Файл: Казанский государственный университет.pdf

такая добавка имеет вид
0
( )
A
B
∆
∆
⎡
⎤
0
p
C
D
⎢
⎥
= ∆
∆
∆Ω
0 0
0
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
ее.
Определение 6.8.
Блочно-матричное уравнение
Особенностью представленных параметрических возмущений является неразрушение общих свойств проматриц, перечисленных ран
[
]
( )
( ) ( )
( )
p
p Y p
U p
Ω
− ∆Ω
=
, (6.3.5)
связывающее обобщенные вход U(p) и выход Y(p) системы, называется
обоб
параметрически возмущенной
системы
.
Таким образом, исследование влияния непараметрических возмущений на поведение линейной системы связано с использованием обобщенного уравнения линейной системы (6.3.4), а исследование влияния параметрических возмущений – с использованием обобщенного уравнения
, имеет вид которое представляет собой отображение или преоб процедурами и результатами составления дифференциальных урав е
, которое представляет собой фактически разрешение обобщенного уравнения лине
щенным уравнением линейной
линейной системы (6.3.5).
3.4. Реверсивная проблемная матрица системы
Обобщенное уравнение линейной системы, как было установлено
( ) ( )
( )
p Y p
U p
Ω
=
, разование обобщенного выхода
( )
Y p в обобщенный вход
( )
U p . Такой характер отображения обусловлен нений динамических систем.
Однако исследователей чаще интересует обратное отображение, преобразующее входно воздействие
( )
U p в соответствующую ему выходную реакцию ( )
Y p системы
1
( )
( ) ( )
Y p
p U p
−
= Ω
йной системы относительно ( )
Y p .
Определение 6.9. Квадратная дробно-полиномиальная матрица
1
( )
p
−
Ω
,
которая обобщенному входу
ставит в
ответствие
ной
кратко,
реп
системы в конкретной задаче.
( )
U p
со
обобщенный
выход
( )
Y p no формуле
1
( )
( ) ( )
Y p
p U p
−
= Ω
, называется
реверсивной
проблем
матрицей
, или,
роматрицей
рассматриваемой
194

По аналогии с широко применяемыми в инженерной практике передаточными матрицами (матричными передаточными функциями) репроматрицу
1
( )
p
−
Ω
можно рассмат ивать как обобщенную ередаточную матрицу от об бщенного входа
(
U p
б бщенному выходу
( )
Y p .
Обобщенной она является потому р
п к о о
, что содержит все возможные переда- точные матрицы от всех субвекторов, включенн в обобщенный вход, ко репроматриц – взаимнооднозначное соот о
)
ых всем субвекторам, включенным в обобщенный выход.
Отметим принципиальное свойство ветствие проматрицы и репроматрицы
1
( )
( )
p
p
−
Ω
→ Ω
и
1
( )
( )
p
p
−
Ω
→ Ω
Эт йство очевидно тности и невырожденности проматриц юбых систем характеризует то обстоятельство, что совокупность всех переда о сво из свойств квадра л
и точных функций линейной системы, стру и
тся и ч
в лу суперпозиции и в соот
p (6.4.1)
Рассмотрим линейную динами стему (рис.3.4.1), модель которой пред е
б щ су ра го ы
Рис. 6.4.1 Обобщенная структура линейной динамической системы ктур рованная определенным образом (речь идет о структуре ре- проматрицы), полностью эквивалентна исходным уравнениям линейной системы.
Принципиально важным являе то, то введенная рассмотрение репроматрица допускает обобщение на случай действия непараметрических возмущений
*
( )
( )
( )
U p
U p
U p
=
+ ∆
. В этом случае непараметрически возмущенное движение ( )
Y p линейной системы в си ветствии с уравнением (3.3.4) будет определяться формулой
1
*
( )
( )
Y p
p U
−
= Ω
( )
ческую си ставлена соответствующими уравнениями в пространстве состояний.
Блочно (поэлементное) о ра ение проматрицы системы в соответствии с введенными бвекто ми обобщенно входа и обобщенного в хода дает аналитические выражения матричных (скалярных) передаточных функций этой системы.
195

