Файл: Математический анализ.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 08.11.2023

Просмотров: 504

Скачиваний: 4

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

СОДЕРЖАНИЕ

причем квадратные многочлены x2+ px + q,. . . не имеют действительных корней.Коэффициенты числителей в разложении (3.3.1) могут быть найдены методом неопределенных коэффициентов.– 108 – Рациональные дроби видаA(x − a)l,M x + N(x2+ px + q)s,(3.3.2)где a, p, q, A, M, N — действительные числа и p2 4−q < 0 (корни многочлена x2+px+q существенно комплексные) называются элементарными рациональными дробями.Легко видеть, что разложение (3.3.1) есть сумма элементарных рациональных дробей. С точки зрения интегрирования элементарных дробей среди них следует выделить четыре типа дробей:Ax − a;A(x − a)l,l = 2, 3, . . . ;M x + Nx2+ px + q;M x + N(x2+ px + q)s,s = 2, 3, . . .Научившись интегрировать эти четыре типа, не трудно найти и интегралZR(x) dx =ZP (x)Q(x)dx.3.3.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей четырех типов.1).ZAx − a dx = A ln |x − a| + C.(3.3.3)2).ZA(x − a)l dx = −A(l − 1)(x − a)l−1+ C,l = 2, 3, . . .(3.3.4)3).ZM x + Nx2+ px + q dx.Выделим из выражения x2+ px + q полный квадрат двучлена:x2+ px + q = x2+ 2 ·p2+p22+q −p22=x +p22+q −p2 4Так как величина q −p2 2> 0, то можно ввести число a по формуле a = +r q −p2 4или a2= q −p2 4. Сделав замену переменной x +p2= t,dx = dt и используя равенства x2+ px + q = t2+ a2,M x + N = M t +N −M p2,найдем требуемый интегралZM x + Nx2+ px + q dx =ZM t + N −M p2t2+ a2==M2Z2tdt t2+ a2+N −M p2 Zdt t2+ a2=– 109 – =M2ln(t2+ a2) +1aN −M p2arctg ta+ C,или, возвращаясь к переменной x, и подставляя вместо a его значение:ZM x + Nx2+ px + q dx =(3.3.5)=M2ln(x2+ px + q) +2N − Mp p4q − p2arctg2x + p p4q − p2+ C.4).ZM x + N(x2+ px + q)s dx.Воспользуемся той же заменой переменной x +p2= t и обозначениями, что и при интегрировании дроби третьего типа, получим:ZM x + N(x2+ px + q)s dx =ZM t + N −M p2(t2+ a2)s dt ==M2Z2 + dt(t2+ a2)s dt +N −M p2 Zdt(t2+ a2)sПервый интеграл в последней сумме легко вычисляется еще одной заменой пере- менной t2+ a2= u,2tdt = duZ2t(t2+ a2)s dt =Zdu us= −1s − 1·1u s−1+ C =(3.3.6)= −1s − 1 1(t2+ a2)s−1+ C.Второй же интеграл, при любом натуральном s может быть вычислен по рекур- рентной формуле (см. пример 3.2.4, формула (3.2.5)).Таким образом, используя аддитивность интеграла для любой правильной ра- циональной несократимой дроби R(x) с действительными коэффициентами неопре- деленный интеграл может быть найден и выражен через элементарные функции,а именно он является алгебраической суммой суперпозиций рациональных дробей,арктангенсов и натуральных логарифмов.Если дробь R(x) =P (x)Q(x)— неправильная (степень многочлена P (x) больше или равна степени многочлена Q(x)), то сначала выделяется "целая часть" (многочлен),т.е. данная рациональная дробь представляется в виде суммы многочлена и правиль- ной рациональной дроби и далее снова, используя аддитивность, выражаем неопре- деленный интеграл от неправильной дроби R(x) через элементарные функции.3.3.2. Метод Остроградского. Не трудно заметить (анализируя результаты интегрирования элементарных дробей четырех типов), что всякая первообразная любой рациональной дробиP (x)Q(x)представима, вообще говоря, в виде суммы раци- ональной дроби и трансцендентной функции (логарифмов и арктангенсов), которая получается при интегрировании дробей видаAx − a иM x + Nx2+ px + q,p2 4− q < 0.– 110 – Таким образом, еслиP (x)Q(x)— правильная рациональная дробь иQ(x) = (x − a1)n1· . . . · (x − a r)n r(x2+ p1x + q1)m1· . . . · (x2+ p sx + q s)m sразложение ее знаменателя на множители, тоZP (x)Q(x)dx =P1(x)Q1(x)+Z "rXi=1Ai x − a i+sXj=1Mj x + Nj x2+ p jx + q j#dxПроизведя сложение дробей в квадратных скобках, получимZP (x)Q(x)dx =P1(x)Q1(x)+ZP2(x)Q2(x)dx,(3.3.7)где Q(x) = (x − a1) · . . . · (x − a r)(x2+ p1x + q1) · . . . · (x2+ p sx + q s).Из формул (3.3.4), (3.3.5) и (3.3.6)следует, что многочлен Q1(x) имеет видQ1(x) = (x − a1)n1−1· . . . · (x − a r)n r−1(x2+ p1x + q1)m1−1· . . . · (x2+ p sx + q s)m s−1и, значит многочлен Q1(x) является общим наибольшим делителем многочлена и его производной Q′(x).Формула (3.3.7) называется формулой Остроградского.ИнтегралZP2(x)Q2(x)dx называется трансцендентной частью интегралаZP (x)Q(x)dx.Это естественно, ведь из вышеизложенного следует, что всякая первообразная дробиP2(x)Q2(x)с точностью до постоянного слагаемого представляет собой линейную комбинацию логарифмов и арктангенсов от рациональных функций.ДробьP1(x)Q1(x)называется рациональной частью интегралаZP (x)Q(x)dx.Если известны многочлены P (x) и Q(x), то многочлены Q1(x) и Q2(x) (Q(x) =Q1(x) · Q2(x)) могут быть найдены, например, с помощью алгоритма Евклида. Для отыскания же многочленов P1(x) и P2(x) можно применить метод неопределенных коэффициентов с использованием равенстваP (x)Q(x)=P1(x)Q1(x)′+P2(x)Q2(x),(3.3.8)которое получается диффернцированием формулы (3.3.7). Степени многочленовP1(x) и P2(x) с неизвестными коэффициентами выбираются на единицу меньше сте- пеней соответствующих знаменателей Q1(x) и Q2(x).Можно показать, что соотношение (3.3.8) позволяет единственным образом найти неизвестные коэффициенты многочленов P1(x) и P2(x).3.4. Интегрирование иррациональных функций3.4.1. Интегрирование выражений вида Rx,m qax+b cx+d. Основным прие- мом нахождения интеграла от указанного выражения, где буква R обозначает раци- ональную функцию от своих аргументов (а в дальнейшем и других интегралов от иррациональных функций) будет отыскание таких подстановок t = ϕ(x), которые– 111 – привели бы подынтегральное выражение к рациональному виду относительно новой переменнойZR1(t) dt. Последний интеграл можно выразить в конечном виде че- рез элементарные функции, используя методики предыдущей лекции. Если функцияϕ(x) сама элементарна, то возвращаясь к переменной x, получим нужный интеграл в виде элементарной функции.Будем называть такой прием методом рационализации подынтегрального выра- жения.Проиллюстрируем этот прием на вычислении интегралаZRx,m rax + b cx + d!(3.4.1)где R означает рациональную функцию от двух аргументов x и y =m rax + b cx + d,m— натуральное число, a, b, c, d — постоянные вещественные числа, причем a b c d 6=0. (В случае, когда a b c d = 0, дробь ax + b cx + d не зависит от x и подынтегральная функция была бы рациональной относительно переменной x.)Положим t = ϕ(x) =m rax + b cx + d,t m=ax + b cx + d,x = ψ(t) =dt m− b a − ct mИскомый интеграл перейдет в интегралZR (ψ(t), t) ψ′(t) dt(3.4.2)от рациональной функции R (ψ(t), t) ψ′(t) (R (ψ(t), t) рациональна, как суперпози- ция рациональных, ψ′(t) рациональна, как производная рациональной функции).Вычислив интеграл (3.4.2) по правилам предыдущей лекции и вернувшись к ста- рой переменной (t = ϕ(x)), найдем интеграл (3.4.1).Замечание 3.4.1. К интегралу вида (3.4.1) сводятся и более общие интегралыZRx,ax + b cx + dr1, . . . ,ax + b cx + dr sdx,где все показатели r1, . . . r sрациональны.Действительно, достаточно привести эти показатели к общему знаменателю m,чтобы выразить все степениax + b cx + dr i(i = 1, . . . , s) через один радикал mr ax + b cx + d с целыми показателями n i,n i= m · r i(i = 1, 2, . . . , s).3.4.2. Интегрирование выражений вида x m(a + bx n)p. Интеграл от ука- занного вида функцийZx m(a + bx n)p dx(3.4.3)называют интегралом от дифференциального бинома (или биномиального дифферен- циала)x m(a + bx n)p dx,если a и b — вещественные числа (a 6= 0, b 6= 0), n, m и p — рациональны.– 112 – Укажем случаи, когда интеграл (3.4.3) выражается через элементарные функции.Прежде всего этот случай возникает, если p есть целое число (p ∈ Z). Тогда функция xm(a + bx n)p относится к типу, изученному в предыдущем пункте (r1= m, r2= n).Для выяснения других случаев сделаем замену переменной z = x nТогда xm(a + bx n)p dx =1n(a + bz)p zm+1n−1dz илиZx m(a + bx n)p dx =1nZ(a + bz)p zq dz,(3.4.4)где q =m + 1n− 1.Если q есть целое число, то снова приходим к интегралу изученного типа (см.предыдущий пункт, r1= p).Перепишем, наконец, второй интеграл равенства (3.4.4) в виде1nZ a + bz zp zp+q dz и снова заключаем, что если p + q есть целое число, то возникает изученный случай(см. предыдущий пункт, r1= p).Таким образом, интегралы (3.4.4) от дифференциального бинома выражаются через элементарные функции, если оказывается целым одно из чисел p, q, p + q или (что то же самое) одно из чисел p,m + 1n,m + 1n+ p.П.Л.Чебыш¨ев (1821–1894) — русский математик — показал, что при показателях m,n и p, не удовлетворяющих вышеуказанным условиям, интеграл (3.4.3) не выражается через элементарные функции.3.4.3. Интегрирование выражений вида R x,√ax2+ bx + c. Рассмот- рим очень важный класс интеграловZRx,√ax2+ bx + cdx(3.4.5)в предположении, что трехчлен ax2+ bx + c не есть полный квадрат (иначе исчезает иррациональность) и вещественные коэффициенты a, b, c таковы, что подынтеграль- ная функция определена на каком-то интервале.Существует три подстановки, называемые подстановками Эйлера, с помощью ко- торых всегда можно достигнуть рационализации подынтегрального выражения.1. Пусть a > 0, тогда полагают√ax2+ bx + c = t −√ax(3.4.6)(или√ax2+ bx + c = t +√ax). Возводя равенство (3.4.6) в квадрат, найдем что x =t2− c2√at + b,√ax2+ bx + c =√at2+ bt + c√a2√at + b,dx = 2√at2+ bt + c√a(2√at + b)2dt.– 113 – если в интеграле (3.4.5) использовать полученные выражения, то подынтегральная функция окажется рациональной относительно переменной t и интеграл может быть найден. Для возвращения к переменной x, следует положить t =√ax2+ bx + c +√ax.2. Пусть c > 0. В этом случае полагаем√ax2+ bx + c = xt +√c(или√ax2+ bx + c = xt −√c).Производя фактически те же преобразования, что и в первом случае, найдем, что x =2√ct − b a − t2,√ax2+ bx + c =√ct2− bt + a√c a − t2,dx = 2√ct2− bt + a√c(a − t2)2dt.Далее, интегрируя рациональную функцию относительно переменной t и полагая t =√ax2+ bx + c −√c x,находим интеграл (3.4.5).3. Пусть квадратный трехчлен x2+ bx + c имеет различные вещественные корни x1и x2. Тогда ax2+ bx + c = a(x − x1)(x − x2).Положим√ax2+ bx + c = t(x − x1).Возводя последнее равенство в квадрат, найдем x =−ax2+ x1t2t2− a,√ax2+ bx + c =a(x1− x2)t2− a,dx =2a(x2− x1)t(t2− a)2dt.Далее вычисления интеграла (3.4.5) идут по той же схеме, что и в первом (или втором) случае.Замечание 3.4.2. Первый случай (a > 0) и второй (c > 0) можно свести один к другому подстановкой x =1z и, таким образом, пользоваться только, например,первым случаем.Замечание 3.4.3. Ясно, что вариант, когда не подходит ни первый, ни третий случай ведет к тому, что выражение√ax2+ bx + c не имеет смысла (под корнем стоит отрицательное число для любых x).– 114 – 3.5. Интегрирование тригонометрических функций3.5.1. Вычисление интегралов видаRR(sin x, cos x) dx. Замена перемен- ной по формуле t = tg x2сводит интегралZR (sin x, cos x) dx к интегралу от рациональной функции. Действительно,sin x =2 sin x2cos x2cos2 x2+ sin2 x2=2 tg x2 1 + tg2 x2=2t1 + t2cos x =cos2 x2− sin2 x2cos2 x2+ sin2 x2==1 − tg2 x2 1 + tg2 x2=1 − t2 1 + t2x = 2 arctg t,dx =2t1 + t2Тогда искомый интеграл перепишется в виде интеграла2ZR2t1 + t2,1 − t2 1 + t2dt1 + t2,который, очевидно, есть интеграл от рациональной функции.Замечание 3.5.1. Иногда подстановки вида t = sin x,t = cos x,t = tg x позволяют вычислить нужный интеграл значительно быстрее, чем при использо- вании универсальной подстановки t = tg x2 3.5.2. Вычисление интегралов видаRsin mx cos nx dx. а) Пусть m и n —рациональные числа, тогда подстановка t = sin x приведет искомый интеграл к интегралу от дифференциального бинома. Действи- тельно,cos x = (1 − t2)1 2,dt = cos xdx,dx = (1 − t2)−1 2dt,Zsin mx cos nxdx =Zt m(1 − t2)n−1 2dt.б) Пусть m и n — целые числа, причем среди них есть нечетное, например, m =2k + 1. Подстановка t = sin x быстро ведет к получению результата: интегралу от рациональной функции по переменной t (если же m и n — положительные, то к интегралу от многочлена).Zsin2k+1x cos nx dx = −Z(sin2x)k cos nx d cos x =Z(1 − t2)k tn dt.в) Пусть m и n — целые, положительные, четные (может быть одно из чисел ноль). Тогда применение формул sin2x =1 − cos 2x2,cos2x =1 + cos 2x2позволит понизить степень функций sin x и cos x под интегралом и в конце концов найти нужный интеграл.– 115 – 3.5.3. Вычисление интегралов видаRsin αx cos βx dx. Указанные выше в заглавии интегралы легко вычисляются, если воспользоваться тригонометрическими формулами sin αx cos βx =1 2[sin(α + β)x + sin(α − β)x],sin αx sin βx =1 2[cos(α − β)x − cos(α + β)x],cos αx cos βx =1 2[cos(α + β)x + cos(α − β)x].Например,Zsin 3x cos 5x dx =1 2Z(sin 8x − sin 2x) dx = −1 16cos 8x +1 4cos 2x + C.3.6. Интегрирование трансцендентных функций34.1. Если подынтегральное выражение имеет видP (x)e ax dx,P (x) sin bx dx,P (x) cos bx dx,P (x) ln mx dx(m целое, m > 0), где P (x) — многочлен, то обычно говорят об интегрировании трансцендентной функции. Фактически, в этом случае нужно научиться вычислять интеграл, когда P (x) = x n,(n — целое, неотрицательное). Задача решается много- кратным использованием метода интегрирования по частям. Покажем это на приме- рах.1.Zx2cos 2x dx =1 2Zx2d(sin 2x) =1 2x2sin 2x −Zx sin 2x dx ==1 2x2sin 2x +1 2Zxd(cos 2x) =1 2x2sin 2x +1 2x cos 2x −1 2Zcos 2x dx ==1 2x2sin 2x +1 2x cos 2x −1 4sin 2x + C.Аналогично интегрируются выражения xn arcsin x dx,x narccos x dx,x narctg x dx,x narcctg x dx.34.2. Рассмотрим интегралы от трансцендентных функций e ax cos bx, e ax sin bx.В этом случае результаты дает также повторное интегрирование по частям, но с использованием еще одного приема, которым необходимо владеть для вычисления и других интегралов. Найдем интеграл от функции e ax cos bx. Обозначим искомый интеграл через I. ТогдаI =Ze ax cos bx dx =Ze ax dsin bx b=e ax sin bx b−a bZe ax sin bx dx ==e ax sin bx b−a bZe ax d−cos bx b==e ax sin bx b+ae ax cos bx b2−a2b2Ze ax cos bx dx.Теперь получается уравнение относительно величины II =e ax(b sin bx + a cos bx)b2−a2b2I,– 116 – откудаI =e ax(b sin bx + a cos bx)a2+ b2+ C.Аналогично вычисляется интегралZe ax sin bx dx.Не трудно вычислить и интегралZx ne ax cos bx dx,используя полученные выше результаты.Интегрирование по частям приведет к понижению степени n под интегралом.Действительно,Zx ne ax cos bx dx =Zx nde ax(b sin bx + a cos bx)a2+ b2== x ne ax b sin bx + a cos bx a2+ b2− nZx n−1e ax(b sin bx + a cos bx)a2+ b2dx.Полученный в правой части интеграл — сумма интегралов уже изученного типа и, следовательно, степень n − 1 также может быть понижена и приведена в конце концов к нулю, что позволит выписать окончательный ответ.34.3. Интеграл видаZR(sh x, ch x) dx вычисляется теми же приемами, что ин- тегралыZR(sin x, cos x) dx.Подстановка t = th x2сводит искомый интеграл к интегралу от рациональной функции относительно переменной tZR(sh x, ch x) dx = 2ZR2t1 − t2,1 + t2 1 − t2dt1 − t2,так как sh x =2t1 − t2,ch x =1 + t2 1 − t2,dx =2t1 − t2 3.7. Интегрирование различных классов функцийВыше были рассмотрены некоторые классы функций, для которых разработа- ны стандартные методы интегрирования. Чаще всего использовался прием рациона- лизации подынтегральной функциии, после чего делался вывод о принципиальной возможности вычисления интеграла, т.е. его выражения через элементарные функ- ции. На практике часто встречаются функции, интегрирование которых не может быть осуществлено ни одним из рассмотренных приемов. В этом случае необходимо использовать комбинацию различных способов или разработать новый метод. Заме- тим, что и стандартная рационализация подынтегральной функции часто приводит к громоздким и утомительным вычислениям.Приведем некоторые примеры.Найти интегралы:1.J =Zx2+ x + 1(x2+ 1)√x2+ 1dx =– 117 – =Zx2+ 1(x2+ 1)√x2+ 1dx +Zx(x2+ 1)3/2dx ==Zdx√x2+ 1+1 2Zd(x2+ 1)(x2+ 1)3/2В первом интеграле последней суммы сделаем подстановку x = sh t, а во втором— u = x2+ 1. ТогдаJ =Zd(sh t)p sh2t + 1+1 2Zdu u3/2=Zch t ch t dt +1 21u1/2(−2) == t −1u1/2+ C = ln(x +√x2+ 1) −1√x2+ 1+ C,так как из равенства x = sh t =e t− e−t2следует, что t = ln(x +√x2+ 1).Стандартная рационализация с помощью подстановки Эйлера√x2+ 1 = x + t,здесь вряд ли уместна.2.J =Z √1 − x2arcsin x dx. Сделаем замену переменной x = sin t, тогдаJ =Zcos2t · t dt =Zt1 + cos 2t2dt =1 2Zt dt +1 2Zt cos 2t dt=1 4t2+1 4t sin 2t −1 4Zt sin 2t dt =1 4t2+1 4t sin 2t +1 8cos 2t + C.Вернемся к переменной x, t = arcsin x.J =1 4arcsin2x +1 4arcsin x · sin(2 arcsin x) +1 8cos(2 arcsin x) + C ==1 4arcsin2x +1 4arcsin x · 2x√1 − x2+1 8(1 − x2− x2) + C ==arcsin2x − x2 4+x√1 − x2· arcsin x2+ C.3.J =Zx ln |x|(1 − x2)√x2− 1dx =1 2Zx ln x2(1 − x2)√x2− 1dx == −1 4Zln x2d(x2− 1)(x2− 1)3/2=1 2Zln x2d(x2− 1)−1 2==1 2ln x2√x2− 1− 2Z(x2− 1)−1 2dx x==ln |x|√x2− 1−Zdx x√x2− 1=ln |x|√x2− 1−Zdx x2q1 −1x2==ln |x|√x2− 1+Zd1xq1 −1x2=ln |x|√x2− 1+ arcsin1x+ C.Эти несложные примеры показывают, что нельзя предложить стандартные ал- горитмы для нахождения всех интегралов. Тем более, что вообще-то, при решении– 118 – практических важных задач чаще встречаются с интегралами, которые не выража- ются в элементарных функциях (с так называемыми "неберущимися" интегралами).Скорее "берущиеся" интегралы составляют исключение из правил.3.7.1. Обзор некоторых интегралов, которые не выражаются через эле- ментарные функции (не интегрируются в конечном виде). Можно доказать,что к таким интегралам относятсяZe xx ndx,Zsin x xn,Zcos x xn,n = 1, 2, 3, . . .Интегрируя их по частям, получаем рекуррентные формулы и сводим интегралы,соответственно к трем основным:1.Ze xx dx =Zdy ln y= li(y),где x = ln y (li(y) — "интегральный логарифм");2.Zsin x x dx= si(x) ("интегральный синус" );3.Zcos x x dx= ci(x) ("интегральный косинус" ).Конечно, во всех трех случаях нужно фиксировать произвольную постоянную,чтобы однозначно определить введенные функции. Это делается на базе соотноше- ний:1. li(y) → 0 при y → +0;2. si(0) = 0;3. ci(x) → 0 при x → +∞.На практике (в теории вероятностей) очень важен интегралΦ0(x) =1 2πZe−x2 2dx,Φ0(0) = 0,который также не выражается в элементарных функциях, но таблицы функции Φ0(x)входят в каждое, даже элементарное пособие по теории вероятностей.Все указанные выше функции табулированы и, если интеграл удается свести к одной из них (или их комбинации), то задача интегрирования считается решенной.Пример 3.7.1. Выразить интегралJ =Z1 − x xe−x dx через интегральный логарифм li(x) и элементарные функции.Решение. ИмеемJ =Z1 − x xe−x dx =Ze−x xdx −Ze−x dx =Ze−x−x d(−x) + e−x== li(y) + e−x+ C,где − x = ln y;J = li(e−x) + e−x+ C.– 119 – 3.7.2. Эллиптические интегралы. Интегралы видаZRx,pP (x),где P (x) — многочлен третьей или четвертой степени, называются эллиптически- ми. В общем случае эти интегралы не выражаются через элементарные функции. Втом случае, когда это выражение возможно, они называются псевдоэллиптическими.Особенно часто встречаются интегралыZdx p(1 − x2)(1 − k2x2)иZx2dx p(1 − x2)(1 − k2x2),0 6 k < 1.Подстановкой x = sin ϕ они приводятся к комбинации интеграловZdϕp1 − k2sin2ϕиZ q1 − k2sin2ϕ dϕ,(3.7.1)которые называются соответственно эллиптическими интегралами первого и вто- рого рода в форме Лежандра (А.Лежандр (1752–1853) — французский математик).Если первообразные (3.7.1) выбрать так, что при ϕ = 0 они обращаются в ноль,то эти первообразные обозначают соответственноF (ϕ, k) иE(ϕ, k)и сведение эллиптического интеграла к этим функциям завершает процесс интегри- рования.– 120 – Глава 4Определенный интеграл Римана и его приложенияПосле изучения данной главы читатель должен уметь находить определенные и несобственные интегралы и применять их к нахождению длин кривых, площадей,объемов и поверхностей вращения. Знать основные определения, формулы и теоремы об определенном интеграле, суммах Дарбу, основную форулу Ньютона-Лейбница,классах интегрируемых функций и его приложения. Владеть методами вычисления определенного и несобственного интегралов.4.1. Определенный интеграл. Необходимый признак интегрируемости4.1.1. Определение интеграла Римана.Определение 4.1.1. Пусть [a, b], −∞ < a < b < +∞, — некоторый отре- зок. Разбиением T отрезка [a, b] называется произвольный конечный набор точек{x0, x1, . . . , x n}, таких, что a = x0< x1< · · · < x n= b. Каждый из отрезков[x i−1, x i] называется отрезком разбиения, а его длина обозначается ∆x i= x i− x i−1,i = 1, 2, . . . , n.Отметим, что nPi=1∆x i= (b − a).Определение 4.1.2. Величину|T | = δ = max16i6n∆x iназовем диаметром, или мелкостью, разбиения.Рассмотрим некоторую функцию f(x), заданную на отрезке [a, b], и набор произ- вольных точек ξ1, ξ2, . . . , ξn, таких, что ξi∈ [x i−1, x i] для любого i.Определение 4.1.3. Интегральной суммой (Римана) для функции f называет- ся выражениеσT(f ) =nXi=1f (ξi)∆x iОпределим предел интегральных сумм при |T | → 0 следующим образом.Определение 4.1.4. Число I назовем пределом интегральных сумм при |T | → 0I = lim|T |→0σT(f ),если для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что для любого разбиения T с мелко- стью |T | < δ и для любой выбранной последовательности точек ξ1, . . . , ξn справед- ливо неравенство|I − σT| < ε.121 Определение 4.1.5. Функция f называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [a, b], если существует конечный предел I интегральных сумм при |T | → 0.Данный предел I называется определенным интегралом от функции f по отрезку[a, b] и обозначается так:I =bZa f (x) dx = lim|T |→0σT(f ).Определение 4.1.6. Переменная x называется переменной интегрирования,число a — нижним пределом, число b — верхним пределом, а функция f — подын- тегральной функцией.Положим по определению aZa f (x) dx = 0,а если дан отрезок [a, b], для которого a > b, то определим bZa f (x) dx = −aZb f (x) dx.4.1.2. Необходимый признак интегрируемости.Теорема 4.1.1. Если функция f неограничена на отрезке [a, b], то она неинте- грируема на этом отрезке.Теорема 4.1.1 представляет собой необходимый признак интегрируемости функ- ции: если функция интегрируема, то она должна быть ограниченной на отрезке.Доказательство. Пусть функция f — неограничена на [a, b]. Возьмем разбиение отрезка T = {x0, x1, . . . , x n}. Тогда f неограничена на каком-то отрезке, входящем в разбиение, скажем на [x j−1, x j]. Рассмотрим набор точек ξi∈ [x i−1, x i]. В силу неограниченности функции, для любого числа M > 0 найдется точка ξj∈ [x j−1, x j],что |f(ξj)| > M.Тогда для интегральной суммы σT(f ) выполняется неравенство|σT(f )| > |f(ξj)∆x j| −Xi6=j f (ξi)∆x i> M ∆x j−Xi6=j f (ξi)∆x iОтсюда видно, что интегральная сумма σT(f ) может быть сделана как угодно большой по модулю и, таким образом, является неограниченной. Так что функция f — неинтегрируема на отрезке [a, b].2Но не всякая ограниченная функция является интегрируемой.Пример 4.1.1. Рассмотрим функцию Дирихле f(x), равную 1 для рациональных значений x и нулю для иррациональных значений x. Доказать, что эта функция не интегрируема на любом отрезке [a, b].Решение. Рассмотрим интегральные суммы σT(f ) для f для некоторого разбие- ния T . Если взять точки ξi рациональными, то σT(f ) = 0. Если рассмотреть ирраци- ональны точки ξi, то σT(f ) = b − a. Таким образом, интегральные суммы для f не могут иметь предела при |T | → 0.Не вдаваясь пока в подробности, дадим геометрический смысл определенного интеграла. Пусть функция f(x) определена, непрерывна и положительна на отрезке– 122 – [a, b]. Рассмотрим следующую плоскую фигуру, ограниченную прямыми x = a, x = b,осью OX и графиком функции y = f(x). Эта фигура называется криволинейной трапецией. Площадь S криволинейной трапеции равна определенному интегралу от функции f(x) по отрезку [a, b]:S =bZa f (x) dx.(4.1.1)Мы не будем пока доказывать это утверждение, поскольку мы еще не определили понятие площади плоской фигуры. И на равенство (4.1.1) можно пока смотреть как на определение.4.2. Нижние и верхние суммы Дарбу. Критерии интегрируемостиТеорема 4.2.1 (критерий Коши интегрируемости функции). Для того, чтобы функция f была интегрируема на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое δ > 0, что для любых разбиений T′и T′′с мелкостями меньше δ и для любых наборов точек ξ′1, . . . , ξ′n, ξ′′1, . . . , ξ′′n выполнялось неравенство|σT′(f ) − σT′′(f )| < ε.Эта теорема не что иное, как переформулировка обычного критерия Коши суще- ствования предела функции на случай предела интегральных сумм.Удобными критериями проверки интегрируемости функции являются критерии,в которых используются так называемые верхние и нижние суммы Дарбу.Пусть функция f(x) ограничена на отрезке [a, b] и T = {x0, x1, . . . , x n} — некоторое разбиение отрезка [a, b]. Определим числа Mi и m iследующим образом:Mi=sup x∈[x i−1,x i]f (x),m i=inf x∈[x i−1,x i]f (x),i = 1, . . . , n.Определение 4.2.1. Назовем верхней суммой Дарбу выражениеST(f ) = ST=nXi=1Mi∆x i,а нижней суммой Дарбу — выражение sT(f ) = sT=nXi=1m i∆x iТогда ясно, что ST>sTдля любого разбиения T . Нетрудно установить следую- щие свойства сумм Дарбу.1. Для любой интегральной суммы σT(f ) справедливы неравенства sT(f ) 6 σT(f ) 6 ST(f ).Более того sT(f ) =inf{ξ1,...,ξn}σT(f ),а ST(f ) =sup{ξ1,...,ξn}σT(f ).2. Если T′измельчение T′′(т.е. T′⊃ T′′), то ST′(f ) 6 ST′′(f ), а sT′(f ) > sT′′(f ).3. Для любых разбиений T′и T′′верно неравенство sT′(f ) 6 ST′′(f ).– 123 – Определение 4.2.2. Определим: верхний интеграл (Дарбу) —I(f ) = inf{T }ST,нижний интеграл (Дарбу) —I(f ) = sup{T }sTТогда очевидно, что данные выражения конечны, а из свойства 3 получаем, чтоI(f ) > I(f ).Теорема 4.2.2 (критерий Дарбу). Для того, чтобы ограниченная функция f была интегрируема на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы I = I, при этомI = I =bZa f (x) dx.Теорема 4.2.3 (критерий Римана). Для того, чтобы ограниченная функция f(x)была интегрируема на отрезке [a, b] необходимо и достаточно, чтобы для любогоε > 0 нашлось такое δ > 0, что для всех разбиений T с диаметром |T | < δ выпол- нялось условиеST(f ) − sT(f ) < ε.Доказательство получается из свойств 1–3 сумм Дарбу и определения интеграла.2Обозначим ωi(f ) = Mi− m i— разность между наибольшим и наименьшим значе- ние функции на отрезке [x i−1, x i]. Часто эту величину называют колебанием функции f на отрезке [x i−1, x i].Из теоремы 4.2.3 и определения сумм Дарбу очевидным образом получаемСледствие 4.2.1. Для того, чтобы ограниченная функция f(x) была интегри- руема на отрезке [a, b] необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашлось такое такое δ > 0, что для всех разбиений T с диаметром |T | < δ выполнялось условие nXi=1ωi(f )∆x i< ε.4.3. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций4.3.1. Интегрируемость непрерывных функций. Как следствие из теоре- мы 4.2.1 (или следствия 4.2.1) мы получаем утверждение.Теорема 4.3.1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она инте- грируема на этом отрезке.Доказательство. Непрерывная на отрезке функция ограничена и по теоремеКантора — равномерно непрерывна (теорема 1.14.5). Это означает, что для любо- го ε > 0 найдется δ > 0, что для любых точек x′, x′′из [a, b] с условием |x′− x′′| < δвыполняется неравенство |f(x′) − f(x′′)| < ε.