Файл: Учебное пособие Учебное пособие разработано в Омском государственном тех ническом университете.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.11.2023
Просмотров: 424
Скачиваний: 21
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
39 4) повернем (i-1)-ю систему вокруг оси X'
i-1 на угол α
i против часовой стрелки до совпадения с осью Z
i
Понятно, что положение i-й системы координат в (i-1)-й будет полно- стью определено четырьмя параметрами: θ
i
, S
i
, а i
и α
i
Введем ряд правил расположения осей и начал координат специаль- ной системы координат относительно кинематических пар и звеньев манипу- лятора.
Пронумеруем кинематические звенья от неподвижного звена до наиболее удаленного, на котором закреплен схват, присвоив им соответ- ственно номера от 0 до n (рис. 4.2), где n – число подвижных звеньев ма- нипулятора.
Обозначим кинематические пары символом А
i
, нижний индекс кото- рого равен меньшему из номеров звеньев, образующих кинематическую пару.
Например, кинематическая пара А
1
соединяет кинематические звенья
1 и 2, а кинематическая пара А
3
– кинематические звенья 3, 4 и т. д.
Введем понятие оси z i
i-й кинематической пары. Осью z i
i-й враща- тельной кинематической пары, соединяющей i-ое звено с (i+1)-м является ось шарнира кинематической пары. Эту ось будем считать принадлежащей i-му звену и жестко с ним соединенной. Именно вокруг этой оси вращается
(i+1)-е звено относительно i-го.
Осью z i поступательной пары является какая-либо из прямых, па- раллельная направляющей данной поступательной пары. Если ось z i не параллельна оси z i-1
, то ее рекомен- дуется направлять так, чтобы она пересекалась с этой осью.
Рисунок 4.2 – Обозначение кинема- тических звеньев и пар манипулятора
40
За положительное направление оси z i
можно взять любое, в частности, направления снизу вверх, слева направо, к наблюдателю от наблюдателя или близкие к ним направления.
Важным моментом при расположении системы координат на i-м звене манипулятора является выбор ее начала координат О
i и направление оси x i
Введем соответствующие правила для различных случаев взаиморас- положения осей z i
и z i-1
Оси z
i
и z
i-1
перекрещиваются (рис. 4.3): начало координат распола- гается в точке пересечения линии кратчайшего расстояния между осями z i
и z i-1
с осью z i
. В этом случае ось х i
направляется по линии кратчайшего расстояния в сторону от оси z i-1
к оси z i
. Это наиболее общий случай. Дру- гие варианты взаиморасположения осей z i-1
и z i
следует рассматривать как частные рассмотренного.
Рисунок 4.3 – Перекрещивающиеся оси z i и z i-1
Оси z
i
и z
i-1
параллельны (рис. 4.4): за начало координат может быть принята любая удобная по каким-либо соображениям точка оси z i
. Ось х i
направляется так, чтобы она лежала в плоскости, образуемой осями z i
и z i-1
41
Рисунок 4.4 – Оси z i и z i-1
параллельны
Оси z
i
и z
i-1
совпадают (рис. 4.5): начало О
i системы координат мо- жет быть назначено в любой удобной по каким-либо дополнительным условиям точке оси z i
, а ось х i
направлена перпендикулярно оси z i
в произ- вольном направлении (как правило, в направлении развития i-го звена, т.е. по i-му звену).
Оси z
i
и z
i-1
пересекаются (рис. 4.6): за начало О
i координат прини- мается точка их пересечения, а ось х i
направляется по общему перпенди- куляру к осям z i
и z i-1
Во всех случаях ось у i
направляется так, чтобы система координат бы- ла правой.
Рисунок 4.5 – Оси z i и z i-1
Рисунок 4.6 – Оси z i и z i-1
совпадают пересекаются
42
Эти правила не действуют в полной мере при выборе системы коор- динат, связанной со стойкой (звено 0), так как отсутствует (i-1)–я кинема- тическая пара, и системы координат, связанной с последним звеном, на ко- тором закрепляется схват, так как это последнее звено не содержит кине- матической пары для соединения со следующим звеном.