Наименование каждой такой скалярной передаточной функции и передаточной матрицы можно установит ком ь по последовательностям понент и субвекторов в обобщенном входе и обобщенном выходе системы.
Так, если уравнение вида
)
(
)
(
)
(
1
p
U
p
p
Y
∗
−
Ω
=
расписать по блокам, то
репроматрица будет содержать передаточные функции:
0 1
( )
( )
( )
( )
( )
(
x
u
x
x
x
x p
x
F
p
F p
F p
x
y p
p
δ
−
⎡
⎤
+ ∆
+ ∆
⎡
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥ = Ω
0 0
0 0
0
)
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
0 0
( )
( )
x
u
y
y
y
S
p
F
p
F p
F p
p
u p
u p
p
I
u p
p
δ
δ
δ
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
+ ∆
+ ∆
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
.(6.4.2)
Здесь использованы обозначения передаточных матриц
( )
вх
вых
F
p
(сигналы от некоторого входного сигнала к некоторому выходному сигналу в общем случае могут быть векторными). В последней блочной строке репроматр
, что по опре д
к си м
е дет недробной. В этом случае определены дополнительные общие свойс с ее обращением: ическому полиному системы, т.е. ицы расставлены нулевые и единичный блоки из-за того делению входной вектор ( )
u p не зависит от ругих переменных.
Можно показать, что огда модели всех под сте заданы уравнениями в пространств состояния или в факторизованной форме, то проматрица системы бу тва проматрицы, связанные
− определитель проматрицы соответствует характерист det ( )
( )
p
p
χ
Ω
=
;
− присоединенная матрица от соответствует матрице несокращ числителей всех передаточных функций системы, т.е. извест
( )
p
Ω
енных
( )
( )
ij
adj
p
b p
⎡
⎤
Ω
= ⎣
⎦
Способы формального получения репроматрицы, используя ные методы обращения матриц, могут быть различны.
Один из них основан на вычислении присоединенной матрицы и делении ее на детерминант исходной матрицы:
1 1
)
( )
( p
det ( )
adj
p
Ω
=
Ω
p
Ω
Поэлементное обращение проматрицы по этой формуле позволяет получить любую из скалярных передаточных функций
−
(6.4.3)
( )
( )
i
y p
f p
=
,
1,
i
m
=
,
1,
j
= s
, (6.4.4)
( )
ij
j
u p
196