Фиксируем ε > 0 и берем разбиение T с диаметром |T | < δ. Тогда для колебанияωi(f ) справедливы неравенстваωi(f ) = Mi− m i= sup[x i−1,x i]f − inf[x i−1,x i]f =sup x′,x′′∈[x i−1,x i]|f(x′) − f(x′′)| 6 ε.– 124 – Поэтому nXi=1ωi(f )∆x i6εnXi=1∆x i= ε · (b − a).2 4.3.2. Интегрируемость монотонных функций. Монотонные функции так- же интегрируемы.Теорема 4.3.2. Если функция f(x) монотонна на отрезке [a, b], то она инте- грируема на этом отрезке.Доказательство. Предположим, что f является возрастающей на [a, b]. Тогда для данного разбиения T = {x0, x1, . . . , x n} имеем ωi(f ) = f (x i) − f(x i−1). Поэтому nXi=1ωi(f )∆x i=nXi=1(f (x i) − f(x i−1))∆x i6|T |nXi=1(f (x i) − f(x i−1)) = |T |(f(b) − f(a)).Так, что зафиксировав ε > 0, можно в качестве δ взять числоεf (b) − f(a). (Если f (b) = f (a), то f (x) ≡ 0 и интегрируемость такой функции очевидна.)2Для дальнейшего изучения нам хватит этих двух классов интегрируемых функ- ций.Упражнение 4.3.1. Показать, что ограниченные функции f с конечным числом точек разрыва интегрируемы на отрезке [a, b].4.4. Свойства определенного интеграла. Первая теорема о среднемПерейдем теперь к рассмотрению основных свойств определенного интеграла:1.bZa dx = b − a.Это свойство прямое следствие определения интеграла.2. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b], то она интегрируема на любом отрезке [c, d], таком, что [c, d] ⊂ [a, b].Данное свойство несложно вытекает из следствия 4.2.1.3. (Аддитивность интеграла). Пусть a < c < b. Если функция f(x) интегрируема на отрезках [a, c] и [c, b], то она интегрируема на отрезке [a, b], причем bZa f (x) dx =cZa f (x) dx +bZc f (x) dx.4. Если функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b], то их сумма f + g также интегрируема на [a, b], причем bZa(f (x) + g(x))dx =bZa f (x) dx +bZa g(x) dx.5. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b], то функция c f(x) также инте- грируема на [a, b] для любой постоянной c и bZa(cf (x))dx = c bZa f (x) dx.– 125 – Доказательство свойств 3, 4, 5 прямо следует из определения интеграла и свойств предела.6. Пусть функции f и g интегрируемы на отрезке [a, d], тогда их произведение f (x)g(x) также интегрируемо на [a, b].7. Если функция f интегрируема на [a, b] и inf x∈[a,b]f (x) > 0, то1f (x)также инте- грируема на [a, b].Свойства 6 и 7 вытекают из связи между колебаниями произведения и частного функций и колебаниями самих функций.8. Если функция f интегрируема на [a, b], a < b, и неотрицательна на [a, b], то bZa f (x) dx > 0.9. (Монотонность интеграла). Если функции f и g интегрируемы на [a, b], a < b,и f(x) 6 g(x) для всех x ∈ [a, b], то bZa f (x) dx 6bZa g(x) dx.Свойства 8 и 9 прямо следуют из определения интеграла.10. Пусть функция f интегрируема и неотрицательна на отрезке [a, b], a < b, и существует точка c ∈ [a.b], в которой функция непрерывна и положительна, тогда bZa f (x) dx > 0.11. Если функция f интегрируема на [a, b], a < b, то функция |f| также интегри- руема на [a, b] и bZa f (x) dx6bZa|f(x)| dx.12. Если функция f интегрируема на отрезке [−a, a], a > 0, и четная на этом отрезке, то aZ−a f (x) dx = 2aZ0f (x) dx,если при тех же условиях функция f — нечетная на [−a, a], то aZ−a f (x) dx = 0.13. Если функция f интегрируема на отрезке [0, T ], T > 0, и является перио- дической на вещественной оси R с периодом T , то для любого a ∈ R функция f интегрируема на [a, a + T ] и a+TZa f (x) dx =TZ0f (x) dx.– 126 – Теорема 4.4.1 (первая теорема о среднем). Пусть функции f и g интегрируемы на отрезке [a, b], существуют такие константы m и M , что m 6 f (x) 6 M,x ∈ [a, b],функция g — неотрицательна на [a, b]. Тогда существует такое число µ, что m 6µ 6 M и bZa f (x)g(x) dx = µbZa g(x) dx.Если, кроме того, функция f непрерывна на [a, b], то найдется такая точка c ∈(a, b), для которой bZa f (x)g(x) dx = f (c)bZa g(x) dx.Теорема 4.4.1 верна и для функций g, неположительных на [a, b].Доказательство. Так как функции f и g — интегрируемы, то по свойству 6 их произведение также интегрируемо на [a, b].Из условий теоремы получаем, что mg(x) 6 f (x)g(x) 6 M g(x).Из свойств 5, 9 имеем mbZa g(x) dx 6bZa f (x)g(x) dx 6 MbZa g(x) dx.Если bZa g(x) = 0, то из последнего неравенства очевидно выполняется неравенство bZa f (x)g(x) = 0. Поэтому заключение теоремы верно для любого числа µ.Если bZa g(x) > 0, то разделив на этот интеграл полученное неравенство имеем m 6bRa f (x)g(x) dx bRa g(x) dx6M.Так что в качестве µ можно выбрать отношение bRa f (x)g(x) dx bRa g(x) dx– 127 – Последняя часть теоремы следует из теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении для непрерывных на отрезке функций (теорема 1.14.2) и из условия, что m 6 f (x) 6 M.2Следствие 4.4.1. Если функция f интегрируема на [a, b] и для некоторых кон- стант m и M справедливо неравенство m 6 f (x) 6 M,x ∈ [a, b],то найдется число µ, такое, что m 6 µ 6 M и bZa f (x) dx = µ(b − a),если, кроме того, функция f — непрерывна на [a, b], то найдется точка c ∈ (a, b),такая, что bZa f (x) dx = f (c)(b − a).4.5. Интеграл с переменным верхним пределом. ФормулаНьютона-ЛейбницаПусть функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], тогда, как мы видели, она интегрируема на любом меньшем отрезке из [a, b]. Следовательно, мы можем рас- смотреть интегралF (x) =xZa f (t) dt,x ∈ [a, b].(4.5.1)Определение 4.5.1. Интеграл (4.5.1) называют интегралом с переменным верхним пределом.Теорема 4.5.1. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b], то интеграл(4.5.1) с переменным верхним пределом является непрерывной функцией на [a, b].Доказательство. Действительно, свойство 3 аддитивности интеграла влечет, чтоF (x1) − F (x2) =x1Zx2f (t) dt.Поэтому из свойства 11 и ограниченности интегрируемой функции получаем|F (x1) − F (x2)| =x1Zx2f (t) dt6x1Zx2|f(t)| dt6c x1Zx2dt= c|x1− x2|.Откуда следует непрерывность F (x).2Теорема 4.5.2. Если функция f интегрируема на отрезке [a, b] и непрерывна в точке x0∈ [a, b], то интеграл (4.5.1) является дифференцируемой функцией в точке x0иF′(x0) = f (x0).– 128 – Доказательство. Взяв ∆x — некоторое приращение аргумента так, чтобы (x0+∆x) ∈ [a, b], получим из свойств интеграла, чтоF (x0+ ∆x) − F (x0)∆x=1∆x x0+∆xZx0f (t) dt.ТогдаF (x0+ ∆x) − F (x0)∆x− f(x0) =1∆x·x0+∆xZx0f (t) dt −f (x0)∆x·x0+∆xZx0dt ==1∆x·x0+∆xZx0(f (t) − f(x0)) dtВ силу непрерывности функции f в точке x0для любого ε > 0 найдется такое ∆ > 0,что при |t − x0| < δ следует, что |f(t) − f(x0)| < ε.Выбирая теперь |∆x| < δ, получимF (x0+ ∆x) − F (x0)∆x− f(x0)6 1|∆x|·x0+∆xZx0|f(t) − f(x0)| dt6ε1|∆x|· |∆x| = ε.Поэтому при ∆x → 0 предел отношенияF (x0+ ∆x) − F (x0)∆x существует и равен f (x0), т.е. F′(x0) = f (x0).2В частности, справедливо утверждениеТеорема 4.5.3. Если функция f непрерывна на отрезке, то на этом отрезке у нее есть первообразная, равная xZa f (t) dt.Рассмотрим теперь основную формулу интегрального исчисления — формулуНьютона-Лейбница.Теорема 4.5.4 (формула Ньютона-Лейбница). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b]. Если функция Φ является произвольной первообразной для f на этом отрезке, то bZa f (x) dx = Φ(b) − Φ(a) = Φ|b aДоказательство. Рассмотрим разность Φ(x) − F (x), тогда(Φ(x) − F (x))′= Φ′(x) − F′(x) = f (x) − f(x) = 0.По свойству первообразных эта разность есть постоянная величина на [a, b], т.е.Φ(x) − F (x) = c. Следовательно, Φ(a) − F (a) = Φ(a) − 0 = c, т.е. c = Φ(a).– 129 – С другой стороны F (b) =bZa f (t) dt. Поэтому bZa f (t) dt = F (b) = Φ(b) − c = Φ(b) − Φ(a).2Пример 4.5.1. Найти интеграл1Z0sin x dx.Решение. ПосколькуZsin x dx = − cos x + C,то по формуле Ньютона–Лейбница получаем1Z0sin x dx = − cos x|1 0= − cos 1 + 1.Рассмотрим еще один пример.Пример 4.5.2. Найти интеграл2Z0x2dx.Решение. Имеем2Z0x2dx =x3 32 0=8 34.6. Основные методы интегрированияРассмотрим два правила (метода) интегрирования в определенном интеграле: за- мену переменной и интегрирование по частям.4.6.1. Замена переменной.Теорема 4.6.1 (замена переменной). Пусть функция f(x) непрерывна на отрез- ке [a, b]. Функция ϕ(t) определена и непрерывна вместе со своей производной ϕ′(t)на отрезке [α, β], причем для всех t ∈ [α, β] выполняется неравенство a 6 ϕ(t) 6 b и ϕ(α) = a, ϕ(β) = b. Тогда bZa f (x) dx =βZαf (ϕ(t)) ϕ′(t) dt.(4.6.1)При доказательстве теоремы используются формула замены переменной для неопределенного интеграла и формула Ньютона-Лейбница.Пример 4.6.1. Вычислить интеграл2Z0e x2x dx.– 130 – Решение. Применим формулу (4.6.1), вводя новую переменную u = x2, получим2Z0e x2x dx =1 22Z0e x2d(x2) =1 24Z0e udu =e4− 1 2Формула замены переменной (4.6.1) может быть обобщена на случай, когда подынтегральная функция лишь интегрируема.4.6.2. Интегрирование по частям.Теорема 4.6.2 (интегрирование по частям). Если функции u(x) и v(x) непрерыв- но дифференцируемы на отрезке [a, b], то bZa u dv = u(b)v(b) − u(a)v(a) −bZa v du.(4.6.2)Теорема 4.6.2 также получается из формулы интегрирования по частям для неопределенного интеграла и формулы Ньютона-Лейбница.Пример 4.6.2. Найти значение интеграла2Z1ln x dx.Решение. Применяя формулу (4.6.2), получим2Z1ln x dx = x ln x |2 1−2Z1dx = 2 ln 2 − 1.Пример 4.6.3. Вычислить интегралIn=π2Z0sin nx dx.Решение. Применяя формулу интегрирования по частям, мы получаем рекур- рентное соотношениеIn=n − 1nIn−2Замечая, чтоI0=π2Z0dx =π2,I1=π2Z0sin x dx = 1,имеем ответ:In=(n − 1)!!n!!π2при n четном,(n − 1)!!n!!при n нечетном.(4.6.3)– 131 – Из формулы (4.6.3) легко получается формула Валлиса:π2= lim n→∞1 2n + 1(2n)!!(2n − 1)!!2Следствием формулы (4.6.2) служит также следующее утверждение.Теорема 4.6.3 (вторая теорема о среднем). Пусть функция f непрерывна на отрезке [a, b], а функция g монотонна и непрерывна на [a, b]. Тогда существует такая точка ξ ∈ [a, b], что bZa g(x)f (x) dx = g(a)ξZa f (x) dx + g(b)Zbξf (x) dx.Данную теорему также называют теоремой Бонне. Ее можно обобщить на случай интегрируемых функций f и g.4.7. Несобственный интеграл и его свойства. Признаки сходимости4.7.1. Определение несобственного интеграла. Функция, не ограниченная на отрезке, не интегрируема на нем по Риману. Если же промежуток интегрирова- ния бесконечен, то интеграл Римана по нему не определен. Тем не менее во многих задачах математики и физики возникает необходимость либо интегрировать неогра- ниченные функции, либо рассматривать интеграл по неограниченному промежутку.Здесь мы дадим определение таких интегралов.Пусть функция y = f(x) задана на конечном или бесконечном промежутке [a, ω)(ω — либо конечное число, либо +∞). И пусть функция f интегрируема на любом конечном промежутке вида [a, η], a 6 η < ω.Определение 4.7.1. Если существует (конечный) предел limη→ωηZa f (x) dx,то функция f называется интегрируемой (в несобственном смысле) на промежут- ке [a, ω), а указанный предел называется несобственным интегралом от функции f по промежутку [a, ω) и обозначаетсяωZa f (x) dx.В этом случае также говорят, что несобственный интеграл сходится (в против- ном случае он называется расходящимся).Понятие сходимости не меняется, если мы заменим точку a на любую точку c,a < c < ω.При ω = ±∞ (т.е. в случае неограниченного промежутка) несобственный инте- грал часто называют несобственным интегралом первого рода.При ω конечном (т.е. в случае ограниченного промежутка и неограниченной функции) данный интеграл называют несобственным интегралом второго рода.Эти два типа интегралов мы изучаем одновременно, что позволяет унифициро- вать их изложение.– 132 – Приведем критерий сходимости несобственного интеграла, который является пе- реформулировкой общего критерия Коши существования предела функции.Теорема 4.7.1 (критерий Коши). Для сходимости несобственного интегралаωZa f (x) dx необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 существовало такое число η =η(ε), a < η < ω, что для любых чисел η′, η′′, таких, что η < η′, η′′< ω, выполнялось неравенствоη′′Zη′f (x) dx< ε.Отметим, что определение несобственного интеграла по ограниченному проме- жутку содержательно лишь в случае, когда функция f не ограничена в любой окрест- ности точки ω. Это связано с тем, что функция f, интегрируемая на любом отрезке[a, η], a < η < ω, и ограниченная на промежутке [a, ω), интегрируема по Риману на отрезке [a, ω].Таким образом, можно считать, что функция f не ограничена на [a, ω).Нами дано определение несобственного интеграла, если на [a, ω) есть лишь одна особая точка, в окрестности которой функция f не ограничена. Если таких особых точек несколько, например a1< a2< . . . < a n< ω, то делается следующее: от- резки [a i, a i+1] делятся точками b iна две части и несобственный интеграл по [a, ω)определяется так:ωZa f (x) dx =a1Za f (x) dx +b1Za1f (x) dx + · · · +ωZb nf (x) dx.Причем если хотя бы один из интегралов в этой формуле расходится, то и весь интегралωZa f (x) dx считается расходящимся.Величина данного интеграла (а также сходимость и расходимость) не зависят от способа выбора точек b iПример 4.7.1. Выяснить, при каких p сходится и расходится интеграл1Z0dx xpРешение. Пусть сначала p 6= 1, тогда1Z0dx xp= limη→+0 1Zηdx xp== limη→+0x1−p1 − p1η=(1 1−p при p < 1,+∞ при p > 1.– 133 – При p = 1 этот интеграл также расходящийся. Таким образом, интеграл1Z0dx xp сходится при p < 1 и расходится при p > 1.Пример 4.7.2. Рассмотреть тот же самый вопрос для интеграла+∞Z1dx xpРешение. Аналогично предыдущему примеру нетрудно показать, что данный ин- теграл сходится при p > 1 и расходится при p 6 1.Формулы интегрального исчисления сохраняют свой вид для несобственного ин- теграла (например, формула Ньютона-Лейбница), нужно только иметь в виду, что при подстановке верхних или нижних пределов интегрирования следует находить соответствующий предел этих функций.Пример 4.7.3. Вычислить интеграл ЭйлераJ =π2Z0ln sin x dx.Решение. Сделав замену переменных x = 2t, получимJ = 2π4Z0ln sin 2t dt = 2π4Z0ln(2 sin t cos t)dt ==π2ln 2 + 2π4Z0ln sin t dt +π4Z0ln cos t dt.Произведя в последнем интеграле замену переменных t =π2− y, имеемJ =π2ln 2 + 2π4Z0ln sin t dt + 2π2Zπ4ln sin y dy =π2ln 2 + 2J.Отсюда находим, чтоJ = −π2ln 2.Пример 4.7.4. Вычислить интегралJn=+∞Z0x ne−x dx,n = 0, 1, 2 . . . .Решение. Проинтегрируем по частям заданный интеграл при n > 0, тогда полу- чимJn= −x ne−x+∞0++∞Z0x n−1e−x dx = nJn−1– 134 – Так какJ0=+∞Z0e−x dx = −e−x+∞0= 1,то Jn= n!.4.7.2. Признаки сходимости несобственных интегралов от неотрица- тельных функций. Везде далее в этом параграфе будем предполагать, что вы- полнены следующие условия: функция y = f(x) определена на конечном или беско- нечном промежутке [a, ω) и интегрируема на любом отрезке [a, η] для всех η, удовле- творяющем неравенствам a 6 η < ω.Часто бывают полезны признаки сходимости несобственных интегралов. Рассмот- рим сначала интегралы от неотрицательных функций.Лемма 4.7.1. Если функция y = f(x) неотрицательна на промежутке [a, ω),то для сходимости несобственного интегралаωZa f (x) dx необходимо и достаточно, чтобы все интегралыηZa f (x) dx,a 6 η < ω,(4.7.1)были ограничены одной константой M .Доказательство леммы 4.7.1 следует из теоремы 1.11.2 Вейерштрасса о пределе монотонной функции, поскольку интегралы в формуле (4.7.1) являются монотонно возрастающими по η функциями.Теорема 4.7.2 (признак сравнения). Пусть функции f и g неотрицательны на промежутке [a, ω) и выполнено неравенство f (x) 6 g(x),x ∈ [a, ω).(4.7.2)Если интегралωZa g(x) dx(4.7.3)сходится, то сходится и интегралωZa f (x) dx,(4.7.4)если же интеграл (4.7.4) расходится, то расходится и интеграл (4.7.3).Доказательство. Если интеграл (4.7.3) сходится, то по лемме 4.7.1 интегралыηZa g(x) dx,η ∈ [a, ω),– 135 – ограничены в совокупности некоторой константой M. Тогда в силу неравенства(4.7.2) интегралыηZa f (x) dx так же равномерно ограничены той же константой M.Снова по лемме 4.7.1 интеграл (4.7.4) сходится.Вторая часть теоремы доказывается аналогично.2Следствие 4.7.1 (признак сравнения в предельной форме). Пусть функции f и g положительны на промежутке [a, ω). Если существует предел lim x→ωf (x)g(x)= k,причем k 6= 0 и конечно, то интегралы (4.7.3) и (4.7.4) либо одновременно сходятся,либо одновременно расходятся.В качестве функций сравнения g(x) часто берут степенные функции. Именно в случае конечных промежутков [a, ω) берутся функции g(x) =1(ω − x)p,интегралы от которых сходятся при p < 1 и расходятся при p > 1.В случае бесконечных промежутков (ω = ±∞) берут функцию g вида g(x) =1|x|p,так как известно (см. пример 4.7.2), что интеграл от этой функции сходится при p > 1 и расходится при p 6 1.Пример 4.7.5. Показать, что интеграл1Z0x2 3√1 − x2dx сходится.Решение. В самом деле, обозначая подынтегральную функцию через f (x) и вводя функцию сравнения g(x) =1 3√1 − x,имеем lim x→1−0f (x)g(x)= lim x→1−0x2 3√1 + x=1 3√2Так как показатель степени у функции g(x) равен 1/3 < 1, то по следствию 4.7.1данный интеграл сходится.4.7.3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций. Рас- смотрим теперь интегралы от функций f, которые могут менять знак на промежутке[a, ω).– 136 – Определение 4.7.2. Интеграл видаωZa f (x) dx(4.7.5)называется абсолютно сходящимся, если сходится несобственный интегралωZa|f(x)| dx.Непосредственно из критерия Коши сходимости несобственного интеграла (тео- рема 4.7.1) следуетТеорема 4.7.3. Если интеграл вида (4.7.5) сходится абсолютно, то он сходит- ся.Важно отметить, что существуют так называемые условно сходящиеся интегра- лы, т.е. сходящиеся интегралы от таких функций, что интеграл от модуля этих функ- ций расходится.Рассмотрим один из условно сходящихся интегралов.Пример 4.7.6. Показать, что интеграл+∞Z0sin x xdx(4.7.6)сходится.Решение. При x → 0 подынтегральная функция стремится к 1 (первый замеча- тельный предел), поэтому данный интеграл несобственный лишь за счет неограни- ченности промежутка интегрирования. Тогда на сходимость достаточно исследовать интеграл+∞Z1sin x xdx.Выполним в данном интеграле интегрирование по частям:+∞Z1sin x xdx = −+∞Z1 1x d(cos x) == −cos x x+∞1++∞Z1cos x d1x= cos 1 −+∞Z1cos x x2dx.Интеграл в правой части абсолютно сходится (значит, просто сходится), так как подынтегральная функция допускает оценку cos x x2 61x2на промежутке интегрирования.Итак, интеграл (4.7.6) сходится. Покажем, что интеграл от модуля подынтеграль- ной функции расходится. Действительно, справедливо неравенство| sin x| > sin2x =1 − cos 2x2– 137 – Тогда для любого η > 1 имеемηZ1| sin x|x dx >1 2ηZ1 1x dx −1 2ηZ1cos 2x xdx.Интеграл+∞Z1dx xрасходится (он равен +∞). Интеграл же+∞Z1cos 2x xdx сходится. Этот факт доказывается точно так же, как сходимость интеграла (4.7.6).Таким образом, получаем, что интеграл (4.7.6) не является абсолютно сходящимся.Приведем признак сходимости для условно сходящихся интегралов.Теорема 4.7.4 (признак Абеля). Рассмотрим интеграл видаωZa f (x)g(x) dx.(4.7.7)Если выполнены условия:1) интегралωZa f (x) dx сходится;2) функция g(x) монотонна;3) функция g(x) ограничена на [a, ω),то интеграл (4.7.7)сходится.Теорема 4.7.5 (признак Дирихле). Если для интеграла (4.7.7) выполнены усло- вия1) функция f (x) имеет ограниченную первообразную на промежутке [a, ω);2) функция g(x) монотонна на [a, ω)3) и lim x→ωg(x) = 0,то интеграл (4.7.7)сходится.Доказательство этих теорем следует из критерия Коши сходимости несобствен- ного интеграла и второй теоремы о среднем (теорема 4.6.3).Пример 4.7.6 удовлетворяет условиям признака Дирихле.– 138 – 4.8. Спрямляемые и гладкие кривые. Длина кривой4.8.1. Определение кривой. Рассмотрим отображения отрезков в трехмерное пространство R3. Пусть [a, b] — некоторый отрезок, а r(t) — его отображение в R3Обозначим координаты отображения r(t) через x(t), y(t), z(t), т.е.r(t) = (x(t), y(t), z(t)),t ∈ [a, b].Будем считать отображение r(t) непрерывным, если непрерывны все функции x, y, z.Определение 4.8.1. Непрерывное отображение r(t) отрезка [a, b] в R3назовем путем, а его образ — носителем этого пути.Рассматриваемое отображение не предполагается взаимно однозначным. Точки носителя пути, в которые отображаются разные точки отрезка [a, b], называются точками самопересечения или кратными точками этого пути.Сама переменная t называется параметром.При определении понятия кривой будем исходить из физического представления о траектории точки, движущейся в пространстве. На такой траектории можно вы- бирать различные параметры, точно описывающие положение на ней движущейся точки. Различным параметрам соответствуют разные отображения отрезков на тра- екторию, каждое из которых дает полное ее описание.В силу этого соображения естественно определить кривую как класс в каком-то смысле равноправных непрерывных отображений отрезков в пространство.Определение 4.8.2. Путь r(t), t ∈ [a, b], называется эквивалентным путиρ(τ ), τ ∈ [α, β], если существует такая непрерывная строго монотонная функ- ция ϕ, отображающая отрезок [a, b] на отрезок [α, β], что для каждого t ∈ [a, b]справедливо равенствоρ(ϕ(t)) = r(t).(4.8.1)Если путь r(t) эквивалентен пути ρ(τ ), тоr(t) ∼ ρ(τ).Нетрудно проверить, что это отношение есть отношение эквивалентности. Таким образом, множество всех путей разбивается на непересекающиеся классы.Определение 4.8.3. Всякий класс γ эквивалентных путей называется кривой или (более подробно) непрерывной параметрически заданной кривой.Каждое из отображений, задающее путь из класса γ, называется параметриза- цией этой кривой.Такие же определения даются для плоских кривых, т.е. для кривых, лежащих на плоскости R2Пример 4.8.1. Показать, что отображение x = R cos t,y = R sin t,t ∈ [0, 2π],задает одну из возможных параметризаций окружности радиуса R с центром в на- чале координат на плоскости (рис. 4.8.1).Решение. Очевидно.Пример 4.8.2. Показать, что верхнюю полуокружность можно также задать другой параметризацией:x = t,y =√R2− t2,t ∈ [0, R].Решение. Очевидно.– 139 – Носитель пути одинаков для любых параметризаций одной кривой, поэтому он называется носителем кривой.Если r(t), t ∈ [a, b], — параметризация кривой γ, то точка r(a) называется на- чальной точкой кривой, а точка r(b) — конечной точкой кривой γ.Кривая γ называется простой, если она не имеет точек самопересечения, т.е.некоторая (а значит, и любая) параметризация этой кривой осуществляет взаимно однозначное отображение отрезка на носитель кривой.Кривая γ называется замкнутой, если начальная и конечная точки этой кривой совпадают.Ot(x, y)RРис 4.8.1. Параметризация окружностиКривая γ называется простой замкнутой кривой, если она замкнута и не имеет других точек самопересечения, кроме начальной и конечной.Два пути называются ориентированно эквивалентными, если функция ϕ из опре- деления 4.8.2 является строго возрастающей.Определение 4.8.4. Совокупность всех ориентированно эквивалентных меж- ду собой путей называется ориентированной кривой.Вместо выражения "задана ориентированная кривая" часто говорят, что "задана ориентация на кривой" или "задан порядок обхода этой кривой".Кривые могут быть одинаково ориентированы или противоположно ориентирова- ны. Таким образом, у любой простой кривой возможны только две ориентации. Они задаются порядком прохождения параметра по отрезку, на котором этот параметр определен.Часто плоские кривые задают неявным образом. А именно пусть γ — плоская кривая, задаваемая вектор-функциейr(t) = (x(t), y(t)),t ∈ [a, b].– 140 – Если существует такая непрерывная функция F (x, y), что координаты (x, y) кривойγ удовлетворяют условиюF (x(t), y(t)) ≡ 0,то говорят, что уравнениеF (x, y) = 0(4.8.2)является неявным представлением кривой γ.Следует, однако, иметь в виду, что, вообще говоря, множество точек, удовлетво- ряющее уравнению вида (4.8.2), не есть кривая в определенном выше смысле даже для достаточно "хороших" функций F .Если кривая γ задается непрерывно дифференцируемой вектор-функцией r(t), то такая кривая называется непрерывно дифференцируемой.Конечно, когда речь идет о непрерывно дифференцируемых кривых, мы должны сузить класс допустимых преобразований ϕ из (4.8.1): считать их тоже непрерывно дифференцируемыми.Пусть задана кривая γ своей параметризацией r(t) = (x(t), y(t), z(t)),t ∈[a, b], причем все функции x, y, z дифференцируемы в точке t0∈ [a, b] и r′(t0) =(x′(t0), y′(t0), z′(t0)) 6= 0. Рассмотрим приращение ∆t, такое, что (t0+ ∆t) ∈ [a, b].Прямая, проходящая через точки r(t0) и r(t0+ ∆t), называется секущей.Вектор∆r∆t=r(t0+ ∆t) − r(t0)∆t параллелен этой секущей. Таким образом, при∆t → 0 и в силу дифференцируемости вектор-функции r(t) в точке t0получаем, что секущая стремится к некоторому предельному положению с направляющим векто- ром r′(t0).Это предельное положение называется касательной к кривой γ в точке r(t0).Итак, в векторной записи уравнение касательной имеет видr = r(t0) + r′(t0) t,−∞ < t < +∞,а в координатной записи x = x(t0) + x′(t0) t,y = y(t0) + y′(t0) t,z = z(t0) + z′(t0) t,t ∈ (−∞, +∞).Исключив переменную t, получим уравнение x − x0x′(t0)=y − y0y′(t0)=z − z0z′(t0),(4.8.3)где x0= x(t0), y0= y(t0), z0= z(t0).Следовательно, если r′(t0) 6= 0, то у кривой есть касательная вида (4.8.3).Определение 4.8.5. Точка r(t) кривой γ, в которой r′(t) 6= 0, называется неосо- бой, а точка, в которой r′(t) = 0, — особой.Определение 4.8.6. Непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек называется гладкой кривой. Кривая, представимая в виде объединения конечного числа гладких кривых, называется кусочно-гладкой.В примере 4.8.1 окружность — гладкая кривая.Если плоская кривая задается явным образом непрерывно дифференцируемой функцией, то график этой функции есть гладкая кривая.– 141 – 4.8.2. Длина кривой. Дадим определение длины кривой. Пусть γ — некоторая простая кривая с параметризациейr = r(t), t ∈ [a, b].(4.8.4)Рассмотрим разбиение T отрезка [a, b] вида T = {t0= a < t1< . . . < t n= b}.ПоложимσT=nXi=1|r(t i) − r(t i−1)|.Очевидно, что σT— это длина ломаной с вершинами в точках r(a), r(t1), . . . , r(b).Определение 4.8.7. Для заданной простой кривой γ вида (4.8.4) величинаSγ= S = sup{T }σT,где верхняя грань берется по всем разбиениям T отрезка [a, b], называется длиной кривой γ. Если S < +∞, то кривая называется спрямляемой, в противном случае— неспрямляемой.Нетрудно показать, что если кривая γ спрямляема, то любая часть этой кривой также спрямляема. Поэтому можно говорить о длине s(t) части кривой γ, когда параметр изменяется от 0 до t. При этом s(0) = 0, а s(b) = S.Теорема 4.8.1. Пусть кривая вида (4.8.4) непрерывно дифференцируема. Тогда кривая γ спрямляема, и переменная длина дуги s(t) является возрастающей непре- рывно дифференцируемой функцией параметра t, t ∈ [a, b], при этом ds dt=dr dt =sdx dt2+dy dt2+dz dt2,где r(t) = (x(t), y(t), z(t)).Следствие 4.8.1. Если параметром непрерывно дифференцируемой кривой яв- ляется переменная длина дуги s, то dr dt = 1.Параметризация спрямляемой кривой, при которой параметром служит перемен- ная длина дуги, называется естественной параметризацией.1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   ...   43

