ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 22.06.2021
Просмотров: 995
Скачиваний: 1
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора
www.EGEprosto.ru
Задание B8
Страница 25
B8.7. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
????????????
УГОЛ
????
РАВЕН
????????°
, УГОЛ
????
РАВЕН
????????°.
НАЙДИТЕ СИНУС УГЛА
????????????
.
1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ (РИС. 8.7А).
РИСУНОК 8.7а
2-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ, НАХОДИМОЕ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ РИСУНКА.
Из рисунка видно, что
∠BAD = 180° − 30° = 150°
.
Таким образом, решение задачи сводится к нахождению значения
sin 150°
.
Можно предложить два относительно простых способа найти эту величину. Подробно пояснять
суть этих способов сейчас нет возможности – не тот формат книжки.
Если подробно расписывать все, что можно пояснить, то получится ощутимо более тяжелое чтиво,
и любой «чайник» от него отвернется со справедливым негодованием!
Итак, возможные варианты действий:
1)
Применим так называемую
«формулу приведения»
:
sin 150° = sin(180° − 30°) = sin 30° = 1 2
⁄ = 0,5
.
Или ее же, но в другом виде:
sin 150° = sin(90° + 60°) = cos 60° = 1 2
⁄ = 0,5
.
Естественно, результат получается одинаковым.
Подробнее о том, что такое формулы приведения, рассказано в задании В7.
2)
Воспользуемся тем, что синус угла равен вертикальной координате вращаемой на
единичной окружности точки. Тогда станет понятно следующее:
sin 150° = sin 30° = 0,5
(рис. 8.7б).
РИСУНОК 8.7б
3-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.
4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.
0
,
5
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора
www.EGEprosto.ru
Задание B8
Страница 26
B8.8. В РАВНОБЕДРЕННОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ
????????????
С ОСНОВАНИЕМ
????????
БОКОВАЯ
СТОРОНА
????????
РАВНА
????
, А ВЫСОТА, ПРОВЕДЕННАЯ К ОСНОВАНИЮ, РАВНА
????√????
.
НАЙДИТЕ КОСИНУС УГЛА
????
.
1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ (РИС. 8.8).
РИСУНОК 8.8
2-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ, НАХОДИМОЕ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ РИСУНКА.
Предложенную задачу можно решить, по крайней мере, двумя способами.
Способ 1.
cos А =
????????
????????
=
????????
5
По теореме Пифагора для треугольника
????????????
:
????????
2
= ????????
2
− ????????
2
= 5
2
− (2√6)
2
= 25 − 24 = 1
???????? = ±√1 = ±1
.
Выбираем значение
???????? = 1
.
Таким образом,
cos А =
1
5
= 0,2
Способ 2.
(cos А)
2
+ (sin А)
2
= 1;
sin А =
2√6
5
(cos А)
2
= 1 − (sin А)
2
= 1 − (
2√6
5
)
2
= 1 −
24
25
=
1
25
, и cos А = ±√
1
25
Выбираем
cos А = +√
1
25
=
1
5
= 0,2
(косинус острого угла положителен).
3-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.
4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.
0
,
2
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора
www.EGEprosto.ru
Задание B8
Страница 27
B8.9. В ТРЕУГОЛЬНИКЕ
????????????
УГОЛ
????
РАВЕН
????????°
,
???????? = ????
,
???????? ???? =
????√????
????
. НАЙДИТЕ
????????
.
1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ (РИС. 8.9).
РИСУНОК 8.9
2-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ, НАХОДИМОЕ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ РИСУНКА.
tg A =
????????
????????
=
????
????????
=
3√7
7
(1)
8
2
= ????
2
+ ????????
2
(2)
Найдем
????????
из (1) и подставим в (2):
???????? =
7????
3√7
8
2
= ????
2
+ (
7????
3√7
)
2
= ????
2
+
7
2
∙ ????
2
9 ∙ 7
= ????
2
+
7 ∙ ????
2
9
= ????
2
(1 +
7
9
) = ????
2
(
9
9
+
7
9
) =
16????
2
9
8
2
=
16????
2
9
16????
2
= 8
2
∙ 9
????
2
=
8 ∙ 8 ∙ 9
16
=
8 ∙ 9
2
= 36
???? = ±6
.
Выбираем, естественно,
???? = 6.
3-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.
tg A =
????
????????
=
6
√8
2
− 6
2
=
6
√28
=
6
2√7
=
3
√7
=
3√7
7
Именно так и должно быть по условию задания.
4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.
6
А теперь, завершая тему треугольников, в качестве отдыха после долгих трудов, рассмотрим
что-нибудь совсем простое.
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора
www.EGEprosto.ru
Задание B8
Страница 28
B8.10. ОДИН ОСТРЫЙ УГОЛ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА НА
????????°
БОЛЬШЕ
ДРУГОГО. НАЙДИТЕ БОЛЬШИЙ ОСТРЫЙ УГОЛ.
1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ (РИС. 8.10).
РИСУНОК 8.10
2-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ, НАХОДИМОЕ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ РИСУНКА.
Сумма углов любого треугольника равна
180°
. Применительно к нашему случаю это означает, что
???? + (???? + 30) + 90 = 180
2???? + 120 = 180
2???? = 60
???? = 30
Таким образом, меньший угол равен
30°
. А больший угол равен
30° + 30° = 60°
.
3-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.
4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.
6
0
А теперь рассмотрим довольно распространенную задачу, в которой участвует окружность.
ЕГЭ-2014 по математике для «чайников»: советы репетитора
www.EGEprosto.ru
Задание B8
Страница 29
B8.11. ЦЕНТРАЛЬНЫЙ УГОЛ НА
????????°
БОЛЬШЕ ОСТРОГО ВПИСАННОГО УГЛА,
ОПИРАЮЩЕГОСЯ НА ТУ ЖЕ ДУГУ ОКРУЖНОСТИ. НАЙДИТЕ ВПИСАННЫЙ УГОЛ.
ОТВЕТ ДАЙТЕ В ГРАДУСАХ (РИС. 8.11) .
1-ЭТАП: РАБОТА С РИСУНКОМ.
РИСУНОК 8.11
2-Й ЭТАП: РЕШЕНИЕ, НАХОДИМОЕ ИЗ РАССМОТРЕНИЯ РИСУНКА.
Некоторая часть заданий В8 так или иначе связана с углами внутри окружности.
Как правило, один из этих углов «центральный» (то есть его вершина находится в центре
окружности), а другой угол «вписанный» (его вершина находится на самой окружности).
Если оба этих угла своими сторонами опираются на одну и ту же дугу окружности
(в этой задаче – меньшую дугу между точками А и В), то величина центрального угла всегда в 2
раза больше, чем вписанного. Пожалуй, это и все, что нужно знать для решения подобных
заданий.
Итак, для рассматриваемых здесь углов выполняется соотношение:
???? + 36 = 2????
2???? − ???? = 36
???? = 36
Это значение и будет величиной вписанного угла.
3-Й ЭТАП: ПРОВЕРКА ПОЛУЧЕННОГО РЕЗУЛЬТАТА.
4-Й ЭТАП: ВНИМАТЕЛЬНО (!) ЗАПИСАТЬ ОТВЕТ.
3
6