Файл: Казанский государственный университет.pdf

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
А . З . А с а н о в
В в е д е н и е в м а т е м а т и ч е с к о е
м о д е л и р о в а н и е д и н а м и ч е с к и х
с и с т е м
Учебное пособие

УДК 681.3.06 (076)
ББК
Печатается по решению редакционно-издательского совета филиала
Казанского государственного университета в г. Набережные Челны
Рецензенты: докт. техн. наук, проф. Б.Г. Ильясов (Уфимск. гос. авиац. техн. ун-т); кафедра прикладной математики и управления Камской гос. инженерно-экономической академии (зав. кафедрой докт. физ.-мат. наук, проф. С.Н. Тимергалеев).
Асанов А.З. Математические модели динамических систем: учебное пособие / А. З. Асанов. – Казань: изд-во Казан. гос. ун-та, 2007. – 205 с.
В учебном пособии представлены основные понятия и представления теории моделирования, классификации математических моделей, даны описания основных форм математических моделей динамических систем, используемых при решении задач современной теории систем м управления.
Предназначено для теоретической и самостоятельной работы студентов и аспирантов, обучающихся по специальности «Прикладная математика и информатика», при изучении моделирования процессов и систем, теории систем с обратными связями, теории оптимального управления, при выполнении курсовых и дипломных работ.
ISBN
©
А.З. Асанов, 2007

3
Введение
Жизнь любого человека сопровождается процессами моделирования и различными моделями. Игры с игрушками в детстве, использование различных учебных пособий, макетов в школьные годы, проведение лабораторных экспериментов, расчетов в студенческие годы, разработка чертежей, проектирование и расчет реальных устройств и процессов, построение теорий различного рода и назначения – вот далеко не полный перечень примеров использования моделей и моделирования, когда реальные объекты и процессы заменяются их отображениями (моделями, макетами, описаниями и т.д.). Даже художественные произведения, картины, скульптуры являются, по сути, моделями (образами), отображающими те или иные стороны реальной жизни.
Справедливо будет утверждать, что в своей жизни человек очень часто имеет дело с моделями реальных объектов, процессов, явлений. При этом не исключено, что один и тот же объект (явление) воспринимается различными людьми различно. Это означает, что само восприятие, сам мысленный образ объекта (явления) также является разновидностью модели рассматриваемого объекта (явления).
Если попытаться для первоначального ознакомления кратко выразить сущность моделирования, то она заключается в замене реальной системы
(процесса, явления) моделью, которая находится с ней (с ними) в некотором соответствии и способна воспроизводить интересующие исследователя свойства или характеристики реальной системы.
Несомненно, моделирование является далеко не единственным методом изучения окружающего нас мира. Но роль моделирования в научных изыска- ниях, в исследованиях инженерных, организационных, социальных, эконо- мических объектов и систем и, вообще, в жизни человека, исключительно велика. Можно утверждать:
познание любого объекта, системы, процесса, явления сводится,
по существу, к созданию его (ее) модели.
Познание и изучение окружающего нас мира можно осуществлять различными способами и методами. Но при исследовании различных сложных объектов, явлений, процессов, при создании, организации и

4 оптимизации сложных систем метод моделирования является одним из самых мощных методов. Так, перед изготовлением каждого устройства или сооружения разрабатывается его модель-проект, человек, прежде чем совершить что-либо, обдумывает возможную последовательность действий и возможные последствия этих действий, организуя деятельность совокуп- ности объектов, т.е. организуя деятельность некоторой системы, человек пытается организовать систему так, чтобы получить максимальный эффект от деятельности такой системы и т.д. Причиной же такого широкого и все более расширяющегося применения моделей можно считать то, что процессы, происходящие в модели, можно легко регистрировать, проверять их соответствие результатам теоретического анализа, заменять аналитические расчеты процессов их непосредственным наблюдением, т. е. эффективно решать все основные задачи экспериментального исследования.
Можно отметить и другой существенный фактор, способствующий значительному повышению интереса к методам моделирования (в частности к методам математического моделирования) как в науке и технике, так в других областях, – это развитие и широкое распространение средств вычислительной техники. С помощью моделей, реализованных на ЭВМ, можно изучать новые явления, решать практически все задачи анализа и проектирования сложных систем, осуществлять выбор наилучших вариантов решений, выполнять анализ и прогнозирование поведения социальных и экономических систем, решать множество других задач.
В этой книге основное внимание уделяется использованию различного математического аппарата для описания объектов и процессов, которые могут быть отнесены к классу динамических объектов и систем. Рассматриваются общие вопросы моделирования, классификации моделей, конкретные методы и алгоритмы построения математических моделей,
Данное учебное пособие предназначено для ознакомления студентов университетов, обучающихся по направлениям «Системный анализ и управление», «Прикладная математика и информатика», с основами, в том числе и новейшими, моделирования сложных динамических объектов и систем, встречающимися в науке, технике, экономике и социальной жизни общества.