Следствие 4.8.1 позволяет производить проверку: будет ли данная параметриза- ция естественной?Из теоремы 4.8.1 и формулы Ньютона-Лейбница легко следует формула для на- хождения длины кривой.Теорема 4.8.2. Если γ — непрерывно дифференцируемая кривая вида (4.8.4), то длина S этой кривой вычисляется по формулеS =bZa dr dt dt.(4.8.5)Приведем некоторые следствия формулы (4.8.5) для плоских кривых.– 142 – Следствие 4.8.2. Пусть непрерывно дифференцируемая плоская кривая γ име- ет параметризацию r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b], тогда ее длина S равнаS =bZa p(x′)2+ (y′)2dt.Следствие 4.8.3. Если непрерывно дифференцируемая плоская кривая γ задана явным образом, т.е. графиком функции y = y(x), x ∈ [a, b], то ее длина равнаS =bZa p1 + (y′(x))2dx.(4.8.6)Следствие 4.8.4. Если плоская непрерывно дифференцируемая кривая γ задана в полярных координатах r = r(ϕ), ϕ ∈ [α, β], то ее длина вычисляется по формулеS =βZαp(r(ϕ))2+ (r′(ϕ))2dϕ.Пример 4.8.3. Найти длину S дуги параболы (рис. 4.8.2) y = ax2, 0 6 x 6 b.Решение. Замечая, что y′= 2ax, согласно формуле (4.8.6), имеемS =bZ0√1 + 4a2x2dx.ObРис 4.8.2. Длина дуги параболыНеопределенный интеграл I =R √1 + 4a2x2dx вычислим следующим образом: про- интегрируем его сначала по частям; затем к числителю дроби, стоящей под знаком интеграла, прибавим и вычтем единицу, произведем деление и проинтегрируем (с помощью подстановки y = 2ax) получившуюся дробь:I =Z √1 + 4a2x2dx = x√1 + 4a2x2−Z4a2x2√1 + 4a2x2dx == x√1 + 4a2x2− I +1 2a ln2ax +√1 + 4a2x2– 143 – Это равенство, рассматриваемое как уравнение относительно интеграла I, дает воз- можность найти его значение:I =1 2x√1 + 4a2x2+1 4a ln2ax +√1 + 4a2x2 + C.Теперь легко найти величину интеграла для S:S =1 2b√1 + 4a2b2+1 4a ln2ab +√1 + 4a2b2Пример 4.8.4. Найти длину астроиды x = a cos3t,y = a sin3t (рис. 4.8.3).Решение. Астроида симметрична относительно координатных осей. Ее части, ле- жащей в первой четверти, соответствует изменение параметра t от 0 до π/2. Вы- числим длину S этой части (равной, очевидно, 1/4 длины всей астроиды). Заметив,что x′= −3a cos2t sin t,y′= 3a sin2t cos t,по формуле из следствия 4.8.2 получимS =π2Z0p9a2cos4t sin2t + 9a2sin4t cos2tdt =3a2π2Z0sin 2tdt =3a2Таким образом, длина всей астроиды равна 6a.OaРис 4.8.3. Длина дуги астроиды4.9. Площадь плоской фигуры. Мера Жордана4.9.1. Определение и свойства площади. Рассмотрим плоскость с некоторой прямоугольной системой координат. Обозначим через T0разбиение этой плоскости на замкнутые квадраты (т.е. квадраты вместе с границей), получающиеся при про- ведении прямых вида x = p,y = q,p, q = 0, ±1, ±2, . . . .– 144 – Такое разбиение назовем разбиением ранга 0.Разобьем каждый из квадратов разбиения T0на сто равных квадратов прямы- ми, параллельными осям координат (соседние прямые отстоят друг от друга на1 10).Множество таких квадратов назовем разбиением ранга 1 и обозначим T1Продолжая этот процесс, получим разбиения Tm ранга m, m = 0, 1, 2, . . . . Рассто- яние между соседними прямыми в таком разбиении равно (10)−mПусть G — некоторое непустое ограниченное множество на плоскости. Ограни- ченность означает, что оно содержится в некотором круге достаточно большого радиуса.Обозначим через s m= s m(G) объединение всех квадратов из Tm, лежащих (вместе с границами) в G. Если таких квадратов нет, то будем считать, что s m= ∅.Обозначим через Sm= Sm(G) объединение всех квадратов из Tm, пересекающихся с G хотя бы по одной точке. Ясно, что Sm также ограниченное множество.Очевидно, что s0⊂ s1⊂ . . . ⊂ s m⊂ . . . ⊂ G,(4.9.1)аG ⊂ . . . ⊂ Sm⊂ . . . ⊂ S1⊂ S0(4.9.2)Если обозначить через Pn площадь многоугольника Sn, а через p n— площадь мно- гоугольника s n(считается, что p n= 0, если множество s n= ∅), то будут выполнены следующие неравенства (следствие включений (4.9.1) и (4.9.2)):0 6 p0 6p1 6. . . 6 p n6. . . 6 Pn6. . . 6 P1 6P0(4.9.3)Таким образом, множество {p n: n = 0, 1, 2 . . .} ограничено сверху (любым числомPm), а множество {Pn: n = 0, 1, 2 . . .} ограничено снизу (например, нулем). Дадим следующее определение.Определение 4.9.1. Внутренней площадью (внутренней мерой Жордана) мно- жества G называется число P∗= P∗(G), равное sup{p n: n = 0, 1, 2 . . .}.Внешней площадью (внешней мерой Жордана) множества G называется числоP∗= P∗(G), равное inf{Pn: n = 0, 1, 2, . . .}.Так как последовательности {p n} и {Pn} монотонны, то в определении 4.9.1 можно вместо взятия точной границы поставить знак предела.Из неравенств (4.9.3) получаем, что0 6 P∗6P∗< ∞.Определение 4.9.2. Множество G называется квадрируемым (измеримым поЖордану), если P∗= P∗= P . При этом само число P = P (G) называется площадью(двумерной мерой Жордана) множества G. Мера пустого множества считается равной нулю.Приведем некоторые свойства построенной меры.1. Если множество G — многоугольник, то его мера совпадает с обычной площа- дью этого многоугольника.2. Если для измеримых множеств G и F выполнено включение G ⊂ F , то P (G) 6P (F ) (свойство монотонности меры).3. Если множества G и F измеримы и не пересекаются (F ∩G = ∅), то множествоF ∪G измеримо и P (F ∪G) = P (F )+P (G) (свойство аддитивности меры Жордана).– 145 – Свойство 3 можно обобщить.4. Если множества F и G измеримы, то множества F ∪ G и F ∩ G измеримы иP (G ∩ F ) + P (G ∪ F ) = P (G) + P (F ).5. Пусть G — ограниченное непустое множество. Обозначим через ∂G множество граничных точек G, т.е. это множество, состоящее из точек, таких, что любой круг с центром в этой точке содержит как точки множества G, так и его дополнения.Множество G измеримо тогда и только тогда, когда множество его граничных точек имеет площадь, равную нулю.Другими словами, множество ∂G содержится в объединении квадратов достаточ- но большого ранга m как угодно малой площади.4.9.2. Вычисление площади. Рассмотрим криволинейную трапецию G следу- ющего вида: она ограничена прямыми x = a, x = b (a < b), осью OX и графиком непрерывной неотрицательной на [a, b] функции y = f(x).Свойство равномерной непрерывности этой функции показывает, что данная кри- волинейная трапеция G квадрируема, в качестве Pn и p nможно выбрать соответ- ствующие верхние и нижние суммы Дарбу функции f. Таким образом, справедливо следующее утверждение.Теорема 4.9.1. Построенная криволинейная трапеция G измерима иP (G) =bZa f (x) dx.(4.9.4)Как следствие теоремы 4.9.1 и свойства аддитивности можно получить утвержде- ние о площади фигуры F , ограниченной прямыми x = a, x = b и графиками двух непрерывных на [a, b] функций f, g, таких, что f(x) 6 g(x) для x ∈ [a, b].Следствие 4.9.1. Множество F измеримо, иP (F ) =bZa(g(x) − f(x)) dx.Можно показать, что любое ограниченное множество G, граница которого явля- ется гладкой, кусочно гладкой или спрямляемой кривой, — измеримо по Жордану.Пусть граница множества G задается гладкой (или кусочно гладкой) кривой вида x = x(t), y = y(t), t ∈ [a, b]. Причем ориентация этой границы положительна,т.е. граница пробегается против часовой стрелки при движении параметра от a к b.Производя в формуле (4.9.4) замену переменных, получим следующее утверждение.Теорема 4.9.2. Множество G квадрируемо, и его площадь равнаP (G) =bZa y(t)x′(t) dt = −bZa x(t)y′(t) dt.(4.9.5)Найдем площадь фигуры в полярной системе координат. Пусть граница этого множества G задается кривой r = r(ϕ), ϕ ∈ [α, β], и отрезками прямых вида ϕ =α, ϕ = β. Функция r = r(ϕ) неотрицательна и непрерывна на отрезке [α, β]. Переходя к параметрическому заданию этой кривой x = r(ϕ) cos ϕ,y = r(ϕ) sin ϕи используя формулы (4.9.5), имеем следствие.– 146 – Следствие 4.9.2. Множество G измеримо, иP (G) =1 2βZαr2(ϕ) dϕ.Рассмотрим некоторые примеры.Пример 4.9.1. Пусть множество G состоит из точек на плоскости, лежащих в квадрате, который ограничен прямыми x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, и имеющих рациональные координаты. Показать, что оно неизмеримо по Жордану.Решение. Очевидно, что P∗(G) = 0, так как в этом множестве не содержится ни одного квадрата любого разбиения. С другой стороны, P∗= 1, поскольку объедине- ние квадратов разбиения Tm, пересекающих G, содержит единичный квадрат. Таким образом, это множество G не измеримо по Жордану.Пример 4.9.2. Вычислить площадь фигуры G, ограниченную эллипсом (§ 11.10):x2a2+y2b2= 1.(4.9.6)Решение. Выражая из (4.9.6) y, имеем y = ±b a√a2− x2,x ∈ [−a, a].Тогда искомая площадь P равнаP = 4b aaZ0√a2− x2dx = 4b aa2 2arcsin xa+x2√a2− x2 a0= πab.Пример 4.9.3. Найти площадь P фигуры, ограниченной кардиоидой r = a(1 +cos ϕ) (рис. 4.9.1).Решение. ИмеемP =a2 22πZ0(1 + cos ϕ)2dϕ ==a2 22πZ0dϕ + a2 2πZ0cos ϕ dϕ +a2 42πZ0(1 + cos 2ϕ)dϕ =3 2πa2– 147 – O2aРис 4.9.1. Площадь фигуры, ограниченной кардиоидой4.10. Объем тела и его вычислениеПонятие объема или трехмерной меры Жордана вводится аналогично понятию площади. Сначала рассматриваем разбиения Tm пространства R3ранга m. Для этого разбиваем все пространство на замкнутые кубы плоскостями x = p, y = q, z =s, p, q, s = 0, ±1, ±2, . . . . Получаем разбиение T0ранга 0. Каждый из полученных кубов разбиваем на 1000 равных кубов плоскостями, параллельными координатным плоскостям, расстояние между которыми равно1 10. Получаем разбиение T1ранга 1.И так далее. Получаем разбиения Tm ранга m, m = 0, 1, 2, . . . .Пусть теперь G — ограниченное непустое множество в пространстве. Ограничен- ность означает, что оно содержится в некотором шаре достаточно большого радиуса.Рассмотрим множества s m— объединения кубов ранга m, полностью содержащи- еся в G. Если таких кубов нет, то считаем, что s m= ∅. Также рассмотрим множестваSm, являющиеся объединением кубов ранга m, которые пересекаются с G хотя бы по одной точке. Пусть v n— объем многогранника s n, Vn— объем многогранника SnКак в случае плоскости, имеем последовательность неравенств v0 6v1. . . 6 v n. . . 6 Vn6. . . 6 V1 6V0(4.10.1)Поэтому мы можем ввести понятие внутреннего V∗и внешнего V∗объема телаG. А именно положимV∗= V∗(G) = sup{v n: n = 0, 1, 2, . . .},аV∗= V∗(G) = inf{Vn: n = 0, 1, 2, . . .}.Неравенства (4.10.1) показывают, что V∗6V∗Определение 4.10.1. Множество G называется кубируемым или измеримым по Жордану, если V∗= V∗= V . Само число V = V (G) называется объемом или(трехмерной) мерой Жордана множества G. Объем пустого множества счита- ется равным нулю.– 148 – Это понятие объема обладает теми же свойствами 1, 2, 3, 4, что и понятие пло- щади на плоскости (см. § 4.9).Для вычисления объема произвольного тела одномерного интеграла Римана, в общем, недостаточно. Но во многих случаях можно его использовать. Рассмотрим тело G со следующими свойствами: оно расположено между двумя плоскостями x = a, x = b, a < b, кубируемо и для каждого x ∈ [a, b] множество, являющееся пересечением плоскости {(t, y, z) : t = x} и G, квадрируемо и имеет площадь P (x).Теорема 4.10.1. Объем тела G вычисляется по формулеV (G) =bZaP (x) dx.(4.10.2)Формула (4.10.2) является обобщением принципа Кавальери, говорящего о том,что многогранники с равными площадями в сечении имеют равные объемы.Рассмотрим, например, тело G, получающееся вращением криволинейной трапе- ции для функции y = y(x), x ∈ [a, b], вокруг оси OX, функция y(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда для всякого x ∈ [a, b] площадь соответству- ющего сечения (которое является кругом радиуса y(x)) равна πy2(x). Отсюда и из формулы (4.10.2) получаемСледствие 4.10.1. Объем тела G вычисляется по формулеV (G) = πbZa y2(x) dx.(4.10.3)В формуле (4.10.3) кривую y = y(x) можно задавать параметрически.Если данная кривая вращается вокруг оси OY , то формула (4.10.3) меняет свой вид.Следствие 4.10.2. Пусть тело G ограничено поверхностями, образованными вращением кривой y = y(x), x ∈ [a, b], вокруг оси OY и вращениями отрезков {(x, y) :y = y(a), x ∈ [0, a]}, и {(x, y) : y = y(b), x ∈ [0, b]}, вокруг оси OY , причем функция y = y(x) непрерывна и неотрицательна на [a, b], тогда объем V тела G вычисляется по формулеV = 2πbZa xy(x) dx.Приведем примеры.Пример 4.10.1. Найти объем V эллипсоида x2a2+y2b2+z2c2 61.Решение. Это тело расположено между плоскостями x = −a и x = a. Чтобы найти площадь сечения, запишем границу этого эллипсоида в виде y2b2+z2c2= 1 −x2a2У получившегося эллипса полуоси равны, соответственно,b a√a2− x2,c a√a2− x2,– 149 – поэтому его площадь равнаπbc a2(a2− x2).Отсюда и из теоремы 4.10.1 (формула (4.10.2)) имеемV = πbc a2aZ−a(a2− x2) dx =4 3πabc.Пример 4.10.2. Найти объем V тела, полученного вращением вокруг оси OXкриволинейной трапеции, образованной графиком функции y = a ch xa,x ∈ [−b, b],называемым цепной линией.Решение. По формуле (4.10.3) имеемV = πa2bZ−b ch2x adx =πa2 2bZ−b1 + ch2x adx ==πa2x2+πa3 4sh2x a b−b= πa2b +πa3 2sh2b a4.11. Площадь поверхности вращенияПонятие поверхности и тем более площади поверхности требует более глубоких знаний анализа. Здесь мы ограничимся изучением специальных поверхностей — по- верхностей вращения.Пусть γ = {(x, y) : r = r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b]} — кривая, лежащая в полу- плоскости y > 0. Рассмотрим разбиение T = {t0, t1, . . . , t n} отрезка [a, b] с диаметром|T | = λ = max16i6n∆t iВпишем в кривую γ ломаную с вершинами в точках r(t i) = (x i, y i), i = 1, . . . , n.При вращении звена ∆r i= r(t i) − r(t i−1) ломаной вокруг оси OX получится поверх- ность усеченного конуса с площадью li= π(y i−1+ y i)|∆r i|,а при вращении всей ломаной — поверхность с площадьюLT=nXi=1l i= πnXi=1(y i−1+ y i)|∆r i|.Определение 4.11.1. Если существует предел limλ→0LT,то он называется площадью L поверхности, образованной вращением кривой γ во- круг оси OX.– 150 – Теорема 4.11.1. Если γ — гладкая кривая, лежащая в полуплоскости y > 0, то поверхность, образованная вращением этой кривой вокруг оси OX, имеет площадьL и эта площадь равнаL = 2πbZa y(t)p(x′(t))2+ (y′(t))2dt = 2πSZ0y(s) ds,(4.11.1)где s — переменная длина дуги кривой γ, S — длина всей кривой γ.Доказательство. Рассмотрим сначала естественную параметризацию кривой, ко- гда в качестве параметра берется переменная длина дуги s, s ∈ [0, S].Берем разбиение T = {s0, s1, . . . , s n} отрезка [0, S]. Сравним сумму LTс инте- гральной суммой для функции 2πy(s), т.е. с выражениемσT= 2πnXi=1y(s i)∆s iИмеем|σT− LT| = πnXi=1 2y(s i)∆s i− πnXi=1(2y(s i) + (y(s i−1) − y(s i))) |∆r i|6 62πnXi=1|y(s i)| (∆s i− |∆r i|) + πnXi=1|y(s i) − y(s i−1)| |∆r i| 6 62πMnXi=1∆s i−nXi=1|∆r i|!+ πω(r, T )nXi=1|∆r i|,гдеM = max[a,b]|y(t)|,а ω(r, T ) есть максимум из колебаний функции |r(t)| на отрезках [s i−1, s i].Сумма nPi=1∆s i= S — длине кривой, а сумма nPi=1|∆r i| стремится к S при λ → 0 по определению длины кривой. Предел limλ→0ω(r, T ) = 0в силу равномерной непрерывности функции |r(t)|. Поэтому limλ→0(σT− LT) = 0.Таким образом, вторая часть в формуле (4.11.1) доказана. Первое равенство в формуле (4.11.1) получается после замены s = s(t), достаточно вспомнить (теоре- ма 4.8.2), что ds =p(x′)2+ (y′)2dt.2Следствие 4.11.1. Если кривая задана явным уравнением y = y(x), x ∈ [a, b],то для площади L поверхности вращения справедлива формула1   ...   7   8   9   10   11   12   13   14   ...   43

