ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 18.11.2021
Просмотров: 422
Скачиваний: 5
Автор: доцент Андаспаева А.А.
11
Нижняя граница:
1
н
t S
Х
Х
Х
n
(12)
Верхняя граница:
1
в
t S
Х
Х
Х
n
(13)
Для двусторонних границ:
Нижняя граница:
н
t S
Х
Х
Х
n
(14)
Верхняя граница:
в
t S
Х
Х
Х
n
(15)
где
t
1
и
t
- квантили распределения Стьюдента при доверительной вероятности
= 0,95, значения
которых приведены в таблице 3.
Таблица 3
K=n-1
t
1
t
z
н
z
в
K =n-1
t
1
t
z
н
z
в
2
2,920
4,303
0,578
4,42
29
1,699
2,045
0,825
1,28
3
2,353
3,182
0,620
2,92
40
1,684
2,021
0,847
1,23
4
2,132
2,776
0,649
2,37
50
1,676
2,009
0,861
1,20
9
1,833
2,262
0,729
1,65
100
1,660
1,984
0,897
1,13
19
1,729
2,093
0,794
1,37
1,645
1,960
1,000
1,00
В программе Excel доверительные интервалы рассчитываются с помощью функции
ДОВЕ-
РИТ
(рис.14). Она возвращает значение, с помощью которого можно определить доверительный ин-
тервал для математического ожидания генеральной совокупности. Доверительный интервал пред-
ставляет собой диапазон значений. Выборочное среднее
x
является серединой этого диапазона, сле-
довательно, доверительный интервал определяется как (
x
± ДОВЕРИТ).
Рис. 14. Функция
ДОВЕРИТ
ДОВЕРИТ
(
альфа
;
станд_откл
;
размер
)
Альфа — это уровень значимости, используемый для вычисления уровня надежности. Уро-
вень надежности равняется (1 - альфа)
.
100%, или, другими словами, альфа равное 0,05 означает 95-
процентный уровень надежности.
Станд_откл — это стандартное отклонение (среднее квадратическое отклонение) генеральной
совокупности для интервала данных, оно предполагается известным. Размер — это размер выборки.
Автор: доцент Андаспаева А.А.
12
Если какой-либо из аргументов не является числом, то функция
ДОВЕРИТ
возвращает значе-
ние ошибки #ЗНАЧ!.
Если альфа ≤ 0 или альфа ≥ 1, то функция
ДОВЕРИТ
возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!
Если станд_откл ≤ 0, то функция
ДОВЕРИТ
возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
Если размер не целое, то оно округляется.
Если размер < 1, то функция
ДОВЕРИТ
возвращает значение ошибки #ЧИСЛО!.
Доверительные интервалы для среднего квадратического отклонения.
определяются по следующим формулам, если число испытаний n<100:
н
н
Z
S
(16)
в
в
Z
S
(17)
где S – среднее квадратическое отклонение.
Значения
Z
н
и
Z
в
определяются с помощью табл.4.
При числе испытаний
К=n-1 >100
значения
Z
н
и
Z
в
вычисляют по формулам:
н
2К
Z
U
2К
1
(18)
в
2К
Z
U
2К
1
(19)
где
U = t
1
при
n
=∞ – квантиль распределения Стьюдента при доверительной вероятности
Р
д
=0,95
.
Доверительные интервалы для коэффициента вариации
.
н
н
V
К С
(20)
в
в
V
К С
(21)
где
С
– коэффициент вариации.
Значения
К
н
и
К
в
приведены в таблице 4.
Таблица 4
n
30
50
100
200
500
1000
K
н
0,83
0,86
0,90
0,92
0,95
0,97
K
в
1,27
1,20
1,13
1,10
1,06
1,04
4
Оценка анормальности результатов испытаний
Если результаты измерений можно отнести к нормальному распределению, то грубые по-
грешности исключают, основываясь на критериях оценки анормальности результатов наблюдений.
Анормальным
называют результат измерений, резко отклоняющийся от группы результатов,
являющихся нормальными.
План расчета:
1.
Полученные результаты ранжируют в порядке возрастания
Х
1
< X
2
< X
3
<... ...< X
n
В программе Excel 2007 расположить результаты в порядке возрастания можно с помощью
кнопки
на вкладке ДАННЫЕ (рис. 15).
