ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2023
Просмотров: 500
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
(10.11.1)
Отметим, что
1) всякая n-форма в R
n есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:
w n
= ax
1
∧ . . . ∧ x n
;
2) всякая k-форма при k > n равна нулю.
Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w k
на l-форму w
l
:
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
!
∧
X
16j
1
<...6
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...6
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
n b
j
1
...j l
x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
!
=
=
X
16i
1
<...6
n
16j
1
<...
n a
i
1
...i k
b j
1
...j l
x i
1
∧ . . . ∧ x i
k
∧ x j
1
∧ . . . ∧ x j
l
Таким образом внешнее произведение w k
∧ w l
есть внешняя форма степени k + l.
Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:
1) кососимметричности (антикоммутативности): w k
∧ w l
= (−1)
kl w
l
∧ w k
,
2) дистрибутивности: λ
1
w k
1
+ λ
2
w k
2
∧ w l
= λ
1
w k
1
∧ w l
+ λ
2
w k
2
∧ w l
,
3) ассоциативности: w k
∧ w l
∧ w m
= w k
∧ w l
∧ w m
Отметим еще поведение внешних форм при отображениях.
Пусть f : R
m
→ R
n
— линейное отображение, а w k
— внешняя k-форма на
R
n
. Тогда на R
m возникает внешняя k-форма f
∗
w k
, значение которой на k векторах
ξ
1
, . . . , ξ
k
∈ R
m равно значению k формы w k
на их образах f(ξ
1
), . . . , f (ξ
k
):
f
∗
w k
(ξ
1
, . . . , ξ
k
) = w k
(f (ξ
1
), . . . , f (ξ
k
)) .
Упражнение 10.11.1. Проверить
1) что f
∗
w k
— внешняя k-форма;
2)f
∗
w k
∧ w l
= f
∗
w k
∧ f
∗
w l
10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в R
n
Определение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ R
n
. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w
1
(x) линейную относительно переменных dx
1
, . . . , dx n
, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:
w
1
(x) = a
1
(x)dx
1
+ . . . + a n
(x)dx n
,
– 378 –
где a i
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
(x) — функции переменных x = (x
1
, . . . , x n
), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).
Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i
1
∧. . .∧dx i
k
,
1 6 i
1
< . . . <
i k
6
n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида w
k
(x) =
X
16i
1
<...6
n a
i
1
...i k
(x)dx i
1
∧ . . . ∧ dx i
k
,
(10.11.2)
где a i
1
...i k
(x) — гладкие функции переменных x ∈ R
n
Сложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ R
n нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.
Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k
(x)
определена операция внешнего дифференцирования:
dw k
(x) =
X
16i
1
<...6
n da i
1
...i k
(x) ∧ dx i
1
. . . ∧ dx i
k
,
где da i
1
...i k
(x) =
n
P
j=1
∂a i
1
...i k
∂x j
dx j
— дифференциал функции a i
1
...i k
(x).
Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w
0
u
(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R
3
можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w
1
a
(x) = P dx + Qdy + Rdz и
w
2
a
(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w
3
= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:
(i) dw
0
u
= w
1
grad u
;
(ii) dw
1
a
= w
2
rot a
;
(iii) dw
2
a
= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w
3
div a
Условие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:
для заданной дифференциальной 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w
0
u
= u(x, y, z) такая, что w
1
a
= dw
0
u
Условие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w
2
a равен нулю:
dw
1
a
=
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
dy ∧ dz+
+
∂P
∂z
−
∂R
∂x
dz ∧ dx +
∂Q
∂x
−
∂R
∂y
dx ∧ dy = dw
2 0
= 0.
Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w
2
¯
a равен нулю:
dw
2
a
= w
3
div a
= w
3 0
= 0.
– 379 –
Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k
= 0.
Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w k
называется точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕ
k−1
такая, что w k
=
dϕ
k−1
Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w
1
a является точной: w
1
a
= dw
0
u
Условия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw
2
a
= 0,
dw
1
a
= 0.
10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных форм
Ограничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.
Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции в
R
3
, а нульмерная цепь в R
3
— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w
0
u по нульмерной цепи γ
0
=
P
m i
A
i
, m i
∈ Z, A
i
∈ R
3
определяется как сумма значений функции u(A
i
) с весом m i
:
Z
γ
0
w
0
u
=
X
i m
i u(A
i
).
Дифференциальные формы степени 1 в R
3
имееют вид: w
1
= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.
Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ
1
в R
3
— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ
1
=
P
i m
i
Γ
i где Γ
i
— гладкие ориентированные кривые.
Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:
Z
γ
1
w
1
=
X
i m
i
Z
Γ
i w
1
Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w
1
a по цепи γ
1
,
представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поля
a = (P, Q, R) вдоль этой кривой.
Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ
1
границу ∂γ
1
естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ
1
= B − A, где A — начало, B — конец кривой.
Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде
Z
∂γ
1
w
0
=
Z
γ
1
dw
0
(10.12.1)
Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w
2
a
=
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности
– 380 –
S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):
ZZ
S
w
2
a
=
ZZ
S
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.
Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей S
i с целыми коэффи- циентами m i
:
S =
X
i m
i
S
i
Определение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:
ZZ
S
w
2
a
=
X
i m
i
ZZ
S
i w
2
a
Определение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =
P
i m
i
∂S
i
, где ∂S
i
—
край гладкой поверхности.
Отметим, что интеграл формы w
2
a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.
Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)
по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:
Z
∂S
w
1
a
=
ZZ
S
dw
1
a
=
ZZ
S
dw
2
rot a
(10.12.2)
Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R
3
имеет вид w
3
=
u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R
3
(по
3-цепи) определяется следующим образом
ZZZ
D
w
3
=
ZZZ
D
u(x, y, z) dxdydz,
где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.
Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу
3-цепи может быть записана в виде
ZZZ
∂D
w
2
a
=
ZZZ
D
dw
2
a
=
ZZZ
D
div a dx ∧ dy ∧ dz.
(10.12.3)
Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.
Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное поле
a = (P, Q, R)
называется соленоидальным в области G ⊂ R
3
, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w
2
a
= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи
– 381 –
D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:
ZZ
∂D
w
2
a
= 0.
Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R
3
необходимо и достаточно,
чтобы внешняя дифференциальная форма w
2
a была замкнута в G:
dw
2
a
= 0.
Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂
R
3
называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:
Z
γ
w
1
a
= 0.
Теорема 10.12.2. Пусть
1) в области G ⊂ R
3
любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепи
S ⊂ G : γ = ∂S,
2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:
I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w
1
a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулю
Z
γ
w
1
a
= 0.
II) Внешняя дифференциальная 1-форма w
1
a
= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w
1
a
= du
0
III) Внешняя дифференциальная форма w
1
a является замкнутой: dw
1
a
= 0.
– 382 –
Глава 11
Некоторые сведения из других разделов математики
В данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.
11.1. Комплексные числа
11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x
2
+ 1 = 0.
(11.1.1)
Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.
Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i
2
= −1.
(11.1.2)
Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,
(11.1.3)
где a и b — действительные числа.
Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается через
C
Определение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.
Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.
Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.
Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.
383
Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:
z = a − bi.
Легко проверить, что zz = a
2
+b
2
>
0, модулем |z| комплексного числа называется выражение
√
zz =
√
a
2
+ b
2
Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то z
w
=
ac + bd c
2
+ d
2
+
bc − ad c
2
+ d
2
i.
Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.
Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).
11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскости
R
2
. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.
Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.
Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,
т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.
Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :
z = r(cos ϕ + i sin ϕ).
Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.
С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.
Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то z
n
= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]
n
= r n
(cos nϕ + i sin nϕ),
n ∈ N
(формула Муавра).
Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +
i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениям
ρ
n
= r, т.е. ρ =
n
√
r,
и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =
ϕ + 2kπ
n
– 384 –
(напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,
кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).
Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.
Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса n
p
|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.