5
1. Общие положения теории моделирования
1.1. Моделирование как метод исследования сложных систем
Под моделированием в широком смысле принято понимать процесс построения, изучения и совершенствования моделей, их использование в научных исследованиях (теоретических и экспериментальных), применение моделей непосредственно в процессах планирования, управления, оптимизации, прогнозирования, контроля и т.д.
Моделирование как метод исследования является мощным инст- рументом познания на протяжении всей истории развития человечества.
Одним из примеров созданной человеком системы моделей, адекватно отражающей широкий класс явлений и процессов реального мира, являются, например, модели классической механики.
Моделирование как инструмент познания требует творческого подхода и определенного искусства владения им. С другой стороны, моделирование как наука опирается на научные знания той области, где этот инструмент познания используется. Например, для построения математической модели летательного аппарата (ЛА) требуются знания законов аэродинамики, механики, движения ЛА в воздушной и безвоздушной среде; построение экономических моделей требует знания экономических законов и закономерностей и т.д. Только глубокие профессиональные знания исследователя в сочетании с творческим подходом к решаемой проблеме могут быть основой для успешного применения метода моделирования. Сам процесс моделирования предполагает такой способ изучения объекта, при котором модель, с точки зрения цели исследования, вполне точно (адекватно) и достаточно полно замещает изучаемый объект в процессе познавательной деятельности.
Моделирование относится к общенаучным методам познания.
Использование моделирования на эмпирическом и теоретическом уровнях исследования по своей сущности приводит к условному делению на материальное (физическое) моделирование, теоретическое (абстрактное) и идеальное моделирование.
Материальное моделирование – это моделирование, при котором исследование объекта выполняется с использованием его материального аналога, воспроизводящего основные физические, геометрические,

6 динамические и функциональные характеристики исследуемого объекта.
Основными разновидностями материального моделирования являются натурное и аналоговое.
Натурное моделирование – это моделирование, при котором реальному объекту ставится в соответствие его увеличенный или уменьшенный материальный аналог, допускающий исследование (как правило, в лабораторных условиях) с помощью последующего перенесения свойств изучаемых процессов и явлений с модели на объект на основе теории подобия.
Примерами натурных физических моделей являются модели гидротехнических сооружений, военные учения, аэродинамическая труба, воспроизводящая условия полета самолета в воздушном пространстве, экспериментальный макет автомобиля и многое другое.
К достоинству физического моделирования следует отнести получение достаточно достоверных результатов, которые необходимы для принятия правильных решений при проектировании, планировании, контроле, управлении, прогнозировании и т.д. К недостаткам следует отнести относительно высокую стоимость по сравнению с математическими моделями, а также трудность быстрой (оперативной) доработки модели при переходе от одного варианта к другому. Изготовление физической модели занимает много времени, а соответствие измеренных искомых величин на модели оригиналу бывает достаточно грубым, что искажает в некоторой степени изучаемый процесс.
Аналоговое моделирование – моделирование, основанное на аналогии процессов и явлений, имеющих различную физическую природу, но одинаково описываемых формально (одними и теми же математическими соотношениями, логическими и структурными схемами).
Таким образом, аналогияне предполагает тождественности физической природы модели и прототипа, но требует, чтобы модель при некоторых условиях вела себя аналогично поведению оригинала (косвенное подобие).
Аналогия основана на возможности моделирования явления (системы, процесса) одной природы явлениями (системами, процессами) совсем другой природы.
Например, электромеханическая аналогия: колебания в механических системах можно моделировать колебаниями в электрических цепях. При этом модель (аналог) и оригинал (прототип) описываются одина-

