Файл: Математический анализ.pdf

1.6. Понятие функции. График функции. Класс элементарных функций
1.6.1. Понятие функции или отображения. Рассмотрим два непустых мно- жества X и Y .
Определение 1.6.1. Говорят, что задана функция f, отображающая множе- ство X в множество Y , если каждому элементу x ∈ X поставлен в соответствие
(по определенному правилу) единственный элемент y ∈ Y . Записывается это так:
f : X → Y.
Наряду с термином "функция" употребляются термины "отображение" , "соот- ветствие" , "преобразование" , "морфизм" , "оператор" и т.д.
Определение 1.6.2. Множество X, на котором задана функция, называют областью определения функции, а множество всех элементов вида f (x) ∈ Y назы- вают областью значений и обозначают f (X). Тогда f (X) ⊂ Y .
Определение 1.6.3. Элемент x ∈ X называют аргументом функции f, а элемент y = f (x) ∈ Y есть значение функции.
Мы будем рассматривать, если не оговорено противное, числовые функции, т.е.
функции, у которых область определения и область значений являются числовыми множествами (как правило, множествами вещественных чисел).
Для функции мы часто будем употреблять обозначения y = f(x) или f : x → y.
Определение 1.6.4. Пусть множество M ⊂ X, тогда образом множества
M при отображении f называют множество f (M ) = {y ∈ Y : y = f(x), x ∈ M}.
Другими словами, f (M ) состоит из всех образов f (x) элементов x ∈ M при отоб- ражении f .
Упражнение 1.6.1. Показать, что если A ⊂ B, то для любой функции f (опре- деленной на B) f(A) ⊂ f(B).
Определение 1.6.5. Пусть множество M ⊂ Y . Прообразом множества M
при отображении f называют множество f
−1
(M ) = {x ∈ X : f(x) ∈ M}.
Иногда рассматривают прообразы множеств M, которые не содержатся полно- стью во множестве значений. В этом случае может быть такая ситуация, когда f
−1
(M ) = ∅.
Определение 1.6.6. Если выполнено равенство f(X) = Y , то говорят, что функция f отображает множество X на множество Y . В этом случае f назы- вают сюръективным отображением, или сюръекцией, или отображением на.
Определение 1.6.7. Если при отображении f : X → Y разным элементам x ∈ X соответствуют разные элементы y ∈ Y , т.е. при x
1 6= x
2
имеет место f (x
1
) 6= f(x
2
), то отображение f называется инъективным отображением или просто инъекцией.
Определение 1.6.8. Если одновременно отображение f : X → Y является инъективным и сюръективным, то f называют биективным отображением, или биекцией, или взаимно-однозначным отображением X на Y .
– 18 –

Таким образом, отображение f является биективным (т.е. взаимно-однозначным отображением множества X на множество Y ), если для любых элементов x
1
, x
2
∈
X, x
1 6= x
2
справедливо неравенство f(x
1
) 6= f(x
2
), и, каково бы ни было y ∈ Y ,
существует такой элемент x ∈ X, для которого f(x) = y.
Взаимно-однозначное отображение на еще называют взаимно-однозначным соот- ветствием.
Для таких отображений можно определить обратную функцию.
Определение 1.6.9. Пусть f : X → Y — взаимно-однозначное соответствие.
Функция f
−1
: Y → X называется обратной для функции f, если f
−1
(y) = x в том и только в том случае, когда f (x) = y. Данными соотношениями обратная функция полностью определена.
1.6.2. График функции.
Определение 1.6.10. Если f : X → Y , то графиком функции f называется множество всех пар (x, y) ∈ X × Y вида (x, f(x)), где x ∈ X.
Если график функции f обозначить через Γ
f
, то
Γ
f
= {(x, y) ∈ X × Y : y = f(x), x ∈ X}.
Определим операцию суперпозиции, или композиции, двух функций.
Определение 1.6.11. Пусть f : X → Y и g : Y → Z, тогда композицией функций f и g (или суперпозицией, или сложной функцией) называется функция g ◦ f : X → Z, определенная следующим образом:
(g ◦ f)(x) = g(f(x))
для всех x ∈ X.
Функцию F (x) = g(f(x)) еще называют сложной функцией.
Вообще говоря, эта операция не перестановочна (не коммутативна).
Как можно задавать числовую функцию? Прежде всего функции могут задавать- ся в виде формул: аналитический способ задания. Для этого используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций. Например: y = ax+b, y = ax
2
,
y = sin x и т.д.
При этом всегда под функцией, заданной некоторой формулой, понимается функ- ция, определенная на множестве тех вещественных чисел, для которых, во–первых,
указанная формула имеет смысл и, во-вторых, в процессе проведения всех необходи- мых вычислений по этой формуле получаются только вещественные числа.
При таком определении, казалось бы, одинаковые функции могут иметь различ- ные области определения.
Пример 1.6.1. Найти области определения функций y = x и y = (√x)
2
Решение. Первая функция определена на всей вещественной оси, а вторая — толь- ко для неотрицательных значений аргумента. Поэтому эти функции имеют разную область определения.
Иногда функция задается кусочно, т.е. с помощью разных формул на разных числовых промежутках.
Рассмотрим функцию sgnx =