L = 2πbZa y(x)p1 + (y′(x))2dx.(4.11.2)– 151 – Пример 4.11.1. Найти площадь L сферы радиуса R.Решение. Эта сфера может быть получена вращением полуокружности y =√R2− x2, x ∈ [−R, R], вокруг оси OX. Но гораздо удобнее пользоваться формулой не (4.11.2), а (4.11.1), задавая эту полуокружность параметрически:x = R cos t,y = R sin t,t ∈ [0, π].Имеем x′= −R sin t, y′= R cos t,p(x′)2+ (y′)2= R,тогда по формуле (4.11.1) получимL = 2ππZ0R2sin t dt = 4πR2Пример 4.11.2. Найти площадь L поверхности, образованной вращением вокруг оси OX дуги цепной линии y = a ch xa,x ∈ [−b, b].Решение. По формуле (4.11.2) имеемL = 2πa bZ−b ch xa r1 + sh2x adx == 2πa bZ−b ch2x adx = πa2b + a sh2b a4.12. Некоторые приложения в механикеПусть M — материальная точка массы m с координатами x и y. Произведения mx и my называются статическими моментами этой точки относительно осей,соответственно, OY и OX.Рассмотрим плоскую кривую γ, заданную параметрически,r(t) = {x(t), y(t)}, t ∈ [a, b].Так же, как в предыдущей лекции, будем считать, что γ — простая спрямляемая ориентированная кривая. Вдоль кривой γ распределена масса с плотностью ρ =ρ(x, y), которая является неотрицательной непрерывной функцией. Если ρ ≡ const,то кривая называется однородной кривой.Определим статические моменты этой кривой относительно координатных осей.Пусть T = {s0, s1, . . . , s n} — разбиение отрезка [0, S] с диаметром λ, где S — длина всей кривой γ. Выберем на отрезках [s i−1, s i] по точке ξi и положим x(ξi) = x i, y(ξi) =y iВыражения y iρ(x i, y i)∆s iназовем элементарными статическими моментами части кривой γ относительно оси OX. Очевидно, что элементарный статический мо- мент численно равен статическому моменту материальной точки массы ρ(x i, y i)∆s iс ординатой y i. То есть мы как бы заменили эту часть кривой материальной точкой.– 152 – Определение 4.12.1. Предел вида limλ→0nXi=1y iρ(x i, y i)∆s iназывается статическим моментом Mx материальной кривой γ относительно осиOX.Из определения видно, что статический Mx момент равенMx=ZS0y(s)ρ(x(s), y(s)) ds.В этом определении фактически используется естественная параметризация кривойγ. Если перейдем к произвольной параметризации кривой по теореме 4.8.2, то полу- чимMx=bZa y(t)ρ(x(t), y(t))p(x′)2+ (y′)2dt.Аналогично определяется статический момент My материальной кривой γ от- носительно оси OY :My=SZ0x(s)ρ(x(s), y(s)) ds =bZa x(t)ρ(x(t), y(t))p(x′)2+ (y′)2dt.Определение 4.12.2. Точка плоскости P (x0, y0), обладающая тем свойством,что если в нее поместить материальную точку массы, равной массе M кривойγ, то эта точка относительно любой координатной оси имеет статический мо- мент, численно равный статическому моменту кривой относительно той же оси,называется центром тяжести кривой γ.Из данного определения получаем формулы x0=bRa x(t)ρ(x(t), y(t))p(x′)2+ (y′)2dt bRaρ(x(t), y(t))p(x′)2+ (y′)2dt,y0=bRa y(t)ρ(x(t), y(t))p(x′)2+ (y′)2dt bRaρ(x(t), y(t))p(x′)2+ (y′)2dtЕсли кривая однородная, то формулы упрощаются:x0=1SbZa x(t)p(x′)2+ (y′)2dt,y0=1SbZa y(t)p(x′)2+ (y′)2dt.(4.12.1)В этом случае говорят о геометрическом центре тяжести кривой.Сравнивая формулы (4.12.1) и формулу площади поверхности вращения из § 4.11,получим следующее утверждение.Теорема 4.12.1 (первая теорема Гульдина). Площадь поверхности, полученная вращением кривой γ около некоторой, не пересекающей ее, оси, равна длине кривой,умноженной на длину окружности, описанной геометрическим центром тяжести этой кривой вокруг той же оси.– 153 – Пример 4.12.1. Рассмотрим окружность радиуса a с центром в точке (0, b), 0 <a < b. Тогда ее геометрический центр тяжести есть точка (0, b). Будем вращать эту окружность вокруг оси OX. Получим поверхность, называемую тором. Найти площадь L поверхности тора по теореме Гульдина.Решение. Эта площадь равнаL = 2πa · 2πb = 4π2ab.Пример 4.12.2. Найти геометрический центр тяжести цепной линии y = a ch xa,x ∈ [−b, b].Решение. В силу симметрии цепной линии относительно оси OY имеем, что My=0. Тогда x0= 0.По теореме Гульдина,L = 2πy0· 2S,где L — площадь поверхности вращения цепной линии вокруг оси OX; S — длина половины цепной линии.Площадь L была вычислена в § 4.11 (пример 4.11.2), она равнаL = πa2b + a sh2b aНайдем ее длину:2S =bZ−b p1 + (y′)2dx =bZ−b r1 + sh2x adx == 2bZ0ch xa dx = 2a sh xa b0= 2a sh baТогда по теореме Гульдина имеем y0=2b + a sh2b a4 sh ba– 154 – Глава 5Числовые рядыПосле изучения этой главы читатель должен уметь находить суммы числовых ря- дов, исследовать их на сходимость, используя признаки сходимости. Знать основные определения, формулы и признаки сходимости числовых рядов: необходимый при- знак сходимости, критерий Коши, признак сравнения, признаки Коши, Даламбера,Лейбница, Абеля, Дирихле. Владеть методами исследования сходимости числовых рядов.5.1. Числовые ряды. Сходимость рядаРассмотрим в качестве приложения теории последовательностей специальный вид последовательностей — ряд, который играет важную роль в математическом анализе.Определение 5.1.1. Пусть {a n} — последовательность вещественных чисел.Тогда символ a1+ a2+ · · · + a n+ · · · =∞Xn=1a n(5.1.1)называется числовым рядом.Определение 5.1.2. Числа a n,n = 1, 2, . . . называются членами ряда, эле- мент a nназывается n-м членом ряда.Определение 5.1.3. СуммуSn=nXk=1a k(5.1.2)называют частичной суммой ряда или n-й частичной суммой ряда.Определение 5.1.4. Если последовательность {Sn} частичных сумм сходит- ся, то ряд называется сходящимся. Если последовательность {Sn} не имеет пре- дела, то ряд называется расходящимся.Определение 5.1.5. Число S = lim n→∞Sn, если оно существует, называется сум- мой ряда. Будем писать∞Xn=1a n= S.Пример 5.1.1. Рассмотрим ряд, являющийся суммой геометрической прогрессии a + aq2+ . . . + aq n+ . . . ,a 6= 0.(5.1.3)Исследовать его на сходимость.Решение. Частичная суммаSn= a + aq2+ . . . + aq n−1= a ·1 − q n1 − q,q 6= 1.155 Тогда lim n→∞Sn=a1−q,|q < 1,∞,|q| > 1,не существует, q = −1.При q = 1 частичная сумма Sn= an → ∞ при n → ∞. Поэтому при q = 1 ряд также расходится.Таким образом, ряд (5.1.1) сходится при |q| < 1 к сумме S =a1 − q и расходится при |q| > 1.Особо отметим случай q = −1, a = 1. Ряд1 − 1 + 1 − 1 + . . . + (−1)n−1+ . . .является расходящимся.Сейчас получим числовой ряд, сумма которого равна e (этот ряд удобно исполь- зовать для приближенного вычисления числа e).Рассмотрим последовательность {αn} из примера 1.8.8 (§1.8):αn=1 +1nn→ e при n → ∞.При решении этого примера было установлено, чтоαn< Sn= 1 + 1 +1 2!+ · · · +1n!Докажем теперь, что Sn6e.Действительно, при любом фиксированном k и k 6 n выполняется неравенство1 + 1 +1 2!1 −1n+ · · · +1k!1 −1n· · · · ·1 −k − 1n< αn(5.1.4)(см. разложение αn в § 1.8).При n → ∞ левая часть неравенства (5.1.4) стремится к Sk, а правая — к e,поэтомуSk6e.Теперь из соотношенияαn< Sn6e при n → ∞ получаем, что lim Sn= e, но Sn— это частичная сумма ряда1 +1 1!+1 2!+ · · · +1n!+ . . .(5.1.5)Следовательно, число e есть сумма ряда (5.1.5).5.1.1. Критерий Коши. Учитывая, что сходимость ряда (5.1.1) равносильна сходимости последовательности его частичных сумм (5.1.2), легко получить крите- рий Коши сходимости ряда. Для этого нужно переформулировать критерий Коши(теорема 1.8.1) сходимости последовательности {Sn}.Теорема 5.1.1 (критерий Коши сходимости ряда). Ряд (5.1.1) сходится тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдется такое число N ∈ N, что из m > N, n > N следует|Sm− Sn| < ε.(5.1.6)– 156 – Замечание 5.1.1. Если взять m > n и положить m = n + p, то неравенство(5.1.6) можно переписать в виде|a n+1+ a n+2+ · · · + a n+p| < ε.Таким образом критерий Коши можно сформулировать такТеорема 5.1.2 (критерий Коши сходимости ряда). Ряд (5.1.1) сходится тогда и только тогда, когда для любого ε > 0 найдется такое число N ∈ N, что из n > Nи для любого p ∈ N следует|a n+1+ a n+2+ · · · + a n+p| < ε.(5.1.7)Следствие 5.1.1. Если у ряда изменить только конечное число членов, то по- лученный при этом новый ряд будет сходиться, если сходится исходный ряд, и будет расходиться, если исходный ряд расходится.Доказательство. Для исследования сходимости нового ряда следует использо- вать критерий Коши, считая, что число N (в этом критерии) больше, чем макси- мальный из номеров измененных членов ряда. Тогда условие (5.1.6) будет записано совершенно идентично для исходного и нового ряда.2 5.1.2. Необходимый признак сходимости ряда.Следствие 5.1.2. Если ряд a1+ · · · + a n+ . . . сходится, то n-й член ряда стре- мится к нулю при n → ∞, т.е. lim n→∞a n= 0.Доказательство. Достаточно положить в критерии m = n + 1. Тогда условие(5.1.6) перепишется в виде|Sn+1− Sn| = |a n+1| < ε.Это неравенство (из определения предела последовательности) дает, что lim n→∞a n+1= 0 или lim n→∞a n= 0. 2Существуют ряды, у которых a n→ 0 при n → ∞, но эти ряды расходятся.Пример 5.1.2. Исследовать сходимость ряда1 +1 2+1 3+ · · · +1n+ . . . ,который будет часто встречаться в дальнейшем в курсе математического анализа.Этот ряд называется гармоническим. Название связано с тем, что члены ряда удовлетворяют условию1a n=1 21a n−1+1a n+1А в этом случае говорят, что a nесть среднее гармоническое между a n−1и a n+1Решение. Сходимость последовательности частичных сумм этого рядаSn= 1 +1 2+ · · · +1n уже исследована в примере 1.8.4, там получено, что {Sn} расходится. Следовательно,гармонический ряд расходится (но a n→ 0 при n → ∞).– 157 – 5.2. Абсолютная сходимость ряда5.2.1. Сходимость абсолютно сходящегося ряда.Определение 5.2.1. Ряд∞Pn=1a nназывается абсолютно (безусловно) сходящим- ся, если сходится ряд∞Pn=1|a n|.Теорема 5.2.1. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.Доказательство. Справедливо неравенство|a n+1+ · · · + a n+p| 6 |a n+1| + · · · + |a n+p|,из которого (с использованием критерия Коши (см. условие (5.1.7))) в предыдущем параграфе) и следует утверждение теоремы.2Заметим, что из сходимости ряда в общем случае не следует абсолютная схо- димость, т.е. абсолютная сходимость есть для ряда требование более сильное, чем просто сходимость. Это можно продемонстрировать на примере.Пример 5.2.1. Исследовать на сходимость ряд1 − 1 +1 2−1 2+1 3−1 3+ . . . .Решение. Частичные суммы ряда равныSn=2n + 1,если n — нечетное,0,если n — четное.Ясно, что lim n→∞Sn= 0 и ряд сходится.Ряд же, составленный из абсолютных величин его членов1 + 1 +1 2+1 2+1 3+ . . . ,расходится. Доказательство этого факта осуществляется так же, как и для гармони- ческого ряда.Теорема 5.2.2 (сходимость рядов с неотрицательными членами). Ряд a1+ a2+· · · + a n+ . . . , члены которого — неотрицательные числа, сходится тогда и только тогда, когда последовательность его частичных сумм ограничена сверху.Доказательство. Ясно, что Sn6Sn+1, так как a n+1>0, т.е. последовательность{Sn} частичных сумм возрастающая. Если эта последовательность ограничена свер- ху (Sn6S), но предел Sn существует по признаку сходимости Вейерштрасса для монотонной последовательности (теорема 1.8.2) и ряд сходится.Если же ряд сходится и его сумма равна S, то, очевидно, Sn6S и теорема полностью доказана.2 5.2.2. Признаки сравнения. Из предыдущего критерия вытекает следующая очень простая, но чрезвычайно полезная теорема.Теорема 5.2.3 (признак сравнения). Пусть даны два ряда с неотрицательными членами a1+ a2+ · · · + a n+ . . . ,(5.2.1)– 158 – b1+ b2+ · · · + b n+ . . . .(5.2.2)Если существует номер N ∈ N, такой что при любом n > N имеет место нера- венство a n6b n, то из сходимости ряда (5.2.2) вытекает сходимость ряда (5.2.1),а из расходимости ряда (5.2.1) вытекает расходимость ряда (5.2.2).Доказательство. Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость ря- да, можно, без ограничения общности, считать, что a n6b nдля любого n ∈ N.Обозначим частичные суммы ряда (5.2.1) через An, а ряда (5.2.2) — через BnПусть ряд (5.2.2) сходится и его сумма равна B.Тогда An6Bn6B для любого n, т.е. последовательность частичных сумм {An}ограничена сверху и по теореме 5.2.2 ряд (5.2.1) сходится.Пусть теперь ряд (5.2.1) расходится. Докажем расходимость ряда (5.2.2). Будем рассуждать от противного: допустим, что ряд (5.2.2) сходится. Тогда немедленно получаем (см. первую часть доказательства), что ряд (5.2.1) сходится. Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы.2Пример 5.2.2. Исследовать сходимость ряда1 +1 22+1 32+ · · · +1n2+ . . . ,(5.2.3)используя признак сравнения.Решение. Легко доказать сходимость ряда1 +1 1 · 2+1 2 · 3+ · · · +1(n − 1) n+ . . . .(5.2.4)Его частичную суму Sn можно преобразовать следующим образом:Sn= 1 +1 1·2+1 2·3+ · · · +1(n−1) n== 1+1−1 2+1 2−1 3+ · · · +1n−1−1n== 1 + 1 −1 2+1 2−1 3+ · · · +1n − 1−1n= 2 −1nТогда lim n→∞Sn= lim n→∞2 −1n= 2,и ряд (5.2.4) сходится.Очевидно, что0 <1n2<1(n − 1) n,n = 2, 3, . . . ,и по признаку сравнения ряд (5.2.2) сходится.Теорема 5.2.4 (мажорантный признак Вейерштрасса). Пусть даны два ряда a1+ a2+ · · · + a n+ . . . ,(5.2.5)b1+ b2+ · · · + b n+ . . . ,(5.2.6)причем ряд (5.2.6) сходится, и его члены неотрицательны (члены ряда (5.2.5) —произвольны). Если существует номер N ∈ N, такой, что при любом n > N имеет место неравенство |a n| 6 b n, то ряд (5.2.5) сходится абсолютно.– 159 – Доказательство. Немедленно следует из признака сравнения и теоремы 5.2.1. 2Пример 5.2.3. Показать абсолютную сходимость ряда∞Pn=1sin n n2Решение. Ряд сходится абсолютно, так как sin n n2 61n2для любого n ∈ N, а ряд∞Pn=1 1n2сходится.Теорема 5.2.5 (признак сравнения в предельной форме). Пусть даны два ряда с положительными членами a1+ a2+ · · · + a n+ . . . ,b1+ b2+ · · · + b n+ . . . .Если существует конечный предел lim n→∞a nb n= k 6= 0,то либо оба ряда сходятся, либо оба ряда расходятся.Пример 5.2.4. Рассмотрим ряд∞Xn=1 1√2n4− 1(5.2.7)Исследовать его сходимость.Решение. Сравнивая этот ряд с рядом∞Pn=1 1n2, получим lim n→∞1√2n4−1 1n2=1q2 −1n4=1√2 6= 0.Поэтому ряд (5.2.7) сходится.5.3. Признаки абсолютной сходимости рядовРассмотрим признаки сходимости рядов. Начнем с признаков абсолютной сходи- мости.5.3.1. Признак Коши.Теорема 5.3.1 (признак Коши). Пусть дан ряд∞Xn=1a nиα = lim n→∞n p|a n|.Тогда справедливы утверждения:a) если α < 1, то ряд∞Pn=1a nабсолютно сходится;b) если α > 1, то ряд∞Pn=1a nрасходится;– 160 – c) если α = 1, то вопрос о сходимости ряда∞Pn=1a nостается открытым, т.е.существуют как (абсолютно) сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которыхα = 1.Доказательство. A) Если α < 1, то, используя свойство плотности вещественных чисел, найдем и зафиксируем число q так, что α < q < 1.В соответствии с определением верхнего предела последовательности найдем но- мер N ∈ N такой, что при n > N выполнено np|a n| < q. Тогда при n > N будем иметь1   ...   8   9   10   11   12   13   14   15   ...   43

6n ai1...i kx i1∧ . . . ∧ x ik(10.11.1)Отметим, что1) всякая n-форма в Rn есть либо ориентированный объем параллелепипеда при некотором выборе единицы объема либо нуль:w n= ax1∧ . . . ∧ x n;2) всякая k-форма при k > n равна нулю.Используя представление (10.11.1) внешних форм через базисные естественным образом определяется операция ∧ внешнего произведения k-формы w kна l-форму wl:X16i1<...6n ai1...i kx i1∧ . . . ∧ x ik!∧X16j1<...6n bj1...j lx j1∧ . . . ∧ x jl!==X16i1<...6n16j1<...6n ai1...i kb j1...j lx i1∧ . . . ∧ x ik∧ x j1∧ . . . ∧ x jlТаким образом внешнее произведение w k∧ w lесть внешняя форма степени k + l.Можно показать, что внешнее произведение внешних форм обладает следующими свойствами:1) кососимметричности (антикоммутативности): w k∧ w l= (−1)kl wl∧ w k,2) дистрибутивности: λ1w k1+ λ2w k2∧ w l= λ1w k1∧ w l+ λ2w k2∧ w l,3) ассоциативности: w k∧ w l∧ w m= w k∧ w l∧ w mОтметим еще поведение внешних форм при отображениях.Пусть f : Rm→ Rn— линейное отображение, а w k— внешняя k-форма наRn. Тогда на Rm возникает внешняя k-форма f∗w k, значение которой на k векторахξ1, . . . , ξk∈ Rm равно значению k формы w kна их образах f(ξ1), . . . , f (ξk):f∗w k(ξ1, . . . , ξk) = w k(f (ξ1), . . . , f (ξk)) .Упражнение 10.11.1. Проверить1) что f∗w k— внешняя k-форма;2)f∗w k∧ w l= f∗w k∧ f∗w l10.11.2. Внешние дифференциальные формы. Определим теперь понятие внешней дифференциальной формы в RnОпределение 10.11.5. Фиксируем точку x ∈ Rn. Внешней дифференциаль- ной формой степени 1 назовем 1-форму w1(x) линейную относительно переменных dx1, . . . , dx n, образующих базис в сопряженном пространстве 1-форм:w1(x) = a1(x)dx1+ . . . + a n(x)dx n,– 378 – где a i(x) — функции переменных x = (x1, . . . , x n), будем считать их достаточное число раз дифференцируемыми (гладкими).Определение 10.11.6. В общем случае k-формы dx i1∧. . .∧dx ik,1 6 i1< . . . <i k6n, образуют базис в пространстве внешних k-форм и внешней дифференциаль- ной k-формой назовем выражение вида wk(x) =X16i1<...6n ai1...i k(x)dx i1∧ . . . ∧ dx ik,(10.11.2)где a i1...i k(x) — гладкие функции переменных x ∈ RnСложение, умножение на число, внешнее умножение внешних дифференциаль- ных форм определяется поточечно: в каждой точке x ∈ Rn нужно сложить, умно- жить на число, внешне перемножить соответствующую алгебраическую внешнюю форму. Отметим, что дифференциальные формы можно умножать не только на чис- ла, но и на функции.Определение 10.11.7. Для всякой внешней дифференциальной формы w k(x)определена операция внешнего дифференцирования:dw k(x) =X16i1<...6n da i1...i k(x) ∧ dx i1. . . ∧ dx ik,где da i1...i k(x) =nPj=1∂a i1...i k∂x jdx j— дифференциал функции a i1...i k(x).Скалярное поле u = u(x, y, z) будем рассматривать как дифференциальную фор- му степени 0: w0u(x, y, z) = u(x, y, z), а всякому векторному полю a = (P, Q, R) в R3можно поставить в соответствие внешние дифференциальные формы w1a(x) = P dx + Qdy + Rdz иw2a(x) = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.Всякому скалярному полю u(x, y, z) можно также сопоставить дифференциаль- ную 3-форму : w3= u(x, y, z) dx ∧ dy ∧ dz.Нетрудно убедиться в справедливости следующих равенств:(i) dw0u= w1grad u;(ii) dw1a= w2rot a;(iii) dw2a= div a · dx ∧ dy ∧ dz = w3div aУсловие существования потенциальной функции u = u(x, y, z) такой, что ее гра- диент grad u совпадает с заданным векторным полем a = (P, Q, R) в терминах диф- ференциальных форм выглядит следующим образом:для заданной дифференциальной 1-формы w1a= P dx + Qdy + Rdz существует дифференциальная 0-форма w0u= u(x, y, z) такая, что w1a= dw0uУсловие rot a = 0 (т.е. векторное поле a безвихревое) означает, что внешний диф- ференциал 1-формы w2a равен нулю:dw1a=∂R∂y−∂Q∂zdy ∧ dz++∂P∂z−∂R∂xdz ∧ dx +∂Q∂x−∂R∂ydx ∧ dy = dw2 0= 0.Условие соленоидальности векторного поля a (div a = 0) означает, что внешний дифференциал 2-формы w2¯a равен нулю:dw2a= w3div a= w3 0= 0.– 379 – Определение 10.11.8. Дифференциальная внешняя k-форма называется за- мкнутой, если ее внешний дифференциал равен нулю: dw k= 0.Определение 10.11.9. Дифференциальная внешняя k-форма w kназывается точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма ϕk−1такая, что w k=dϕk−1Таким образом потенциальность векторного поля a = (P, Q, R) означает, что со- ответствующая внешняя дифференциальная форма w1a является точной: w1a= dw0uУсловия соленоидальности и того, что поле a является безвихревым означают за- мкнутость внешних дифференциальных форм: dw2a= 0,dw1a= 0.10.12. Основные теоремы теории поля и интегралы от внешних дифференциальных формОграничимся рассмотрением дифференциальных форм и интегралов от них в трехмерном пространстве.Определение 10.12.1. Дифференциальные формы степени 0 — это функции вR3, а нульмерная цепь в R3— это совокупность конечного числа точек. Интеграл дифференциальной формы w0u по нульмерной цепи γ0=Pm iAi, m i∈ Z, Ai∈ R3определяется как сумма значений функции u(Ai) с весом m i:Zγ0w0u=Xi mi u(Ai).Дифференциальные формы степени 1 в R3имееют вид: w1= P dx + Qdy + Rdz где P, Q, R — функции переменных x, y, z.Определение 10.12.2. Одномерная цепь γ1в R3— это линейная комбинация с целыми коэффициентами вида: γ1=Pi miΓi где Γi— гладкие ориентированные кривые.Определение 10.12.3. Интеграл по 1-цепи от дифференциальной 1-формы определим следующим образом:Zγ1w1=Xi miZΓi w1Отметим, что интегралы от внешней дифференциальной формы w1a по цепи γ1,представляющей ориентированную кривую являются циркуляцией векторного поляa = (P, Q, R) вдоль этой кривой.Определение 10.12.4. Для гладкой ориентированной кривой γ1границу ∂γ1естественно определить как 0-цепь вида: ∂γ1= B − A, где A — начало, B — конец кривой.Тогда формулу Ньютона-Лейбница можно записать в видеZ∂γ1w0=Zγ1dw0(10.12.1)Всякую дифференциальную внешнюю 2-форму можно записать в виде w2a=P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy. Интеграл этой 2-формы по гладкой поверхности– 380 – S — это поверхностный интеграл второго рода (см. § 10.5):ZZSw2a=ZZSP dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy.Определение 10.12.5. Двумерную цепь (2-цепь) определим как конечную ли- нейную комбинацию гладких ориентированных поверхностей Si с целыми коэффи- циентами m i:S =Xi miSiОпределение 10.12.6. Интеграл по 2-цепи S определяется естественным об- разом:ZZSw2a=Xi miZZSi w2aОпределение 10.12.7. Границу 2-цепи определим как ∂S =Pi mi∂Si, где ∂Si—край гладкой поверхности.Отметим, что интеграл формы w2a по цепи S, представляющей кусочно-гладкую ориентированную поверхность S называется потоком вектора a через поверхность S.Формулу Стокса (см. § 10.10), связывающая циркуляцию вектора a = (P, Q, R)по границе ∂S поверхности S с потоком ротора rot a через поверхность S можно записать следующим образом:Z∂Sw1a=ZZSdw1a=ZZSdw2rot a(10.12.2)Определение 10.12.8. Дифференциальная внешняя форма в R3имеет вид w3=u(x, y, z)dx ∧ dy ∧ dz. Интеграл этой формы по ограниченной области D ⊂ R3(по3-цепи) определяется следующим образомZZZDw3=ZZZDu(x, y, z) dxdydz,где в правой части тройной интеграл от функции u по области D.Формула Остроградского-Гаусса для потока вектора a = (P, Q, R) через границу3-цепи может быть записана в видеZZZ∂Dw2a=ZZZDdw2a=ZZZDdiv a dx ∧ dy ∧ dz.(10.12.3)Дадим определение и сформулируем критерий соленоидальности и потенциальности поля a = (P, Q, R), используя понятие внешней дифференциальной формы и инте- грала от нее.Определение 10.12.9. Непрерывно дифференцируемое векторное полеa = (P, Q, R)называется соленоидальным в области G ⊂ R3, если интегралы от внешней диффе- ренциальной 2-формы w2a= P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy по границе любой 3-цепи– 381 – D (такой, что D ⊂ G) равен нулю:ZZ∂Dw2a= 0.Теорема 10.12.1. Для того чтобы непрерывно дифференцируемое векторное по- ле a = (P, Q, R) было соленоидальным в области G ⊂ R3необходимо и достаточно,чтобы внешняя дифференциальная форма w2a была замкнута в G:dw2a= 0.Определение 10.12.10. Векторное поле a = (P, Q, R) заданное в области G ⊂R3называется потенциальным, если интегралы от 1-формы w1a= P dx + Qdy + Rdz по любой 1-цепи γ из области G, такой, что ∂γ = 0, равен нулю:Zγw1a= 0.Теорема 10.12.2. Пусть1) в области G ⊂ R3любая 1-цепь γ с условием ∂γ = 0 является границей 2-цепиS ⊂ G : γ = ∂S,2) векторное поле a = (P, Q, R) непрерывно дифференцируемо в области G. Тогда эквивалентны следующие три свойства:I) Интеграл от внешней диференциальной 1-формы w1a по любой 1-цепи γ, гра- ница которой ∂γ = 0 равен нулюZγw1a= 0.II) Внешняя дифференциальная 1-форма w1a= P dx + Qdy + Rdz является точной в области G: w1a= du0III) Внешняя дифференциальная форма w1a является замкнутой: dw1a= 0.– 382 – Глава 11Некоторые сведения из других разделов математикиВ данной главе приводятся сведения из других разделов математики, использу- емые в математическом анализе: аналитической геометрии, алгебры, дифференци- альных уравнений, функционального и комплексного анализа, механики. Ее можно рассматривать как справочное пособие, позволяющее не обращаться к соответству- ющим учебникам.11.1. Комплексные числа11.1.1. Определение и арифметические операции. Комплексные числа вводятся в связи с тем, что не всякое алгебраическое уравнение с действительными коэффициентами имеет действительные корни. Простейшим примером такого урав- нения является x2+ 1 = 0.(11.1.1)Задача ставится так: расширить систему действительных чисел до такой системы чисел, в которой уравнение (11.1.1) уже обладает корнем.Для этого вводится формальное обозначение: будем считать, что символ i (чита- ется мнимая единица) служит корнем уравнения (11.1.1), т.е. удовлетворяет соотно- шению i2= −1.(11.1.2)Определение 11.1.1. Комплексным числом называется выражение вида z = a + bi,(11.1.3)где a и b — действительные числа.Множество всех комплексных чисел (т.е. чисел вида (11.1.3)) обозначается черезCОпределение 11.1.2. Число a называется действительной частью комплекс- ного числа z и обозначается Re z, а число b называется мнимой частью z и обо- значается Im z.Комплексные числа вида a + 0i отождествляются с действительными числами, а комплексные числа вида 0 + bi = bi называются (чисто) мнимыми числами.Сложение: если z = a + bi, а w = c + di, то z + w = (a + c) + (b + d)i.Вычитание: если z = a + bi, w = c + di, то z − w = (a − c) + (b − d)i.Умножение: для z = a + bi, w = c + di zw = (ac − bd) + (ad + bc)i.383 Определение 11.1.3. Для введения операции деления вводится понятие сопря- женного комплексного числа: если z = a+bi, то сопряженное число z определяется так:z = a − bi.Легко проверить, что zz = a2+b2>0, модулем |z| комплексного числа называется выражение√zz =√a2+ b2Деление: если z = a + bi, а w = c + di и |w| 6= 0, то zw=ac + bd c2+ d2+bc − ad c2+ d2i.Легко проверить, что эти операции обладают всеми обычными свойствами ариф- метических операций.Таким образом, арифметические операции над комплексными числами произво- дятся так же, как над действительными числами, нужно только учитывать соотно- шение (11.1.2).11.1.2. Тригонометрическая форма комплексного числа. Удобной интер- претацией комплексного числа является представление его в виде точки плоскостиR2. Если XOY есть декартова система координат на плоскости, то каждое комплекс- ное число z = (a + bi) можно отождествить с точкой плоскости (a, b) или с радиусом- вектором этой точки {a, b}.Определение 11.1.4. Аргументом комплексного числа z = a + bi называется угол ϕ между осью OX и радиусом-вектором этого числа.Аргумент z обозначается arg z, он определяется с точностью до полного оборота,т.е. до 2π. Аргумент не определен лишь для числа 0.Если через r обозначить модуль комплексного числа, то можно получить другую форму представления числа z, а именно тригонометрическую форму :z = r(cos ϕ + i sin ϕ).Используя эти обозначения и определения, легко дать геометрическую интерпре- тацию арифметических операций. Сложению комплексных чисел соответствует сло- жение их радиусов-векторов. Модуль произведения комплексных чисел равен произ- ведению их модулей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножите- лей.С помощью тригонометрической формы комплексного числа легко выполняются операции возведения в степень и извлечения корня.Теорема 11.1.1 (Муавр). Если число z имеет вид: z = r(cos ϕ + i sin ϕ), то zn= [r(cos ϕ + i sin ϕ)]n= r n(cos nϕ + i sin nϕ),n ∈ N(формула Муавра).Обратно, если нам нужно извлечь корень n-ой степени из числа z = r(cos ϕ +i sin ϕ), то мы должны получить число w = ρ(cos θ + i sin θ), удовлетворяющее (со- гласно формуле Муавра) соотношениямρn= r, т.е. ρ =n√r,и nθ = ϕ + 2πk, т.е. θ =ϕ + 2kπn– 384 – (напоминаем, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до числа,кратного 2π, следовательно, если комплексные числа равны, то их аргументы могут отличаться на число, кратное 2π).Таким образом, придавая k значения 0, 1, . . . , n−1, мы получим n значений корня n-ой степени из комплексного числа.Геометрически данное правило означает, что все значения корня n-ой степени расположены на окружности радиуса np|z| с центром в нуле и делят эту окружность на n равных частей.В качестве примера рассмотрим корни из единицы. Представим единицу в виде1 = cos 0 + i sin 0, тогда n√1 = cos2kπn+ i sin2kπn,k = 0, 1, . . . , n − 1.Пример 11.1.1.√1 = ±1, а3√1 = 1, −√3 2±1 2i.11.2. Корни многочленов. Рациональные дроби11.2.1. Многочлены и их корни.Определение 11.2.1. Пусть P (x) — некоторый многочлен, число c (вообще говоря, комплексное) называется корнем многочлена P , если P (c) = 0.Из общей теории делимости многочленов следует такое утверждение.Теорема 11.2.1. Остаток от деления многочлена P (x) на линейный многочлен x − c равен f(c).Как следствие из данного утверждения мы получаем так называемую теоремуБезу.Теорема 11.2.2 (Безу). Число c тогда и только тогда является корнем много- члена P , когда многочлен P (x) делится на x − c.Таким образом, разыскание корней многочлена эквивалентно нахождению его линейных множителей.Определение 11.2.2. Корень c многочлена P называется простым, если дан- ный многочлен делится на x − c, но не делится на более высокую степень x − c.Определение 11.2.3. Корень c многочлена P называется корнем кратности l, если данный многочлен делится на (x − c)l, но не делится на (x − c)l+1Теорема 11.2.3. Если число c служит l–кратным корнем многочлена P и l > 1,то число c служит (l − 1)–кратным корнем производной многочлена P . Если c —простой корень многочлена P , то число c не является корнем производной P′Известно, что над полем действительных чисел R не всякий многочлен имеет корни. Оказывается, поле комплексных чисел обладает следующим замечательным свойством.Теорема 11.2.4 (основная теорема алгебры многочленов). Всякий многочленP (x), степень которого не меньше 1, имеет хотя бы один корень, в общем случае комплексный.– 385 – Эта теорема является одним из крупнейших достижений алгебры девятнадцатого века и имеет многочисленные приложения в самых различных областях математики.Применяя эту теорему последовательно, легко получить такое утверждение.1   ...   30   31   32   33   34   35   36   37   ...   43