от j-йкомпоненты
( )
j
u p обобщенного входа ( )
U p к i-й компоненте
( )
i
y p
бщенного выхода ( )
Y p системы. обо слением блоков обратной матр ния
Другой метод обращения матриц (формула Фробениуса) основан на разбиении матрицы на блоки споследующим вычи ицы.
Рассмотрим проматрицу задачи моделирова
(
)
,
,
,
,
,
,
0
( )
,
n
n m
n s
n n
m n
m
m s
pI
A
B
p
C
I
D
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
Ω
=
−
−
⎢
⎥ . (6.4.5) можно осуществить, двукратно применяя формулу Фробениуса. ица п вид
0 0
s n
s m
s
I
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
Получение репроматрицы задачи моделирования
Пусть проматр редставлена в блочном е
1 1
1 1
A
B
C
D
Ω = ⎢
⎥
⎣
⎦
,
⎡
⎤
где
(
)
1
,
n
n n
A
pI
A
⎡
⎤
=
−
⎣
⎦
,
1
,
,
0
n m
n s
B
B
⎡
⎤
=
−
⎣
⎦ ,
1
,
0
m n
s n
C
,
C
−
⎡
⎤
= ⎢
⎥
⎣
⎦
,
,
1
,
0
m
m s
s m
s
D
I
= ⎢
⎥
⎣
⎦
Тогда
I
D
−
⎡
⎤
H C A
H
−
⎣
⎦
1
,
,
,
1
,
,
,
,
0 0
m
m s
m n
n n
s m
s
s n
I
D
C
H
p
I
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
1
A
A B H C A
A B H
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
⎡
⎤
+
−
Ω = ⎢
⎥ , где
1 1 1 1
1 1
1 1 1
H
D
C A B
−
=
−
(
)
1 1
1
,
n
n n
A
pI
A
−
−
⎡
⎤
=
−
⎣
⎦
(
)
1
,
0
n
n m
n s
I
A
B
−
−
−
⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤ ⎡
=
−
⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎣
⎦
⎣
⎦ ⎣
⎦
,
0
s m
s
H
I
−
−
⎤
−
−
⎣
⎦
,
(
)
(
)
,
,
,
,
,
,
,
,
,
1
,
,
,
0 0
0 0
m
m s
m m
m n
n
n s
m
m n
n
n s
m s
n n
n n
s m
s
s m
s s
I
D
C
pI
A
B
I
C
pI
A
B
D
I
⎡
⎤ ⎡
⎤
−
−
−
−
−
⎡
⎤
1 1
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎣
⎦
c
d
H
−
⎣
⎦
s
m s
D
I
⎤
−
=
⎦
,
1
I
−
⎢
⎥
−
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦ ⎣
⎦
a
b
h
h
h
h
⎡
⎤
= ⎢
⎥ ,
[ ]
(
)
1 1
,
,
,
,
0
d
s
s m
m
m n
n
n
n n
h
I
I
C
pI
A
B
−
−
⎡
= −
−
−
⎣
d
s
h
1 1
,
s
= ,
]
1 1
1 1
1
,
,
,
,
0
m
m
n
n s
m s
s
s
m
m
n n
I
I
C
pI
A
B
I
I
I
−
−
−
−
−
⎡
⎤
−
−
−
−
=
⎣
⎦
,
,
m
m n
n
n s
m s
s
m n
n
n s
m s
n n
n n
C
pI
A
B
D
I
C
pI
A
B
D
−
−
⎡
⎤
−
−
−
=
−
+
⎣
⎦
,
m
, тогда
D
H
I
−
−
[ ] [ ]
(
)
[ ]
[
,
a
m n
m
h
D
=
(
)
(
)
1 1
,
,
,
,
,
,
,
b
h
I
= −
,
,
0 0
c
s s m m
s
h
I
I
= −
=
(
)
1 1
,
1
,
0
m
n
m s
s m
s
I
C pI
A
B
⎡
⎤
⎡
⎤
+
−
⎣
⎦
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎣
⎦
197

(
) (
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1
,
,
,
,
,
,
1 0
0 0
m
n
m n
m s
n
n
n m
n s
n
s n
s m
s
n
A
A B H C A
I
C pI
A B D
C
pI
A
pI
A
B
pI
A
I
pI
A
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+
=
⎡
⎤
⎡
⎤
−
+
−
⎡
⎤
⎣
⎦
⎢
⎥
⎡
⎤
=
−
+
−
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦⎢
⎥⎣
⎦
⎣
⎦
=
−
(
)
(
)
(
)
1 1
1 1
,
1 1
1
,
,
,
1
,
,
0 0
0
m
n
m s
n
n m
n s
s m
s
n
n m
=
n s
I
C pI
A
B D
A B H
pI
A
B
I
pI
A
B
−
−
−
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
−
+
⎣
⎦
⎢
⎥
⎡
⎤
−
= −
−
−
⎣
⎦
=
⎢
⎥
⎣
⎦
⎡
⎤
=
−
⎣
⎦
(
)
(
)
(
)
1 1
,
1 1
,
1 1 1
,
,
1
,
,
0 0
0
m
n
m n
m s
n
s n
s m
s
m n
n
s n
I
C pI
A
B D
C
H C A
pI
A
I
C
pI
A
−
−
−
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
−
+
−
⎡
⎤
⎣
⎦
⎢
⎥
−
= −
−
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎣
⎦
⎣
⎦
⎡
⎤
=
−
⎢
⎥
⎣
⎦
=
Окончательно репроматрица задачи моделирования в пространстве состояний принимает вид
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1 1
1 0
( )
0 0
n
n
n
m
n
s
pI
A
pI
A
B
p
C pI
A
I
C pI
A
B D
I
−
−
−
−
−
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
Ω
=
−
−
+
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
. (6.4.6)
Непосредственно из последней формулы видно, что общий знаменатель всех блоков репроматрицы, действительно, равен характеристическому полиному системы
(
)
( ) det
n
p
pI
A
χ
=
−
четыре передаточные столбце передаточные
. В первом и третьем блочных столбцах стоят все матрицы, рассмотренные ранее. Во втором блочном матрицы принимают значения
F
δ
( ) 0
x
p
=
и
( )
y
m
F p
I
δ
,что соответствует модели системы (
. 6.4.1).
=
рис
При представлении динамической системы в форме левой факторизации репроматрицу можно получить аналогичным образом и она имеет вид:
L
L
L
L
1 1
1
( )
( ) ( )
( )
0
S
A
p
A
p B p
p
−
−
−
⎡
⎤
Ω
= ⎢
⎥
(6.4.7)
I
⎣
⎦
или в форме общей записи
198