Начало О
0
системы координат, связанной со стойкой, может быть рас- положено в любой точке оси z
0
, а направление оси x
0
принимается произ- вольно по дополнительным условиям (рис. 4.7).
Начало О
n системы координат, связанной с последним n-м звеном ма- нипулятора (рис. 4.8), на котором закреплен схват, располагается в точке, принимаемой за центр схвата (за характерную точку схвата), а ось х n
направляется перпендикулярно оси z n-1
. Оси z n
может быть назначено про- извольное направление, например, по оси захватываемой детали или тех- нологического инструмента или перпендикулярно ей.
Рисунок 4.7 – Система координат, Рисунок 4.8 – Система координат, связанная с неподвижным звеном связанная со схватом
43
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
4.2. Преобразования Денавита-Хартенберга
При использовании преобразований Денавита-Хартенберга используют следующие элементарные перемещения одной системы координат, связанной определенным образом со звеном манипулятора, относительно системы ко- ординат, связанной с другим его звеном (здесь используется метод «ухода»
(i-1)-й системы координат от ее исходного положения до положения, совпа- дающего с i-й системой координат).
1. Поворот системы (i-1) вокруг оси Z
i-1
против часовой стрелки (если смотреть со стороны оси Z
i-1
) на угол i
до положения, в котором ось X
i-1
окажется параллельной и однонаправленной с осью X
i
2. Сдвиг повернутой (i-1)-й системы вдоль оси Z
i-1
на величину S
i до совпадения оси X
i-1 с осью X
i
3. Сдвиг системы (i-1) вдоль оси X
i на величину a i
до совпадения начал координат систем (i-1) и i;
4. Поворот (i-1)-й системы вокруг оси X
i против часовой стрелки (если смотреть со стороны оси X
i
) на угол α
i до совмещения оси Z
i-1
с осью Z
i
Перечисленные эволюции (i-1)-й системы координат при движении к i-й применительно к звеньям манипулятора показаны на рис. 4.9.
44
Рисунок 4.9 – Преобразования Денавита – Хартенберга
Каждое из упомянутых элементарных движений (i-1)-й системы коорди- нат описывается соответствующей частной матрицей перехода:
1. Поворот системы (i-1) вокруг оси Z
i-1
на угол Θ
i
:
;
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
Cθ
Sθ
0 0
Sθ
Cθ
T
i i
i i
Zθ
i
1,
i
45 2. Сдвиг по оси Z
i-1 на величину S
i
:
;
1 0
0 0
S
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1
T
i
ZS
i
1,
i
3. Сдвиг по оси X
i на величину a i
:
;
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
1 0
a
0 0
1
T
i
Xa i
1,
i
4. Поворот вокруг оси X
i на угол α
i
:
,
1 0
0 0
0
C
S
0 0
S
C
0 0
0 0
1
T
i i
i i
X
i
1,
i
где S есть обозначение тригонометрической функции «sinus».
Результирующая матрица перехода от i-й системы координат к (i-1)-й, то есть матрица, осуществляющая преобразования системы координат i-го звена в систему координат (i-1)-го звена, получается путем перемножения частных матриц перехода:
Xα
i
1,
i
Xa i
1,
i
ΖS
i
1,
i
ΖΘ
i
1,
i i
1,
i
Τ
Τ
Τ
Τ
Τ
Заметим, что параметры Θ
i
, S
i
, а i
, α
i могут принимать и отрицательные значения.
После перемножения частных матриц, результирующая матрица прини- мает вид:
46 1
0 0
0
S
C
S
0
S
a
S
C
-
S
C
S
С
a
S
S
C
S
-
C
T
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
1,
i
(4.1)
Матрица T
i -1,i является матрицей перехода 4×4 к (i-1)-й кинематической паре от i-й пары. Она позволяет найти по формуле (4.1) координаты x i−1
, y i−1
, z
i−1 некоторой точки А
i в системе (i-1) по известным координатамx i
, y i
, z i
этой точки в i-й системе координат и по известным параметрам Θ
i
, S
i
, а i
, α
i
, а также эта матрица дает возможность определить ориентацию i-го звена отно- сительно (i-1)-го. Для этого обычно используются наддиагональные элемен- ты матрицы T
i -1,i
:
).
