ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 08.11.2023
Просмотров: 502
Скачиваний: 4
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
,
n ∈ N.
– 9 –
Для доказательства этой формулы используется принцип полной математической индукции.
Как следствие, из формулы бинома Ньютона получаем следующие соотношения:
(x + a)
2
= x
2
+ 2xa + a
2
,
(x + a)
3
= x
3
+ 3x
2
a + 3xa
2
+ a
3
,
(x + a)
4
= x
4
+ 4x
3
a + 6x
2
a
2
+ 4xa
3
+ a
4 1.3. Вещественные числа
1.3.1. Рациональные числа. Ранее уже рассматривалось множество N =
{1, 2, . . . } всех натуральных, т.е. целых положительных чисел, а также множество
Z
= {. . . , −2, −1, 0, 1, . . . } целых чисел.
Определение 1.3.1. Числа вида ±
p q
, где p > 0, q > 0 целые, называются раци- ональными. Множество таких чисел обозначается Q.
Известно, как сравниваются рациональные числа
p
1
q
1
<
p
2
q
2
и как определяются четыре арифметических действия над ними.
В практических вычислениях вполне достаточно оперировать только рациональ- ными числами. Но, например, для точного (теоретического) выражения длины гипо- тенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными 1, рациональных чисел не достаточно. Другими словами,
√
2 не есть рациональное число, что было известно еще Пифагору.
Теорема 1.3.1. Число
√
2 не является рациональным.
Доказательство. Пусть
√
2 = p/q, причем p/q — несократимая дробь. Тогда p
2
=
2q
2
, т.е. в разложении числа p
2
на множители есть двойка. Это означает, что и в разложении числа p на множители имеется двойка (p = 2p
1
). Тогда 2 2
p
2 1
= 2q
2
или
2p
2 1
= q
2
, что говорит уже о четности числа q, т.е. p и q — четные числа, и дробь p
q оказалась сократимой.
2
Таким образом, имеется необходимость в "новых" числах, которые далее назовем иррациональными. Покажем, как можно ввести их при помощи бесконечных деся- тичных дробей.
Теорема 1.3.2. Каждой рациональной дроби соответствует конечная или бес- конечная периодическая дробь. Каждой конечной или бесконечной периодической дроби соответствует рациональное число.
Доказательство. Пусть p/q — произвольное положительное число. Поставим ему в соответствие десятичную периодическую дробь по правилам деления "уголком":
p b
0
b
1
q
α
0
, α
1
α
2
,
где α
0
— целое неотрицательное число, а α
k
(k = 1, 2, . . . ) — цифры. Ясно, что в результате указанного процесса может получиться десятичное разложение только
– 10 –
1.3.3. Определение неравенств (отношений порядка). Пусть заданы два числа a = ±α
0
, α
1
α
2
. . . , b = ±β
0
, β
1
β
2
. . . , определяемые бесконечными десятичны- ми дробями.
Определение 1.3.5. Два числа a и b равны между собой тогда, когда их знаки одинаковы и α
k
= β
k для всех k = 0, 1, 2, . . .
Определение 1.3.6. Пусть a и b — два положительных числа. Тогда будем говорить, что a меньше b, и писать a < b (или b > a), если найдется такой индекс l, что α
k
= β
k
, k = 0, 1, . . . , l, а α
l+1
< β
l+1
Такой же принцип используется при введении знаков ">" и "<" для отрицатель- ных чисел a и b. Заметим также, что положительное число a всегда больше любого отрицательного b (a > b).
Определение 1.3.7. Для чисел a и b неравенство a 6 b означает, что либо a < b, либо a = b . Неравенство a > b эквивалентно неравенству b 6 a.
Например, 0 6 0, 1 > 0.
1.3.4. Определение арифметических операций. Для произвольного числа a = α
0
, α
1
α
2
. . . введем его n-ю срезку a
(n)
= α
0
, α
1
α
2
. . . α
n
(a
(n)
– конечная десятич- ная дробь).
Арифметические операции с конечными десятичными дробями хорошо известны.
Определим теперь операцию сложения двух положительных чисел a = α
0
, α
1
α
2
. . . ,
b = β
0
, β
1
β
2
. . . ,
т.е. сложение двух бесконечных десятичных дробей, используя их срезки.
Введем для этого последовательность чисел a
(n)
+ b
(n)
= α
0
, α
1
α
2
. . . α
n
+ β
0
, β
1
β
2
. . . β
n
=
= λ
(n)
0
, λ
(n)
1
. . . λ
(n)
n
= λ
(n)
,
n = 1, 2, . . . .
Числа λ
(n)
определяются по правилу сложения конечных десятичных дробей a
(n)
и b
(n)
. Можно доказать, что последовательность {λ
(n)
} стабилизируется (т.е. каждый разряд λ
(n)
j
, начиная с некоторого номера n j
, равен постоянному числу λ
j
, λ
(n)
j
= λ
j
)
к некоторому определенному числу λ
0
, λ
1
λ
2
. . . Это число называется суммой a + b.
Будем писать a
(n)
+ b
(n)
⇉
a + b.
Произведение, разность и частное чисел a и b определяют следующим образом:
a
(n)
· b
(n)
(n)
⇉
a · b,
a
(n)
− b
(n)
⇉
a − b
(a > b > 0 и n настолько велико, что a
(n)
− b
(n)
> 0)
a
(n)
b
(n)
(n)
⇉
a b
Замечание 1.3.1. Эти определения распространяются обычными способами на числа a и b произвольных знаков.
1.3.5. Основные свойства вещественных чисел.
– 12 –
Свойства порядка. I
1
. Каковы бы ни были два вещественных числа a и b, выпол- няется одно и только одно из соотношений: либо a < b, либо a > b, либо a = b.
I
2
. Свойство транзитивности. Если a < b и b < c, то a < c.
I
3
. Свойство плотности. Для любых вещественных чисел a и b, таких что a < b,
существует вещественное число c, удовлетворяющее соотношению a < c < b.