7
ковыми математическими соотношениями, например дифференциальными уравнениями. На этом сходстве основана теория аналогий и аналоговое моделирование. Аналоговые, а затем цифровые и гибридные вычислительные машины позволяют решать широкий класс линейных и нелинейных дифференциальных уравнений при заданных начальных условиях. На моделях-аналогах можно "проигрывать" различные ситуации, даже маловероятные, например, ситуации, до которых объект-оригинал нельзя допускать – критические, аварийные и чрезвычайные ситуации. Данный класс моделей используется также при исследовании сложных систем, над которыми нельзя ставить опасные эксперименты (ракетный комплекс, экономика, производство, экология, летательный аппарат и т.д.).
Теоретическое (абстрактное, информационное) моделирование – моделирование, использующее в качестве моделей знаковые изображения какого-либо вида: схемы, графики, чертежи, иероглифы, наборы символов, включающие в себя и совокупность правил оперирования этими знаковыми образованиями и конструкциями.
Примерами таких моделей являются:
• коды и сигналы как модели сообщений;
• математические формулы как модели процессов и объектов;
• рабочие чертежи как модели деталей будущей конструкции;
• деньги как модель стоимости;
• характеристика личности как модель деятельности и качеств человека;
• любой язык человеческого общения (устного или письменного);
• любые алгоритмические языки и языки программирования;
• язык химических формул;
• живопись и графика;
• нотная запись и т.д.
Между моделями данного класса и оригиналом возможно однозначное обращение. Например, теория кодирования изучает законы и правила построения и использования кодов (кодирование-декодирование) в технических системах. Другими примерами использования моделей условного подобия являются: криптография, картография, языкознание, техническое черчение, информатика и математика.
Математическое моделирование – частный случай знакового моделирования.

8
Математическое моделирование – это знаковое моделирование, при котором описание объекта осуществляется на языке математики, а исследования модели проводятся с использованием тех или иных математических методов.
В настоящее время это один из самых результативных и наиболее часто применяемых методов научного познания.
Отметим преимущества математического моделирования по сравнению с другими видами моделирования:
ƒ экономичность, сбережение ресурсов реальной системы;
ƒ возможность моделирования гипотетических, т.е. не реализованных в природе объектов и систем;
ƒ возможность реализации режимов, опасных или трудновоспроиз- водимых в реальности;
ƒ возможность изменения масштаба времени;
ƒ универсальность технического и программного обеспечения, наличие пакетов прикладных программ для проведения широкого круга работ;
ƒ возможности прогнозирования и выявления общих закономерностей;
ƒ возможности сравнительно простого многофакторного анализа.
В качестве примеров математического моделирования в различных областях человеческой деятельности можно указать расчет траекторий космических аппаратов, прогнозирование погодных явлений, расчет и проектирование машин и устройств любой сложности, моделирование процессов в экономике, использование математических моделей в медицине, биологии и многое другое.
Идеальное моделирование – это моделирование, при котором исследование объекта выполняется с использованием нематериального, мыслимого аналога, воспроизводящего требуемые характеристики и свойства исследуемого объекта.
Примерами идеальных моделей являются геометрическая точка, математический маятник, идеальный газ, бесконечность и др.
Различают два вида идеального моделирования:
• неформализованное (интуитивное);
• формализованное.
К неформализованному моделированию можно отнести построение отображений (образов, моделей) с использованием различных форм

9
мышления: эмоции, интуиции, образного мышления, подсознания, эвристики как совокупности логических приемов и правил отыскания истины. При не- формализованном моделировании модель не формулируется, а вместо нее используется некоторое нечеткое мысленное отражение (образ) реальности, служащее основой для рассуждения и принятия решения.
Примером неопределенных (интуитивных) представлений об объекте может служить нечеткое описание ситуации, основанное на опыте и на ин- туиции.
К формализованному моделированию можно отнести образное моделирование, когда модели строятся из каких-либо наглядных элементов
(упругие шары, потоки жидкости, траектории движения тел и т.д.). Анализ образных моделей осуществляется мысленно и может быть отнесен к формализованному моделированию в том случае, когда правила взаимодействия образов четко формализованы. Этот вид моделирования используется при мысленном эксперименте.
К формализуемым абстрактным моделям относятся знаковые модели, в том числе математические и языковые конструкции
(языки программирования, естественные языки) вместе с правилами их преобразования и интерпретации. Примером знаковых моделей могут служить также чертежи, схемы, графики, формулы и т.д.
1.3. Понятие модели
Существует достаточно большое число определений понятия «модель».
Одни из них слишком абстрактны, другие – слишком конкретны. Но все они отражают ту или иную сторону этого многогранного понятия.
Модель – это упрощенное представление другого объекта или процесса.
Модель – это форма представления и существования наших знаний.
Модель – это инструмент познания окружающего мира.
Модель – как аналог (образец) будущего изделия.
Модель – как аналог реального объекта.
Аналогия (от греч. analogia – соответствие, соразмерность) – это представление о каком-либо частном сходстве двух объектов, причем сходство может быть как существенным, так и несущественным.
Существенность сходства или различия двух объектов условна и зависит от

