аппарат преобразования координат для описания кинематики манипуляторов, необходимо связать с каждым i-м зве- ном манипулятора систему координат, расположенную определенным обра- зом в i-ой кинематической паре на i-м звене.
В этом случае переход от i-й системы координат к (i-1)-й с помощью однородной матрицы перехода i
,
1
i


можно трактовать как пересчет извест- ных координат i
i i
z
,
y
,
x
,1 точки А некоторого i-го звена в новую (i-1)-ю си- стему координат, связанную с (i-1)-м звеном.
При переходе от i-ой системы координат к (i-1)-й полагают, что оси i-ой системы «уходя» от (i-1)-й, из положения, когда они полностью совпадали с

36
(i-1)-й системой, в положение, которое они занимают, вращались против ча- совой стрелки относительно соответствующей оси поворота.
Иногда удобно считать, что до совмещения с i-й системой должна пере- мещаться (i-1)-я система координат до полного совпадения с i-й системой, как бы повторяя перемещения, которые произвела i-я система, «уходя» от
(i-1)-й.
В общем случае, чтобы совместить «новое» (i-1)-е положение со «ста- рым» i-м положением системы, используя движение «новой» системы к
«старой», необходимо, как отмечалось, шесть независимых перемещений от- носительно трех осей координат.
Вопросы к лекции 3:
1. С помощью каких параметров определяется положение схвата мани- пуляторов в инерциальной системе координат?
2. Какова постановка прямой задачи кинематики манипуляторов робо- тов?
3. Какова постановка обратной задачи кинематики манипуляторов робо- тов?
4. С какой целью в кинематике роботов используют однородные коор- динаты?
5. Поясните составляющие системы формул для преобразования коор- динат.
6. Каким образом осуществляется переход к матричному представлению формул для преобразования координат?

37
Лекция 4. Определение взаимного положения последовательно
соединенных звеньев манипуляционных систем
4.1. Специальные системы координат Денавита-Хартенберга
В тех случаях, когда в манипуляторах роботов используются только одноподвижные вращательные и поступательные кинематические пары, для определения положения систем координат, связанных со звеньями ма- нипулятора, достаточно четырех специальных координат Денавита-
Хартенберга. При этом сами системы координат должны быть связаны со звеньями и кинематическими парами манипулятора вполне определенным образом.
Специальные системы координат манипуляторов были предложены американскими учеными И. Денавитом и Р. Хартенбергом в 1955 – 1960 гг.
Вначале они предназначались для задания осей кинематических пар рычажных пространственных механизмов с низшими парами. В последнее время специальная координатная система была успешно применена к опи- санию кинематики манипуляторов. Это связано с тем, что манипуляторы с одноподвижными вращательными и поступательными парами обладают рядом регулярных особенностей, хорошо согласующимися со свойствами координатной системы Денавита-Хартенберга (рис. 4.1).

38
Рисунок 4.1 – Специальные системы координат Денавита-Хартенберга
Для задания положения системы координат O
i
X
i
Y
i
Z
i
, связанной с i-м звеном, в системе O
i-1
X
i-1
Y
i-1
Z
i-1 координат (i-1)-го звена по Денавиту-
Хартенбергу необходимо вначале определить положение кратчайшего рас- стояния L
z-1
L
z
(рис. 4.1) между осями Z
i-1
Z
i
. Положение системы коорди- нат O
i
X
i
Y
i
Z
i в системе координат O
i-1
X
i-1
Y
i-1
Z
i-1 будет определено, если установить параметры, фиксирующие это положение в результате движе- ния определенным образом (i-1)-ой системы до положения, совпадающего с i-й системой координат. Для этого:
1) повернем ось X
i-1 на угол θ
i до положения, в котором она парал- лельна кратчайшему расстоянию L
i-1
L
i
(перпендикулярно проекции оси Z
i на плоскость O
i-1
X
i-1
Y
i-1
Z
i-1
);
2) переместим повернутую систему координат O
i-1
X
i-1
Y
i-1
Z
i-1 по оси Z
i-1 на величину S
i до совпадения начала координат этой системы с точкой L
i-1 так, чтобы ось O
i-1
X
i-1 совпала с кратчайшим расстоянием L
i-1
L
i
;
3) переместим параллельно самой себе (i-1)-ю систему координат на величину а i так, чтобы начало координат этой системы совпало с точкой пересечения L
i кратчайшего расстояния L
i-1
L
i с осью Z
i
;