В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде
1 = cos 0 + i sin 0, тогда n
√
1 = cos
2kπ
n
+ i sin
2kπ
n
,
k = 0, 1, . . . , n − 1.
Пример 11.1.1.
√
1 = ±1, а
3
√
1 = 1, −
√
3 2
±
1 2
i.
11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби
11.2.1. Многочлены и их корни.
Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.
Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.
Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).
Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теорему
Безу.
Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.
Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.
Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.
Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)
l
, но не делится на (x − c)
l+1
Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,
то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —
простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P
′
Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.
Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочлен
P (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.
– 385 –
Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.
Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.
1 ... 30 31 32 33 34 35 36 37 ... 43
Теорема 11.2.5. Каждый многочлен степени n имеет ровно n корней, счи- тая каждый корень столько раз, какова его кратность, следовательно, каждый многочлен степени n разлагается на n линейных множителей. Это разложение единственно с точностью до порядка сомножителей.
Рассмотрим теперь многочлены P с действительными коэффициентами. Очевид- ным образом получаем следующее утверждение.
Теорема 11.2.6. Если число c является корнем многочлена P с действительны- ми коэффициентами, то сопряженное число c также является его корнем, причем той же кратности. Таким образом, всякий многочлен P с действительными коэф- фициентами представим, причем единственным образом (с точностью до порядка сомножителей), в виде произведения своего старшего коэффициента и нескольких многочленов с действительными коэффициентами, линейных вида x − c, соответ- ствующих его действительным корням, и квадратных, соответствующих парам его сопряженных комплексных корней.
11.2.2. Разложение рациональных функций на дроби. Применим преды- дущее исследование к рациональным функциям (рациональным дробям). Так назы- вают выражения вида
R(x) =
P (x)
Q(x)
,
где P и Q — многочлены, причем многочлен Q(x) не равен тождественно нулю.
Множество рациональных дробей образует поле с обычным образом определяе- мыми арифметическими операциями.
Определение 11.2.4. Рациональная дробь называется несократимой, если ее числитель взаимно прост со знаменателем.
Тогда получаем, что всякая рациональная дробь равна некоторой несократимой дроби, и обычно мы будем рассматривать только несократимые дроби.
Определение 11.2.5. Рациональная дробь называется правильной, если сте- пень числителя строго меньше степени знаменателя, в противном случае дробь называется неправильной.
Теорема 11.2.7. Всякая рациональная дробь представима, притом единствен- ным образом, в виде суммы многочлена и правильной дроби.
Доказательство этой теоремы является следствием теоремы о делении многочле- нов.
Определение 11.2.6. Многочлен называется приводимым (над данным число- вым полем), если его можно представить в виде произведения двух многочленов положительной степени, и неприводимым в противном случае.
В виде следствия из основной теоремы алгебры мы получаем, что над полем комплексных чисел неприводимыми являются только константы и линейные много- члены.
Как следствие из теоремы 11.2.6 мы получаем, что над полем действительных чисел неприводимыми являются только константы, линейные многочлены и квад- ратные многочлены, не имеющие действительных корней.
– 386 –
Определение 11.2.7. Правильная рациональная дробь называется простей- шей, если ее знаменатель является некоторой степенью неприводимого многочле- на.
Теорема 11.2.8. Всякая правильная рациональная дробь разлагается в сумму простейших дробей.
В качестве следствия мы получаем следующее разложение для правильной раци- ональной несократимой дроби R(x) с действительными коэффициентами:
R(x) =
P (x)
Q(x)
=
A
1
x − a
+ · · · +
A
l
(x − a)
l
+ · · · +
+
B
1
x − b
+ · · · +
B
m
(x − b)
m
+
M
1
x + N
1
x
2
+ px + q
+ · · · + +
M
s x + N
s
(x
2
+ px + q)
s
+ · · · ,
где многочлен Q имеет разложение
Q(x) = c(x − a)
l
· · · (x − b)
m
(x
2
+ px + q)
s
· · · ,
квадратные многочлены x
2
+ px + q, . . . не имеют действительных корней.