Пусть в системе (11.6.1) число уравнений совпадает с числом неизвестных, т.е.n = s. Рассмотрим матрицу A для этого случая и обозначим через d определитель этой матрицы.Теорема 11.6.1 (правило Крамера). Если d 6= 0, то система (11.6.1) имеет единственное решение c1, c2, . . . , c n, определяемое по формулам cj=d jd,j = 1, . . . , n,где d j— определитель матрицы, получающейся из матрицы A заменой j-го столб- ца столбцом из свободных членов b1, . . . , b nЕсли d = 0, а хотя бы один из определителей d jне равен нулю, то система(11.6.1) несовместна.11.7. Операции над матрицамиНапомним, что матрицей A порядка m × n называется прямоугольная таблица чиселA =a11a12. . . a1n a21a22. . . a2n am1a m2. . . a mn .Элементы матрицы a ik являются вещественными или комплексными числами. Мат- рицу A мы будем обозначать также ka ik k, где i указывает номер столбца, а k — номер строки.Если m = n, т.е. матрица A квадратная, то определитель матрицы A мы будем обозначать |A| или det A.Определение 11.7.1. Квадратная матрица, у которой все элементы, располо- женные вне главной диагонали, равны 0, называется диагональной.– 401 – 11.7.1. Сумма матриц. Определим основные операции над матрицами: сложе- ние матриц, умножение матрицы на число и умножение матриц.Пусть величины y1, y2, . . . , y mвыражаются через величины x1, x2, . . . , x nпри по- мощи преобразования yi=nXk=1a ik xk,i = 1, 2, . . . , m,(11.7.1)а величины z1, z2, . . . , z mвыражаются через x1, x2, . . . , x nс помощью преобразования zi=nXk=1b ik xk,i = 1, 2, . . . , m.Тогда очевидно, что yi+ z i=nXk=1(a ik+ b ik)x k,i = 1, 2, . . . , m.В соответствии с этим вводитсяОпределение 11.7.2. Суммой двух прямоугольных матриц A = ka ik k и B =kb ik k одинаковых размеров m×n называется матрица C = kc ik k, элементы которой равны cik= a ik+ b ik,i = 1, 2, . . . , m; k = 1, 2, . . . , n,и обозначается так:C = A + B.Из свойств чисел получаем, что сложение матриц обладает следующими свой- ствами:1) A + B = B + A — коммутативность;2) (A + B) + C = A + (B + C) — ассоциативность;3) нулевым элементом является матрица O, целиком составленная из нулей, A +O = O + A = A;4) противоположной матрицей −A для матрицы A является матрица k − a ik k,тогда A + (−A) = O.Так что обычным образом можно определить вычитание матриц A − B = A +(−B).11.7.2. Умножение матрицы на число. Умножим в преобразовании (11.7.1)все величины y1, y2, . . . , y mна некоторое число α, тогдаαy i=nXk=1(αa ik)x k,i = 1, 2, . . . , m.В соответствии с этим имеемОпределение 11.7.3. Произведением матрицы A = ka ik k на число α называет- ся матрица C = kc ik k, элементы которой имеют вид cik= αa ik,i = 1, 2, . . . , m, k = 1, 2, . . . , n.Обозначается это так: C = αA.– 402 – Из свойств произведения чисел получаем следующие свойства произведения мат- рицы на число:1) α(A + B) = αA + αB;2) (α + β)A = αA + βA;3) (αβ)A = α(βA);4) αO = O.11.7.3. Произведение матриц. Пусть теперь величины z1, z2, . . . , z qвыража- ются через величины y1, y2, . . . , y mс помощью преобразования zj=mXi=1b ji yi,j = 1, 2, . . . , q,а величины y1, y2, . . . , y mвыражаются через x1, x2, . . . , x nпреобразованием (11.7.1).Тогда zj=mXi=1b ji nXk=1a ik!==nXk=1mXi=1b ji aik!x k,j = 1, 2, . . . , q.В соответствии с этим имеет местоОпределение 11.7.4. Произведением двух матрицB =b11b12. . . b1m b21b22. . . b2m bq1b q2. . . b qm ,A =a11a12. . . a1n a21a22. . . a2n am1a m2. . . a mnназывается матрицаC =c11c12. . . c1n c21c22. . . c2n cq1c q2. . . c qn ,элементы которой равны cjk=mXi=1b ji aik,j = 1, 2, . . . , q, k = 1, 2, . . . , n.Обозначается это произведение какC = BA.Таким образом, произведение матриц определено, если число столбцов первого множителя равно числу строк второго множителя. В частности, если матрицы квад- ратные, то их размеры должны совпадать.Нетрудно проверить справедливость следующих свойств произведения матриц:1) (AB)C = A(BC) — ассоциативность умножения;2) A(B +C) = AB +BC, (A+B)C = AC +BC — дистрибутивность умножения.В общем, операция умножения некоммутативна даже для квадратных матриц.Пример 11.7.1. Найти произведение матриц1 2 3 4 2 03 −1,2 03 −1 1 2 3 4– 403 – Решение. Имеем1 2 3 4 2 03 −1=8−2 18 −4,2 03 −1 1 2 3 4=2 4 0 2Если же выполняется равенство AB = BA, то матрицы A и B называются пере- становочными или коммутирующими.11.7.4. Обратная матрица. Рассмотрим теперь класс квадратных матриц по- рядка n × n и определим понятия единичной матрицы и обратной матрицы.Определение 11.7.5. Единичной матрицей E называется диагональная мат- рица, у которой все элементы, стоящие на главной диагонали, равны 1, т.е.E =1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 0 0 . . . 1 .Очевидно, что для любой квадратной матрицы A выполнено равенство AE =EA = A.Определение 11.7.6. Квадратная матрица A называется особенной или вы- рожденной, если |A| = 0. Если же определитель |A| 6= 0, то матрица A называется неособенной или невырожденной.Пусть матрица A = ka ik k, i, k = 1, 2, . . . , n, является невырожденной. Введем преобразование yi=nXk=1a ik xk,i = 1, 2, . . . , n.(11.7.2)Рассматривая равенства (11.7.2) как уравнения относительно x1, x2, . . . , x nи за- мечая, что по условию определитель этой системы отличен от нуля, мы (по правилуКрамера) можем однозначно выразить величины x iчерез величины y k, а именно:x i=1|A|a11. . . a1,i−1y1a1,i+1. . . a1n a21. . . a2,i−1y2a2,i+1. . . a2n an1. . . a n,i−1y na n,i+1. . . a nn==nXk=1a(−1)ik yk,i = 1, 2, . . . , n.Таким образом, мы получили "обратное" преобразование для преобразования(11.7.2).Определение 11.7.7. Матрица из коэффициентов этого преобразованияA−1= ka(−1)ik kназывается обратной матрицей для матрицы A.– 404 – Коэффициенты обратной матрицы легко выписываются:a(−1)ik=Aki|A|,i, k = 1, 2, . . . , n,где Aki— алгебраические дополнения элементов a ki в матрице A.Пользуясь свойствами определителя, получим, чтоA−1A = A A−1= E.Теорема 11.7.1. Если A и B — квадратные матрицы одного порядка, то|AB| = |A| |B|.В частности, определители взаимно обратных матриц есть взаимно обратные числа.11.8. Прямые на плоскости и в пространстве11.8.1. Векторная алгебра в R3. Напомним некоторые понятия векторной ал- гебры в R3. Во множестве векторов введены операции суммы векторов и умножения на (вещественное) число.Определение 11.8.1. Линейной комбинацией векторов a1, . . . , a nназывается выражение видаα1a1+ · · · + αn an,(11.8.1)где α1, . . . , αn— произвольные вещественные числа.Определение 11.8.2. Векторы a1, . . . , a nназываются линейно зависимыми, ес- ли найдутся вещественные числа α1, . . . , αn, из которых хотя бы одно отлично от нуля, такие, что линейная комбинация этих векторов (вида (11.8.1)) является нулевым вектором.Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независи- мыми.Если в набор векторов входит нулевой вектор 0, то такой набор является линейно зависимым.Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов слу- жит их колинеарность.Необходимое и достаточное условие линейной зависимости трех векторов — их компланарность.Напомним, что скалярным произведением двух векторов a, b считается число,равное произведению их длин и косинуса угла ϕ между ними:a · b = ab = |a| · |b| · cos ϕ.Можно дать другое, эквивалентное данному, определение скалярного произведе- ния.Определение 11.8.3. Скалярное произведение двух векторов — это число, рав- ное произведению длины одного из этих векторов на проекцию другого на ось, опре- деляемую первым вектором.Если векторы a, b заданы своими координатами a = {x1, y1, z1}, b = {x2, y2, z2},– 405 – то скалярное произведение этих векторов примет вид ab = x1x2+ y1y2+ z1z2Важным свойством скалярного произведения является следующее тождество:aa = |a|2, показывающее, что скалярный квадрат есть квадрат длины вектора. По- этому скалярный квадрат положителен, если вектор a ненулевой.Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов служит условие равенства нулю их скалярного произведения.Рассмотрим теперь векторное произведение двух векторов.Определение 11.8.4. Тройка трех некомпланарных векторов a, b, c называ- ется правой, если выполнено одно из трех следующих условий:1) будучи приведены к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены, соответственно, большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой руки;2) если, находясь внутри телесного угла, образованного приведенными к общему началу векторами a, b, c, поворот от a к b и от него к c совершается против часовой стрелки;3) если после приведения к общему началу вектор c располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами a и b, откуда кратчайший поворот от a к b кажется совершающимся против часовой стрелки.Аналогично дается определение левой тройки векторов.Наша система координат правая, т.е. базисные векторы i, j, k образуют правую тройку.Определение 11.8.5. Векторным произведением вектора a на вектор b назы- вается вектор c, обозначаемый a × b или [a, b] и удовлетворяющий следующим тре- бованиям:1) длина вектора c равна произведению длин векторов a и b и синуса угла ϕмежду ними, т.е.|c| = |a| · |b| · sin ϕ;2) вектор c ортогонален к каждому из векторов a и b;3) вектор c направлен так, что тройка векторов a, b, c — правая.Если векторы a, b колинеарны, то вектор c = a × b равен нулю.Из определения 11.8.5 следует, что длина векторного произведения равна площа- ди параллелограмма, построенного на векторах a и b, если они приведены к общему началу.Отметим также, что при перестановке сомножителей в векторном произведении знак этого произведения меняется на противоположный.Определение 11.8.6. Смешанным произведением трех векторов a, b, c назы- вается число (a ×b)c, другими словами, это число, равное скалярному произведению вектора a × b на вектор c.Основным свойством смешанного произведения является то, что оно есть объ- ем параллелепипеда, который построен на векторах a, b, c, приведенных к общему началу. Этот объем берется со знаком "+" , если векторы a, b, c образуют правую тройку, и со знаком "−" , если векторы a, b, c образуют левую тройку. Если векторы a, b, c компланарны, то их смешанное произведение равно нулю.– 406 – Полезны формулы, выражающие векторное и смешанное произведения в декар- товых координатах.Пусть a = {x1, y1, z1}, b = {x2, y2, z2}, c = {x3, y3, z3},тогда a × b = {y1z2− y2z1, z1x2− z2x1, x1y2− x2y1} ==i jk x1y1z1x2y2z2,а(a × b)c =x1y1z1x2y2z2x3y3z3Как следствия из этих формул получаем, что векторы a и b колинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны, т.е.x1x2=y1y2=z1z2В свою очередь три вектора — a, b, c — компланарны тогда и только тогда, когда определитель x1y1z1x2y2z2x3y3z3= 0.11.8.2. Прямые на плоскости. Рассмотрим теперь различные способы зада- ния прямой на плоскости.Общее уравнение прямой имеет вид ax + by + c = 0.Здесь вектор {a, b} является вектором, ортогональным к этой прямой.Как частные случаи получаем при c = 0 уравнение прямой, проходящей через начало координат,ax + by = 0,при a = 0 — уравнение прямой, параллельной оси OX,by + c = 0,при b = 0 — уравнение прямой, параллельной оси OY ,ax + c = 0.Уравнение прямой в отрезках xa+y b= 1.Здесь a и b равны величине отрезков, отсекаемых данной прямой на осях координат.Если известны точка (x0, y0), через которую проходит прямая, и вектор {a, b},ортогональный прямой, то уравнение прямой примет вид a(x − x0) + b(y − y0) = 0.– 407 – Если известны точка (x0, y0), через которую проходит прямая, и вектор {l, m},параллельный прямой, то уравнение прямой примет вид x − x0l=y − y0m(11.8.2)Уравнение (11.8.2) называется каноническим уравнением прямой.Из канонического уравнения легко получается параметрическое уравнение пря- мой:x = x0+ lt,y = y0+ mt,t ∈ (−∞, +∞).Рассмотрим прямую, не параллельную оси OX, тогда ее уравнение можно запи- сать как y = kx + b,где k — угловой коэффициент, численно равный тангенсу угла наклона этой прямой к оси OX.И наконец, уравнение прямой, проходящей через данную точку (x0, y0) с данным угловым коэффициентом k, имеет вид y − y0= k(x − x0).Различные способы задания прямых используются при решении различных задач на прямую линию. Рассмотрим некоторые из них.Нахождение угла между прямыми. Если две прямые L1и L2заданы общими уравнениями a1x + b1y + c1= 0,a2x + b2y + c2= 0соответственно, то из свойств скалярного произведения следует, что косинус угла ϕмежду прямыми равен cos ϕ =a1a2+ b1b2p a2 1+ b2 1·p a2 2+ b2 2В частности, условие параллельности этих прямых примет вид a1a2=b1b2,а условие перпендикулярности —a1a2+ b1b2= 0.Расстояние d от точки (x1, y1) до прямой ax + by + c = 0вычисляется по формуле d =|ax1+ by1+ c|√a2+ b2– 408 – 11.8.3. Плоскости и прямые в пространстве. По аналогии с уравнением прямой на плоскости мы можем классифицировать уравнения плоскости в простран- стве следующим образом.Общее уравнение плоскости имеет вид ax + by + cz + d = 0,где вектор {a, b, c} ортогонален этой плоскости.Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку (x0, y0, z0) и перпенди- кулярной заданному вектору {a, b, c}, примет вид a(x − x0) + b(y − y0) + c(z − z0) = 0.Уравнение плоскости в отрезках дается формулой xa+y b+z c= 1,здесь a, b, c — величины отрезков, отсекаемых этой плоскостью на осях координат.Прямая линия в пространстве задается двумя линейными уравнениями a1x + b1y + c1z + d1= 0,a2x + b2y + c2z + d2= 0,причем векторы {a1, b1, c1} и {a2, b2, c2} должны быть линейно независимыми для того, чтобы плоскости, определяемые данными уравнениями, пересекались.Отсюда нетрудно получить канонические уравнения прямой x − x0l=y − y0m=z − z0n,где (x0, y0, z0) — точка, через которую данная прямая проходит, а вектор {l, m, n} —вектор, параллельный прямой.Параметрические уравнения прямой (при тех же обозначениях) имеют вид x = x0+ lt,y = y0+ mt,z = z0+ nt,t ∈ (−∞, +∞).Важными уравнениями являются уравнения прямой, проходящей через две за- данных точки (x0, y0, z0) и (x1, y1, z1) :x − x0x1− x0=y − y0y1− y0=z − z0z1− z0С помощью различных типов уравнений можно решать различные задачи на пря- мые и плоскости в пространстве. Рассмотрим некоторые из них.Расстояние p от точки (x0, y0, z0) до плоскости ax + by + cz + d = 0определяется формулой p =|ax0+ by0+ cz0+ d|√a2+ b2+ c2Угол ϕ между прямыми, заданными каноническими уравнениями x − x1l1=y − y1m1=z − z1n1,– 409 – x − x2l2=y − y2m2=z − z2n2,находят по формуле cos ϕ =l1l2+ m1m2+ n1n2p l2 1+ m2 1+ n2 1·p l2 2+ m2 2+ n2 2Как следствие, получаем, что условие параллельности прямых примет вид l1l2=m1m2=n1n2,а условие перпендикулярности —l1l2+ m1m2+ n1n2= 0.11.9. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли11.9.1. Векторное пространство Rn. В школьном курсе математики обычно имеют дело с векторами, заданными или на плоскости, или в пространстве. Рассмот- рим векторы, заданные в RnПо определению, это пространство состоит из упорядоченных наборов n веще- ственных чисел a = (a1, a2, . . . , a n),a1, a2, . . . , a n∈ R.(11.9.1)Выражение (11.9.1) называется n-мерным вектором. Определим операции над векторами. Если a — вектор вида (11.9.1), а b = (b1, b2, . . . , b n),то суммой векторов a и b называется вектор c вида c = a + b = (a1+ b1, a2+ b2, . . . , a n+ b n).Произведение вектора a на число λ ∈ R определяется так:λa = (λa1, λa2, . . . , λa n).Из свойств вещественных чисел нетрудно получить следующие свойства операций над векторами:1) a + b = b + a — коммутативность сложения;2) (a + b) + c = a + (b + c) — ассоциативность сложения;3) вектор 0 = (0, 0, . . . , 0) является нулевым вектором, т.е. a + 0 = 0 + a = a;4) для данного вектора a вида (11.9.1) вектор −a = (−1)a является противопо- ложным вектором, т.е. a + (−a) = (−a) + a = 0;5) λ(a + b) = λa + λb;6) (λ + µ)a = λa + µa;7) 1 · a = a;8) λ · 0 = 0.Совокупность n-мерных векторов с введенными операциями сложения и умноже- ния на число образует n–мерное векторное пространство RnВ дальнейшем мы рассмотрим более общие линейные (векторные) пространства,чем RnВведем важные понятия линейной зависимости и линейной независимости векто- ров из Rn– 410 – Определение 11.9.1. Система векторов a1, a2, . . . , a mназывается линейно за- висимой, если существуют такие вещественные числа λ1, λ2, . . . , λm, не равные од- новременно нулю, чтоλ1a1+ λ2a2+ . . . + λm am= 0.(11.9.2)Выражение, стоящее в левой части формулы (11.9.2), называется линейной ком- бинацией векторов.Определение 11.9.2. Система векторов a1, a2, . . . , a mназывается линейно независимой, если из того, что линейная комбинация этих векторов обращается в нульλ1a1+ λ2a2+ . . . + λm am= 0,следует, что все числа λ1, λ2, . . . , λm обращаются в 0.Другое, эквивалентное данному, определение линейной зависимости векторов можно дать так. Система векторов a1, a2, . . . , a mлинейно зависима, если хотя бы один вектор из этой системы является линейной комбинацией остальных векторов.Если в систему векторов входит нулевой вектор, то такая система векторов всегда линейно зависима.В пространстве Rn существует система из n линейно независимых векторов. На- пример,e1= (1, 0, 0, . . . , 0),e2= (0, 1, 0, . . . , 0),e3= (0, 0, 1, . . . , 0),e n= (0, 0, 0, . . . , 1).Теорема 11.9.1. В пространстве Rn всякая система из m векторов при m > n линейно зависима. Любая линейно независимая система содержит не более чем n векторов.Определение 11.9.3. Система линейно независимых векторов называется максимальной, если добавление к ней любого другого вектора делает систему ли- нейно зависимой.Система векторов e1, e2, . . . , e nявляется максимальной линейно независимой си- стемой.Всякая линейно независимая система векторов в Rn может быть дополнена до максимальной линейно независимой системы. Более того, справедливо следующее утверждение.Теорема 11.9.2. Если в Rn даны две системы векторов a1, a2, . . . , a m(11.9.3)и b1, b2, . . . , b s,(11.9.4)причем система (11.9.3) линейно независима, а каждый вектор из (11.9.4) явля- ется линейной комбинацией векторов системы (11.9.3), то выполнено неравенство m 6 s.Следствие 11.9.1. Максимальные линейно независимые системы векторов вRn имеют одинаковое число векторов n, и любой другой вектор является линейной комбинацией векторов максимальной системы.– 411 – Определение 11.9.4. Максимальная линейно независимая система векторов называется базисом пространства RnОпределение 11.9.5. Пусть дана некоторая система векторов вида (11.9.3).Рангом системы (11.9.3) называется число векторов, образующих максимальную линейно независимую подсистему системы (11.9.3).Из теоремы 11.9.2 следует, что ранг системы векторов определяется однозначно,так как все максимальные линейно независимые подсистемы данной системы имеют одинаковую размерность.11.9.2. Ранг матрицы. Дадим определение ранга произвольной прямоуголь- ной матрицы A видаA =a11a12. . . a1n a21a22. . . a2n am1a m2. . . a mn .(11.9.5)Столбцы этой матрицы могут рассматриваться как m-мерные векторы в RmОпределение 11.9.6. Ранг системы векторов, состоящей из столбцов матри- цы A, называется рангом матрицы A.Конечно, такую же процедуру нахождения ранга системы можно проделать и со строчками матрицы A. Справедливы утверждения.Теорема 11.9.3. Ранг матрицы A вида (11.9.5) равен рангу системы векторов,составленной из строчек A.Теорема 11.9.4 (о ранге матрицы). Ранг матрицы A равен порядку наибольшего по размерности минора A, отличного от нуля.Как следствие, для квадратной матрицы получаем, что если определитель этой матрицы равен нулю, то между столбцами (и между строками) существует линейная зависимость.11.9.3. Теорема Кронекера-Капелли. Теорема о ранге позволяет полностью исследовать вопрос о решении системы линейных уравнений. Рассмотрим следую- щую систему уравнений:a11x1+ a12x2+ . . . + a1n xn= b1,a21x1+ a22x2+ . . . + a2n xn= b2,a m1x1+ a m2x2+ . . . + a mn xn= b m(11.9.6)Здесь x1, x2, . . . , x n— неизвестные, все остальные числа даны. Рассмотрим мат- рицу A, составленную их коэффициентов системы (11.9.6), т.е.A =a11a12. . . a1n a21a22. . . a2n am1a m2. . . a mn ,– 412 – и расширенную матрицу системы (11.9.6)A =a11a12. . . a1n b1a21a22. . . a2n b2a m1a m2. . . a mn bm .Размерность матрицы A равна m×n, а размерность матрицы A равна m×(n+1).Теорема 11.9.5 (Кронекер-Капелли). Система уравнений вида (11.9.6) сов- местна тогда и только тогда, когда ранг матрицы A равен рангу расширенной матрицы A.Как следствие, получаем утверждение.Следствие 11.9.2. Совместная система уравнений вида (11.9.6) тогда и толь- ко тогда имеет единственное решение, когда ранг матрицы A равен числу неиз- вестных.Пример 11.9.1. Решить систему уравнений:5x1− x2+ 2x3+x4= 7,2x1+x2+ 4x3− 2x4= 1,x1− 3x2− 6x3+ 5x4= 0.Решение. Ранг матрицы из коэффициентов равен 2: минор второго порядка, сто- ящий в левом верхнем углу этой матрицы, отличен от нуля, а все миноры третьего порядка равны нулю (если мы из первой строки данной матрицы вычтем вторую,умноженную на 2, то получим третью строку).Ранг расширенной матрицы равен 3, так как минор вида5 −1 7 21 11 −3 0= −35 6= 0.Следовательно, система несовместна.Применим теорему Кронекера–Капелли для исследования однородной системы линейных уравненийa11x1+ a12x2+ . . . + a1n xn= 0,a21x1+ a22x2+ . . . + a2n xn= 0,a m1x1+ a m2x2+ . . . + a mn xn= 0.(11.9.7)Пусть матрица A из коэффициентов системы (11.9.7) имеет ранг r. Если r = n, то система (11.9.7) имеет единственное нулевое решение. Если r < n, то система имеет решения, отличные от нулевого.Обозначим множество решений однородной системы через N. Это множество об- ладает следующими свойствами:1) если вектора x и y принадлежат N, то и вектор x + y принадлежит N;2) если вектор x принадлежит N, то для любого числа λ вектор λx тоже принад- лежит N.Таким образом, N является подпространством пространства RnОпределение 11.9.7. Максимальная линейно независимая система векторов из N называется фундаментальной системой решений системы (11.9.7).– 413 – Ее размерность (т.е. размерность подпространства N) равна n − r.Наконец, чтобы найти все решения неоднородной системы (11.9.6), нужно про- делать следующее: найти фундаментальную систему векторов подпространства Nрешений однородной системы (11.9.7) и хотя бы одно решение x неоднородной си- стемы. Тогда любое другое решение неоднородной системы (11.9.6) является суммой вектора x и линейной комбинации векторов из фундаментальной системы решений однородного уравнения (11.9.7).11.10. Кривые второго порядка11.10.1. Эллипс. Рассмотрим классические кривые второго порядка.Определение 11.10.1. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1и F2этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.Oa bF1F2MРис 11.10.1. ЭллипсОчевидно, что если фокусы совпадают, то эллипс представляет собой окружность.Для вывода канонического уравнения эллипса выберем начало координат в се- редине отрезка F1F2, ось OX направим по отрезку F1F2. Пусть координаты точекF1, F2будут, соответственно, (−c, 0) и (c, 0), c > 0. Обозначим через 2a расстояние,о котором говорится в определении, тогда a > c. Пусть точка M(x, y) — текущая точка эллипса, тогда по условиюF1M + F2M = 2a.– 414 – Отсюда получаем p(x + c)2+ y2+p(x − c)2+ y2= 2a.Возводя данное равенство в квадрат и преобразуя его, получим каноническое уравнение эллипса x2a2+y2b2= 1,(11.10.1)где b2= a2− c2Нетрудно также показать, что любая точка M(x, y), координаты которой удовле- творяют уравнению (11.10.1), лежит на эллипсе (рис. 11.10.1).Отметим некоторые свойства эллипса. Эллипс имеет две взаимно перпендику- лярные оси симметрии (называемые главными осями эллипса) и центр симметрии.В случае канонического задания главными осями служат оси координат, а центром эллипса — начало координат.Весь эллипс содержится внутри прямоугольника |x| 6 a, |y| 6 b.Эллипс может быть получен путем равномерного сжатия окружности.Определение 11.10.2. Эксцентриситетом эллипса называется величина e,равная caДля эллипса его эксцентриситет меньше 1 (для окружности он равен нулю).Определение 11.10.3. Директрисой Di эллипса, отвечающей фокусу Fi, i =1, 2, называется прямая, проведенная перпендикулярно большей оси на расстоянии ae от его центра.11.10.2. Гипербола. Аналогичным образом определяется гипербола.Определение 11.10.4. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фик- сированных точек F1и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная.Введем такую же систему координат, как в случае эллипса, для вывода канони- ческого уравнения гиперболы. Обозначим через 2a постоянную, о которой говорится в определении гиперболы, тогда a < c. Пусть M(x, y) — текущая точка гиперболы.Имеем|F1M − F2M | = 2a.Отсюда p(x + c)2+ y2−p(x − c)2+ y2 = 2a.Преобразуя данное уравнение, получаем каноническое уравнение гиперболы x2a2−y2b2= 1,где b2= c2− a2(рис. 11.10.2).Свойства гиперболы таковы. Гипербола имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (называемые главными осями гиперболы) и центр симметрии. При этом одна из этих осей пересекается с гиперболой в двух точках, называемых вершина- ми гиперболы. Эта ось называется действительной осью гиперболы. Другая ось не имеет общих точек с гиперболой и поэтому называется мнимой осью.Таким образом, мнимая ось делит плоскость на две части, в которых располага- ются симметрично этой оси правая и левая ветви гиперболы.– 415 – Если гипербола задана своим каноническим уравнением, то действительная ось— это ось OX, а мнимая — OY .Фокусы гиперболы располагаются на ее действительной оси.Гипербола имеет две наклонные асимптоты. В случае канонического задания это прямые y =b ax,y = −b ax.Определение 11.10.5. Эксцентриситетом гиперболы называется величина e,равная caOF1F2MРис 11.10.2. ГиперболаДля гиперболы эксцентриситет больше 1.Определение 11.10.6. Директрисой Di гиперболы, отвечающей фокусу Fi, i =1, 2, называется прямая, проведенная перпендикулярно большей оси на расстоянии ae от его центра.11.10.3. Парабола. Тетья классическая кривая — это парабола.Определение 11.10.7. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, также располо- женной в рассматриваемой плоскости.Указанная в определении точка F называется фокусом параболы, а фиксирован- ная прямая — директрисой параболы.– 416 – Для вывода канонического уравнения параболы выберем начало координат в се- редине перпендикуляра F D, опущенного из фокуса на директрису, ось OX проведем по отрезку F D. Координаты точки F обозначим через (p/2, 0), а координаты точкиD — через (−p/2, 0), p > 0.Если M(x, y) — текущая точка параболы, то из определения имеем rx −p22+ y2=p2+ x.Преобразуя данное уравнение, получаем каноническое уравнение параболы y2= 2px(рис. 11.10.3).ODFMРис 11.10.3. ПараболаПарабола имеет ось симметрии, называемую осью параболы. Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы.В случае канонического задания осью параболы служит ось OX, а вершиной —начало координат.Вся парабола расположена в правой полуплоскости, директриса имеет уравнение y = −p2 11.10.4. Классификация кривых второго порядка. Рассмотрим теперь произвольное уравнение второго порядка на плоскости a11x2+ 2a12xy + a22y2+ 2a13x + 2a23y + a33= 0.(11.10.2)– 417 – Прежде всего, параллельным переносом можно добиться того, что коэффициен- ты при x и y обратятся в нуль. При этом коэффициенты при старших степенях не изменятся. Изменится только свободный член. Итак, имеем уравнение a11x2+ 2a12xy + a22y2+ a33= 0.(11.10.3)Инвариантом уравнения (11.10.2) называется такая функция от коэффициентов уравнения, которая не меняется при переходе к другой декартовой системе коорди- нат.Теорема 11.10.1. ВеличиныI1= a11+ a22,I2=a11a12a12a22 ,I3=a11a12a13a12a22a23a13a23a33являются инвариантами уравнения (11.10.2) относительно преобразования декар- товой системы координат.В зависимости от знака инварианта I2кривые второго порядка делятся на сле- дующие типы:1) эллиптический, если I2> 0;2) гиперболический, если I2< 0;3) параболический, если I2= 0.Для кривой (11.10.3) начало координат служит центром симметрии. Таким обра- зом, кривая второго порядка всегда центрально симметрична. Этот центр симметрии называется центром кривой.Он может быть один, тогда кривая называется центральной.Можно показать, что кривые эллиптического и гиперболического типов и только они являются центральными.В дальнейшем будем считать, что инвариант I1>0. Этого всегда можно добиться умножением уравнения (11.10.2) на −1.Теорема 11.10.2. Пусть уравнение (11.10.2) есть уравнение эллиптического типа и I1>0. Тогда если I3< 0, то уравнение (11.10.2) представляет собой эл- липс, если I3= 0, то уравнению (11.10.2) удовлетворяют координаты только одной точки (вырожденный эллипс), если I3> 0, то уравнение (11.10.2) не имеет реше- ний (мнимый эллипс).Теорема 11.10.3. Если уравнение (11.10.2) есть уравнение гиперболического типа, то при I3 6= 0 оно представляет собой гиперболу, а при I3= 0 — пару пере- секающихся прямых (вырожденный случай).Теорема 11.10.4. Уравнение (11.10.2) параболического типа при I3 6= 0 пред- ставляет собой параболу, а при I3= 0 — либо пару действительных параллельных прямых, либо пару мнимых параллельных прямых.11.11. Элементы дифференциальной геометрииРассмотрим некоторые вопросы, связанные с кривой. Докажем предварительно две полезные леммы.– 418 – Лемма 11.11.1. Пусть векторная функция r = r(t) имеет производную в точ- ке t0. Если длина вектора r(t) постоянна в некоторой окрестности точки t0, то вектор r′(t0) ортогонален вектору r(t0), т.е.r′(t0) · r(t0) = 0.(11.11.1)Доказательство леммы следует из соотношения r2(t) ≡ c и правила дифферен- цирования скалярного квадрата.2Физическая интерпретация этой леммы состоит в том, что у материальной точки,движущейся так, что она все время остается на поверхности сферы, ее скорость направлена по касательной к сфере и, следовательно, перпендикулярна радиусу–вектору.Пусть теперь вектор–функция r = r(t) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки t0, причем r(t) 6= 0 в этой окрестности. Пусть точка t = t0+ ∆t также принадлежит этой окрестности для всех достаточно малых ∆t. Угол ϕ = ϕ(t)есть угол между векторами r(t0) и r(t), |ϕ| 6 π. Будем считать, что ϕ(t) > 0 для∆t > 0 и ϕ(t) 6 0 при ∆t < 0. В точке t0для приращения ∆ϕ функции ϕ имеем∆ϕ = ϕ(t) − ϕ(t0) = ϕ(t),поэтому всегда∆ϕ∆t>0.Определение 11.11.1. Производная dϕ(t0)dt называется угловой скоростью вра- щения векторной функции r(t) в точке t0и обозначается ω = ω(t0) = ω(t0, r(t)).Заметим, что если выбрать противоположный отсчет углов, т.е. определить уголϕ между векторами r(t) и r(t0) как угол ψ = −ϕ, то очевидно, что dψdt6 0,ω(t0) =dϕdt= −dψdt=dψdtТаким образом, всегдаω(t0) =dϕdtЛемма 11.11.2. Пусть векторная функция r = r(t) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки t0и r(t0) 6= 0. Тогда, если в точке t0существует производная r′(t0), в этой точке существует угловая скорость вращения ω = ω(t0),и она равнаω =1r2(t0)|r(t0) × r′(t0)| .(11.11.2)Следствие 11.11.1. Если в дополнение к условиям леммы длина вектора r(t)постоянна в некоторой окрестности точки t0, тоω =|r′(t)||r(t)|Доказательство. Так как длина вектора r(t) постоянна и r(t) 6= 0, то по фор- муле (11.11.1) угол ψ между векторами r(t) и r′(t) равен ±π2. Поэтому | sin ψ| = 1.Следовательно,|r(t) × r′(t)| = |r(t)| · |r′(t)|.Отсюда и из формулы (11.11.2) получаем требуемое.2– 419 – Рассмотрим дважды дифференцируемую кривую γ без особых точек. Такая кри- вая спрямляема, и у нее существует параметризация r = r(s), в которой за параметр принята переменная длина дуги s. Пусть s0∈ [0, S], ∆s = s−s0, S — длина кривой, аα = α(s) — угол между касательными к кривой γ в точках r(s0) и r(s0+ ∆s). Причем будем считать, что α(s) > 0 для ∆s > 0 и α(s) 6 0 для ∆s < 0, |α| 6π2Пусть теперь t(s) =dr(s)ds. Как было показано в § 4.8 (следствие 4.8.1), t(s) служит единичным вектором, параллельным касательной к кривой в соответствующей точке.Поэтому угол ∆α = α(s) − α(s0) = α(s) является и углом между векторами t(s0) иt(s0+ ∆s).Определение 11.11.2. Угловая скорость вращения касательного единичного вектора t =dr ds в данной точке кривой называется кривизной k(s0) кривой в этой точке:k(s0) = ω(s0, t(s)) =dα(s0)dsКривая дважды дифференцируема, поэтому существует производная dt ds=d2r ds2,а так как вектор t — единичный, то из следствия 11.11.1 имеем k =dt ds =d2r ds2(11.11.3)Определение 11.11.3. Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны в данной точке и обозначается R, т.е. R = 1/k.Пример 11.11.1. Пусть γ — окружность радиуса R. Найти ее кривизну.Решение. В этом случае угол ∆α между касательными равен углу, образованно- му радиусами, проведенными в точку касания, а для длины дуги ∆s между этими точками справедлива формула∆s = R∆α.Поэтому∆α∆s =1R. Тогда и k = lim∆s→0∆α∆s =1RТаким образом, в случае окружности ее кривизна k постоянна и равна величине,обратной радиусу. Отсюда и произошел термин "радиус кривизны".Обозначим через n единичный вектор в направлении вектора dt ds. Из формулы(11.11.3) следует, что вектор n однозначно определен лишь в тех точках кривой, в которых кривизна не равна нулю. И в этих точках dt ds= k n.(11.11.4)Вектор t — единичный, поэтому его производная, а следовательно, и вектор n перпендикулярны ему.Определение 11.11.4. Вектор n называется вектором главной нормали (коро- че — главной нормалью) к кривой γ в данной ее точке.– 420 – Теорема 11.11.1. Пусть γ — дважды гладкая кривая (т.е. дважды непрерывно дифференцируемая кривая без особых точек) с произвольной параметризацией r =r(t), t ∈ [a, b]. Тогда в каждой ее точке существует кривизна k и вычисляется по следующей формуле:k =|r′× r′′||r′|3(11.11.5)От формулы (11.11.5) легко перейти к выражению для кривизны в координатной записи:k =p(y′z′′− z′y′′)2+ (z′x′′− x′z′′)2+ (x′y′′− y′x′′)2((x′)2+ (y′)2+ (z′)2)3/2(11.11.6)Рассмотрим некоторые свойства вектора главной нормали n.Определение 11.11.5. Всякая прямая, проходящая через точку кривой и пер- пендикулярная касательной в этой точке, называется нормалью к кривой в данной точке. Нормаль к кривой, параллельная вектору n, называется главной нормалью.Определение 11.11.6. Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль, называется соприкасающейся плоскостью.Найдем уравнение этой плоскости для кривой, заданной с помощью произволь- ной параметризации (как в теореме 11.11.1). Дифференцируя r = r(t) как сложную функцию r = r(s), s = s(t), получим из (11.11.4)r′=dr ds s′= s′t,r′′= (s′)2dt ds+ s′′t = (s′)2k n + s′′t.(11.11.7)Отсюда следует, что векторы r′и r′′также параллельны соприкасающейся плоскости и при k 6= 0 произведение r′× r′′6= 0. Поэтому r′и r′′не колинеарны. Обозначаяr0= r(t0), r′0= r′(t0), r′′0= r′′(t0), а r — текущий вектор соприкасающейся плоскости,имеем уравнение((r − r0) × r′0)r′′0= 0.Расписывая данное смешанное произведение покоординатно, получим x − x0y − y0z − z0x′0y′0z′0x′′0y′′0z′′0= 0.(11.11.8)Это и есть уравнение соприкасающейся плоскости.Определение 11.11.7. Точка в пространстве, лежащая на главной нормали,проведенной в данной точке к кривой, и находящаяся от этой точки кривой на рас- стоянии R в направлении вектора главной нормали n, называется центром кри- визны кривой в указанной ее точке.Таким образом, если ρ — радиус–вектор центра кривизны, а r, как обычно,радиус–вектор данной точки кривой, тоρ = r + R n илиρ = r +1k2·d2r ds2(11.11.9)– 421 – Нетрудно также получить выражение для ρ через произвольную параметриза- цию кривой. Эту формулу можно также рассматривать как представление некото- рой кривой, точками которой являются центры кривизны данной кривой. Эта кривая называется эволютой данной кривой.Все сказанное, конечно, справедливо и для плоских кривых. Нужно только заме- тить, что если кривая лежит на плоскости, то касательный вектор t и вектор главной нормали лежат в той же плоскости. Запишем некоторые формулы для случая плос- кой кривой γ с параметризацией r = r(t) = (x(t), y(t)), t ∈ [a, b].Из формулы (11.11.6) получаем k =1R=|x′y′′− y′x′′|((x′)2+ (y′)2)3/2Обозначая через (ξ, η) центр кривизны, из (11.11.9) имеемξ = x + R2d2x ds2,η = y + R2d2y ds2Вычисляя производные по s через производные по t, получаемξ = x − y′(x′)2+ (y′)2x′y′′− y′x′′,η = y + x(x′)2+ (y′)2x′y′′− y′x′′(11.11.10)В случае, когда кривая является графиком функции y = y(x), из формул (11.11.9)и (11.11.10) имеем k =|y′′|(1 + (y′)2)3/2,(11.11.11)ξ = x − y′1 + (y′)2y′′,η = y +1 + (y′)2y′′(11.11.12)Пример 11.11.2. Найти кривизну и эволюту параболы y = ax2, a > 0(рис. 11.11.1).Решение. Из формулы (11.11.11) имеем k =2a(1 + 4a2x2)3/2,а формула (11.11.12) даетξ = −4a2x3,η =6a2x2+ 1 2aOРис 11.11.1. Эволюта и эвольвента– 422 – Эта кривая является полукубической параболой.Определение 11.11.8. Если γ — плоская кривая с эволютой γ1, то сама криваяγ по отношению к своей эволюте называется эвольвентой.Отметим следующие свойства эволюты и эвольвенты:1) нормаль к эвольвенте является касательной к эволюте;2) приращение длины дуги эволюты равно приращению радиуса кривизны эволь- венты.Эти свойства имеют изящную механическую интерпретацию. Представим себе,что на кривую γ1от точки P0до точки P натянута гибкая нерастяжимая нить,закрепленная в точке P0. Если сматывать ее с кривой γ1, то ее конец опишет кривуюγ.Таким образом, эвольвента кривой γ1получается как бы развертыванием данной кривой, поэтому эвольвенту кривой называют также ее разверткой.11.12. Линейные пространстваПонятие n-мерного пространства Rn, данное в §11.9, начиналось с n-мерного век- тора как упорядоченной системы n вещественных чисел. Примерами векторов слу- жат направленные отрезки на плоскости или в трехмерном пространстве. Однако не обязательно задавать векторы их координатами, так как операции над векторами определяются геометрически. Целесообразно и в общем случае дать "бескоординат- ное" определение векторов. Сейчас оно будет дано аксиоматически: в нем ничего не будет сказано о свойствах отдельного вектора, но будут перечислены свойства,которыми должны обладать операции над векторами. Также совсем не обязательно рассматривать конечно мерные пространства.Пусть дано непустое множество V . Его элементы будем обозначать малыми ла- тинскими буквами a, b, c, . . . . Пусть в этом множестве V определены операция сло- жения, ставящая в соответствие каждой паре элементов a, b, однозначно опреде- ленный элемент a + b, называемый их суммой, и операция умножения на число,ставящее в соответствие числу α и элементу a ∈ V элемент αa ∈ V , называемый произведением элемента a на число α.Определение 11.12.1. Элементы множества V называются векторами, а са- мо множество V — линейным (или векторным, или аффинным) пространством,если указанные операции обладают следующими свойствами:1) сложение коммутативно, a + b = b + a для любых векторов a, b ∈ V ;2) сложение ассоциативно, (a+b)+c = a+(b+c) для любых элементов a, b, c ∈ V ;3) в V существует нулевой элемент 0, удовлетворяющий условию a+0 = 0+a =a для любого a ∈ V ;4) для всякого элемента a ∈ V существует противоположный элемент −a ∈ V ,удовлетворяющий условию a + (−a) = (−a) + a = 0;5) для любых векторов a, b ∈ V и любых чисел α, β имеют место свойстваα(a + b) = αa + αb;6) (α + β)a = αa + βa;7) (αβ)a = α(βa);8) 1 · a = a.Если в качестве множества чисел берется множество всех вещественных чисел, то V называется вещественным (действительным) линейным простран- ством.– 423 – Если в качестве множества чисел рассматривается множество всех комплекс- ных чисел, то V называется комплексным линейным пространством.Можно определять линейные пространства над другими числовыми множествами(например, рациональными числами).Как правило, будем иметь дело с вещественными линейными пространствами,но все дальнейшие рассуждения справедливы и для комплексных линейных про- странств.Примером вещественного линейного пространства является пространство Rn. Его размерность конечна и равна n.Пример 11.12.1. Рассмотрим бесконечномерное пространство V . В качестве эле- ментов a этого пространства возьмем всевозможные последовательности веществен- ных чисел a = (α1, α2, . . . , αn, . . .).Операции над последовательностями будем производить покомпонентно: если b = (β1, β2, . . . , βn, . . .),то a + b = (α1+ β1, α2+ β2, . . . , αn+ βn, . . .),аγa = (γα1, γα2, . . . , γαn, . . .).Очевидно, что введенные таким образом операции превращают V в векторное про- странство (выполнены все аксиомы 1)–8)).Это пространство бесконечномерно, так как в нем можно указать бесконечную систему векторов, любая конечная подсистема которой линейно независима. Напри- мер,e1= (1, 0, . . . , 0, . . .),e2= (0, 1, . . . , 0, . . .),e n= (0, 0, . . . , 1, . . .),Из аксиом 1)–8) нетрудно вывести следующие свойства: единственность нулевого элемента, единственность противоположного элемента, существование и единствен- ность разности двух векторов a и b и т.д.Определим важное понятие изоморфизма двух линейных пространств V и V′Определение 11.12.2. Два действительных линейных пространства V и V′называются изоморфными, если между ними установлено взаимно однозначное со- ответствие — всякому вектору a ∈ V сопоставлен однозначно вектор a′∈ V′, при- чем разным векторам из V соответствуют разные векторы из V′, и всякий вектор из V′служит образом некоторого вектора из V . И это соответствие обладает следующими свойствами: образом суммы двух векторов служит сумма образов(a + b)′= a′+ b′,а образом произведения вектора на число служит произведение образа этого век- тора на то же число(αa)′= αa′– 424 – Понятия линейной комбинации векторов, линейной зависимости и линейной неза- висимости системы векторов дословно переносятся со случая Rn(см. §11.9) на общий случай.Отметим следующее свойство: если линейные пространства V и V′изоморфны,то система векторов a1, a2, . . . , a mиз V линейно зависима тогда и только тогда, когда линейно зависима система их образов a′1, a′2, . . . , a′nОпределение 11.12.3. Если в линейном пространстве нет максимальной ли- нейно независимой системы векторов, тогда пространство V называется беско- нечномерным.Определение 11.12.4. Если в V существует максимальная линейно независи- мая система векторов, то такое пространство называется конечномерным, раз- мерностью пространства называется число векторов в этой максимально линейно независимой системе, а сама такая система называется базисом (или базой) про- странства V .В дальнейшем в этом параграфе будем рассматривать конечномерные простран- ства, для изучения бесконечномерных пространств обычно привлекаются средства анализа (сходимость последовательностей элементов, топология этих пространств)(см. параграф ниже).Пусть линейное пространство V имеет базу e1, e2, . . . , e n. Тогда любой вектор a ∈V является линейной комбинацией векторов базы, т.е.a = α1e1+ α2e2+ . . . + αn en(11.12.1)для некоторых вещественных чисел α1, α2, . . . , αnВ силу линейной независимости векторов базы, разложение (11.12.1) — однознач- но.Поставим в соответствие каждому вектору a ∈ V элемент пространства Rn, опре- деляемый разложением (11.12.1), т.е.a → (α1, α2, . . . , αn).Нетрудно показать, что это соответствие определяет изоморфизм пространств Vи Rn. Тогда свойства пространства Rn переносятся на V . Сформулируем их.Теорема 11.12.1. Все базы конечномерного пространства V состоят из оди- накового числа векторов, обозначим его n. Всякая система из n + 1 вектора в Vлинейно зависима. Всякая линейно независимая система векторов из V может быть дополнена до некоторой базы этого пространства.Посмотрим сейчас, как связаны между собой различные базы пространства V .Пусть заданы две базы в V :e1, e2, . . . , e n(11.12.2)и e′1, e′2, . . . , e′n(11.12.3)Каждый вектор базы (11.12.3) однозначно разлагается по элементам (11.12.2):e′i=nXj=1τij ej,i = 1, 2, . . . , n.– 425 – Квадратная матрицаT =τ11τ12. . . τ1nτ21τ22. . . τ2nτn1τn2. . . τnn ,строками которой служат коэффициенты разложения элементов базы (11.12.3) через базу (11.12.2), называется матрицей перехода от базы (11.12.2) к базе (11.12.3).Связь между базами можно записать в матричной форме e′= T e,где e (соответственно, e′) — вектор–столбец, составленный из элементов базы(11.12.2) (соответственно, из элементов базы (11.12.3)).С другой стороны, можно написать матрицу перехода от базы (11.12.3) к базе(11.12.2):e = T′e′Тогда получим e = (T′T )e иe′= (T T′)e′Отсюда (в силу линейной независимости элементов базы) имеемT T′= T′T = E,где E, как обычно, единичная матрица.Таким образом,T′= T−1,следовательно, матрица перехода невырождена.Нетрудно показать и обратное: всякая невырожденная матрица задает матри- цу перехода от базиса (11.12.2) к новой системе векторов, которая также является базисом.Рассмотрим базы (11.12.2) и (11.12.3), тогда произвольный вектор a ∈ V разлага- ется по элементам этих баз. Найдем связь между его разложениями в разных базах.Пусть a =nXj=1αj ej иa =nXi=1α′i e′iПодставляя вместо e′i его разложение через базу (11.12.2), получим матричное ра- венство(α1, α2, . . . , αn) = (α′1, α′2, . . . , α′n)T.Таким образом, справедливо свойство: строка координат вектора a в базе (11.12.2)равна строке координат этого вектора в базе (11.12.3), умноженного справа на мат- рицу перехода T .– 426 – 11.13. Линейные преобразованияПусть задано преобразование ϕ линейного пространства V , т.е. отображение, пе- реводящее каждый вектор a из V в некоторый вектор a′этого же пространства:ϕ : V → V.Образ вектора a при отображении ϕ будем обозначать не как обычно ϕ(a) илиϕa, а через aϕ.Определение 11.13.1. Преобразование ϕ называется линейным, если(a + b)ϕ = aϕ + bϕ,a, b ∈ Vи(αa)ϕ = α(aϕ),α ∈ R, a ∈ V.Из определения сразу получаем, что линейное преобразование переводит линей- ную комбинацию векторов в линейную комбинацию их образов с теми же числовыми коэффициентами.Теорема 11.13.1. Для любого линейного преобразования ϕ нулевой вектор оста- ется неподвижным, т.е.0ϕ = 0,а образом противоположного вектора a служит вектор, противоположный образу,т.е.(−a)ϕ = −(aϕ).Тождественное преобразование ε определяется так:aε = a,a ∈ V.Нулевое преобразование ω есть следующее:aω = 0,a ∈ V.Посмотрим, как можно представить произвольное линейное преобразование в некотором базисе e1, e2, . . . , e nконечномерного действительного линейного простран- ства VnТак как всякий вектор a однозначно представим в виде линейной комбинации базисных векторов, то, в силу свойств линейного преобразования, образ вектора a с теми же коэффициентами выражается через образы базисных векторов. Иными сло- вами, всякое линейное преобразование ϕ однозначно определяется заданием образов e1ϕ, e2ϕ, . . . , e nϕ базисных векторов.Теорема 11.13.2. Какова бы ни была упорядоченная система векторов c1, c2, . . . , c nв пространстве Vn, существует и притом единственное линейное преобразованиеϕ, такое, что eiϕ = c i,i = 1, 2, . . . , n.Доказательство. Это преобразование ϕ строится очень просто: если вектор a =nXi=1αi ei,– 427 – то aϕ =nXi=1αi ciНетрудно показать единственность этого преобразования и его линейность.2Всякий вектор c iобладает определенным разложением по базисным векторам ci=nXj=1αij ej,i = 1, 2, . . . , n.Из координат векторов c iможно составить матрицуA =α11α12. . . α1nα21α22. . . α2nαn1αn2. . . αnn .(11.13.1)Так как система векторов c1, c2, . . . , c nбыла произвольной, то и матрица A будет произвольной.Итак, из теоремы 11.13.2 получаем, что между квадратными матрицами порядка n и линейными преобразованиями пространства Vn существует взаимно однозначное соответствие.Определение 11.13.2. Будем говорить, что матрица A вида (11.13.1) явля- ется матрицей линейного преобразования ϕ в базе e1, e2, . . . , e nМатрица нулевого преобразования ω есть нулевая матрица O в любом базисе.Матрица тождественного преобразования ε есть единичная матрица E в любом ба- зисе.Если через e обозначить вектор–столбец из базисных векторов, а через eϕ —вектор–столбец из их образов, то имеем матричное равенство eϕ = Ae.(11.13.2)Пусть вектор a имеет следующее разложение по базисным векторам:a =nXi=1αi ei,тогда его образ примет вид aϕ =nXi=1αi(e iϕ).Используя (11.13.2), получим aϕ = [(α1, α2, . . . .αn)A] e.Таким образом, строка координат вектора aϕ равна строке координат вектора a,умноженной справа на матрицу A линейного преобразования ϕ.Посмотрим, как связаны матрицы линейного преобразования в разных базах.Пусть даны две базы e и e′с матрицей перехода T :e′= T e,(11.13.3)а линейное преобразование ϕ задается в этих базах матрицами A и A′, т.е.eϕ = Ae,e′ϕ = A′e′– 428 – Подставляя (11.13.3) во второе из этих равенств, получим(T e)ϕ = A′(T e).С другой стороны,(T e)ϕ = T (eϕ),поэтому(T e)ϕ = T (eϕ) = T (Ae) = (T A)e,A′(T e) = (A′T )e.Сравнивая последние равенства и используя свойство единственности разложения по базе, получаемT A = A′T,отсюдаA′= T AT−1,A = T−1A′T.Определение 11.13.3. Квадратные матрицы B и C одного порядка называют- ся подобными, если они связаны равенствомC = Q−1BQ,где Q — некоторая невырожденная матрица.Нами доказано утверждение.Теорема 11.13.3. Матрицы, задающие одно и то же линейное преобразование в разных базах, подобны между собой.Зафиксируем в пространстве Vn некоторую базу e. Нами было получено взаим- но однозначное соответствие между линейными преобразованиями и квадратными матрицами. Посмотрим, как связаны операции над матрицами и над линейными пре- образованиями.Пусть заданы два линейных преобразования ϕ и ψ. Назовем суммой этих преоб- разований преобразование ϕ + ψ, определяемое следующим образом:a(ϕ + ψ) = aϕ + aψ,a ∈ VnОчевидно, что ϕ + ψ — линейное преобразование.Назовем произведением линейных преобразований преобразование ϕψ:a(ϕψ) = (aϕ)ψ.Таким образом, произведение — это композиция отображений ϕ и ψ. Оно также является линейным преобразованием.Наконец, назовем произведением линейного преобразования ϕ на число λ линейное преобразование λϕ следующего вида:a(λϕ) = λ(aϕ),a ∈ VnНетрудно понять, что оно также линейно.Теорема 11.13.4. Матрица суммы линейных преобразований равна сумме мат- риц этих преобразований. Матрица произведения линейных преобразований равна произведению матриц данных преобразований. Матрица произведения линейного преобразования на число равна матрице этого преобразования, умноженной на дан- ное число.– 429 – 11.14. Собственные числа и собственные значения11.14.1. Линейные подпространства. Подмножество L векторов из линейно- го пространства V называется линейным подпространством этого пространства,если оно само является линейным пространством относительно операций, введенных в V .Для того чтобы L было линейным подпространством V , достаточно выполнения следующих условий:1) если векторы a и b лежат в L, то их сумма a + b также лежит в L;2) если вектор a принадлежит L, то для любого числа α вектор αa принадлежитL.Примерами линейных подпространств служат: само пространство V , нулевое под- пространство, т.е. подмножество, состоящее из одного нулевого элемента.Более интересен следующий пример: берем в V произвольную конечную систему векторов a1, a2, . . . , a k(11.14.1)и обозначаем через L всевозможные линейные комбинации этих векторов. Тогда L— подпространство V . В этом случае говорят, что L порождено системой (11.14.1).Размерность этого подпространства равна числу линейно независимых векторов системы (11.14.1), в частности, оно конечномерно.В конечномерном пространстве V любое его подпространство конечномерно, т.е.порождено конечной системой векторов вида (11.14.1). Причем для любого числа k, меньшего размерности пространства, найдется подпространство L размерности k.Для этого достаточно рассмотреть подпространство, порожденное k линейно неза- висимыми векторами.Пусть в V заданы два подпространства L1и L2. Тогда их пересечение L1∩ L2само образует подпространство. Для объединения это, вообще говоря, не так. Вместо объединения обычно рассматривают сумму подпространств L1+ L2По определению, сумма подпространств L1+ L2состоит из всех векторов вида a + b,a ∈ L1, b ∈ L21   ...   33   34   35   36   37   38   39   40   ...   43


