ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.11.2023
Просмотров: 295
Скачиваний: 2
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
( )
( )
u p
u p
=
= ( )
u p ,
1 2
( )
( )
( )
y p
y p
y p
=
+
Тогда уравнения системы можн ставить в следующем виде:
( ) ( )
( ) ( )
( ),
( )
( )
( ) 0.
о пред
0 1
1 1
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( ),
A p y p
B p u p
y p
−
=
0 2
2 2
2 2
1 2
A p y p
B p u p
y p
y p
y p
y p
−
=
−
−
=
(6.2.2)
Дополним уравнения (6.2.2) регуляризирующим тождеством (6.1.2) и запи
1 1
1 0
2 2
2 2
0
( )
( )
( )
0
( )
0
( )
( )
( )
0
( )
0 0
0 0
( )
( )
m
m
m
s
B p
y p
y p
A p
B p
y p
y p
I
I
I
y p
I
u p
u p
−
⎡
⎤
⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ =
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
. (6.2.3)
Отсюда видно, что проматрица параллельного соединения двух динамических л
)
шем полученную систему уравнений как блочно-матричное обобщенное уравнение линейной системы
1
( )
0
A p
⎡
0
систем, заданных операторными уравнениями в форме евой факторизации, имеет вид
1 1
2 2
( )
0 0
( )
0
( )
0
(
( )
0 0
0 0
m
m
m
s
A p
B p
A p
B
p
I
I
I
I
+
−
p
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
Ω
=
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
Последовательное соединение (рис.6.2.2). Для последовательного со- единения двух подсистем характерно то, что количество выходов первой подсистемы равно количеству входов второй, т.е.
1 2
m
s
=
Рис.3.2.2. Структура последовательного соединения двух подсистем
Ура ми
Уравнения объединенной системы принимают вид
( ) ( )
( ) ( )
( ),
( )
( ) 0.
внение взаимосвязи подсистем можно представить равенства
2 1
1 2
( )
( ),
( )
( ),
( )
( )
u p
y p
u p
u p
y p
y p
=
=
=
0 1
1 1
1 1
( ) ( )
( ) ( )
( ),
A p y p
B p u p
y p
−
=
0 2
2 2
2 2
2 1
A p y p
B p u p
y p
u p
y p
−
=
−
=
Дополним уравнения регуляризирующим тождеством и запишем
185
полу
1 1
1 0
2 2
2 2
0
( )
( )
( )
0
( )
( )
0
( )
( )
0 0
( )
0 0
0 0
( )
( )
m
m
s
B p
y p
y p
A p
B p
y p
y p
I
I
u p
I
u p
u p
−
ченную систему уравнений в виде блочно-матричного обобщенного уравнения линейной системы
1
( )
0
A p
0
⎡
⎤
⎤ ⎡
⎤
⎡
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ =
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
. (6.2.4)
Отсюда видно, что проматрица последовательного соединения двух дина
0
мических систем, заданных операторными уравнениями в форме левой факторизации, имеет вид
1 1
2 2
( )
0 0
( )
0
( )
( )
0
( )
0 0
0 0
m
m
s
A p
B
A p
B p
p
I
I
I
×
−
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
Ω
=
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
p
. (6.2.5)
Можно сформировать проматрицу с упрощенной структурой. Так, если перв й сис
1 1
0 2
2 2
)
( )
( )
( )
( )
0
( )
( )
0 0
( )
( )
s
ое уравнение взаимосвязи учитывать как новое обозначение входных сигналов второй подсистемы
2
( )
u p
, то вместо формулы (6.2.4) получим обобщенное уравнение линейно темы
1 1
( )
0
(
0
A p
B p
y p
y p
B p
A p
y p
y p
I
u p
u p
⎡
⎤
⎤ ⎡
⎤
−
⎡
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
= ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
, в соответствии с которым проматрица последовательного соединения двух
1
)
0
( )
( )
( )
( )
0 0
0
s
подсистем определяется тождеством
1
(
A
2 2
p
B p
p
B p
A p
I
×
−
⎡
⎤
⎢
⎥
′
Ω
= −
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
. (6.2.6)
Встречно-параллельное соединение (рис.6.2.3). При встречно-параллельном
Рис.6.2.3. подсистем соединении подсистем первая подсистема стоит в прямой цепи, а вторая – в обратной цепи.
Структура встречно-параллельного соединения двух
186
1 1
1 0
2 2
2 2
0
( )
( )
( )
0
( )
( )
0
( )
( )
0 0
( )
0 0
0 0
( )
( )
m
m
s
B p
y p
y p
A p
B p
y p
y p
I
I
u p
I
u p
u p
−
ченную систему уравнений в виде блочно-матричного обобщенного уравнения линейной системы
1
( )
0
A p
0
⎡
⎤
⎤ ⎡
⎤
⎡
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥ =
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
. (6.2.4)
Отсюда видно, что проматрица последовательного соединения двух дина
0
мических систем, заданных операторными уравнениями в форме левой факторизации, имеет вид
1 1
2 2
( )
0 0
( )
0
( )
( )
0
( )
0 0
0 0
m
m
s
A p
B
A p
B p
p
I
I
I
×
−
⎡
⎤
⎢
⎥
−
⎢
⎥
Ω
=
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎣
⎦
p
. (6.2.5)
Можно сформировать проматрицу с упрощенной структурой. Так, если перв й сис
1 1
0 2
2 2
)
( )
( )
( )
( )
0
( )
( )
0 0
( )
( )
s
ое уравнение взаимосвязи учитывать как новое обозначение входных сигналов второй подсистемы
2
( )
u p
, то вместо формулы (6.2.4) получим обобщенное уравнение линейно темы
1 1
( )
0
(
0
A p
B p
y p
y p
B p
A p
y p
y p
I
u p
u p
⎡
⎤
⎤ ⎡
⎤
−
⎡
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
−
= ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
, в соответствии с которым проматрица последовательного соединения двух
1
)
0
( )
( )
( )
( )
0 0
0
s
подсистем определяется тождеством
1
(
A
2 2
p
B p
p
B p
A p
I
×
−
⎡
⎤
⎢
⎥
′
Ω
= −
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
. (6.2.6)
Встречно-параллельное соединение (рис.6.2.3). При встречно-параллельном
Рис.6.2.3. подсистем соединении подсистем первая подсистема стоит в прямой цепи, а вторая – в обратной цепи.
Структура встречно-параллельного соединения двух
186
Ко ениям личество скалярных входов и выходов удовлетворяет соотнош
1 2
s
m
=
Уравнения аимосвязи подсистем можно записать следующим образом:
(
знак «-» в формуле соответствует отрицательной обратной связи
) етствующем встречно- пара
)
( ),
( ) ( )
( ) ( )
( ),
( )
( )
( ) 0.
и
1 2
m
s
=
вз
1 2
1 2
( )
( )
( ),
( )
( )
( )
u p
u p
y p
y p
y p
u p
=
±
=
=
. (6.2.7)
Представим уравнения (6.1.14) в виде, соотв ллельному соединению двух подсистем:
( ) ( )
( ) (
0 1
1 1
1 0
2 2
2 2
1 2
A p y p
B p u p
y p
A p y p
B p y p
y p
u p
u p
y p
=
−
=
−
±
=
Дополним последние уравнения регуляризирующим тождеством и запи г
л с
1 0
2 2
2 2
1
( )
( )
( )
( )
0 0
( )
( )
0
( )
0
( )
( )
0 0
0
m
m
m
s
y p
y
p
B p
A p
y p
y
p
I
I
I
u p
u p
u p
I
⎤
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ =
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎣
⎦
⎣
⎦
⎣
⎦
∓
Отсюда проматрица встречно-параллельного соединения двух систем, зада
2 2
2
( )
( )
0 0
( )
0 0
0 0
m
m
m
s
B p
A p
p
−
шем полученную систему уравнений в виде блочно-матрично о обобщенного уравнения инейной истемы:
1 1
( )
0
( )
0
A p
B p
−
⎡
2 2
2 0
нных уравнениями в форме левой факторизации, имеет вид
1 1
( )
0
( )
0
A p
B p
2 2
I
I
I
I
∗
⎢
⎥
−
⎢
⎥
′
Ω
=
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
∓
. (6.2.8)
(
знак «+» перед единичной матрицей размера т
2
третьей блочной строки и второго блочного й системы можно учесть второе урав ь
построений мож
2 0
( )
0
( )
0 0
0
( )
0 0
0 0
0 0
0
m
m
m
m
m
s
A p
B p
I
I
I
p
I
I
I
∗
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
Ω
=
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
∓
. (6.2.9)
−
⎡
⎤
столбца соответствует отрицательной обратной связи
)
При формировании проматрицы данно нение взаимосвязи (6.2.7) не как изменение переменной
2
( )
u p
, а как уравнение статического объекта с единичным оператор виде
2
( )
( ) 0
u p
y p
−
=
, и дописат его к уравнениям системы. После аналогичных но получить, что проматрица системы примет вид
( )
0
( )
0 0
A p
B p
−
⎡
⎤
ом в
2 2
1 1
1 1
2 2
187
При использовании описаний систем в пространстве состояний, применяя аналогичный подход, можно получить проматрицы системы при типовых соединениях подсистем в несколько другом виде.
Так, при последовательном соединении подсистем (рис. 6.2.4)
Рис. 6.2.4. Последовательное соединение подсистем обобщенное уравнение линейной системы имеет вид
(
)
(
)
1 1
2 2
2 2
0 0
m
2 2
0 0
0 0
0 0
0
m
1 1
1 1
1 10 1
1 1
20 2
2 2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
n
m
m
m
pI
A
B
x
1 1
0 0
0 0
0
s
x
C
I
D
y
x
I
u
u
x
pI
A
B
y
−
−
⎢ ⎥
⎢ ⎥
C
I
D
I
I
⎢
⎢
−
u
⎡
⎤
−
−
⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥
⎣
⎦
⎣ ⎦
⎥
⎣
⎦
Проматрица системы, состоящей из последовательного соединения двух подсистем, в задаче моделирования, таким образом, имеет вид
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
(
)
(
)
1 1
2 2
2 2
2 0
0 0
0 0
0 0
n
m
C
I
D
1 1
1 1
1 1
2 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
( )
0 0
0 0
n
m
s
m
m
pI
A
B
C
I
D
I
p
pI
A
B
I
I
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
Ω
= ⎢
⎥
−
−
⎥
⎥
⎣
⎦
При учете того, что
, размеры обобщенного уравнения и проматрицы могут быть уменьшены на единицу. В этом случае обобщенное уравнение принимает вид
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎢
−
2 1
u
y
=
(
)
(
)
1 1
2 2
1 1
1 1
1 1
1 2
2 2
2 2
2 2
1 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
n
m
n
m
s
pI
A
B
0 0
x
x
C
I
D
y
x
x
B
pI
A
y
D
C
I
u
u
I
⎡
⎤
−
−
⎡
⎤
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
−
−
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥ ⎣ ⎦ ⎣
⎦
⎣
⎦
,
188
а пр
1 2
2 1
1 2
2 2
2 0
0
( )
0 0
0 0
0 0
0 0
0
m
n
m
s
C
I
D
p
B
pI
A
D
C
I
оматрица
(
)
1 1
1 0
0 0
n
pI
A
B
⎡
⎤
−
−
(
)
I
⎢
⎥
⎥
−
−
⎢
⎥
′
Ω
= ⎢
−
−
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
При параллельном соединении подсистем (рис. 6.2.5) обобщенное уравнение и выглядят следующим
⎢
Рис. 6.2.5. Параллельное соединение подсистем проматрица системы в задаче моделирования образом
(
)
(
)
1 1
2 2
1 2
m
m
m
1 1
1 10 1
1 1
2 20 1
2 2
2 2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
n
m
n
m
pI
A
B
0 0
0
s
x
x
C
I
D
y
x
x
pI
A
B
y
C
I
D
y
I
I
I
u
⎡
⎤
−
−
⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
=
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
u
I
⎣
⎦
(
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎢
⎥
,
⎣ ⎦
)
(
)
1 1
2 2
1 2
1 1
1 1
1 2
2 2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
( )
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
n
m
n
m
m
m
m
s
p
0
I
A
B
C
I
D
pI
A
B
p
C
I
D
I
I
I
I
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
Ω
= ⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
,
189
1 2
2 1
1 2
2 2
2 0
0
( )
0 0
0 0
0 0
0 0
0
m
n
m
s
C
I
D
p
B
pI
A
D
C
I
оматрица
(
)
1 1
1 0
0 0
n
pI
A
B
⎡
⎤
−
−
(
)
I
⎢
⎥
⎥
−
−
⎢
⎥
′
Ω
= ⎢
−
−
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
При параллельном соединении подсистем (рис. 6.2.5) обобщенное уравнение и выглядят следующим
⎢
Рис. 6.2.5. Параллельное соединение подсистем проматрица системы в задаче моделирования образом
(
)
(
)
1 1
2 2
1 2
m
m
m
1 1
1 10 1
1 1
2 20 1
2 2
2 2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
n
m
n
m
pI
A
B
0 0
0
s
x
x
C
I
D
y
x
x
pI
A
B
y
C
I
D
y
I
I
I
u
⎡
⎤
−
−
⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
=
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
u
I
⎣
⎦
(
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎢
⎥
,
⎣ ⎦
)
(
)
1 1
2 2
1 2
1 1
1 1
1 2
2 2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0
( )
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
n
m
n
m
m
m
m
s
p
0
I
A
B
C
I
D
pI
A
B
p
C
I
D
I
I
I
I
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
Ω
= ⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
,
189
или с уменьшенным числом компонент обобщенного вектора за счет совмещения некоторых из них, а значит, с уменьшенным размером проматрицы
(
)
(
)
1 2
1 1
1 1
2 2
1 2
1 2
1 2
0 0
0 0
0 0
0 0
n
n
m
s
pI
A
B
0 0
x
x
x
x
pI
A
B
y
C
C
I
D
D
u
u
I
⎡
⎤
−
−
⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥
−
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
=
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥
−
−
+
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣
⎦
,
(
)
(
)
1 2
1 1
1 2
1 2
1 0
0 0
0
( )
0 0
0
n
n
m
s
pI
A
B
pI
A
B
p
C
C
I
D
I
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
′
Ω
= ⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
+
⎢
⎥
⎣
⎦
2
D
(Предполагается, что размеры матриц согласованы, так как только в этом случае возможно говорить о соединении матричных систем (MIMO – систем)).
П и л
Рис. 6.2.6. Встречно-параллельное соединение подсистем обобщенное уравнение и проматрица системы в задаче имеют вид
1 2
2 1
2 1
1 1
2 20 2
2 2
2 2
2 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
n
n
m
s
s
pI
A
B
р встречно-пара лельном соединении двух подсистем (рис. 6.2.6) моделирования
(
)
1 1
10 1
0 0
0 0
0 0
m
x
x
(
)
1 2
0 0
0 0
0
s
m
s
C
I
y
I
I
I
x
x
pI
A
B
y
C
I
D
u
I
I
u
u
I
⎡
⎤
−
−
⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
−
ε
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥
⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
∓
=
−
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
,
190
(
)
(
)
1 2
1 1
1 1
2 2
1 2
1 2
1 2
0 0
0 0
0 0
0 0
n
n
m
s
pI
A
B
0 0
x
x
x
x
pI
A
B
y
C
C
I
D
D
u
u
I
⎡
⎤
−
−
⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥
−
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
=
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥
−
−
+
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎣
⎦
,
(
)
(
)
1 2
1 1
1 2
1 2
1 0
0 0
0
( )
0 0
0
n
n
m
s
pI
A
B
pI
A
B
p
C
C
I
D
I
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
′
Ω
= ⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
+
⎢
⎥
⎣
⎦
2
D
(Предполагается, что размеры матриц согласованы, так как только в этом случае возможно говорить о соединении матричных систем (MIMO – систем)).
П и л
Рис. 6.2.6. Встречно-параллельное соединение подсистем обобщенное уравнение и проматрица системы в задаче имеют вид
1 2
2 1
2 1
1 1
2 20 2
2 2
2 2
2 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
n
n
m
s
s
pI
A
B
р встречно-пара лельном соединении двух подсистем (рис. 6.2.6) моделирования
(
)
1 1
10 1
0 0
0 0
0 0
m
x
x
(
)
1 2
0 0
0 0
0
s
m
s
C
I
y
I
I
I
x
x
pI
A
B
y
C
I
D
u
I
I
u
u
I
⎡
⎤
−
−
⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
−
ε
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥
⎢
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
∓
=
−
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎢
⎥
⎣
⎦
,
190
(
)
1 1
1
n
(
)
1 1
2 2
2 1
2 1
2 2
2 2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
( )
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
m
0 0
0 0
pI
A
B
⎡
⎤
−
−
s
m
s
n
m
s
s
C
I
I
I
I
p
pI
A
B
C
I
D
I
I
I
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
Ω
=
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
∓
(Предполагается, что размеры матриц согласованы, так как только в этом случае корректно говорить о соединении матричных систем (MIMO – систем). В компоненте знак «минус» соответствует положительной обратной связи, знак «плюс» – соответственно, отрицательной обратной связи в системе.)
При другом выборе компонент обобщенного вектора системы (при объединении записи некоторых уравнений) можно получить обобщенное уравнение системы и проматрицу в следующем виде
2
m
I
∓
(
)
(
)
1 1
2 2
1 1
1 1
1 1
1 2
2 2
2 2
2 2
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
n
m
n
m
0 0
pI
A
B
B
s
x
x
C
I
y
x
x
B
pI
A
y
D
C
I
u
u
I
⎡
⎤
−
⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
−
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
=
⎢
−
−
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢
⎥ ⎣ ⎦ ⎣
⎦
∓
,
0
⎣
⎦
(
)
1 1
1 1
1 0
0 0
0 0
n
m
(
)
2 2
2 2
2 2
( )
0 0
0 0
0 0
0 0
n
m
1
pI
A
B
B
C
I
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
−
∓
s
p
B
pI
A
D
C
I
⎢
⎥
′
Ω
= ⎢
−
−
⎥
I
⎢
⎥
⎦
Таким образом, в зависимости от способа записи уравнений связи (или других дополнительных соотношений) проматрицы одной и той же со- ставной системы даже в одной и той же задаче могут принимать различные размеры (проматрицы и
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
( )
p
Ω
( )
p
′
Ω
в каждом рассмотренном случае). При этом общие свойства проматриц остаются в силе. Однако различие структур проматриц может быть сопряжено с различием в полноте описания и представления различных сторон системы.
191
1 ... 14 15 16 17 18 19 20 21 22
6.3. Возмущения линейных систем и проматрицы
Невозможно представить функционирование систем без учета различного рода возмущений. Поэтому, вводя новые математические конструкции, логично рассмотреть модели действия возмущений в терминах этих новых конструкций, в частности, проматриц.
Рассмотрим непараметрические (сигнальные) и параметрические возм но и рпрет ущения.
Структура обобщенного уравнения линейной системы (6.1.7) и обобщенного входа (6.1.6) позволяет введение дополнительных входных сигналов, которые мож нте ировать как различные возмущающие воздействия на систему.
Рассмотрим уравнения
(
)
( )
( )
pI
A x p
Bu p
−
=
+
0
( )
( )
( )
( )
( )
n
Rw p
x
y p
Cx p
Du p
p
δ
+
+ ∆
=
+
+
(6.3.1) или
L
0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
L
A p y p
B
u p
S p w p
y
p
=
+
+
+ ∆
(6.3.2)
Здесь R и
( )
S p
– числовая и полиномиальная матрицы соответственно размеров dim ( )
n
w p
×
и dim ( )
m
w p
×
, характеризующие воздействие на систему возмущения
( )
w p
,аналогичного по
p
природе управляющему возд е
ействию
( )
u p
;∆ – непреднамеренное изменени начальных условий системы, возникающее по разным причинам;
( )
p
δ
– m -мерный вектор возмущений, действие которых можно свести к выходу статического звена
(алгебраического уравнения) модели системы.
Аналогично ранее рассмотренному, можно ввести расширенные обоб асширенную проматрицу
, щенные выход, вход и р
()
( )
( )
( )
( )
x
y p
Y p
u p
w p
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
0
( )
( )
( )
( )
x
p
U p
u p
w p
δ
+ ∆
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
,
( )
0 0
0 0
0 0
n
m
s
0 0
pI
A
B
R
C
I
p
I
D
−
−
−
⎡
⎤
⎢
⎥
−
−
⎢
⎥
I
Ω
=
⎢
⎥
⎢
g
⎥
⎣
⎦
. (6.3.3)
пр
ение
О едел
3.7.
Матрица-столбец, составленная из субвекторов,
0
*
( )
( )
( )
( )
x
p
U
p
u p
w p
δ
+ ∆
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
=
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
192
называется
обобщенным входом системы
непараметрическими
возмущениями
.
Таким образом, обобщенное уравнение ли
с
нейной системы при внешних
(неп и
т араметрическ х) возмущениях принимае вид
*
( ) ( )
( )
p Y p
U p
Ω
=
, (6.3.4) где в правой части стоит обобщенный вход системы с возмущениями, действующими на нее и приводимыми к различным входным и внутренним сигналам систем
Заметим, что уравнение (6.3.4) описывает влияние на линейную систему всех непараметрических возмущений. При этом наличие или отсутствие этих возм ими словами, в проматрице независимо от исследователя присутствуют конструкции, определяющие влияние тех или иных непараметрических возмущений на поведение рассматриваемой линейной системы. в
и овых или полиномиальных матриц коэффициентов, фигу ства состояний новые, возмущенные, матрицы числовых коэффициен ы. ущений никак не влияет на структуру проматрицы
( )
p
Ω
. Друг
К параметрическим озмущен ям принято относить какие-либо изменения числ рирующих в формулах. Рассмотрим только аддитивными возмущениями этих матриц, когда, например, для простран тов принимают значения
A
A
+ ∆
,
B
B
+ ∆
,
C
C
+ ∆ ,
D
D
+ ∆
, а в левой факторизации недробные полиномиальные матрицы уступают место матрицам такого же типа
( )
( )
L
A p
A p
+ ∆
,
( )
( )
L
B p
B p
+ ∆
В результате при формировании проматрицы какой-либо системы получается проматрица с параметрическими возмущениями
( )
( )
p
p
Ω
− ∆Ω
, где
( )
p
∆Ω
– аддитивная добавка к невозмущенной проматрице этой же системы.
В частности, для проматрицы (6.1.8)
,
,
,
0
( )
0 0
n
n m
m
s n
s m
s
pI
A
B
p
C
I
D
I
⎡
⎤
−
−
⎢
⎥
Ω
=
−
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
193