Коэффициенты числителей в этом разложении могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов.
11.3. Простейшие дифференциальные уравнения
Определение 11.3.1. Дифференциальное уравнение — это такое уравнение, из которого требуется определить неизвестную функцию и которое содержит не только эту функцию, но и ее производные (или дифференциалы).
Простейшей задачей такого рода является задача нахождения неопределенного интеграла, т.е. решения дифференциального уравнения y
′
= f (x).
(11.3.1)
Определение 11.3.2. Дифференциальные уравнения для определения неизвест- ных функций от одной независимой переменной называются обыкновенными.
Мы рассмотрим примеры обыкновенных дифференциальных уравнений.
Определение 11.3.3. Порядком дифференциального уравнения называется наи- высший порядок содержащихся в нем производных.
Определение 11.3.4. Решением дифференциального уравнения называется вся- кая функция, которая, будучи подставлена в дифференциальное уравнение, удовле- творяет ему при всех рассматриваемых значениях независимой переменной. Вме- сто термина "решение" часто употребляют термин "интеграл" , а сам процесс решения называют интегрированием дифференциального уравнения.
На примере уравнения (11.3.1) мы видели, что дифференциальное уравнение име- ет не одно решение и даже не конечное число решений, а бесконечное число решений,
зависящих от некоторого произвольного параметра, который называется постоянной интегрирования. Так что общее решение дифференциального уравнения зависит от одной или нескольких постоянных интегрирования, и его частное решение получа- ется из общего подстановкой конкретных значений этих постоянных.
Определение 11.3.5. Решить уравнение — это означает найти все его реше- ния.
– 387 –
11.3.1. Уравнение с разделяющимися переменными.
Определение 11.3.6. Уравнение первого порядка называется уравнением с раз- деляющимися переменными, если оно имеет следующий вид:
A(x)B(y)dx + C(x)D(y)dy = 0.
(11.3.2)
В нем y — неизвестная функция. Деля в (11.3.2) все члены уравнения на B(y)C(x),
получим уравнение с разделенными переменными:
M (x)dx + N (y)dy = 0.
(11.3.3)
Если y = y(x) — решение уравнения (11.3.3), то при подстановке его в (11.3.3)
получим тождество, которое можно интегрировать. Тогда
Z
M (x)dx +
Z
N (y)dy = c.
(11.3.4)
Из (11.3.4), выражая y через x, получаем общее решение уравнения (11.3.2), а значит, и (11.3.1). Нужно только иметь в виду, что при делении мы могли потерять какие–то решения.
Пример 11.3.1. Решить уравнение y
′
=
y x
Решение. Имеем dy dx
=
y x
,
y dx = x dy,
dy y
=
dx x
Отсюда получаем решение:
ln y
x
= c,
т.е.
y = cx.
В этом ответе c может принимать произвольные значения, в том числе и c = 0.
11.3.2. Линейное дифференциальное уравнение первого порядка.
Определение 11.3.7. Линейным (неоднородным) дифференциальным уравнени- ем первого порядка называется уравнение вида y
′
+ a(x)y = b(x).
(11.3.5)
Сначала рассмотрим частный случай уравнения (11.3.5), когда b(x) ≡ 0. Такое линейное уравнение называется однородным:
y
′
+ a(x)y = 0.
(11.3.6)
Разделяя переменные в уравнении (11.3.6), получим:
dy y
= −a(x)dx,
ln |y| = −
Z
a(x) dx.
Постоянную интегрирования целесообразно записать в виде ln |c|, тогда потенциро- вание дает y = ce
−
R
a(x) dx
= ce
−a
1
(x)
,
– 388 –
где a
1
(x) — одна из первообразных интеграла
Z
a(x) dx.
Таким образом, мы получили общее решение однородного уравнения.
Ищем решение неоднородного уравнения (11.3.5) методом вариации произволь- ной постоянной, а именно — полагаем y = c(x)e
−a
1
(x)
,
(11.3.7)
где c = c(x) — некоторая неизвестная функция, которую мы должны найти.
