Файл: Учебное пособие Учебное пособие разработано в Омском государственном тех ническом университете.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.11.2023
Просмотров: 425
Скачиваний: 21
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
54 то расстояние S
2
будет переменным, следовательно q
2
= S
2
. Величины
2
, а
2
и
2
найдены по общему правилу:
2
= π,
2
= 0,5π, a
3
= a
3
*
Система О
3
X
3
Y
3
Z
3
выбрана по правилу, действующего для n-го (по- следнего) звена: начало О
3
координат назначено в центре А
3
схвата, ось Х
3
направлена перпендикулярно оси Z
2
. Так как пара А
2
вращательная, то пере- менным параметром будет угол
3
, следовательно, q
3
=
3
. Параметры S
3
, a
3
и
3
определяются по общему правилу: S
3
= 0 (так как после поворота оси Х
2
на угол
3
оси X
2
и X
3
совпали), a
3
= a
3
*
,
3
= - 90
o и являются постоянными.
Примечание: a
2
*
и a
3
*
– некоторые фиксированные значения параметров a
2 и a
3
Заполним таблицу кинематических пар для данного манипулятора.
5.2. Расчет положения схвата в пространстве абсолютных координат
Прямая задача кинематики манипуляторов заключается, как отмечалось, в определении положения его звеньев в неподвижной (инерциальной) систе- ме координат по известным значениям обобщенных координат и при извест- ных значениях кинематических размеров звеньев.
55
Важным частным видом прямой задачи кинематики манипулятора явля- ется определение положения его схвата, закрепленного на последнем n-м звене манипулятора.
Положение схвата в неподвижной системе координат будет определено полностью, если будут известны координаты его центра А
n и ориентация по- следнего n-го звена в неподвижной системе координат. В нашем случае, ко- гда в центр А
n схвата помещено начало n-й системы координат, для опреде- ления положения и ориентации схвата достаточно определить координаты начала n-й системы координат в системе координат, связанной с 0-м звеном.
Запишем формулу (3.2) для n звеньев,как бы «пятясь» от звена n к звену 0.
R
T
R
,
R
T
R
,
,
R
T
R
,
R
T
R
n
,
1 1
,
0
n
,
0
n
2 2
,
1
n
,
1
n
,
1
n
1
n
,
2
n n
,
2
n nn n
,
1
n n
,
1
n
Подставив в последнее равенство последовательно все предыдущие, по- лучим nn n
,
1
n
12 01
n
0
R
T
T
T
R
или в более общем виде nn n
0
n
0
R
T
R
,
(5.1)
где
T
T
T
T
T
n
,
1
n i
,
1
i
12 01
n
0
(5.2)
Каждый элемент матрицы Т
0n содержит информацию о взаиморасполо- жении системы координат О
n
X
n
Y
n
Z
n в неподвижной системе координат
О
0
X
0
Y
0
Z
0
:
1 0
0 0
a a
a a
a a
a a
a a
a a
T
n
0 34
n
0 33
n
0 32
n
0 31
n
0 24
n
0 23
n
0 22
n
0 21
n
0 14
n
0 13
n
0 12
n
0 11
n
0
56
Обратим внимание на важное обстоятельство: начало координат n-го звена совпадает с центром схвата x nn
= y nn
= z nn
= 0. Следовательно:
1 0
0 0
colon
R
nn
Таким образом, первые три элемента 4-го столбца матрицы T
0n
, а именно элементы
,
a n
0 14
,
a n
0 24
n
0 34
a представляют собой координаты центра схвата. Это объяснятся еще и тем, что эти элементы являются координатами, которые отражают смещение (перенос) начала координат n-ой системы относительно
0-й неподвижной системы координат.
В нашем же случае начало координат n-й системы и центр схвата A
n как отмечалось, совпадают, что и подтверждают равенства: х
0n
=
,
a n
0 14
y
0n
=
,
a n
0 24
z
0n
= n
0 34
a
Матрица T
0n по структуре полностью аналогична любой матрице Т
i-1,i
(4.1).