10 уровня абстрагирования (отвлечения), определяемого конечной целью исследования. Уровень абстрагирования зависит от набора учитываемых параметров объекта исследования.
В дальнейшем будем придерживаться следующего определения понятия модели, которое является более узким и более конкретным.
Определение 1.1.1. Объект М является в определенных условиях
моделью системы S (объекта, процесса, явления, ситуации), если модель М
имитирует (воспроизводит) требуемые характеристики (свойства, призна-
ки) системы S.
Таким образом, модель и исходная система эквивалентны относительно множества воспроизводимых характеристик, в то время как полное множество характеристик самой системы, как правило, значительно шире подмножества характеристик, воспроизводимых моделью.
Модель М по сравнению с оригиналом S имеет существенные преимущества: наглядность, простота, обозримость, легкость преобразований с ней, возможность проведения испытаний и получения с ее помощью новых информации и знаний.
Само понятие модели претерпевало так же, как и понятие системы, определенную эволюцию. Эволюция моделей отражает эволюцию процесса познания. Так, на ранних этапах под моделью понимали некоторое физическое устройство (объект), которое в определенных условиях заменяет другой объект. Примерами таких устройств могут служить модели самолетов, кораблей, машин, различные макеты, шаблоны, протезы и т.д.
На следующем этапе под моделью объекта понимался объект- заменитель, который отражал лишь интересующие исследователя свойства и характеристики объекта-оригинала. При этом модель перед объектом об- ладала такими преимуществами, как наглядность, простота, доступность для эксперимента, возможность идентификации и т.д. Само понятие модели уже значительно расширилось и включало в себя чертежи, таблицы, характеристики, графики, рисунки, картографические изображения, различные формы описания устройств и т.д.
На третьем же этапе в понятие модели включают на только реальные
(физические, материальные), но и абстрактные (идеальные) построения.
Примером последних могут служить идеи, гипотезы, теории, ма- тематические, логические и имитационные модели. Так, в форме матема-

11
тической модели можно описать и типовую деятельность человека-оператора в организационно-технических системах. Сам процесс мышления можно трактовать как процесс последовательного перехода от одних абстрактных моделей к другим. При этом модель выступает как форма существования и представления знаний об исследуемом объекте (явлении, процессе, системе).
Таким образом, познание материального мира идет через модели, а целенаправленная деятельность человека невозможна без моделирования.
Укажем и на другие свойства моделей. Во-первых, хорошая модель очень информативна, и эта информация представлена в весьма сжатом виде. Во-
вторых, модель иерархична, т.е. есть модели более высокого уровня
(например, модель системы управления) и более низкого (например, модели элементов систем управления). В-третьих, сама модель уточняется и корректируется в процессе моделирования, т.е. недостатки модели нельзя предугадать заранее. В-четвертых, модель может выступать в качестве эталона, идеализирующего собой различные формы деятельности: управление, планирование, принятие решений, прогнозирование и т.д.
Например, в адаптивных (самонастраивающихся) системах управления техническими объектами реализуется принцип управления по эталонной модели. Здесь цель системы управления выражается в виде желаемой модели системы. Алгоритм управления можно рассматривать как модель формиро- вания управляющих воздействий, направленных на перевод объекта управле- ния из одного состояния в другое. При этом модель исполнительного меха- низма рассматривается как модель исполнения управляющих воздействий путем перемещения органов регулирования, а модель информационных элементов (датчиков) – как модель обработки и преобразования первичной информации. Таким образом, исследование системы управления происходит через построение моделей ее элементов и изучение свойств системы путем моделирования ее поведения в различных условиях.
Необходимо помнить и о главном недостатке метода моделирования, который заключается в том, что при некорректном моделировании можно по- лучить результаты, не имеющие отношения к исследуемым свойствам системы или неправильно отражающие свойства реальной системы. В этом есть объективная причина: модель отражает (не всегда точно) только определенные, но не все, свойства реального объекта.
И все же достоинств у метода моделирования больше, чем недостатков.