Бесселя (11.18.7) переходит в точное равенство (равенство Парсеваля)
kak
2
=
∞
X
n=1
c
2
n
(11.18.8)
Теорема 11.18.4. Если ортонормированная система {ψ
n
}, n = 1, 2, . . . , явля- ется полной по норме пространства E, то для любого элемента a ∈ E ряд Фурье этого элемента сходится к нему по норме пространства E, т.е.
lim n→∞
ka −
n
X
k=1
c k
ψ
k k = 0.
Теорему 11.18.3 примем без доказательства. Теорема же 11.18.4 является ее след- ствием. Действительно, так же, как в теореме 6.16.1, можно показать, что ka −
n
X
k=1
c k
ψ
k k
2
= kak
2
−
n
X
k=1
c
2
k
(11.18.9)
Из равенства (11.18.9) с учетом формулы (11.18.8) при n → ∞ и получается необходимый результат.
2
Определение 11.18.10. Система элементов {ψ
n
}, n = 1, 2, . . . , называется за- мкнутой, если кроме нулевого элемента евклидова пространства E не существует никакого другого a ∈ E, такого, что a ортогонален всем элементам системы {ψ
n
},
n = 1, 2, . . . .
Теорема 11.18.5. Всякая полная ортонормированная система является за- мкнутой.
Доказательство. Пусть система {ψ
n
}, n = 1, 2, . . . полная, и пусть элемент a ∈ E
ортогонален всем элементам {ψ
n
}, n = 1, 2, . . . . Отсюда немедленно следует, что a = 0. Действительно,
c n
= (a, ψ
n
) = 0,
n = 1, 2, . . . ,
и из равенства Парсеваля (11.18.8) получаем, что kak = 0.
Аксиома а) нормы (см. определение 11.18.1) влечет, что a = 0.
2
Можно, наконец, отметить, что из замкнутости системы {ψ
n
} не следует в общем случае ее полнота. Для того, чтобы это было так нужно, чтобы само пространство было полным евклидовым пространством.
Теорема 11.18.6. Пусть E — полное евклидово пространство, а {ψ
1
, . . . , ψ
n
, . . .
— полная ортонормированная система элементов в нем. Тогда для любой последова- тельности (c
1
, . . . , c n
. . .) ∈ l
2
существует элемент a ∈ E такой, что c n
являются коэффициентами Фурье элемента a по данной ортонормальной системе и ряд Фу- рье элемента a сходится к a по норме E.
Так как для, кроме того, для таких систем выполнено равенство Парсеваля, то мы получаем важное следствие.
Следствие 11.18.4. Полные сепарабельные евклидовы пространства изоморфны между собой и изоморфны l
2
– 456 –

