Файл: ege-2014-sovety_repetitora-glava_2.pdf

ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора 

www.EGEprosto.ru

Задание B8 

Страница 15 

ОТСТУПЛЕНИЕ: «АЗБУКА ТРИГОНОМЕТРИИ» 

1)

С большой вероятностью можно ожидать, что большинство заданий B8 будет связано с 

прямоугольным треугольником

.

А для их решения понадобится так называемая «теорема Пифагора». 
Ее суть состоит в том, что в любом прямоугольном треугольнике его стороны связаны 
следующим соотношением:  

с

2

=   ????

2

+ ????

2

 (рис.6а). 

В этой формуле длина гипотенузы обозначена буквой  

????

, а катеты – буквами  

????

 и 

 ????

. 

2)

Во многих заданиях упоминаются 

тригонометрические функции

: 

синус, косинус, 

тангенс, котангенс

.

 Не обсуждая подробно многие моменты, связанные с этими 

функциями, ограничимся только самым необходимым.  
А именно: все эти функции можно определить как 

отношения длин сторон в 

прямоугольном треугольнике.

Покажем это на том же прямоугольном треугольнике  (рис. 6а).  
И смысл тригонометрических функций поясним на примере угла A. 

РИСУНОК 6а 

Тригонометрические функции, которые являются отношением определенных двух сторон 
прямоугольного треугольника, показаны стрелками. Итак: 

sin A = ???? ????

⁄

(отношение противолежащего катета к гипотенузе), 

cos A = ???? ????

⁄

  (отношение прилежащего катета к гипотенузе), 

tg A =   ???? ????

⁄

  (отношение противолежащего катета к прилежащему), 

ctg A =   ???? ????

⁄

  (отношение прилежащего катета к противолежащему). 

Прилежащим называется катет, который «прилежит», то есть «находится рядом» с 
рассматриваемым углом. Противолежащим – катет, «лежащий напротив» угла. 

Если буквенные обозначения сторон сделать другими, то это приведет только к другой 
записи тригонометрических функций. А отношение сторон будет тем же самым. 

Помимо этой информации, полезно помнить, что тангенс и котангенс угла можно выразить 
не только через отношения сторон треугольника, но и через синус и косинус этого же угла, 
а также друг через друга. 

ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора 

www.EGEprosto.ru

Задание B8 

Страница 16 

А именно: 

tg α = sin α cos α

⁄

ctg α = cos ???? sin ????

⁄

tg α =

1

ctg α

ctg α =

1

tg α

3)

В большинстве задач упоминаются значения тригонометрических функций углов 

30°

 , 

45°

 или 

60°.

 И их, естественно, нужно помнить. А чтобы их «было откуда запомнить» 

без листания справочников, приведем таблицу этих значений. 

функция 

30° 

45° 

60° 

???????????? ????

1 2

⁄

√2 2

⁄

√3 2

⁄

???????????? ????

√3 2

⁄

√2 2

⁄

1 2

⁄

???????? ????

1 √3

⁄

1

√3

???????????? ????

√3

1

1 √3

⁄

4)

Довольно часто в тригонометрических заданиях приходится пользоваться известным 
соотношением  

(sin ????)

2

+ (cos ????)

2

= 1

 (

«

основное тригонометрическое тождество

»

). 

Обычно эта формула используется для выражения из нее синуса или косинуса. 
Если это проделать, то получится следующее: 

sin ???? = ±√1 − (cos ????)

2

cos ???? = ± √1 − (sin ????)

2 

В большинстве заданий B6 (в которых, как правило, идет работа с острыми углами 
треугольника) синус и косинус будут положительны. 
Но изредка встречаются 

тупые углы

 с величиной  

90° < ???? < 180°,

 y которых значения 

синуса положительно, а косинуса – отрицательно.

Если вы не хотите разбираться, почему 

знаки именно таковы, то лучше их просто как-нибудь запомнить.  
Вместе с тем, этот вопрос будет все-таки обсужден позже, в задании В15. 