Из (11.3.7) получим y
′
= c
′
(x)e
−a
1
(x)
− c(x)e
−a
1
(x)
a
′
1
(x) =
= c
′
(x)e
−a
1
(x)
− a(x)c(x)e
−a
1
(x)
,
так как a
′
1
(x) = a(x).
Подставляя данное выражение в (11.3.5), имеем:
c
′
(x)e
−a
1
(x)
= b(x),
dc = b(x)e a
1
(x)
dx,
c(x) =
Z
b(x)e a
1
(x)
dx + C.
Для первоначальной неизвестной функции y получаем следующее выражение:
y = e
−a
1
(x)
Z
b(x)e a
1
(x)
dx + C
Это и есть общее решение уравнения (11.3.5). Обычно данный ответ не запоми- нают, а повторяют процесс решения уравнения в каждом конкретном случае.
Пример 11.3.2. Решить уравнение y
′
+ xy = −x.
Решение. Сначала решаем однородное уравнение:
y
′
+ xy = 0,
dy y
= −x dx,
ln |y| = −
x
2 2
+ ln c,
y = ce
−
x
2 2 .
Применяем метод вариации произвольной постоянной, т.е. полагаем y = c(x)e
−
x
2 2 ,
подставляем эту функцию в первоначальное уравнение. Получим общее решение:
y = Ce
−
x
2 2 − 1.
– 389 –
1
(x) — одна из первообразных интеграла
Z
a(x) dx.
Таким образом, мы получили общее решение однородного уравнения.
Ищем решение неоднородного уравнения (11.3.5) методом вариации произволь- ной постоянной, а именно — полагаем y = c(x)e
−a
1
(x)
,
(11.3.7)
где c = c(x) — некоторая неизвестная функция, которую мы должны найти.
Из (11.3.7) получим y
′
= c
′
(x)e
−a
1
(x)
− c(x)e
−a
1
(x)
a
′
1
(x) =
= c
′
(x)e
−a
1
(x)
− a(x)c(x)e
−a
1
(x)
,
так как a
′
1
(x) = a(x).
Подставляя данное выражение в (11.3.5), имеем:
c
′
(x)e
−a
1
(x)
= b(x),
dc = b(x)e a
1
(x)
dx,
c(x) =
Z
b(x)e a
1
(x)
dx + C.
Для первоначальной неизвестной функции y получаем следующее выражение:
y = e
−a
1
(x)
Z
b(x)e a
1
(x)
dx + C
Это и есть общее решение уравнения (11.3.5). Обычно данный ответ не запоми- нают, а повторяют процесс решения уравнения в каждом конкретном случае.
Пример 11.3.2. Решить уравнение y
′
+ xy = −x.
Решение. Сначала решаем однородное уравнение:
y
′
+ xy = 0,
dy y
= −x dx,
ln |y| = −
x
2 2
+ ln c,
y = ce
−
x
2 2 .
Применяем метод вариации произвольной постоянной, т.е. полагаем y = c(x)e
−
x
2 2 ,
подставляем эту функцию в первоначальное уравнение. Получим общее решение:
y = Ce
−
x
2 2 − 1.
– 389 –
11.3.3. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с по- стоянными коэффициентами. Рассмотрим сначала однородное линейное диффе- ренциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. урав- нение вида my
′′
+ ry
′
+ ky = 0,
(11.3.8)
где m, r, k — некоторые константы.
Частные решения этого уравнения легко получить, подставляя в (11.3.8) функ- цию y = e
λx
. Тогда из (11.3.8) получим характеристическое уравнение mλ
2
+ rλ + k = 0.
(11.3.9)
Уравнение (11.3.9) является квадратным уравнением с дискриминантом
D = r
2
− 4mk.
В зависимости от знака дискриминанта D возможны три случая.