C
S
arccos(
y x
;
S
z
);
S
C
arccos(
z y
;
S
a y
);
S
S
arccos(
z x
;
C
a x
i i
i
1
i i
O
i
,
1
i i
i i
1
i i
i
O
i
,
1
i i
i i
1
i i
i
O
i
,
1
i
4.3.
Определение
ориентации
звеньев
манипулятора
с
использованием углов Эйлера
Кроме направляющих косинусов, т.е. косинусов углов между осями ко- ординат X
i-1
, Z
i
; Y
i-1
,
Z
i и X
i-1
, Y
i при определении ориентации звеньев мани- пулятора успешно используются углы Эйлера. В кинематике роботов исполь- зуется система углов Эйлера, которая применяется в теории гироскопов и в астрономии при описании движения космических тел (рис. 4.10):
- угол прецессии – угол ометания, движения впереди, преддвижения;
- угол нутации – угол колебания оси собственного вращения;
- угол собственного вращения – угол вращения вокруг собственной оси.
47
При использовании этой системы углов Эйлера переход от (i-1)-й к i-й системе осуществляется в результате следующей последовательности эволю- ций (рис. 4.10):
1) поворот на угол прецессии
i вокруг оси Z
i-1
;
2) поворот на угол нутации
i вокруг повернутой оси O
i
X
i
;
3) поворот на угол собственного вращения
i вокруг повернутой оси
O
i
Z
i
Рисунок 4.10 – Углы Эйлера
Перечисленные эволюции i-й системы координат отражаются следую- щим произведением матриц:
48 1
0 0
0 0
i
Cθ
i
C
i
Sθ
i
S
i
Sθ
0
i
Sθ
i
Cψ
i
C
i
Cθ
i
Cψ
i
S
i
Sψ
i
S
i
Cθ
i
Cψ
i
C
i
Sψ
0
i
Sθ
i
Sψ
i
S
i
Cθ
i
Sψ
i
S
i
Cψ
i
S
i
Cθ
i
Sψ
i
C
i
Cψ
1 0
0 0
0 1
0 0
0 0
i
C
i
S
0 0
i
S
i
C
1 0
0 0
0
i
Cθ
i
Sθ
0 0
i
Sθ
i
Cθ
0 0
0 0
1 1
0 0
0 0
1 0
0 0
0
i
Cψ
i
Sψ
0 0
i
Sψ
i
Cψ
Z
i
1,
i
E
XΘ
i
1,
i
E
ZΨ
i
1,
i
E
Θ,
Ψ,
i
1,
i
E
Для определения углов Эйлера можно использовать ранее изложенный алгоритм решения прямой задачи кинематики с той разницей, что на заклю- чительном этапе должны быть вычислены значения углов Эйлера из сопо- ставления соответствующих элементов матриц Т
i-1,i и Е
i-1,,
а именно:
1) Рассчитываем матрицу Т
i-1,i
, в результате становятся известными численные значения ее элементов.
;
1 0
0 0
a
)
z z
(
C
)
y z
(
C
a a
)
z y
(
C
a a
a a
a a
1 0
0 0
a a
a a
a a
a a
a a
a a
T
34
i
1
i i
1
i
31 24
i
1
i
22 21 14 13 12 11 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11
i
1,
- i
2) Сопоставим те элементы матриц Т
i-1,i и Е
i-1,i
, которые наиболее про- сто позволяют определить углы Эйлера, а именно: i
33
C
a
;
33
i a
arccos
; i
i
23
sin cos a
;
)
sin
/
a arccos(
i
23
i
; i
i
32
cos sin a
;
)
sin
/
a arccos(
i
32
i
49
Вопросы к лекции 4:
1. Каким образом соотносятся специальные системы координат Денави- та-Хартенберга с исследованием кинематики манипуляционных систем?