Значит, как и в матрице Т
i-1,i
, 1-й элемент 2-го столбца и первые два эле- мента 3-го столбца будут являться направляющими косинусами осей z n
и y n
относительно осей х
0
и y
0
, а именно:
;
a z
^
x cos n
0 13
n
0
;
a z
^
y cos n
0 23
n
0
a y
^
x cos n
0 12
n
0
Теперь можно определить углы между соответствующими осями: n
0 13
n
0
a arccos z
x
; n
0 23
n
0
a arccos z
y
; n
0 12
n
0
a arccos y
x
Перепишем матрицу T
0n
, опустив верхние индексы:
1 0
0 0
a a
a a
a a
a a
a a
a a
T
34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11
n
0
(5.3)
57
Заметим, что положение схвата в пространстве (координаты его центра
А
n и ориентацию n-го звена) мы определяем шестью наддиагональными эле- ментами матрицы T
0n
. Таким образом, шесть наддиагональных элементов матрицы T
0n дают полную информацию о положении схвата в пространстве.
Следовательно, отпадает необходимость в использовании формулы
(5.1), а достаточно использовать выражение (5.3) в виде: n
,
1
n
3
,
2 2
,
1 1
,
0 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11
T
T
T
T
1 0
0 0
a a
a a
a a
a a
a a
a a
(5.4) и воспользоваться наддиагональными элементами а
12
, а
13
, а
23
и а
14
, а
24
,а
34
5.3. Определение взаиморасположений промежуточных звеньев
манипулятора
Для определения положения любого промежуточного i-го звена манипу- лятора относительно стойки надо перемножить соответствующее число пер- вых слева матриц перехода, то есть воспользоваться выражением
T
T
T
1 0
0 0
a a
a a
a a
T
i
,
1
i
12 01
i
0 34
i
0 24
i
0 23
i
0 14
i
0 13
i
0 12
i
,
0
Наддиагональные элементы дадут искомое решение.
Можно также определить положение любого m-го звена относительно k-го звена (k
1
m
2
k
,
1
k
1
k
,
k m
,
k
T
T
T
T
Заметим, что в силу закона ассоциативности исходные матрицы – сомножители, записанные в порядке возрастания номеров звеньев и пар ма- нипулятора, можно перемножать как справа налево, так и слева направо.
58
Перемножение справа налево более наглядно, т.к. последовательно ко- ординаты схвата пересчитываются в предыдущие системы координат: «счет пятясь». Так удобно умножать, когда определяется положение только схвата.
Перемножение слева направо позволяет попутно определить положения всех промежуточных звеньев. Для этого достаточно лишь обеспечить в ходе вычислительного процесса запоминание (сохранение) наддиагональных эле- ментов матриц, получаемых как промежуточные при расчете.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Вопросы к лекции 5:
1. В каких случаях и какие параметры кинематических пар выступают в роли обобщенных координат?
2. Каким образом составляется таблица кинематических пар манипуля- тора?
3. Приведите последовательность расчета положения схвата в абсолют- ном пространстве на основе матриц перехода 4х4.
4. С помощью каких элементов результирующей матрицы определяется положение схватов в пространстве?
5. Каким образом можно определить положение в пространстве проме- жуточных звеньев манипулятора относительно стойки?
6. Каким образом можно определить положение одного промежуточного звена относительно другого промежуточного звена?
Лекция 6. Решение прямой задачи кинематики при позиционном
управлении
Позиционное управление обеспечивает движение схвата от одной фик- сированной точки к другой с остановкой в каждой точке. Поэтому с теорети- ческой точки зрения достаточно рассмотреть движение между двумя сосед-
59 ними точками, одну из которых можно считать начальной (точка, в которой схват находится в данное время), а другую – конечной – куда схват должен переместиться.
При позиционном управлении таких точек обычно более 2-х.