0 1
( )
( )
( )
0
u
L
L
L
S
F p
F p
p
I
−
⎡
⎤
=
Ω
⎢
⎥
⎣
⎦
. (6.4.8) м об оматрица линейной системы любой сложности м
Таки разом, пр ожет быть ж а уравнений взаимосвязи между подсистемами изменяется размер проматрицы системы и, соответственно, число передаточных
(передаточных матриц) в ее репроматрице. Прома ло, меньше информации о системе.

3
оения проматриц
должно совпадать сигналов динамической сист нительные обозначения промежуточных енулевых начальных условий. в
составлена так, чтобы ее репроматрица содер ал необходимые передаточные функции (передаточные матрицы). При упрощении или при дополнении функций трица пониженного размера содержит, как прави
.5 Методика постр
Методика построения проматрицы сложной динамической системы, учитывающая компромисс между ее размером, автономностью представ- ления компонентов решаемой задачи и характеристическими свойствами проматрицы, состоит из нескольких шагов, которые рекомендуется осущест- влять в следующей последовательности:
1.
Все подсистемы задаются обыкновенными линейными дифферен- циальными уравнениями с постоянными коэффициентами и линейными алгебраическими уравнениями. Общее количество уравнений с числом внутренних и выходных емы. При необходимости делаются допол переменных так, чтобы все уравнения содержали суммы произведений полиномиальных коэффициентов и компонент внутренних и выходных сигналов.
2.
С помощью преобразования Лапласа осуществляется переход к операторной форме уравнений с учетом н
3.
При наличии в системе ходных сигналов
( )
u p
,поступающих непосредственно на динамические подсистемы, к уравнениям системы добавляются регуляризирующие тождества типа
( )
( )
u p
u p
=
.
4.
Из изображений выходных сигналов всех устройств (статических
( )
y p
и динамических
( )
x p
)и входных сигналов
( )
u p
,подающихся непосред- ственно на динамические устройства, формируется обобщенный выход системы
( )
Y p
.
5.
Из изображений начальных условий динамических объектов
0
( )
x p , а
199

также входных сигналов статических
( )
p
δ
и динамических
( )
u p
устройств в ног еписывают в том ком вых ч
емы п
енных размер
Н
ростых о; каж динамической же ические свойства. Репроматрица пониженного размера утрачивает перед соответствии с очередностью компонент обобщен ыхода
( )
Y p
формируется обобщенный вход системы
( )
U p
.
6.
Уравнения моделей устройств системы пер ся о в порядке, в каком записаны выходы этих устройств в обобщенном выходе
( )
Y p
.
7.
Слагаемые с понентами обобщенного ода переносятся в левую часть уравнений, а в правой асти остаются только компоненты обобщенного входа сист
8.
Осуществляется переход к обобщенной матричной записи операторных уравнений системы и выписывается проматрица этой системы
9.
С учетом оставленной задачи путем исключения из обобщ входа и выхода системы избыточных переменных понижается проматрицы. аилучшим способом уменьшения размера проматриц составных динамических систем является упрощение их статических подсистем. Соблюдение следующих п практических рекомендаций позволяет при построении проматрицы составной динамической системы достигать уменьшения размеров проматрицы без нарушения ее общих свойств:
− по возможности число статических подсистем за счет подстановок должно быть минимизирован
− дую статическую подсистему, не подвергаемую непосредственному внешнему воздействию, необходимо включать в структуру следующей за ней подсистемы;
− лательно не использовать самостоятельные обозначения для входов динамических подсистем, являющихся выходами других дин мических подсистем.
Но всегда следует иметь в виду, что такое уменьшение размера проматриц снижает их характерист а
аточные функции, соответствующие исключаемым промежуточным точкам системы. Ценность таких передаточных матриц определяется исследователем в контексте решаемой задачи.
200