2. Каким образом назначается номера кинематических звеньев и кинема- тических пар в манипуляторе по правилам Денавита-Хартенберга?
3. Каким образом назначаются оси Z
i и определяются начало координат и направление оси абсцисс специальных систем координат Денавита-
Хартенберга для промежуточных и оконечных звеньев манипуляторов?
4. Что представляют собой преобразования Денавита-Хартенберга для манипулятора?
5. Каким образом преобразования Денавита-Хартенберга записываются в матричной формуле?
6. Приведите результирующую матрицу перехода от (i-1)-й кинематиче- ской пары к i –й.
7. Каким образом выражается положение i-го звена в абсолютном про- странстве через элементы результирующей матрицы?
8. Назовите углы Эйлера, определяющие ориентацию i –го звена в си- стеме координат (i-1)-го звена.
9. С помощью каких элементов результирующей матрицы Эйлера целе- сообразно определять ориентацию одного звена относительно другого?
50
Лекция 5. Прямая задача кинематики манипуляционных систем с
последовательной кинематикой
5.1. Обобщенные координаты манипуляционных систем. Таблица
кинематических пар манипулятора
В принятых специальных системах координат ось Z
i всегда направлена:
во вращательной кинематической паре по оси вращения;
в поступательной паре параллельно направляющей кинематической пары.
Напомним также, что положение i-го звена относительно (i-1)-го опре- деляется обобщенной координатой q i
(i = 1,…, n).
Если два звена соединены вращательной парой (рис. 5.1, а), то при вра- щении i-го звена относительно (i-1)-го из четырех параметров
i
, S
i
, a i
и
i переменным будет параметр
i
, то есть во вращательной кинематической па- ре: q i
=
i
, S
i
= const, a i
= const,
i
= const.
Если два звена соединены поступательной парой (рис. 5.1, б), то при пе- ремещении i-го звена относительно (i-1)-го из четырех параметров
i
, S
i
, a i
и
i переменным будет параметр S
i
, то есть в поступательной паре: q
i
= S
i
,
i
= const, a i
= const,
i
= const.
Таким образом, из четырех параметров, ориентирующих i-ю систему ко- ординат, а следовательно, и i-е звено относительно (i-1)-го при движении i-го звена относительно (i-1)-го переменным будет один параметр
i или S
i
, а три остальных – постоянны.
51 а) б)
Рисунок 5.1 – Обобщенные координаты манипулятора: а) вращательная; б) поступательная кинематические пары
52
Для описания кинематики манипулятора целесообразно использовать специальную таблицу кинематических пар, в которой для конкретного мани- пулятора проставляются определенные значения параметров
i
, S
i
, a i
,
i
, а переменные параметры, являющиеся обобщенными координатами, отража- ются буквой q i
(i = 1,…, n).
Таблица кинематических пар манипулятора
Рассмотрим пример манипулятора, образованного последовательностью кинематических пар: вращательная – поступательная – вращательная
(рис.5.2).
53
Рисунок 5.2 – Специальные системы координат звеньев манипулятора
Обоснуем выбор систем координат звеньев манипулятора.
Система О
0
X
0
Y
0
Z
0
выбрана произвольно при обеспечении направления оси Z
0
по оси кинематической пары А
0
В системе О
1
X
1
Y
1
Z
1
: ось Z
1
направлена по направляющей кинематиче- ской пары А
1
и совмещена с осью Z
0
. Начало координат О
1 может быть вы- брано в любой точке оси Z
1
– в нашем случае она совмещена с точкой О
0
Поэтому S
1
= a
1
= 0, оси Z
0 и Z
1
совпадают, значит
1
=0. Ось О
1
X
1 направлена параллельно звену 2, поскольку так удобнее фиксировать поворот звена 2 совместно со звеном 1. Переменным является угол
1
, так как звено 1 вра- щается относительно звена 0, следовательно, q
1
=
1
Система координат О
2
X
2
Y
2
Z
2
выбрана по ранее изложенному правилу: так как пара А
1
поступательная (звено 2 перемещается относительно звена 1),