Свойства I
1
и I
2
вытекают непосредственно из определений знаков "=" и "<".
Докажем свойство I
3
Если положительные числа a = α
0
, α
1
α
2
. . . , b = β
0
, β
1
β
2
. . . записаны в виде бесконечных дробей и a < b, то при некотором s
0
числа α
k
= β
k
, где k 6 s
0
− 1 (если s
0
= 0, то эти равенства опускаются), α
s
0
< β
s
0
Найдется также s
1
> s
0
такое, что β
s
1
> 0 (иначе число b представля- лось бы конечной дробью). Если взять в качестве числа c десятичную дробь
α
0
, α
1
. . . α
s
0
−1
β
s
0
. . . β
s
1
−1
(β
s
1
− 1) β
s
1
+1
. . . , то очевидно, что число c удовлетворя- ет неравенствам a < c < b. Существует также рациональное число c
1
(c
1
=
α
0
, α
1
. . . α
s
0
−1
β
s
0
. . . β
s
1
), удовлетворяющее тем же неравенствам a < c
1
< b.
Легко распространить доказательство свойства I
3
на случай любых a и b.
2
Нетрудно понять, что в качестве числа c можно всегда взять число a + b
2
Свойства операций сложения и вычитания. II
1
. a + b = b + a (коммутативность сложения).
II
2
. (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения).
II
3
. a + 0 = a.
II
4
. a + (−a) = 0.
II
5
. Если a < b, то для любого c верно: a + c < b + c.
Свойства операций умножения и деления. III
1
. a · b = b · a (коммутативность умножения).
III
2
. (a · b) · c = a · (b · c) (ассоциативность умножения).
III
3
. a · 1 = a.
III
4
. a ·
1
a
= 1
(a 6= 0).
III
5
. (a + b)·c = a·c+b·c (дистрибутивность умножения относительно сложения).
III
6
. Если a < b, c > 0, то a · c < b · c.
Свойство непрерывности множества вещественных чисел.
Теорема 1.3.3. Пусть даны два непустых множества вещественных чисел X
и Y . Предположим, что для всякого числа x ∈ X и для всякого числа y ∈ Y спра- ведливо неравенство x 6 y, тогда существует вещественное число c такое, что x 6 c 6 y для всех x ∈ X и для всех y ∈ Y .
Определение 1.3.8. Число c из теоремы 1.3.3 называется сечением множеств
X и Y .
Замечание 1.3.2. Во множестве Q рациональных чисел свойство непрерыв- ности не выполняется. Например, взяв X = {x ∈ Q : x > 0, x
2
< 2} и
Y = {y > 0, y
2
> 2}, получим, что сечением данных множеств является чис- ло
√
2, которое иррационально.
1.4. Ограниченные множества. Теорема о верхней грани.
Принцип Архимеда
1.4.1. Ограниченные множества.
– 13 –
Определение 1.4.1. Говорят, что множество X ⊂ R ограничено сверху, если существует число c ∈ R такое, что x 6 c для любого x ∈ X.Число c при этом называется верхней границей множества X.
Аналогично определяются ограниченность множества снизу и нижняя граница множества X.
Определение 1.4.2. Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным.
Определение 1.4.3. Элемент a ∈ X называется наибольшим (или макси- мальным) элементом множества X ⊂ R, если x 6 a для любого элемента x ∈ X
(аналогично определяется наименьший (минимальный) элемент множества X). В
этом случае пишут a = max X
(a = min X).
Пример 1.4.1. Найти минимальные и максимальные элементы множеств
{3, 8, 9}, [1, 3] , [1, 3).
Решение.
1) X = {3, 8, 9}, 3 = min X;
9 = max X;
2) X = [1, 3],
1 = min X;
3 = max X;
3) X = [1, 3),
1 = min X;
максимального элемента в этом множестве не существует.
Лемма 1.4.1. Если максимальный (минимальный) элемент существует, то он единственный.
Доказательство проведем от противного. Пусть a = max X, b = max X и, на- пример, a < b (см. свойство I
1
). Но так как a = max X, а b ∈ X, то a > b. Это противоречие и доказывает лемму.
2
Определение 1.4.4. Число c ∈ R называется точной верхней границей множе- ства X ⊂ R, если выполнены следующие два условия:
1) любой элемент x ∈ X удовлетворяет неравенству x 6 c;
2) для любого ε > 0 существует элемент x
0
∈ X такой, что c − ε < x
0
В этом случае пишут S = sup X ("супремум" X).
Это определение говорит о том, что c наименьшая из верхних границ.
Аналогично определяется точная нижняя граница s множества X, которая обо- значается s = inf X ("инфимум" X).
Пример 1.4.2. Найти точные нижние и точные верхние границы множеств
[1, 3) , (1, 3].
Решение.
1) X = [1, 3) ,
1 = inf X,
3 = sup X;
2) X = (1, 3] ,
1 = inf X,
3 = sup X.
Для неограниченных сверху множеств X пишут sup X = +∞, а для неограничен- ных снизу множеств X пишут inf X = −∞.
Теорема 1.4.1. Всякое непустое ограниченное сверху множество X ⊂ R имеет,
и притом единственную, точную верхнюю границу.
Доказательство будет основано на свойстве непрерывности (теорема 1.3.3) мно- жества действительных чисел.
– 14 –
Рассмотрим два случая.
1. Множество X — конечно. Тогда существует наибольший элемент x
0
в X. Оче- видно, что x
0
= sup X, и в этом случае теорема доказана.
2. Множество X — бесконечно. Обозначим через Y множество всех верхних гра- ниц X. Тогда Y не пусто и справедливо неравенство x 6 y для всех x ∈ X и для всех y ∈ Y . По свойству непрерывности множества вещественных чисел (теорема 1.3.3)
существует число c являющееся сечением множеств X и Y . Поскольку x 6 c для всех x ∈ X, то c — верхняя граница для X. Поскольку c 6 y для всех y ∈ Y , то c —
наименьшая из верхних границ.
Докажем единственность c. Второе условие определения 1.4.4 можно сформули- ровать другими словами: число c есть минимальный элемент множества верхних гра- ниц, т.е. c = min Y , где Y — множество верхних границ множества X. По лемме 1.4.1
минимальный элемент единственный.
2
Замечание 1.4.1. Если теорему 1.4.1 принять за аксиому, то свойство непре- рывности действительных чисел можно доказать на основе этой аксиомы.
1.4.2. Принцип Архимеда.
Теорема 1.4.2 (принцип Архимеда). Каково бы ни было число c > 0, существу- ет натуральное n > c.
Доказательство. Если c = α
0
, α
1
α
2
. . . , то в качестве n можно взять α
0
+ 2.
2
Следствие 1.4.1. Для любого ε > 0 существует натуральное число n, такое что
1
n
< ε.
Доказательство. Пусть c =
1
ε
, тогда, используя принцип Архимеда, находим n > c =
1
ε
, т.е.
1
ε
< n. Умножая последнее неравенство на число
ε
n
(см. свойство
III
6
), получим
1
n
< ε.
2 1.5. Три принципа математического анализа
1.5.1. Принцип Кантора.
Определение 1.5.1. Пусть даны две точки a и b, a 6 b. Отрезком (сегментом или замкнутым числовым промежутком) назовем множество [a, b] = {x ∈ R : a 6
x 6 b}.
Определение 1.5.2. Пусть даны две точки a и b, a < b. Интервалом (откры- тым числовым промежутком) назовем множество (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
Определение 1.5.3. Последовательность отрезков I
1
= [a
1
, b
1
], I
2
= [a
2
, b
2
] , . . . ,
I
n
= [a n
, b n
] , . . . , называется вложенной, если выполнены включения I
n+1
⊂ I
n для всех натуральных чисел n.
Теорема 1.5.1 (принцип Кантора о вложенных отрезках). Пусть дана после- довательность вложенных друг в друга отрезков I
1
= [a
1
, b
1
], I
2
= [a
2
, b
2
] , . . . ,
I
n
= [a n
, b n
] , . . . и пусть для любого числа ε > 0 в этой последовательности отрез- ков можно найти отрезок I
n
, длина которого |I
n
| < ε (т.е. |I
n
| → 0 при n → ∞).
Тогда существует единственная точка c, принадлежащая всем этим отрезкам.
– 15 –
Доказательство. Рассмотрим два множества: множество X = {a
1
, a
2
, . . . a n
, . . .}
и множество Y = {b
1
, b
2
, . . . b n
, . . .}. Из свойства вложенности отрезков получаем, что a
n
6
b m
для любых n, m ∈ N (если бы для каких-то n, m было справедливо обратное неравенство a n
> b m
, то мы бы получили, что b n
> a n
> b m
> a m
и поэтому отрезки
I
n и I
m не пересекались бы).
Поэтому множества X, Y удовлетворяют условию теоремы 1.3.3, следовательно,
существует точка c — сечение этих множеств, т.е. a n
6
c 6 b n
. Таким образом, c принадлежит всем отрезкам I
n
Единственность точки c следует из того, что длины отрезков стремятся к нулю.
2
Если вместо отрезков рассматривать интервалы, то это свойство будет неспра- ведливо.
Пример 1.5.1. Привести пример системы вложенных интервалов с пустым пе- ресечением.
Решение. Рассмотрим последовательность вложенных интервалов J
1
= (0, 1),
J
2
=
0,
1 2
,. . . , J
n
=
0,
1
n
,. . . Тогда пересечение этих интервалов пусто.
1.5.2. Принцип Бореля-Лебега. Рассмотрим еще одно свойство веществен- ных чисел.
Определение 1.5.4. Говорят, что система множеств S = {X} покрывает множество Y , если любой y ∈ Y содержится, по крайней мере, в одном из мно- жеств X, т.е. Y ⊂ ∪X.
Теорема 1.5.2 (принцип Бореля-Лебега). В любой системе интервалов, покры- вающих отрезок [a, b], имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.
Доказательство. Пусть S = {U} есть система интервалов U, покрывающих отре- зок [a, b] = I
1
. Если I
1
нельзя покрыть конечным числом интервалов U, то поделим I
1
пополам и выберем из двух отрезков тот, который не покрывается конечным числом интервалов U. Обозначим этот отрезок I
2
. Продолжая этот процесс, получим после- довательность I
1
, I
2
, . . . , I
n
, . . . , причем длина отрезка I
n
(обозначим ее |I
n
|) равна
|I
n
| =
|I
1
|
2
n−1
. По теореме 1.5.1 о вложенных отрезках существует точка c ∈ I
n для любого n. Элемент c принадлежит также интервалу U = (α, β) из системы S. Пусть теперь ε = min (c − α, β − c) и |I
n
| < ε. Тогда I
n
⊂ (α, β). Но это противоречит тому,
что отрезок I
n нельзя покрыть системой интервалов {U}.
2
Замечание 1.5.1. Из доказательства видно, что принцип Бореля-Лебега выте- кает из принципа Кантора о вложенных отрезках. Можно показать, что принцип
Кантора является следствием теоремы 1.5.2. Такие утверждения называются эк- вивалентными.
Упражнение 1.5.1. Показать, что из системы отрезков, покрывающих некото- рый отрезок, не всегда можно выбрать конечное подпокрытие (привести пример).
1.5.3. Принцип Больцано-Вейерштрасса. Докажем еще одну теорему, эк- вивалентную свойству непрерывности множества действительных чисел. Предвари- тельно дадим несколько определений.
Определение 1.5.5. Окрестностью точки x
0
∈ R называется интервал, со- держащий эту точку; δ-окрестностью (или окрестностью радиуса δ) точки x
0
называется интервал (x
0
− δ, x
0
+ δ).
– 16 –
Например, интервал (1, 5) есть окрестность точки x
0
= 4, а интервал (3, 5) есть окрестность радиуса 1 той же точки x
0
Определение 1.5.6. Точка x
0
называется предельной точкой множества X ⊂
R
, если любая окрестность этой точки содержит бесконечное подмножество мно- жества X.
Можно сформулировать определение 1.5.6 в другой равносильной форме.
Определение 1.5.7. Точка x
0
называется предельной точкой множества X ⊂
R
, если любая окрестность этой точки содержит, по крайней мере, одну точку множества X, не совпадающую с точкой x
0
Упражнение 1.5.2. Доказать равносильность (т.е. эквивалентность) этих опре- делений.
Пример 1.5.2. Пусть X =
1
n
, где n ∈ N. Найти предельные точки этого множества.
Решение. Предельной точкой множества X является точка 0, которая для этого множества единственная.
Пример 1.5.3. Пусть множество X есть интервал (1, 3). Найти предельные точки этого множества.
Решение. Все его предельные точки образуют отрезок [1, 3].
Предельные точки отрезка дают сам этот отрезок.
Определение 1.5.8. Множество всех предельных точек множества X обозна- чается X
′
и называется производным множеством.
Теорема 1.5.3 (принцип Больцано-Вейерштрасса). Всякое бесконечное ограни- ченное числовое множество имеет, по крайней мере, одну предельную точку.
Доказательство. Пусть X — бесконечное ограниченное множество чисел из R.
Из определения ограниченности множества X следует, что X содержится в некото- ром отрезке [a, b]. Обозначим отрезок [a, b] через σ
0
и покажем, что существует, по крайней мере, одна точка x
0
∈ [a, b], которая является предельной для X. Разделим отрезок σ
0
на два равных отрезка и обозначим через σ
1
= [a
1
, b
1
] любой из них, со- держащий бесконечное подмножество чисел множества X (по крайней мере, один из них обязательно содержит такое бесконечное подмножество). Теперь σ
1
разделим на два равных отрезка и обозначим через σ
2
= [a
2
, b
2
] любой из них, содержащий бесконечное подмножество чисел множества X.
Рассуждая по индукции, получим последовательность вложенных друг в друга отрезков σ
n
= [a n
, b n
] (n = 0, 1, 2, . . . ), длины которых b − a
2
n стремятся к нулю.
Согласно принципу Кантора о вложенных отрезках (теорема 1.5.1) существует точка x
0
, принадлежащая всем σ
n
. Очевидно, что x
0
есть предельная точка множества X.
2
Если теорему Больцано-Вейерштрасса взять за аксиому, то принцип Кантора мо- жет быть доказан на основании этой аксиомы.
Таким образом, принцип Кантора о вложенных отрезках, свойство существова- ния точной верхней границы (точной нижней границы), принцип Бореля–Лебега и принцип Больцано–Вейерштрасса есть эквивалентные утверждения.
Упражнение 1.5.3. Показать, что если вместо множества вещественных чисел
R
рассмотреть множество рациональных чисел Q, то ни один из принципов выпол- няться не будет (привести соответствующие примеры).
– 17 –
n ∈ N.
– 9 –
Для доказательства этой формулы используется принцип полной математической индукции.
Как следствие, из формулы бинома Ньютона получаем следующие соотношения:
(x + a)
2
= x
2
+ 2xa + a
2
,
(x + a)
3
= x
3
+ 3x
2
a + 3xa
2
+ a
3
,
(x + a)
4
= x
4
+ 4x
3
a + 6x
2
a
2
+ 4xa
3
+ a
4 1.3. Вещественные числа
1.3.1. Рациональные числа. Ранее уже рассматривалось множество N =
{1, 2, . . . } всех натуральных, т.е. целых положительных чисел, а также множество
Z
= {. . . , −2, −1, 0, 1, . . . } целых чисел.
Определение 1.3.1. Числа вида ±
p q
, где p > 0, q > 0 целые, называются раци- ональными. Множество таких чисел обозначается Q.
Известно, как сравниваются рациональные числа
p
1
q
1
<
p
2
q
2
и как определяются четыре арифметических действия над ними.
В практических вычислениях вполне достаточно оперировать только рациональ- ными числами. Но, например, для точного (теоретического) выражения длины гипо- тенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными 1, рациональных чисел не достаточно. Другими словами,
√
2 не есть рациональное число, что было известно еще Пифагору.
Теорема 1.3.1. Число
√
2 не является рациональным.
Доказательство. Пусть
√
2 = p/q, причем p/q — несократимая дробь. Тогда p
2
=
2q
2
, т.е. в разложении числа p
2
на множители есть двойка. Это означает, что и в разложении числа p на множители имеется двойка (p = 2p
1
). Тогда 2 2
p
2 1
= 2q
2
или
2p
2 1
= q
2
, что говорит уже о четности числа q, т.е. p и q — четные числа, и дробь p
q оказалась сократимой.
2
Таким образом, имеется необходимость в "новых" числах, которые далее назовем иррациональными. Покажем, как можно ввести их при помощи бесконечных деся- тичных дробей.
Теорема 1.3.2. Каждой рациональной дроби соответствует конечная или бес- конечная периодическая дробь. Каждой конечной или бесконечной периодической дроби соответствует рациональное число.
Доказательство. Пусть p/q — произвольное положительное число. Поставим ему в соответствие десятичную периодическую дробь по правилам деления "уголком":
p b
0
b
1
q
α
0
, α
1
α
2
,
где α
0
— целое неотрицательное число, а α
k
(k = 1, 2, . . . ) — цифры. Ясно, что в результате указанного процесса может получиться десятичное разложение только
– 10 –
одного из двух следующих типов. Либо это будет конечная десятичная дробь p
q
= α
0
, α
1
α
2
. . . α
m
(α
m
> 0),
либо бесконечная, но в этом случае эта дробь будет обязательно периодической:
p q
= α
0
, α
1
α
2
. . . α
m
β
1
. . . β
k
β
1
. . . β
k
. . . = α
0
, α
1
. . . α
m
(β
1
. . . β
k
),
т.е., начиная с некоторого разряда (m + 1), возникает некоторый период β
1
. . . β
k
, где не все цифры β
j равны нулю. Периодичность дроби вытекает из того факта, что при делении ”уголком” остатки b k
< q и поэтому среди первых q из них b
0
, b
1
, . . . , b q−1
заведомо имеется два равных между собой (ведь среди целых положительных чисел,
меньших q, имеется только (q − 1) различных). Равенство же двух остатков b i
= b j
неизбежно вызовет появление периода.
Случай конечной дроби всегда можно свести к случаю бесконечной периодиче- ской дроби, полагая p
q
= α
0
, α
1
. . . α
m−1
α
m
= α
0
, α
1
. . . α
m−1
α
m
0 . . .
С другой стороны, произвольной бесконечной периодической дроби соответствует единственное рациональное число p/q, такое что процесс деления "уголком" дает именно это разложение. Произведем это сопоставление для простоты на примере:
0, 5(4) = 0, 544 . . . = 0, 5 +
4 10 2
+
4 10 3
+ · · ·
=
1 2
+
4/10 2
1 − 1/10
=
1 2
+
4 90
=
49 90
Отрицательному рациональному числу −p/q приводят в соответствие бесконеч- ное десятичное разложение, взятое со знаком (−).
2
Числу нуль естественно привести в соответствие разложение 0 = 0, 000 . . .
Следует отметить, что разным (на первый взгляд) бесконечным десятичным дро- бям может соответствовать одно число. Например, дробям 1, (0) и 0, (9) соответствует число 1.
1.3.2. Вещественные числа. Кроме периодических десятичных дробей суще- ствуют непериодические, например, 0, 1010010001 . . .
Определение 1.3.2. Иррациональным числом называется произвольная беско- нечная непериодическая дробь a = ±α
0
, α
1
α
2
α
3
. . . ,
(1.3.1)
где α
0
— целое неотрицательное число, α
k
(k = 1, 2, . . . ) — цифры.
Определение 1.3.3. Рациональные и иррациональные числа называются дей- ствительными (или вещественными) числами, и их множество обозначается че- рез R.
Определение 1.3.4. Число a, где не все α
k равны нулю, называется положи- тельным или отрицательным в зависимости от того, будет ли в (1.3.1) фигури- ровать (+) или (−). При этом (+), как обычно, будем опускать.
Действительные числа определены пока формально, так как надо определить еще арифметические операции над ними и ввести отношение порядка (<).
– 11 –
q
= α
0
, α
1
α
2
. . . α
m
(α
m
> 0),
либо бесконечная, но в этом случае эта дробь будет обязательно периодической:
p q
= α
0
, α
1
α
2
. . . α
m
β
1
. . . β
k
β
1
. . . β
k
. . . = α
0
, α
1
. . . α
m
(β
1
. . . β
k
),
т.е., начиная с некоторого разряда (m + 1), возникает некоторый период β
1
. . . β
k
, где не все цифры β
j равны нулю. Периодичность дроби вытекает из того факта, что при делении ”уголком” остатки b k
< q и поэтому среди первых q из них b
0
, b
1
, . . . , b q−1
заведомо имеется два равных между собой (ведь среди целых положительных чисел,
меньших q, имеется только (q − 1) различных). Равенство же двух остатков b i
= b j
неизбежно вызовет появление периода.
Случай конечной дроби всегда можно свести к случаю бесконечной периодиче- ской дроби, полагая p
q
= α
0
, α
1
. . . α
m−1
α
m
= α
0
, α
1
. . . α
m−1
α
m
0 . . .
С другой стороны, произвольной бесконечной периодической дроби соответствует единственное рациональное число p/q, такое что процесс деления "уголком" дает именно это разложение. Произведем это сопоставление для простоты на примере:
0, 5(4) = 0, 544 . . . = 0, 5 +
4 10 2
+
4 10 3
+ · · ·
=
1 2
+
4/10 2
1 − 1/10
=
1 2
+
4 90
=
49 90
Отрицательному рациональному числу −p/q приводят в соответствие бесконеч- ное десятичное разложение, взятое со знаком (−).
2
Числу нуль естественно привести в соответствие разложение 0 = 0, 000 . . .
Следует отметить, что разным (на первый взгляд) бесконечным десятичным дро- бям может соответствовать одно число. Например, дробям 1, (0) и 0, (9) соответствует число 1.
1.3.2. Вещественные числа. Кроме периодических десятичных дробей суще- ствуют непериодические, например, 0, 1010010001 . . .
Определение 1.3.2. Иррациональным числом называется произвольная беско- нечная непериодическая дробь a = ±α
0
, α
1
α
2
α
3
. . . ,
(1.3.1)
где α
0
— целое неотрицательное число, α
k
(k = 1, 2, . . . ) — цифры.
Определение 1.3.3. Рациональные и иррациональные числа называются дей- ствительными (или вещественными) числами, и их множество обозначается че- рез R.
Определение 1.3.4. Число a, где не все α
k равны нулю, называется положи- тельным или отрицательным в зависимости от того, будет ли в (1.3.1) фигури- ровать (+) или (−). При этом (+), как обычно, будем опускать.
Действительные числа определены пока формально, так как надо определить еще арифметические операции над ними и ввести отношение порядка (<).
– 11 –
1.3.3. Определение неравенств (отношений порядка). Пусть заданы два числа a = ±α
0
, α
1
α
2
. . . , b = ±β
0
, β
1
β
2
. . . , определяемые бесконечными десятичны- ми дробями.
Определение 1.3.5. Два числа a и b равны между собой тогда, когда их знаки одинаковы и α
k
= β
k для всех k = 0, 1, 2, . . .
Определение 1.3.6. Пусть a и b — два положительных числа. Тогда будем говорить, что a меньше b, и писать a < b (или b > a), если найдется такой индекс l, что α
k
= β
k
, k = 0, 1, . . . , l, а α
l+1
< β
l+1
Такой же принцип используется при введении знаков ">" и "<" для отрицатель- ных чисел a и b. Заметим также, что положительное число a всегда больше любого отрицательного b (a > b).
Определение 1.3.7. Для чисел a и b неравенство a 6 b означает, что либо a < b, либо a = b . Неравенство a > b эквивалентно неравенству b 6 a.
Например, 0 6 0, 1 > 0.
1.3.4. Определение арифметических операций. Для произвольного числа a = α
0
, α
1
α
2
. . . введем его n-ю срезку a
(n)
= α
0
, α
1
α
2
. . . α
n
(a
(n)
– конечная десятич- ная дробь).
Арифметические операции с конечными десятичными дробями хорошо известны.
Определим теперь операцию сложения двух положительных чисел a = α
0
, α
1
α
2
. . . ,
b = β
0
, β
1
β
2
. . . ,
т.е. сложение двух бесконечных десятичных дробей, используя их срезки.
Введем для этого последовательность чисел a
(n)
+ b
(n)
= α
0
, α
1
α
2
. . . α
n
+ β
0
, β
1
β
2
. . . β
n
=
= λ
(n)
0
, λ
(n)
1
. . . λ
(n)
n
= λ
(n)
,
n = 1, 2, . . . .
Числа λ
(n)
определяются по правилу сложения конечных десятичных дробей a
(n)
и b
(n)
. Можно доказать, что последовательность {λ
(n)
} стабилизируется (т.е. каждый разряд λ
(n)
j
, начиная с некоторого номера n j
, равен постоянному числу λ
j
, λ
(n)
j
= λ
j
)
к некоторому определенному числу λ
0
, λ
1
λ
2
. . . Это число называется суммой a + b.
Будем писать a
(n)
+ b
(n)
⇉
a + b.
Произведение, разность и частное чисел a и b определяют следующим образом:
a
(n)
· b
(n)
(n)
⇉
a · b,
a
(n)
− b
(n)
⇉
a − b
(a > b > 0 и n настолько велико, что a
(n)
− b
(n)
> 0)
a
(n)
b
(n)
(n)
⇉
a b
Замечание 1.3.1. Эти определения распространяются обычными способами на числа a и b произвольных знаков.
1.3.5. Основные свойства вещественных чисел.
– 12 –
Свойства порядка. I
1
. Каковы бы ни были два вещественных числа a и b, выпол- няется одно и только одно из соотношений: либо a < b, либо a > b, либо a = b.
I
2
. Свойство транзитивности. Если a < b и b < c, то a < c.
I
3
. Свойство плотности. Для любых вещественных чисел a и b, таких что a < b,
существует вещественное число c, удовлетворяющее соотношению a < c < b.
Свойства I
1
и I
2
вытекают непосредственно из определений знаков "=" и "<".
Докажем свойство I
3
Если положительные числа a = α
0
, α
1
α
2
. . . , b = β
0
, β
1
β
2
. . . записаны в виде бесконечных дробей и a < b, то при некотором s
0
числа α
k
= β
k
, где k 6 s
0
− 1 (если s
0
= 0, то эти равенства опускаются), α
s
0
< β
s
0
Найдется также s
1
> s
0
такое, что β
s
1
> 0 (иначе число b представля- лось бы конечной дробью). Если взять в качестве числа c десятичную дробь
α
0
, α
1
. . . α
s
0
−1
β
s
0
. . . β
s
1
−1
(β
s
1
− 1) β
s
1
+1
. . . , то очевидно, что число c удовлетворя- ет неравенствам a < c < b. Существует также рациональное число c
1
(c
1
=
α
0
, α
1
. . . α
s
0
−1
β
s
0
. . . β
s
1
), удовлетворяющее тем же неравенствам a < c
1
< b.
Легко распространить доказательство свойства I
3
на случай любых a и b.
2
Нетрудно понять, что в качестве числа c можно всегда взять число a + b
2
Свойства операций сложения и вычитания. II
1
. a + b = b + a (коммутативность сложения).
II
2
. (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения).
II
3
. a + 0 = a.
II
4
. a + (−a) = 0.
II
5
. Если a < b, то для любого c верно: a + c < b + c.
Свойства операций умножения и деления. III
1
. a · b = b · a (коммутативность умножения).
III
2
. (a · b) · c = a · (b · c) (ассоциативность умножения).
III
3
. a · 1 = a.
III
4
. a ·
1
a
= 1
(a 6= 0).
III
5
. (a + b)·c = a·c+b·c (дистрибутивность умножения относительно сложения).
III
6
. Если a < b, c > 0, то a · c < b · c.
Свойство непрерывности множества вещественных чисел.
Теорема 1.3.3. Пусть даны два непустых множества вещественных чисел X
и Y . Предположим, что для всякого числа x ∈ X и для всякого числа y ∈ Y спра- ведливо неравенство x 6 y, тогда существует вещественное число c такое, что x 6 c 6 y для всех x ∈ X и для всех y ∈ Y .
Определение 1.3.8. Число c из теоремы 1.3.3 называется сечением множеств
X и Y .
Замечание 1.3.2. Во множестве Q рациональных чисел свойство непрерыв- ности не выполняется. Например, взяв X = {x ∈ Q : x > 0, x
2
< 2} и
Y = {y > 0, y
2
> 2}, получим, что сечением данных множеств является чис- ло
√
2, которое иррационально.
1.4. Ограниченные множества. Теорема о верхней грани.
Принцип Архимеда
1.4.1. Ограниченные множества.
– 13 –
Определение 1.4.1. Говорят, что множество X ⊂ R ограничено сверху, если существует число c ∈ R такое, что x 6 c для любого x ∈ X.Число c при этом называется верхней границей множества X.
Аналогично определяются ограниченность множества снизу и нижняя граница множества X.
Определение 1.4.2. Множество, ограниченное и сверху, и снизу, называется ограниченным.
Определение 1.4.3. Элемент a ∈ X называется наибольшим (или макси- мальным) элементом множества X ⊂ R, если x 6 a для любого элемента x ∈ X
(аналогично определяется наименьший (минимальный) элемент множества X). В
этом случае пишут a = max X
(a = min X).
Пример 1.4.1. Найти минимальные и максимальные элементы множеств
{3, 8, 9}, [1, 3] , [1, 3).
Решение.
1) X = {3, 8, 9}, 3 = min X;
9 = max X;
2) X = [1, 3],
1 = min X;
3 = max X;
3) X = [1, 3),
1 = min X;
максимального элемента в этом множестве не существует.
Лемма 1.4.1. Если максимальный (минимальный) элемент существует, то он единственный.
Доказательство проведем от противного. Пусть a = max X, b = max X и, на- пример, a < b (см. свойство I
1
). Но так как a = max X, а b ∈ X, то a > b. Это противоречие и доказывает лемму.
2
Определение 1.4.4. Число c ∈ R называется точной верхней границей множе- ства X ⊂ R, если выполнены следующие два условия:
1) любой элемент x ∈ X удовлетворяет неравенству x 6 c;
2) для любого ε > 0 существует элемент x
0
∈ X такой, что c − ε < x
0
В этом случае пишут S = sup X ("супремум" X).
Это определение говорит о том, что c наименьшая из верхних границ.
Аналогично определяется точная нижняя граница s множества X, которая обо- значается s = inf X ("инфимум" X).
Пример 1.4.2. Найти точные нижние и точные верхние границы множеств
[1, 3) , (1, 3].
Решение.
1) X = [1, 3) ,
1 = inf X,
3 = sup X;
2) X = (1, 3] ,
1 = inf X,
3 = sup X.
Для неограниченных сверху множеств X пишут sup X = +∞, а для неограничен- ных снизу множеств X пишут inf X = −∞.
Теорема 1.4.1. Всякое непустое ограниченное сверху множество X ⊂ R имеет,
и притом единственную, точную верхнюю границу.
Доказательство будет основано на свойстве непрерывности (теорема 1.3.3) мно- жества действительных чисел.
– 14 –
Рассмотрим два случая.
1. Множество X — конечно. Тогда существует наибольший элемент x
0
в X. Оче- видно, что x
0
= sup X, и в этом случае теорема доказана.
2. Множество X — бесконечно. Обозначим через Y множество всех верхних гра- ниц X. Тогда Y не пусто и справедливо неравенство x 6 y для всех x ∈ X и для всех y ∈ Y . По свойству непрерывности множества вещественных чисел (теорема 1.3.3)
существует число c являющееся сечением множеств X и Y . Поскольку x 6 c для всех x ∈ X, то c — верхняя граница для X. Поскольку c 6 y для всех y ∈ Y , то c —
наименьшая из верхних границ.
Докажем единственность c. Второе условие определения 1.4.4 можно сформули- ровать другими словами: число c есть минимальный элемент множества верхних гра- ниц, т.е. c = min Y , где Y — множество верхних границ множества X. По лемме 1.4.1
минимальный элемент единственный.
2
Замечание 1.4.1. Если теорему 1.4.1 принять за аксиому, то свойство непре- рывности действительных чисел можно доказать на основе этой аксиомы.
1.4.2. Принцип Архимеда.
Теорема 1.4.2 (принцип Архимеда). Каково бы ни было число c > 0, существу- ет натуральное n > c.
Доказательство. Если c = α
0
, α
1
α
2
. . . , то в качестве n можно взять α
0
+ 2.
2
Следствие 1.4.1. Для любого ε > 0 существует натуральное число n, такое что
1
n
< ε.
Доказательство. Пусть c =
1
ε
, тогда, используя принцип Архимеда, находим n > c =
1
ε
, т.е.
1
ε
< n. Умножая последнее неравенство на число
ε
n
(см. свойство
III
6
), получим
1
n
< ε.
2 1.5. Три принципа математического анализа
1.5.1. Принцип Кантора.
Определение 1.5.1. Пусть даны две точки a и b, a 6 b. Отрезком (сегментом или замкнутым числовым промежутком) назовем множество [a, b] = {x ∈ R : a 6
x 6 b}.
Определение 1.5.2. Пусть даны две точки a и b, a < b. Интервалом (откры- тым числовым промежутком) назовем множество (a, b) = {x ∈ R : a < x < b}.
Определение 1.5.3. Последовательность отрезков I
1
= [a
1
, b
1
], I
2
= [a
2
, b
2
] , . . . ,
I
n
= [a n
, b n
] , . . . , называется вложенной, если выполнены включения I
n+1
⊂ I
n для всех натуральных чисел n.
Теорема 1.5.1 (принцип Кантора о вложенных отрезках). Пусть дана после- довательность вложенных друг в друга отрезков I
1
= [a
1
, b
1
], I
2
= [a
2
, b
2
] , . . . ,
I
n
= [a n
, b n
] , . . . и пусть для любого числа ε > 0 в этой последовательности отрез- ков можно найти отрезок I
n
, длина которого |I
n
| < ε (т.е. |I
n
| → 0 при n → ∞).
Тогда существует единственная точка c, принадлежащая всем этим отрезкам.
– 15 –
Доказательство. Рассмотрим два множества: множество X = {a
1
, a
2
, . . . a n
, . . .}
и множество Y = {b
1
, b
2
, . . . b n
, . . .}. Из свойства вложенности отрезков получаем, что a
n
6
b m
для любых n, m ∈ N (если бы для каких-то n, m было справедливо обратное неравенство a n
> b m
, то мы бы получили, что b n
> a n
> b m
> a m
и поэтому отрезки
I
n и I
m не пересекались бы).
Поэтому множества X, Y удовлетворяют условию теоремы 1.3.3, следовательно,
существует точка c — сечение этих множеств, т.е. a n
6
c 6 b n
. Таким образом, c принадлежит всем отрезкам I
n
Единственность точки c следует из того, что длины отрезков стремятся к нулю.