Цикловое управление является частным случаем позиционного. При цикловом управлении задается две точки позиционирования, находящиеся, как правило, на значительном расстоянии друг от друга: место хранения за- готовок – рабочая зона станка. На данном этапе будем считать, что для реше- ния прямой задачи при позиционном управлении известны координаты начальной и конечной точек схвата в неподвижной системе координат, свя- занной с неподвижным (0-м) звеном манипулятора. И главное, будем счи- тать, что известны значения обобщенных координат, соответствующих начальному и конечному положениям схвата. Например, для двухподвижно- го манипулятора (рис. 6.1) должны быть известны значения: н
1
н
1
q
; к
1
к
1
q
; н
2
н
2
q
; к
2
к
2
q
Рисунок 6.1 – Двухподвижный манипулятор
60
Прямая задача кинематики в этом случае разделяется на две подзадачи:
1-я подзадача: планирование траекторий в пространстве обобщенных координат. Эта подзадача сводится к определению положения одного звена относительно предшествующего ему звена, то есть к определению обобщен- ных координат в функции времени:
)
t
(
q q
i i
, (
n
,...,
1
i
).
2-я подзадача заключается в определении траектории движения схвата и его ориентации в пространстве (а при необходимости и всех других харак- терных точек звеньев) при его движении от начальной точки к конечной. Эта подзадача является, по сути, задачей анализа траектории схвата с целью вы- яснения допустимости этой траектории по геометрическим, кинематическим и динамическим параметрам.
6.1. Синтез законов движения по обобщенным координатам
манипулятора (первая подзадача)
Решение 1-й подзадачи начинается с выбора общего вида закона движе- ния звеньев по обобщенной координате.
Наибольшее распространение получили два закона движения: прямоугольный и синусоидальный законы движения (названия даны по виду диаграмм ускорений).
Для прямоугольного закона характерно минимально возможные при данной длительности интервалов разгона и торможения значения ускорений, а, следовательно, и сил инерций при движении одного звена относительно другого. Однако в начале и конце интервалов разгона и торможения возникают так называемые «мягкие» удары, связанные с мгновенным изменением в указанные моменты инерционных воздействий (сил или моментов сил инерций).
61
При движении i-го звена относительно (i-1)-го по прямоугольному закону (рис. 6.2) i-е звено на интервале t р
разгоняется под действием прилагаемого усилия, развивающего постоянное ускорение i
q
. При достижении скорости
П
i q ускорение принимает значение, равное 0, а усилие привода тратится на преодоление сил трения.
На интервале торможения работают устройства торможения, которые развивают силовое воздействие для обеспечения отрицательного ускорения
T
i q
Длительности интервалов разгона t рi
, движения с постоянной скоростью t
Пi и торможения t
Ti связаны зависимостью
T
t t
t
Ti
Пi рi
, где Т – заданное время движения от начальной точки к конечной. По- этому произвольно можно назначать лишь длительности двух интервалов, например: t рi и t
Ti
. Для обеспечения наибольшего быстродействия робота сле- дует принять
T
5
,
0
t t
Ti pi
В этом случае в первую половину интервала движение i-го звена будет равно ускоренным, а во вторую – равно замедленным.
6.1.1. Синтез прямоугольного закона движения из физических
предпосылок
Так как в конце интервала разгона и вначале интервала торможения ско- рость i-го звена одинакова, то
Ti
T
i pi p
i t
q t
q
, значит
Ti pi
Р
i
T
i t
/
t q
q
. (6.1)
62
При выбранных длительностях интервалов разгона и торможения необ- ходимо найти такую величину ускорения p
i q
, при которой бы звено за задан- ное время Т переместилось из начальной точки в конечную, т.е. прошло бы заданный путь q i
Н
По графику перемещения i-го звена (рис. 6.2) можно записать уравнение связи:
Рисунок 6.2 – Закон движения – прямоугольное ускорение
Н
i
К
i
2
Ti
T
i
Пi pi p
i
2
pi p
i q
q t
q
5
,
0
t t
q t
q
5
,
0
, (i = 1,…,n).
Откуда с учетом зависимости (6.1) получим
pi t
Ti t
5
,
0
Пi t
pi t
5
,
0
/
)
Н
i q
К
i q
(
q p
i
После определения обобщенных ускорений p
i q
и
T
i q
по известным зави- симостям можно определить обобщенные скорости i
q и обобщенные коор- динаты i-го звена в любой момент времени: