Файл: Математический анализ.pdf

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики
А.М.Кытманов, Е.К. Лейнартас, В.Н.Лукин,
О.В.Ходос, О.Н.Черепанова, Т.Н.Шипина
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
с элементами алгебры, геометрии и функционального анализа
Учебное пособие
Красноярск 2011

Математический анализ: учеб. пособие;
А.М.Кытманов, Е.К. Лейнартас, В.Н.Лукин, О.В.Ходос, О.Н.Черепанова,
Т.Н.Шипина. – Красноярск, 2011. – 476 с.
Книга представляет собой учебное пособие по курсу математического анализа.
В ней изложены его основные разделы: дифференциальное и интегральное исчисле- ния функций одного и многих вещественных переменных, теория рядов. Наряду с традиционными разделами в книге приведены необходимые для изученимя анали- за сведения из других разделов математики: алгебры, геометрии, функционального анализа.
Предназначается студентам младших курсов естественно-научных специально- стей и направлений университетов.
c
А.М.Кытманов, Е.К. Лейнартас, В.Н.Лукин
О.В.Ходос, О.Н.Черепанова, Т.Н.Шипина, 2011

Введение
Эта книга написана на основе общего курса лекций по математическому анали- зу, который в течении ряда лет читался в Институте математики Сибирского феде- рального университета. В ней изложены основные разделы математического анализа:
дифференциальное и интегральное исчисления функций одного и многих веществен- ных переменных, теория рядов.
Математический анализ является той частью классической математики, кото- рая лежит в основе почти любой математической дисциплины. Обычно он является первым серьезным курсом высшей математики, с которым приходится сталкивать- ся первокурснику. В его задачу помимо изложения необходимого запаса сведений о предмете (определений, теорем, методов доказательства и решения задач) входит также развитие логического мышления и математической культуры, нужных для дальнейшего изучения математики. Курс математического анализа является базо- вым для изучения многих общепрофессиональных и специальных математических дисциплин. Изложение материала ведется на уровне строгости, принятой в настоя- щее время в математике. Авторы старались по возможности приводить полные до- казательства. Их отсутствие означает, что соответствующие утверждения уже до- казывались раньше в более простой ситуации. Например, многие утверждения для функций многих переменных так или иначе доказывались для функций одного пе- ременного.
Книга состоит из введения, десяти основных глав и одной главы — дополнения.
В нервых шести главах излагаются дифференциальное и интегральное исчисления функций одного вещественного переменного. Основными задачами и темами изуче- ния в этих главах являются:
– рассмотрение элементов теории множеств, вещественных чисел, понятий функ- ции и ее графика, изучение пределов последовательности и функции, непрерывности функции;
– введение понятия производной и дифференциала функции, изучение их свойств и проведение полного исследования функций с помощью производных;
– введения понятия неопределенного интеграла и изучения основных методов его вычисления;
– рассмотрение определенного интеграла Римана и изучение его свойств, опреде- ление и изучение несобственного интеграла, приложение определенного интеграла к вычислению площадей, объемов, длины кривой, площади поверхности и нахождению различных механических и физических величин;
– рассмотрение понятия сходящегося ряда и суммы ряда, исследование рядов на сходимость и абсолютную сходимость, используя различные признаки сходимости;
– изучение функциональных последовательностей и рядов, их равномерной схо- димости и ее свойств, изучение степенных рядов и рядов Фурье.
Следующие четыре главы посвящены дифференциальному и интегральному ис- числениям функций многих переменных. Основными задачами и темами изучения в них являются:
– рассмотрение понятия предела, непрерывности функций многих переменных,
частных производных и дифференцируемости, приложения дифференциального ис- числения к нахождению экстремумов, неявным и обратным функциям, условному экстремуму;
– 3 –

– введение измеримых по Жордану множеств, внешней и внутренней мер Жор- дана, изучение классов измеримых множеств. Построение кратного интеграла Рима- на, интегральных сумм, сумм Дарбу, изучение критериев интегрируемости, свойств интеграла Римана, интегрируемости непрерывных функций, теоремы Фубини о све- дении кратного интеграла к повторному, замене переменных в кратном интеграле.
Построение несобственного кратного интеграла Римана по неограниченному множе- ству и от неограниченной функции, получение его свойств, доказательству признаков сходимости;
– изучение собственных и несобственных интегралов, зависящих от параметра,
равномерной сходимости. Рассмотрение приложений данной теории к нахождению различных несобственных интегралов, интегралам Эйлера, интегралу и преобразо- ванию Фурье;
– рассмотрение понятия криволинейного интеграла первого и второго рода, свя- зи между ними. Введение понятие внешней дифференциальной формы и кусочно- гладкой поверхности. Определение интеграла от дифференциальной формы по це- пи и рассмотрение его свойств. Получение основные интегральных формул: формул
Грина, Остроградского, классической формулы Стокса. Изучение элементов вектор- ного анализа (теории поля).
При изучении математического анализа необходимо знать такие темы алгебры,
аналитической и дифференциальной геометрии, дискретной математики и матема- тической логики как системы линейных уравнений, векторное и евклидово простран- ства, матрицы и определители, квадратичные формы, логические символы и опера- ции теории множеств, комплексные числа, кривые второго порядка, внешние диффе- ренциальные формы. Необходимые сведения из этих тем приведены в дополнитель- ной одиннадцатой главе. Кроме того в ней даны также элементы теории рядов Фурье в функциональных пространствах, функционального анализа и некоторые приложе- ния в физике. Таким образом, данное учебное пособие дает возможность при изуче- нии курса математического анализа обойтись без обращения к другим литературным источникам.
Систему нумерации поясним на примерах: символ пункта 2.12.1 означает "глава 2,
параграф 12, пункт 1". Аналогично формула (2.12.1) есть первая формула параграфа
12 главы 2. Определения и утверждения, задачи и упражнения, замечания и рисунки нумеруются таким же образом.
– 4 –

Глава 1
Введение в анализ
В результате изучения данной главы читатель должен уметь решать задачи на предел функции и последовательности, на непрерывность и точки разрыва, на на- хождение точной верхней и точной нижней границы. Знать основные определения и теоремы о пределах последовательностей, функций, о непрерывности функций и ее свойствах: формулу бинома Ньютона, теорему о существовании верхней гра- ни, принцип Архимеда, принцип Кантор, принцип Больцано-Вейерштрасса, принцип
Бореля-Лебега,критерий Коши, теорему Вейерштрасса о пределе монотонной после- довательности, замечательные пределы, локальные и глобальные свойства непре- рывных функций, равномерную непрерывность и теорему Кантора, O-символику.
Владеть основными методами нахождения пределов последовательностей и функ- ций.
1.1. Элементы теории множеств
1.1.1. Операции над множествами.
Определение 1.1.1. Совокупность каких–либо объектов можно рассматри- вать как новый объект. Этот новый объект называется множеством, а объекты,
его составляющие, — элементами данного множества.
Обычно сами множества мы будем обозначать большими латинскими буквами
A, B, C, . . . , а элементы множеств — малыми латинскими буквами a, b, c, . . . . Как правило, мы будем иметь дело лишь с числовыми множествами.
Если M — какое–либо множество, а x — его элемент, мы пишем x ∈ M, если же x не является элементом M, то пишем x /
∈ M. Для удобства рассматривают множество, не содержащее ни одного элемента. Его называют пустым множеством и обозначают ∅.
Множество M можно задать либо перечислением элементов, из которых оно со- стоит, —
M = {a, b, c, . . .},
либо с помощью какого-либо определяющего свойства P
M = {x : x обладает свойством P }.
Множества могут находиться в определенных отношениях, и над ними можно производить некоторые операции.
1. Равенство множеств. Два множества M и N называются равными (M = N),
если они содержат одни и те же элементы.
2. Включение. Множество M содержится в множестве N (M ⊂ N), если каждый элемент множества M принадлежит множеству N. В этом случае также говорят, что
M — подмножество N . Ясно, что если M ⊂ N и N ⊂ M, то M = N. Пустое множе- ство считаем подмножеством любого множества: ∅ ⊂ M для любого M. Множество
M содержит множество N (M ⊃ N), если N ⊂ M.
5

3. Пересечение множеств M и N есть множество
M ∩ N = {x : x ∈ M и x ∈ N},
т.е. M ∩ N — это множество элементов, принадлежащих как M, так и N. Если таких элементов нет, то M ∩ N = ∅.
4. Объединение множеств M и N есть множество
M ∪ N = {x : x ∈ M или x ∈ N}.
Таким образом, здесь речь идет о множестве элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств M или N.
5. Разность множеств M и N есть множество
M \ N = {x : x ∈ M и x /
∈ N}.
Разность может оказаться и пустой, если, например, M = N.
6. Если в данной теории все множества являются подмножествами одного мно- жества I, то оно I называется универсальным. В этом случае определяется операция дополнения: CM = I \ M. Так что CI = ∅, C∅ = I.
В математическом анализе таким универсальным множеством является множе- ство R вещественных чисел.
Упражнение 1.1.1. Доказать, что включения A ⊂ B и B ⊂ A выполняются одновременно тогда и только тогда, когда A = B.
1.1.2. Свойства операций над множествами. 1. Для любого множества M
выполняется включение M ⊂ M (рефлексивность операции включения).
2. Для любого множества M выполнено включение ∅ ⊂ M.
3. Если M и N — два множества, для которых M ⊂ N и N ⊂ M, то M = N
(закон тождества).
4. Если для трех множеств M ⊂ N, N ⊂ S, то M ⊂ S (транзитивность включе- ния).
5. Для любых трех множеств (M ∪ N) ∪ S = M ∪ (N ∪ S) (ассоциативность операции объединения). Точно такое же свойство справедливо и для операции пере- сечения.
6. Коммутативные законы для этих операций
M ∩ N = N ∩ M,
M ∪ N = N ∪ M.
7. Дистрибутивные законы для объединения и пересечения
M ∩ (N ∪ S) = (M ∪ N) ∩ (M ∪ S), M ∪ (N ∩ S) = (M ∩ N) ∪ (M ∩ S).
8. Включение M ⊂ N имеет место тогда и только тогда, когда M ∩ N = M.
9. Включение M ⊂ N имеет место тогда и только тогда, когда M ∪ N = N.
10. Законы двойственности:
C(M ∪ N) = CM ∩ CN,
C(M ∩ N) = CM ∪ CN,
для любых множеств M и N.
1.1.3. Прямое (декартово) произведение множеств.
Определение 1.1.2. Пусть X, Y — произвольные множества. Множество
X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y },
образованное всеми упорядоченными парами (x, y), называется прямым или декар- товым произведением множеств X и Y .
– 6 –

Из определения прямого произведения следует, что вообще говоря X ×Y 6= Y ×X.
Равенство имеет место, лишь если X = Y . В этом случае пишут X × X = X
2
Произведение называется декартовым в честь Декарта, который пришел к систе- ме координат и аналитическому языку геометрии. Известная всем система декарто- вых координат на плоскости превращает эту плоскость в прямое произведение двух числовых осей. На этом примере также видна зависимость прямого произведения от порядка сомножителей. Например, парам (1, 0) и (0, 1) соответствуют разные точки плоскости.
Первый (соответственно, второй) элементы пары (x, y) называют первой (соот- ветственно, второй) координатами пары.
Упражнение 1.1.2. Показать, что (A × B) ⊂ (X × Y ), если A ⊂ X, а B ⊂ Y .
Упражнение 1.1.3. Показать, что (X × Y ) ∪ (Z × Y ) = (X ∪ Z) × Y.
1.1.4. Логические символы. В математических рассуждениях часто встреча- ются выражения "существует элемент" и "любой элемент" среди элементов, имею- щих некоторое свойство. Для сокращения таких выражений мы будем использовать два квантора: квантор существования — ∃ (читается "существует") и квантор все- общности — ∀ (читается "для всех").
Пусть функция f : R → R. Эта функция называется четной, если для любого x ∈
R
выполняется равенство f(−x) = f(x). Используя логическую символику, данное условие можно записать короче:
∀x ∈ R : f(−x) = f(x).
Введем еще несколько логических символов.
Символ =⇒ означает "следует" (одно высказывание следует из другого), а символ
⇐⇒ означает равносильность высказываний, стоящих по разные от него стороны.
Определение часто используемого в математике символа
P
(греческая заглав- ная буква "сигма") для обозначения суммы слагаемых можно записать следующим образом:
n
X
k=1
a k
= a
1
+ a
2
+ . . . + a n
Как правило, изложение материала будет вестись в классическом стиле без ис- пользования логических символов. Они будут употребляться параллельно с основ- ным текстом. Это поможет читателю привыкнуть к их применению и в то же время более кратко (а, следовательно, более выразительно) разъяснять нужную мысль.
Типичное математическое утверждение имеет вид A =⇒ B, где A — посылка, а
B — заключение. Доказательство такого утверждения состоит в построении цепочки
A =⇒ C
1
=⇒ . . . =⇒ C
n
=⇒ B
следствий, каждый элемент которой либо считается аксиомой, либо уже является доказанным утверждением.
В доказательстве мы будем придерживаться классического правила вывода: если
A истинно и A =⇒ B, то B тоже истинно.
При доказательстве от противного мы будем использовать принцип исключенного третьего, в силу которого высказывание A или не A считается истинным независимо от конкретного содержания высказывания A. Следовательно, мы принимаем, что повторное отрицание равносильно исходному высказыванию.
В дальнейшем конец проводимого доказательства сформулированного утвержде- ния будем отмечать символом
2.
– 7 –

1.2. Натуральные числа. Индукция. Бином Ньютона
Множество натуральных чисел мы обозначим через N. Его элементами являются числа 1, 2, 3, . . .. Основное свойство, которое мы будем использовать в классе нату- ральных чисел, заключается в том, что если n — натуральное число, то n + 1 также натуральное число.
1.2.1. Индукция. Мы также будем использовать следующее замечательное свойство множества натуральных чисел.
Теорема 1.2.1. Если множество M таково, что
1) M ⊂ N,
2) 1 ∈ M,
3) из того, что n ∈ M, следует (n + 1) ∈ M, то
M
= N.
Эту теорему обычно называют принципом полной математической индукции и обычно формулируют в следующем виде.
Теорема 1.2.2 (принцип полной математической индукции). Если имеется мно- жество утверждений, каждому из которых приписано натуральное число (его но- мер) n = 1, 2, . . ., и если доказано, что:
1) справедливо утверждение с номером 1 (база индукции),
2) из справедливости утверждения с номером n ∈ N следует справедливость утверждения с номером n + 1 (шаг индукции),
то тем самым доказана справедливость всех рассматриваемых утверждений с про- извольным номером n ∈ N.
Пример 1.2.1. Доказать, что для любого натурального числа n справедливо равенство
1 + 2 + . . . + n =
n(n + 1)
2
(1.2.1)
Решение. 1. Проверим базу индукции. При n = 1 получаем, что 1 =
1 · 2 2
— верное равенство.
2. Сделаем шаг индукции — предполагая, что равенство (1.2.1) верно для неко- торого n, докажем его для следующего натурального числа n + 1, т.е.
1 + 2 + . . . + (n + 1) =
(n + 1)((n + 1) + 1)
2
Получим
1 + 2 + . . . + (n + 1) = (1 + 2 + . . . + n) + (n + 1) =
=
n(n + 1)
2
+ (n + 1) =
(n + 1)(n + 2)
2
. 2
Упражнение 1.2.1. Показать, что (1 + x)
n
>
1 + nx при x > −1, n ∈ N (нера- венство Бернулли).
1.2.2. Целые числа. Про пустое множество говорят, что число его элементов равно нулю. Слово "нуль" обозначается символом 0. Множество натуральных чисел,
к которому добавлен нуль, обозначается N
0
Нуль считается меньше любого натурального числа.
Вместе с натуральными числами можно рассмотреть числа, им противополож- ные.
– 8 –

Определение 1.2.1. Множество натуральных чисел вместе с нулем и с чис- лами, противоположными натуральным, называется множеством целых чисел и обозначается Z, таким образом,
Z
= N ∪ {0} ∪ {m : m = −n, n ∈ N}.
Непосредственно из определения операций сложения и умножения следуют такие свойства.
1. Закон коммутативности сложения: m + n = n + m для всех m, n ∈ Z.
2. Закон ассоциативности сложения: m+(n+p) = (m+n)+p для всех m, n, p ∈ Z.
3. Для всех n ∈ Z выполнено равенство n + 0 = n.
4. Для любого числа n ∈ Z существует противоположное число −n такое, что n + (−n) = 0.
Последнее свойство позволяет определить операцию, обратную к операции сло- жения, — вычитание, а именно m − n = m + (−n).
5. Закон коммутативности умножения: mn = nm для любых чисел m, n ∈ Z.
6. Закон ассоциативности умножения: m(np) = (mn)p для любых чисел m, n, p ∈
Z
7. Для любого числа n ∈ Z выполнено равенство n · 1 = n.
В отличие от операции сложения операция умножения не обратима, т.е. уравне- ние n · x = m, вообще говоря, не имеет решений x во множестве целых чисел для фиксированных m, n ∈ Z.
1.2.3. Бином Ньютона.
Определение 1.2.2. Для данного натурального числа n определим функцию n!
как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно, т.е.
n! = 1 · 2 · 3 · · · (n − 1) · n.
Положим, также, по определению 0! = 1.
Эта функция (читается "n факториал") играет важную роль в теории чисел.
Определим теперь биномиальные коэффициенты C
k n
следующим образом:
C
k n
=
n!
k!(n − k)!
,
n, k ∈ N, k 6 n.
Кроме того, положим C
0
n
= 1 для всех n ∈ N.
Теорема 1.2.3. Имеют место свойства:
1) C
k n
= C
n−k n
,
2) C
k n
+ C
k+1
n
= C
k+1
n+1
Из этих свойств следует, что биномиальные коэффициенты являются натураль- ными числами.
Используя C
k n
, мы можем доказать формулу бинома Ньютона.
Теорема 1.2.4. Справедлива формула
(x + a)
n
= x n
+ C
1
n x
n−1
a + C
2
n x
n−2
a
2
+ . . . + C
n−1
n xa n−1
+ a n
=
=
n
X
k=0
C
k n
x n−k a
k