5)

Как вы, наверное, заметили, «под знаком» тригонометрической функции стоит угол, 
который может быть обозначен разными способами:  

????, ????, ????, ????

  и так далее. 

На этом можно и закончить это Тематическое Отступление, такое краткое и почти приятное по 
сравнению с некоторыми последующими 



, и перейти к разбору примеров. 

ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора 

www.EGEprosto.ru

Задание B8 

Страница 17 

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАНИЙ B8 

ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора 

www.EGEprosto.ru

Задание B8 

Страница 18 

B8.1.  В ТРЕУГОЛЬНИКЕ АВС УГОЛ C РАВЕН 

????????°

, УГОЛ B РАВЕН 

????????°

, 

???????? = ????√????

.  

НАЙДИТЕ АС. 

Для подобных заданий можно предложить следующий порядок действий.  

1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ.  

На этом этапе нужно нанести на исходный рисунок все то, что дано в условии, и то, что нужно 
найти. Рекомендую использовать для этого разные цвета (которые очень «оживляют» рисунок и 
делают его значительно более понятным и полезным для работы). 
Для приведенного примера рисунок может быть, например, таким (рис. 8.1). 

РИСУНОК 8.1 

2-Й ЭТАП: ПОИСК НА РИСУНКЕ «ЗАЦЕПКИ» ДЛЯ ПОСЛЕДУЮЩЕГО РЕШЕНИЯ  
(ИЛИ ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КАКОГО-НИБУДЬ ТИПОВОГО ПРИЕМА). 

В нашем примере видно, что «участвовать» в решении будут угол 

????

, стороны 

????????

 и 

????????

(потому, что они либо уже даны, либо должны быть найдены).  
Очевидно, лучше всего выбрать такой сценарий: 

tg30° =

????

3√3

=  

1

√3

  (табличное значение!), 

???? =  

3√3

√3

= 3

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА 

Как всегда – проверка! Не бросаться же сразу записывать «3» в бланк ответов! 
А самая лучшая проверка – это решить задание заново, не подсматривая в первоначальный 
вариант. Перед этим проверив еще раз правильность записи того, что дано в условии. 

4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ. 

3 

Хорошо, если бы именно такое легкое задание попалось на ЕГЭ! 

ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора 

www.EGEprosto.ru

Задание B8 

Страница 19 

B8.2.  В ТРЕУГОЛЬНИКЕ 

АВС

 УГОЛ 

С

 РАВЕН 

????????°

, 

???????????????? =

????
????

 ,  

???????? = ????.

   НАЙДИТЕ 

АС

. 

1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ. 

Рисунок может, например, получиться таким (рис. 8.2). 

РИСУНОК 8.2 

2-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ, СЛЕДУЮЩЕЕ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ РИСУНКА. 

В этом, и нескольких других примерах, будет показано применение простого и эффективного 
приема решения подобных заданий. Назовем его 

«Связкой»

,

 так как одновременно (в связке) 

используются два следующих соображения. 

Первое: раз треугольник прямоугольный, то можно использовать теорему Пифагора. 

Второе: раз в условии дано значение тригонометрической функции (или его нужно найти),  
то значит, ее нужно расписать через отношение сторон данного в условии треугольника. 

В этом примере «Связка» будет выглядеть так: 

cos???? =

3
5

=

ВС

5

(1) 

5

2

= ????

2

+ ????????

2

(2) 

Итак, «Связка» записана. Далее можно использовать, например, такой план действий:  
из (1) найти 

BC

 и подставить в (2). 

???????? =

3 ∙ 5

5

= 3

5

2

= ????

2

+ 3

2

????

2

= 25 − 9 = 16

, 

???? = ±√16

, 

???? = ±4

. 

По смыслу задания подходит только  

???? = 4

. 

3-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА. 

4-Й  ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ. 

4