Рис. 15. Сортировка по возрастанию в Excel 2007
Если предварительно выделить диапазон данных, то появится окно, показанное на рис. 16, в
котором отмечаем точкой
СОРТИРОВАТЬ В ПРЕДЕЛАХ УКАЗАННОГО ВЫДЕЛЕНИЯ
.
Автор: доцент Андаспаева А.А.
13
Рис. 16. Установка предела сортировки
2. Подсчитывают выборочное среднее, среднее квадратическое отклонение
Чтобы оценить
Х
n
и
Х
1
в данной нормальной совокупности и принять решение об исключе-
нии или оставлении данных значений в составе выборки, находят отклонения этих величин относи-
тельно среднего значения, для чего используются следующие формулы:
n
n
(X -X )
U =
S
(22)
1
1
(X-X )
U =
S
(23)
В программе Excel нет функций, соответствующих данным формулам, поэтому для расчетов
их придется набирать в ячейках.
Полученные результаты сравнивают со значением
m
,
взятым из таблиц для данного объема
выборки
n
и принятых уровней значимости
q
.
Если
U
n
>
т
или
U
1
>
т
, то значения X
n
или X
1
исключают из дальнейших исследований.
Значения
т
приведены в таблице 5.
Правила оценки анормальности отдельных результатов наблюдений при нормальном распре-
делении результатов изложены в таблице 5.
.
Таблица 5
Объем выборки
Предельное значение
при уровне значимости
q
n
0,100
0,075
0,050
0,025
5
1,42
1,44
1,67
1,84
10
2,03
2,10
2,18
2,29
20
2,38
2,46
2,56
2,71
5
Проверка гипотез о соответствии фактического распределения резуль-
татов испытаний теоретическому
Распространять сводные выборочные характеристики на всю партию материала можно с оп-
ределенной вероятностью, для нахождения которой необходимо знать закон распределения первич-
ных данных. Именно закон распределения дает полную картину варьирования исследуемого свойст-
ва, тогда как сводные характеристики, даже генеральные, определяют распределение признака лишь
в среднем. Знание закона распределения показателя качества позволяет установить границы между
случайными и неслучайными отклонениями сводных выборочных характеристик от нормированного
значения (последнее обстоятельство лежит в основе статистического контроля качества продукции).
Многие свойства медицинских и фармацевтических материалов подчиняются нормальному
закону распределения, но некоторые из них имеют распределение, отличающееся от нормального. В
этом случае вероятность нахождения генеральной характеристики в пределах доверительного интер-
вала снижается или остается неизвестной. Однако следует иметь в виду, что при распределении от-
дельных результатов измерений, отличающихся от нормального, средние из этих результатов, разде-
Автор: доцент Андаспаева А.А.
14
ленных на группы (выборки), тем ближе следуют нормальному распределению, чем больше числен-
ность указанных групп.
М е т о д ы п р о в е р к и с т а т и с т и ч е с к и х г и п о т е з . Исходя из эмпирического рас-
пределения полученных экспериментальных данных, на основе их графического изображения или по
другим каким-либо соображениям выдвигают гипотезу о соответствии данного эмпирического рас-
пределения предполагаемому теоретическому. При сравнении выбранного теоретического распреде-
ления с эмпирическим нужно решать вопрос о том, можно ли разницу в этих распределениях считать
случайной. Проверяемая гипотеза всегда заключается в предположении чисто случайного характера
разницы сравниваемых распределений, т. е. в отсутствии между ними существенных различий. Та-
кую гипотезу часто называют
н у л е в о й
. Если фактическое различие распределений не достигнет
границы, выход за которую при условии правильности нулевой гипотезы маловероятен, то это озна-
чает, что нулевая гипотеза при данном исследовании не опровергается. Однако надо четко различать
вывод «не опровергается» от вывода «подтверждается». Когда нулевая гипотеза не опровергнута, то
те же наблюдения могут оказаться совместимыми и с другими гипотезами, отличающимися от пер-
вой. Следовательно, рассматриваемый метод оценки
может служить для подтверждения нулевой ги-
потезы; он может только опровергать, что позволяет делать вывод о
существенном
, а
не случайном
различии сравниваемых распределений.