2
Если вместо отрезков рассматривать интервалы, то это свойство будет неспра- ведливо.
Пример 1.5.1. Привести пример системы вложенных интервалов с пустым пе- ресечением.
Решение. Рассмотрим последовательность вложенных интервалов J
1
= (0, 1),
J
2
=
0,
1 2
,. . . , J
n
=
0,
1
n
,. . . Тогда пересечение этих интервалов пусто.
1.5.2. Принцип Бореля-Лебега. Рассмотрим еще одно свойство веществен- ных чисел.
Определение 1.5.4. Говорят, что система множеств S = {X} покрывает множество Y , если любой y ∈ Y содержится, по крайней мере, в одном из мно- жеств X, т.е. Y ⊂ ∪X.
Теорема 1.5.2 (принцип Бореля-Лебега). В любой системе интервалов, покры- вающих отрезок [a, b], имеется конечная подсистема, покрывающая этот отрезок.
Доказательство. Пусть S = {U} есть система интервалов U, покрывающих отре- зок [a, b] = I
1
. Если I
1
нельзя покрыть конечным числом интервалов U, то поделим I
1
пополам и выберем из двух отрезков тот, который не покрывается конечным числом интервалов U. Обозначим этот отрезок I
2
. Продолжая этот процесс, получим после- довательность I
1
, I
2
, . . . , I
n
, . . . , причем длина отрезка I
n
(обозначим ее |I
n
|) равна
|I
n
| =
|I
1
|
2
n−1
. По теореме 1.5.1 о вложенных отрезках существует точка c ∈ I
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 43
n для любого n. Элемент c принадлежит также интервалу U = (α, β) из системы S. Пусть теперь ε = min (c − α, β − c) и |I
n
| < ε. Тогда I
n
⊂ (α, β). Но это противоречит тому,
что отрезок I
n нельзя покрыть системой интервалов {U}.
2
Замечание 1.5.1. Из доказательства видно, что принцип Бореля-Лебега выте- кает из принципа Кантора о вложенных отрезках. Можно показать, что принцип
Кантора является следствием теоремы 1.5.2. Такие утверждения называются эк- вивалентными.
Упражнение 1.5.1. Показать, что из системы отрезков, покрывающих некото- рый отрезок, не всегда можно выбрать конечное подпокрытие (привести пример).
1.5.3. Принцип Больцано-Вейерштрасса. Докажем еще одну теорему, эк- вивалентную свойству непрерывности множества действительных чисел. Предвари- тельно дадим несколько определений.
Определение 1.5.5. Окрестностью точки x
0
∈ R называется интервал, со- держащий эту точку; δ-окрестностью (или окрестностью радиуса δ) точки x
0
называется интервал (x
0
− δ, x
0
+ δ).
– 16 –
Например, интервал (1, 5) есть окрестность точки x
0
= 4, а интервал (3, 5) есть окрестность радиуса 1 той же точки x
0
Определение 1.5.6. Точка x
0
называется предельной точкой множества X ⊂
R
, если любая окрестность этой точки содержит бесконечное подмножество мно- жества X.
Можно сформулировать определение 1.5.6 в другой равносильной форме.
Определение 1.5.7. Точка x
0
называется предельной точкой множества X ⊂
R
, если любая окрестность этой точки содержит, по крайней мере, одну точку множества X, не совпадающую с точкой x
0
Упражнение 1.5.2. Доказать равносильность (т.е. эквивалентность) этих опре- делений.
Пример 1.5.2. Пусть X =
1
n
, где n ∈ N. Найти предельные точки этого множества.
Решение. Предельной точкой множества X является точка 0, которая для этого множества единственная.
Пример 1.5.3. Пусть множество X есть интервал (1, 3). Найти предельные точки этого множества.
Решение. Все его предельные точки образуют отрезок [1, 3].
Предельные точки отрезка дают сам этот отрезок.
Определение 1.5.8. Множество всех предельных точек множества X обозна- чается X
′
и называется производным множеством.
Теорема 1.5.3 (принцип Больцано-Вейерштрасса). Всякое бесконечное ограни- ченное числовое множество имеет, по крайней мере, одну предельную точку.
Доказательство. Пусть X — бесконечное ограниченное множество чисел из R.
Из определения ограниченности множества X следует, что X содержится в некото- ром отрезке [a, b]. Обозначим отрезок [a, b] через σ
0
и покажем, что существует, по крайней мере, одна точка x
0
∈ [a, b], которая является предельной для X. Разделим отрезок σ
0
на два равных отрезка и обозначим через σ
1
= [a
1
, b
1
] любой из них, со- держащий бесконечное подмножество чисел множества X (по крайней мере, один из них обязательно содержит такое бесконечное подмножество). Теперь σ
1
разделим на два равных отрезка и обозначим через σ
2
= [a
2
, b
2
] любой из них, содержащий бесконечное подмножество чисел множества X.
Рассуждая по индукции, получим последовательность вложенных друг в друга отрезков σ
n
= [a n
, b n
] (n = 0, 1, 2, . . . ), длины которых b − a
2
n стремятся к нулю.
Согласно принципу Кантора о вложенных отрезках (теорема 1.5.1) существует точка x
0
, принадлежащая всем σ
n
. Очевидно, что x
0
есть предельная точка множества X.
2
Если теорему Больцано-Вейерштрасса взять за аксиому, то принцип Кантора мо- жет быть доказан на основании этой аксиомы.
Таким образом, принцип Кантора о вложенных отрезках, свойство существова- ния точной верхней границы (точной нижней границы), принцип Бореля–Лебега и принцип Больцано–Вейерштрасса есть эквивалентные утверждения.
Упражнение 1.5.3. Показать, что если вместо множества вещественных чисел
R
рассмотреть множество рациональных чисел Q, то ни один из принципов выпол- няться не будет (привести соответствующие примеры).
– 17 –