Заключение
Моделирование систем и процессов, исследование различных явлений на моделях стало одним из основных методов изучения сложных динамических систем. Существуют всеобъемлющий аппарат современной математики, мощные средства вычислительной техники, развитые компьютерные технологии обработки информации, которые позволяют успешно решать любые практические задачи, стоящие перед обществом.
Тема моделирования и разработки математических моделей процессов, явлений, объектов, систем практически неисчерпаема. В данном учебном пособии была предпринята попытка рассмотреть только некоторые основные формы математических моделей и пути разработки этих моделей. И изучение приведенных здесь материалов следует рассматривать как первые шаги в большую, интересную и очень перспективную область современного естествознания.
201

Список использованной литературы
1. Асанов А.З. Моделирование и анализ динамических систем : учебное пособие / А.З. Асанов. – Наб. Челны: Изд. Камск. гос. политехн. ин-та,
2004. – 156 с.
2. Асанов А.З. Технология вложения систем и ее приложения : учебное пособие / А.З. Асанов. –Уфа: изд. Уфимского гос. авиац. техн. ун-та, 2007.
– 208 с.
3. Атабеков Г.И. Основы теории цепей / Г.И. Атабеков. –М.: Энергия, 1969.
– 424с.
4. Введение в математическое моделирование : учебное пособие / под ред.
П.В. Трусова. –М.: Логос, 2005. – 400 с.
5. Колемаев В.А.Экономико-математическое моделирование.
Моделирование макроэкономических процессов и систем: учебник / В.А.
Колемаев. –М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. – 295 с.
6. Математические основы теории автоматического регулирования / под ред.
Б.К. Чемоданова. –М.: Высшая школа, 1977. – 2 т.
7. Модели систем автоматического управления и их элементов : учебное пособие / В.И. Васильев, Б.Г. Ильясов, С.Т. Кусимов и др. –М.:
Машиностроение, 2003. – 214 с.
8. Яворский Б.М. Справочник по физике / Б.М. Яворский, А.А. Детлаф. – М.:
Наука, 2002. –847 с.
202

Содержание
Введение
1. Общие положения теории моделирования
1.1. Моделирование как метод исследования сложных систем
1.3. Понятие модели
1.4. Классификация моделей
1.5. Свойства моделей и требования к ним
1.6. Общие требования и рекомендации по моделированию
2. Динамические системы
2.1. Понятие динамической системы
2.2. Классификация динамических систем
2.3. Математическая модель динамической системы
2.4. Графические образы динамических систем
2.4.1. Структурные схемы
2.4.2. Направленные графы
2.4.3. Детализированное отображение динамических систем
2.5. Методика формирования математических моделей динамических систем
2.6. Базовые этапы математического моделирования различных систем
2.6.1. Формирование уравнений модели электрических систем. Законы
Кирхгофа, Максвелла
2.6.2. Формирование уравнений модели механических систем.
Принцип Гамильтона и уравнения Лагранжа
2.6.3. Формирование математических моделей экономических процессов и систем
2.6.4. Линеаризация уравнений математической модели
3. Классические формы математических моделей скалярных динамических систем
3.1. Дифференциальные уравнения n-го порядка
3.2. Временные характеристики динамических систем
3.3. Частотные характеристики динамических систем
3.3.1. Преобразование Фурье и его свойства
3.3.2. Частотные характеристики
3.3.3. Взаимосвязи частотных и временных характеристик
3.4. Передаточные функции динамических систем
3.4.1. Преобразование Лапласа и его свойства
3.4.2. Передаточные функции и операции с ними
3.4.3. Связь передаточной функции с другими характеристиками
4. Основные формы математических моделей матричных динамических систем
4.1. Матричные передаточная и весовая функции
4.2. Полиномиально-матричное описание динамических систем
4.3. Описание в пространстве состояний
4.4. Модели динамических систем в форме проматриц
5. Математические модели динамических систем в пространстве
3 5
5 10 13 22 27 29 29 33 36 38 38 41 45 47 51 51 64 80 86 93 93 95 99 102 104 106 112 114 117 121 123 123 124 126 128 203