Проверку гипотезы осуществляют с помощью
к р и т е р и е в
, связывающих те или иные
элементы эмпирического распределения элементами теоретического распределения. Малые значения
критериев (несогласия) указывают на случайность отклонений сравниваемых распределений, т. е.
подтверждают
гипотезу их близости
или
совпадения
. Большие значения критериев несогласия ее
могут
быть
объяснены только случайными отклонениями; последние являются настолько сущест-
венными, что свидетельствуют
о различии
сравниваемых
распределений
.
Границу между случайными и значимыми показателями определяет
у р о в е н ь з н а -
ч и м о с т и к р и т е р и я
, показывающий вероятность
q
тех значений критерия, которые
практически при правильности гипотезы можно принять за невозможные.
q
есть тот процент
риска, на который можно идти, принимая определенные значения критерия за невозможные. Среди
уровней значимости чаще используют уровни
q
= 5%
(
q
= 0,05) и
q
= 1 % (
q
=0,01). Чем меньше
уровень значимости, тем меньше вероятность забраковать верную гипотезу.
К р и т и ч е с к о й о б л а с т ь ю
данного критерия проверки гипотезы называют область
тех значений критерия, вероятность попадания
в которую при верной гипотезе равна или меньше
уровня значимости
q
.
О б л а с т ь д о п у с т и м ы х з н а ч е н и й
критерия лежит вне критической области и яв-
ляется областью тех его значений, вероятность
попадания в которую при верной гипотезе равна
Р =
1
-
q.
Чем больше величина критериев
,
часто применяемых при проверке близости фактического и
теоретического распределений, тем меньше вероятность их получения. Поэтому, если критерий, на-
столько велик, что вероятность его получения равна или меньше уровня значимости
,
то значения
критериев окажутся в критической области, и это свидетельствует о настолько малой вероятности
близости сравниваемых распределений, что практически с риском, равным или меньшим
q
,
можно
считать данную близость
невероятной;
тогда
нулевая гипотеза
соответствия распределений долж-
на быть
отвергнута
. Наоборот, если значение критерия будет в области допустимых значений, то оно
не противоречит нулевой гипотезе
соответствия сравниваемых распределений; поэтому можно
принять допустимость нулевой гипотезы, по крайней мере до тех пор, пока более обстоятельное ис-
следование не приведет к противоположному заключению.
5.1
Оценка соответствия результатов измерения нормальному закону по величине
асимметрии и эксцесса
Для кривой нормального распределения характерно симметричное расположение отдельных
значений относительно среднего, что можно проверить по величине
асимметрии,
которая является
мерой косости.
3
3
Х
Х
К
n S
(30)
где
К
- асимметрия;
Автор: доцент Андаспаева А.А.
15
S
- среднее квадратическое отклонение;
Х
i
– текущее значение результатов испытаний;
Х
- среднее значение;
n
- число испытаний.
К
=0 свидетельствует о симметричности кривой распределения. Чем больше
К
, тем асиммет-
ричнее кривая (рис.19).
Рис.17. Асимметрия
В программе Excel асимметрия вычисляется с помощью функции
СКОС
(рис. 18). Асиммет-
рия характеризует степень несимметричности распределения относительно его среднего. Положи-
тельная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону положительных значений.
Отрицательная асимметрия указывает на отклонение распределения в сторону отрицательных значе-
ний.
СКОС
(
число1
;
число2; ...)
Число1, число2 ...— от 1 до 30 аргументов, для которых вычисляется асимметрия. Можно использо-
вать один массив или одну ссылку на массив вместо аргументов, разделяемых точкой с запятой.
Аргументы должны быть числами или именами, массивами или ссылками, содержащими чис-
ла. Если аргумент, который является массивом или ссылкой, содержит текст, логические значения
или пустые ячейки, эти значения игнорируются; ячейки, содержащие нулевые значения, учитывают-
ся. Если имеется менее трех точек данных, или стандартное отклонение равно нулю, то функция
СКОС
возвращает значение ошибки #ДЕЛ/0!.
Рис. 18 Функция
СКОС
К=0 - кривая
нормального
распределения,
т.е. случайные
величины нор-
мально рас-
пределены
К>0
К<0