1. D > 0. В этом случае корни уравнения (11.3.9) действительны и различны:
λ
1
=
−r +
√
D
2m
,
λ
2
=
−r −
√
D
2m
Тогда мы имеем, что функции y
1
= e
λ
1
x и y
2
= e
λ
2
x являются решениями уравне- ния (11.3.8). Ясно, что функция y = c
1
y
1
+ c
2
y
2
(11.3.10)
также есть решение (11.3.8). Оказывается, этим исчерпываются все решения уравне- ния (11.3.8). Итак, имеем следующее утверждение.
Теорема 11.3.1. Общее решение уравнения (11.3.8) в случае, когда D > 0, имеет вид (11.3.10).
2. D = 0. Квадратное уравнение (11.3.9) имеет один корень кратности два, а именно, λ = −
r
2m
. Тогда уравнение (11.3.8) имеет решение y
1
= e
λx
= e
−
r
2m .
Чтобы получить еще одно решение, проведем следующее рассуждение. Пусть квадратное уравнение (11.3.9) имеет два различных действительных корня λ
1
и λ,
тогда выражение e
λ
1
x
− e
λx
λ
1
− λ
тоже будет решением дифференциального уравнения (11.3.8). Заставим теперь ко- рень λ
1
стремиться к λ. Тогда lim
λ
1
→λ
e
λ
1
x
− e
λx
λ
1
− λ
=
d dλ
e
λx
= xe
λx
Можно ожидать, что полученная функция будет решением уравнения (11.3.8).
Легко проверить, что это действительно так.
Теорема 11.3.2. Если D = 0, то общим решением уравнения (11.3.8) служит функция y = y(x) = c
1
e
λx
+ c
2
xe
λx
,
где λ — кратный корень уравнения (11.3.9).
– 390 –
3. D < 0. В этом случае корни уравнения (11.3.9) являются сопряженными ком- плексными числами, и мы положим D = −4m
2
ν
2
, тогда y
1
= e
−
r
2m x+iνx
,
y
2
= e
−
r
2m x−iνx
С помощью формул Эйлера e
±iνx
= cos νx ± i sin νx эти комплексные решения можно записать так:
y
1
= e
−
r
2m x
(cos νx + i sin νx),
y
2
= e
−
r
2m x
(cos νx − i sin νx).
Тогда действительная и мнимая части этих функций также являются решениями уравнения (11.3.8). Отсюда имеем следующее утверждение.
Теорема 11.3.3. Если дискриминант (11.3.9) отрицателен, то общим решени- ем уравнения (11.3.8) служит функция y = e
−
r
2m x
(c
1
cos νx + c
2
sin νx),
где r
2
− 4mk = −4m
2
ν
2
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение, т.е. уравнение вида my
′′
+ ry
′
+ ky = f (x).
Если мы знаем общее решение однородного уравнения (11.3.8), то общее реше- ние неоднородного уравнения можно найти методом вариации произвольных посто- янных. Но в некоторых случаях это решение можно найти из вида правой части.
Рассмотрим следующий пример:
my
′′
+ ry
′
+ ky = ce iωx
(11.3.11)
Решение уравнения (11.3.11) будем искать в виде y(x) = σe iωx
,
в котором требуется определить неизвестный множитель σ.
Подставляя в дифференциальное уравнение (11.3.11) функцию y(x) и ее произ- водные y
′
= iωσe iωx
, y
′′
= −ω
2
σe iωx
, сокращая на общий множитель, мы получим
−mω
2
σ + irωσ + kσ = c,
откуда
σ =
c
−mω
2
+ irω + k
Таким образом, комплексное решение уравнения (11.3.11) найдено. Его теперь можно записать немного в другом виде. Коэффициент
σ = c k − mω
2
− iuω
(k − mω
2
)
2
+ r
2
ω
2
= cαe
−iωδ
,
причем положительный коэффициент искажения α и сдвиг фазы ωδ выражаются через известные величины m, r, k так:
α =
1
p
(k − mω
2
)
2
+ r
2
ω
2
,
tg ωδ =
rω
k − mω
2
,
cos ωδ = (k − mω
2
)α,
sin ωδ = rωα.
– 391 –