11.18.7. Линейные функционалы. Теорема Хана-Банаха. Пусть V — дей- ствительное (комплексное) линейное пространство.
Определение 11.18.11. Если каждому элементу a ∈ V поставлено в соответ- ствие действительное (комплексное) число f (a), то говорят, что на V определен функционал f .
Определение 11.18.12. Функционал f называется линейным, если f (αa + βb) = α · f(a) + β · f(b) для всех a, b ∈ V
и для всех чисел
α, β.
Ясно, что для линейного функционала f(0) = 0 и что множество элементов a ∈ V ,
для которых f(a) = 0 образуют линейное подпространство. Это подпространство называется ядром функционала f.
Пусть теперь V — линейное нормированное пространство.
Определение 11.18.13. Функционал f называется непрерывным в точке a ∈ V ,
если f (a n
) → f(a) для всякой последовательности a n
→ a при n → ∞.
Определение 11.18.14. Функционал f называется линейным непрерывным, ес- ли он является одновременно линейным и непрерывным.
Очевидно, для линейного функционала из непрерывности его в одной точке (на- пример, в точке 0) следует непрерывность во всех точках V .
Определение 11.18.15. Линейный функционал f называется ограниченным на
V , если существует такое неотрицательное число c, что для всех a ∈ V
|f(a)| 6 ckak.
Определение 11.18.16. Наименьшее из чисел c, удовлетворяющих последне- му неравенству, называется нормой функционала f и обозначается kfk. Поэтому справедлива формула kfk = sup a∈V \{0}
|f(a)|
kak
= sup kak=1
|f(a)|.
Теорема 11.18.7. Линейный функционал f непрерывен на V тогда и только тогда, когда f ограничен на V .
Если V — конечномерное пространство, то любой линейный функционал на V
является непрерывным, так как он определяется по его значениям на конечном мно- жестве элементов какой-либо базы из V .
Пусть L — линейное подпространство V и f — линейный функционал на L.
Определение 11.18.17. Линейный функционал F на V называется продолже- нием линейного функционала f , если F (a) = f (a) для всех a ∈ L.
Фундаментальным для функционального анализа является следующее утвержде- ние.
Теорема 11.18.8 (Хан-Банах). Если f — линейный непрерывный функцтонал на линейном подпространстве L ⊂ V с нормой kfk, то существует непрерывный линейный функционал F на V , являющийся продолжением f на все V и такой, что kF k = kfk.
– 457 –

Следствие 11.18.5. Для любого ненулевого элемента a
0
∈ V пространства V
существует линейный непрерывный функционал f на V , для которого kfk = 1 и f (a
0
) = ka
0
k.
Приведем примеры линейных непрерывных функционалов.
Пример 11.18.9. Рассмотрим линейное нормированное пространство l
1
(при- мер 11.18.2). Показать, что функционал f(a) = α
k
, если a = (α
1
, . . . , α
n
, . . .), сопо- стовляющий элементу a его k-ю координату является линейным непрерывным, а его норма равна 1.
Решение. Очевидно.
Упражнение 11.18.2. Более общим примером является следующий: пусть d =
(γ
1
, . . . , γ
n
, . . .) — ограниченная числовая последовательность, тогда функционал f
d
(a) =
∞
X
n=1
γ
n
α
n является линейным непрерывным на l
1
. Его норма равна sup n∈N
|γ
n
|.
В функциональном анализе показано, что любой линейный непрерывный функ- ционал на l
1
имеет рассмотренный вид.
Пример 11.18.10. Рассмотрим линейное нормированное пространство C[a, b]
(пример 11.18.1). Показать, что линейный функционал f(ϕ) = ϕ(x
0
), сопостовля- ющий каждой функции ϕ ∈ C[a, b] ее значение в точке x
0
∈ [a, b], является линейным непрерывным функционалом с нормой kfk = 1.
Решение. Очевидно.
Пример 11.18.11. Еще одним примером линейного непрерывного функционала на C[a, b] является следующий: пусть ψ ∈ C[a, b], определим функционал f
ψ
так f
ψ
(ϕ) =
b
Z
a
ψ(t)ϕ(t) dt.
Показать, что функционал f
ψ
является линейным непрерывным на C[a, b] и его норма kf
ψ
k = sup x∈[a,b]
|ψ(x)|.
Решение. Очевидно.
– 458 –

Литература
[1] Грауэрт Г., Либ И., Фишер В. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Мир,
1971.
[2] Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука,
1972.
[3] Заманский М. Введение в современную алгебру и анализ. – М.: Наука, 1974.
[4] Зорич В.А. Математический анализ. – М.: Наука, 1981. – Т. 1, 2.
[5] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1968.
[6] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1974.
[7] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. – М.: Наука, 1973. – Т. 1, 2.
[8] Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. – М.: Мир, 1971.
[9] Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. –
М.: Физматлит, 2006.
[10] Кострикин А.И. Введение в алгебру. – М.: Физматлит, 2004.
[11] Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. – М.: Высш. шк., 1989. – Т. 1, 2, 3.
[12] Кудрявцев Л.Д., Кутасов А.Д., Чехлов В.И., Шабунин М.И. Сборник задач по мате- матическому анализу.
– М.: Физматлит, 2003. – Т. 1, 2, 3.
[13] Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Наука, 1970. – Т. 1, 2.
[14] Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Лань, 2007.
[15] Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. – М.: Лань, 2009.
[16] Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Физматлит, 2001. – Т. 1, 2.
[17] Рудин У. Основы математического анализа. – М.: Мир, 1973.
[18] Фаддеев Д.К., Соминский И.С. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1963.
[19] Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Наука, 1966.
– Т. 1, 2, 3.
[20] Шварц Л. Анализ. – М.: Мир, 1972. – Т. 1, 2.
[21] Шилов Г.Е. Математический анализ. – М.: Наука, 1969. – Т. 1, 2, 3.
459

Предметный указатель
Асимптота 95
вертикальная 95
горизонтальная 95
наклонная 95
База (базис) 408
Бета-функция 317
Бином 9
Ньютона 9
Вектор 402
нормированный 432
собственный 429
Выпуклость функции 92
вверх 92
вниз 92
Гамма-функция 317
Гипербола 412
главные оси 413
директриса 413
каноническое уравнение 413
фокусы 413
эксцентриситет 413
Градиент 231
Граница 14
верхняя 14
точная 14
множества 257
нижняя 14
точная 14
Дивергенция 366
Дифференциал 58
второго порядка 71
первого порядка 58
инвариантность формы 66
n
-го порядка 71
полный 227
Дифференцируемость несобственного интеграла 300
собственного интеграла 289
функции в точке 57
слева 58
справа 58
Длина кривой 141
отрезка 15
Дробь десятичная 10
непериодическая 11
периодическая 10
Зависимость функций 250
достаточное условие 251
необходимое условие 250
Индукция 7
полная математическая 8
Интеграл 120
верхний 122
Дирихле 304
двойной 259
зависящий от параметра 287
несобственный 295
собственный 287
кратный 258
криволинейный 324
второго рода 331
первого рода 324
"неберущийся" 117
неопределенный 101
несобственный 131
абсолютно сходящийся 135
главное значение 286
кратный 283
по неограниченному промежутку 131
от неограниченной функции 131
условно сходящийся 136
нижний 122
определенный 120
от дифференциальной формы 378
по цепи 377
поверхностный 354
второго рода 358
первого рода 354
повторный 267
Римана 120
с переменным верхним пределом 127
тройной 259
Фурье 310
Эйлера-Пуассона 307
эллиптический 118
Интегрирование дифференциальных биномов 111 460
дробно-линейных иррациональностей 110
иррациональных функций 110
квадратичных иррациональностей
(подстановки Эйлера) 112
по частям 105, 130
простейших рациональных дробей 108-109
рациональных функций 107
с помощью замены переменной 105, 129
в кратном интеграле 273
трансцендентных функций 115
тригонометрических функций
(универсальная подстановка) 113
Интегрируемость функции 120
критерий 123
Дарбу 123
Римана 123
на отрезке 120
монотонной 124
необходимое условие 121
непрерывной 123
по измеримому множеству с конечным числом точек разрыва 124
Интервал 15
Касательная плоскость 351
прямая 59
угол наклона 60
уравнение 59
Квантор 7
всеобщности 7
существования 7
Класс элементарных функций 26
Коэффициенты биномиальные 9
Тейлора 82
Фурье 192
Кривая 138
второго порядка 414
гладкая 140
жорданова 138
замкнутая 138
непрерывно дифференцируемая 141
неспрямляемая 141
параметрически заданная 138
простая 138
замкнутая 139
спрямляемая 141
Кривизна 417
радиус 417
центр 418
Критерий
Коши сходимости несобственного интеграла
131-132
сходимости ряда 179
сходимости функционального ряда 173
сходимости функциональной последовательности 173
существования предела последовательности 25
существования предела функции 42
Сильвестра 442
Масса кривой 326
плоской фигуры 282
тела 282
Матрица 398
вырожденная (особая) 401
диагональная 398
единичная 401
квадратная 398
невырожденная (неособая) 401
нулевая 400
обратная 401
ортогональная 434
прямоугольная 398
ранг 409
симметрическая 436
сложение 399
умножение 399
на число 399
характеристическая 428
Якоби 248
Мера Жордана 257
внешняя 257
внутренняя 257
Метод
Гаусса 398
множителей Лагранжа 254
Остроградского 109
рационализации 110
Чезаро 202
Модуль вектора 217
комплексного числа 381
Момент статический 151
Многочлен 28
корень 189
Тейлора 80
Множество 5
включение 5
декартово произведение 6
дополнение 6
замкнутое 219
квадрируемое 145
компактное 219
кубируемое 147
образ 18
объединение 5
ограниченное 13
сверху 13
снизу 13
– 461 –
открытое 218
пересечение 5
1   ...   35   36   37   38   39   40   41   42   43
производное 17
прообраз 18
пустое 5
равенство 5
разность 5
связное 218
универсальное 4
элемент 5
Непрерывность несобственного интеграла 299
собственного интеграла 289
функции в точке 45
слева 46
справа 46
функции на множестве 46
Неравенство 14
Бесселя 209
Йенсена 94
Коши-Буняковского 433
треугольника 432
Шварца 433
Норма линейного функционала 454
элемента 446
Нормаль 351
главная 417
Область 24
выпуклая 219
линейно односвязная 371
неодносвязная 347
односвязная 347
определения 24
поверхностно односвязная 371
элементарная 337, 360
Обьем 147
внешний 147
внутренний 147
Окрестность 33
проколотая 34
Оператор внешнего дифференцирования 376
Гамильтона 231
Операция 25
композиции 25
суперпозиции 25
Определитель 392
вычисление 396
Отрезок (сегмент) 15
Парабола 413
вершина 414
директриса 414
каноническое уравнение 413
ось 414
фокус 413
Первообразная 99
Перестановка 393
членов ряда 165
Плоскость 405
соприкасающаяся 418
Площадь плоской фигуры 144
верхняя 144
нижняя 144
поверхности 353
Поверхность вращения 149
гладкая 350
кусочно гладкая 350
неориентированная 358
неявно заданная 350
ориентированная 356
параметрически заданная 349
явно заданная 350
Подпоследовательность 29
Подпространство 426
линейное 426
Подстановка 393
Покрытие 21
Поле векторное 365
потенциальное 370
соленоидальное 370
скалярное 365
Последовательность 21
вложенных отрезков 15
возрастающая 27
строго 27
монотонная 27
ограниченная 23
постоянная 23
расходящаяся 22
сходящаяся 21
убывающая 27
строго 27
функциональная 169
фундаментальная (Коши) 24
Правило 103
Крамера
Лейбница 70
Лопиталя 78-79
Предел 29
двойной 223
монотонной последовательности 27
монотонной функции 44
повторный 223
последовательности 21
верхний 31
нижний 31
частичный 31
произведения 23
суммы 23
функции 33
– 462 –
бесконечный 40
второй замечательный 40
первый замечательный 38
по Гейне 35
по Коши 33
слева 40
справа 40
частного 23
Предельный переход под знаком интеграла 176
под знаком функциональной последовательности 175
Преобразование
Абеля 164
линейное 423
дефект 428
ранг 428
спектр 429
ядро 428
ортогональное 434
симметрическое 435
тождественное 423
Фурье 313
Признак равномерной сходимости несобственного интеграла
Абеля-Дирихле 297
Вейерштрасса 297
Дини 298
равномерной сходимости ряда 174
Абеля 174
Вейерштрасса 174
Дирихле 175
сходимости интеграла Фурье
Дини 311
сходимости несобственного интеграла 134
абсолютной сходимости 135
Абеля 137
Дирихле 137
сравнения 134
сходимости ряда
Абеля 163
абсолютной сходимости 151
Вейерштрасса 158
Даламбера 159
Дирихле 164
интегральный (Коши-Маклорена) 162
Коши 159
Лейбница 163
необходимый 156
сравнения 157
сходимости ряда Фурье
Дини 201
Липшица 201
Принцип
Архимеда 15
Больцано-Вейерштрасса 17
Бореля-Лебега о покрытии 16
Кантора о вложенных отрезках 15
полной математической индукции 8
Приращение 57
аргумента 57
функции 57
полное 225
Произведение векторов векторное 403
скалярное 403
смешанное 403
Производная 57
второго порядка 102
левосторонняя 59
обратной функции 66
правосторонняя 59
разности 63
параметрически заданной функции 67
по направлению 230
произведения 64
сложной функции 65
суммы 63
частного 64
элементарной функции 69
частная 225
n
-го порядка 69
Пространство банахово 448
векторное 420
евклидово 430
линейное 420
размерность 422
нормированное 446
полное 448
Прямая 402
в пространстве 405
на плоскости 404
Равенство
Парсеваля 210
Разбиение отрезка 120
диаметр (мелкость) 120
плоскости 143
пространства 147
Ротор (вихрь) 367
Ряд 154
гармонический 156
Маклорена 184
расходящийся 154
степенной 179
промежуток сходимости 180
радиус сходимости 180
сходящийся 154
абсолютно 156
поточечно 171
равномерно 172
условно 163
– 463 –

Смотрите также файлы