1
для x > 0,
0
для x = 0,
−1
для x < 0.
– 19 –

Эта функция называется "сигнум" x, или "знак" x.
Функцию можно задавать с помощью ее графика, а также с помощью таблицы.
Определение 1.6.12. Целой частью числа x называется наибольшее целое чис- ло, не превосходящее x, обозначается эта функция через [x].
1.6.3. Класс элементарных функций.
Определение 1.6.13. Основными элементарными функциями мы будем счи- тать следующие функции:
1) y = x
α
,
x > 0,
α — любое вещественное число (степенная функция);
2) y = a x
, где основание степени a > 0, a 6= 1, x — любое вещественное число
(показательная функция);
3) y = log a
x,
x > 0, а основание логарифма a > 0, a 6= 1 (логарифмическая функция);
4) y = sin x,
x ∈ R;
5) y = cos x,
x ∈ R;
6) y = tg x,
x 6=
π
2
+ kπ, k ∈ Z;
7) y = ctg x,
x 6= kπ, k ∈ Z
(функции из пунктов 4–7 носят название тригонометрических);
8) y = arcsin x,
x ∈ [−1, 1];
9) y = arccos x,
x ∈ [−1, 1];
10) y = arctg x,
x ∈ (−∞, +∞);
11) y = arcctg x,
x ∈ (−∞, +∞)
(функции из пунктов 8-11 носят название обратных тригонометрических).
Сделаем некоторые замечания относительно этих функций.
Степенная функция для некоторых значений показателя α имеет большую об- ласть определения. Например, если α — целое неотрицательное число, то область определения такой функции — вся вещественная ось R; если α — целое отрица- тельное число, то область определения такой функции — все вещественные числа,
отличные от нуля; если α — неотрицательное дробное число, то область определения такой функции — все неотрицательные вещественные числа.
Функции показательная и логарифмическая — взаимно обратны. Если основа- ние логарифма равно 10, то такая функция обозначается через lg x и называется десятичным логарифмом. Если основание логарифма равно e, то такая функция называется натуральным логарифмом и обозначается ln x.
Соответствующие тригонометрические и обратные тригонометрические функции взаимно обратны. Например, sin x на отрезке [−π/2, π/2] и arcsin x.
Графики этих функций хорошо известны еще со школы.
Определение 1.6.14. Элементарной функцией назовем функцию, которая по- лучается из основных элементарных функций с помощью применения конечно- го числа арифметических операций и операции суперпозиции (композиции, взятия сложной функции).
Например, функции y =
√
1 − x
2
,
y = sin log
2
x,
y = x
2
+ arctg
√
x являются элементарными
Рассматривают следующие классы элементарных функций:
– 20 –

1. Многочлены, т.е. функции вида y = a
0
x n
+ a
1
x n−1
+ · · · + a n−1
x + a n
,
n ∈ N.
2. Рациональные функции, т.е. функции вида
R(x) =
P (x)
Q(x)
,
где P (x) и Q(x) — многочлены, причем Q(x) не равен тождественно нулю.
3. Алгебраические функции, примером которых служат функции y =
n
√
x,
n ∈ N,
и y =
p
R(x), где R(x) — рациональная функция. В общем, алгебраические функции являются корнями некоторого алгебраического уравнения от двух переменных x и y.
4. Различные трансцендентные функции. К ним, например, относятся триго- нометрические и обратные тригонометрические функции, а также гиперболические функции, которые мы определим.
Гиперболический синус —
y = sh x =
e x
− e
−x
2
,
гиперболический косинус —
y = ch x =
e x
+ e
−x
2
,
гиперболический тангенс —
y = th x =
sh x ch x
=
e x
− e
−x e
x
+ e
−x
,
гиперболический котангенс —
y = cth x =
ch x sh x
=
e x
+ e
−x e
x
− e
−x
Полезно знать графики этих функций.
Данные функции обладают некоторыми свойствами, похожими на свойства три- гонометрических функций. Например,
ch
2
x − sh
2
x = 1,
2 sh x · ch x = sh(2x).
Гиперболические функции так же связаны с гиперболой, как обычные тригоно- метрические функции с кругом.
1.7. Предел последовательности и его свойства
1.7.1. Предел последовательности.
Определение 1.7.1. Пусть каждому натуральному числу n = 1,2, . . . по- ставлено в соответствие в силу некоторого закона число x n
. Тогда говорят, что этим определена последовательность чисел x
1
, x
2
, . . . , x n
, . . . или последователь- ность {x n
}. Числа x n
называются элементами последовательности (членами по- следовательности).
Таким образом, последовательность — это некоторая функция f : N → R.
Примерами последовательностей служат выражения

1 2
n

=

1 2
,
1 4
,
1 8
, . . .

– 21 –

{(−1)
n
} = {−1, 1, −1, . . . }.
Иногда будем говорить, что переменная x n
пробегает последовательность {x n
}
или последовательность значений x n
Определение 1.7.2. Число A ∈ R называется пределом числовой последова- тельности {x n
}, если для любого положительного числа ε найдется натуральное число N , такое что для всех натуральных n > N выполняется неравенство
|x n
− A| < ε.
(1.7.1)
При этом будем писать lim n→∞
x n
= A
или x
n
→ A при n → ∞
и говорить, что переменная x n
стремится к A, или что последовательность {x n
}
сходится к числу A при n → ∞.
Определение 1.7.3. Если последовательность имеет предел, то она называ- ется сходящейся.
Заметим, что эти обозначения уже частично использовались при формулировке принципа Кантора о вложенных отрезках (§ 1.5).
Запишем теперь определение предела в логической символике (знак := заменяет слова "есть по определению"):
lim n→∞
x n
= A := ∀ε > 0 ∃N ∈ N ∀n > N ⇒ |x n
− A| < ε.
Определение 1.7.4. Последовательность {x n
}, не имеющая предела, называ- ется расходящейся.
Приведем примеры.
Пример 1.7.1. Найти предел последовательности
1
n
Решение. Предел lim n→∞
1
n
= 0,
так как
1
n
− 0
=
1
n
< ε при n > N >

1
ε

Пример 1.7.2. Найти предел последовательности
1 2
n
Решение. Предел lim n→∞
1 2
n
= 0,
так как
1 2
n
− 0
=
1 2
n
< ε при n > N >



lg
1
ε
lg 2


 .
Пример 1.7.3. Найти предел последовательности sin n n
Решение. Покажем, что lim n→∞
sin n n
= 0, так как sin n n
− 0
=
sin n n
6 1
n
< ε,
при n > N >

1
ε

– 22 –

Пример 1.7.4. Показать, что последовательность {(−1)
n
} = {−1, 1, −1, . . . } не имеет предела, т.е. расходится.
Решение. Для установления этого факта перефразируем определение 1.7.2 (при- дадим ему геометрический смысл). Неравенство (1.7.1) запишем в виде
A − ε < x n
< A + ε,
т.е. элементы x n
(при n > N) принадлежат промежутку (A − ε, A + ε), который является ε-окрестностью точки A. Так что, при ε <
1 2
либо элементы последова- тельности с четными номерами (т.е. x n
= 1), либо элементы последовательности с нечетными номерами (т.е. x n
= −1) не могут лежать в ε-окрестности любого числа A.
Упражнение 1.7.1. Показать, что lim n→∞
1
q n
= 0,
|q| > 1.
Определение 1.7.5. Число A ∈ R называется пределом числовой последова- тельности {x n
}, если, какова бы ни была ε-окрестность точки A, существует натуральное число N , такое что x n
∈ (A − ε, A + ε) при n > N.
Другими словами, может быть только конечное число элементов последователь- ности {x n
}, которые не принадлежат ε-окрестности точки A.
Если заметить, что в любой окрестности V (A) точки A содержится некоторая
ε-окрестность этой же точки, то определение 1.7.5 можно переписать в логической символике следующим образом:
lim n→∞
x n
= A := ∀V (A) ∃N ∈ N ∀n > N ⇒ x n
∈ V (A).
1.7.2. Общие свойства пределов.
Определение 1.7.6. Последовательность, принимающая только одно значе- ние, называется постоянной.
Определение 1.7.7. Если существуют числа A и N такие, что x n
= A при n > N , то {x n
} называется финально постоянной.
Определение 1.7.8. Последовательность {x n
} называется ограниченной, если существует число M > 0 такое, что для любого n ∈ N выполнено неравенство
|x n
| < M.
Теорема 1.7.1. a) Финально постоянная последовательность сходится.
b) Последовательность не может иметь двух или более различных пределов.
c) Сходящаяся последовательность ограничена.
Доказательство. a) Если x n
= A при n > N , то ∀ V (A) ⇒ x n
∈ V (A) при n > N .
b) От противного. Пусть последовательность имеет два предела A
1
и A
2
и V (A
1
)∩
V (A
2
) = ∅. Тогда, по определению 1.7.5,
∃N
1
∀n > N
1
⇒ x n
∈ V (A
1
) ,
∃N
2
∀n > N
2
⇒ x n
∈ V (A
2
) .
Выберем в качестве N = max (N
1
, N
2
), теперь для ∀n > N
⇒ x n
∈ V (A
1
) ∩ V (A
2
),
но V (A
1
) ∩ V (A
2
) = ∅.
c) Пусть A — предел последовательности {x n
}.
Зафиксируем ε = 1, тогда ∃N ∈ N ∀n > N ⇒ |x n
−A| < 1, т.е. A−1 < x n
< A+1.
– 23 –

Тогда ясно, что min{A − 1, x
1
, . . . , x n
} 6 x n
6
max{A + 1, x