Файл: Практикум по дисциплинам Методы искусственного интеллекта в управлении, Интеллектуальное управление сложными объектами.pdf

2.2.5. ФП с ограниченным диапазоном. ФП может иметь форму
(рис. 1.7), в которой диапазон изменения параметров ограничен с обеих сторон. В этом случае для полного задания трех ФП достаточно трех (вместо девяти) значений:
,
,
x
min
x
1 0
x
x
med
x
max
малый
средний
большой
Рис. 1.7. Пример ФП с ограниченным диапазоном изменения параметров
2.3. Операции с нечеткими множествами
2.3.1. Нечеткая операция «НЕ» (дополнение).
В теории нечетких множеств, в отличие от классической теории множеств, возможно несколько видов операций дополнения, обозначаемых
: а) нечеткое «НЕ» по Л. Заде
1
(рис. 1.8); б) нечеткое «НЕ» по Сугено
∙
Рис. 1.8. Нечеткое множество и его дополнение
2.3.2. Нечеткая операция И – пересечение нечетких множеств.
Операция пересечения нечетких множеств является расшире- нием операции пересечения над обычными множествами.
Рассмотрим операции пересечения на примере двух нечетких множеств автомобилей :

1
;
0,8
;
0,6
;
0,4
;
0,2
;
0
,
0
;
0,2
;
0,4
;
0,6
;
0,8
;
10
;
где A – множество дешевых автомобилей,
B – множество комфортабельных автомобилей.
Автомобиль может быть отнесен к дешевым со степенью
4 0,4 и к комфортабельным – со степенью
4 0,6
(рис. 1.9). В какой степени его можно одновременно считать дешевым и комфортабельным, и как определить эту степень, используя степени его принадлежности
4
и
4
соответствующим множествам?
Рис. 1.9. ФП множеств дешевых A и комфортабельных B автомобилей
Л. Заде предложил вычислять значения ФП произведения множеств по формуле с использованием оператора MIN:
⋂
,
, ∀ ∈ .
Применяя оператор MIN для нахождения множества
⋂ дешевых и, вместе с тем, комфортабельных автомобилей, получаем выражение:
⋂
0
;
0,2
;
0,4
;
0,4
;
0,2
;
0
Нечеткое множество, являющееся результатом данной операции, представлено на рис. 1.10, а.
Рис. 1.10. Произведение нечетких множеств A∩B с использованием операторов MIN и PROD

Использование оператора MIN для операции пересечения множеств приводит к потере части информации, поскольку данный оператор учитывает только то, что одна степень принадлежности меньше другой, без учета значения их разности. По этой причине для моделей систем, использующих оператор MIN, обычно характерны нечувствительность к малым изменениям значений входных величин, а также резкие изменения выходного значения при превышении некоторого порогового уровня входных значений.
Менее существенна потеря информации при использовании оператора PROD, основанном на алгебраическом произведении ФП.
⋂
∙
, ∀ ∈ .
Применяя оператор PROD для нахождения множества
⋂ автомобилей, получаем выражение (рис. 1.10, б):
⋂
0
;
0,16
;
0,24
;
0,24
;
0,16
;
0
Наиболее часто в качестве операторов пересечения A∩B используются так называемые T-нормы, определяющие различные формы реализации данной операции.
Оператор
T-нормы представляет собой функцию
T, моделирующую операцию И пересечения двух нечетких множеств A и B, удовлетворяющую перечисленным ниже свойствам:
1) пространство отображения:
: 0,1 0,1 → 0,1 ;
2) свойство обнуления:
0,0 0;
3) свойство коммутативности:
,
,
;
4) свойство ассоциативности:
,
,
,
,
;
5) свойство монотонности:
,
⟹
,
,
,
6) свойство ограниченности:
0,0 0,
,1
,
,1
.
В табл. 1.2 перечислены наиболее распространенные T-нормы.
Как видно из таблицы, использование оператора MIN приводит к наиболее высоким значениям ФП, по этой причине другие операторы
T-норм иногда называют sub-MIN-операторами – они являются более строгими, требующими более высокой степени выполнения условий
A и B, входящих в нечеткое произведение. Поэтому об операторе MIN говорят, как о наиболее оптимистичном среди T-норм.

Таблица 1.2
Некоторые операторы T-нормы
Название оператора
Формула
⋂
Графическое изображение
Минимум
(логическое произведение по
Л.Заде)
,
⋀
,
Произведение
(алгебраическое произведение)
,
∙
Ограниченная разность
(граничное произведение)
,
⨂
0,
1
Усиленное
(драстическое) произведение
, если
1
, если
1 0 в других случаях
2.3.3. Нечеткая операция ИЛИ– объединение нечетких множеств.
Результат объединения четких множеств является однозначным, поскольку объединение выполняется всегда одним и тем же способом. В случае нечетких множеств возможен ряд способов выполнения объединения, и тем самым результат его неоднозначен.
Первыми операторами, предложенными в качестве основы для выполнения операции объединения нечетких множеств, являлись оператор MAX и алгебраическая сумма.
Применяя для объединения оператор логической суммы
по Л. Заде, т.е. с помощью оператора MAX, получим:
⋃
1
;
0,8
;
0,6
;
0,6
;
0,8
;
1
Если для нахождения объединения A
∪B использовать оператор алгебраической суммы SUM по формуле:
⋃
∙
, ∀ ∈ , то результатом будет множество:
⋃
1
;
0,84
;
0,76
;
0,76
;
0,84
;
1

В качестве операторов объединения
⋃ множеств выступают
T-конормы, также называемые S-нормами.
Оператор
S-нормы представляет собой функцию S,
реализующую функцию ИЛИ объединения двух нечетких множеств A и B, удовлетворяющую перечисленным ниже свойствам:
1) пространство отображения:
: 0,1 0,1 → 0,1 ;
2) свойство обнуления:
0,0 0;
3) свойство коммутативности:
,
,
;
4) свойство ассоциативности:
,
,
,
,
;
5) свойство монотонности:
,
⟹
,
,
,
6) свойство ограниченности:
0,0 0,
,0 0,
1
.
Каждой Т-норме соответствует своя S-норма:
,
1–
1–
, 1–
, поэтому S-норму часто называют Т-конормой или дополняющей нормой. В табл. 1.3 перечислены наиболее распространенные
S-нормы.
Таблица 1.3
Некоторые операторы S-нормы
Название оператора
Формула
⋃
Графическое изображение
Максимум
(логическая сумма по Л.Заде)
,
⋁
,
Алгебраи- ческая сумма
,
∙
Ограниченная
(граничная) сумма
,
⨁
; 1
Усиленная
(драстическая) сумма
, если
0
, если
0 1 в других случаях

2.4. Нечеткие отношения
Одним из важнейших понятий математической логики является классическое (двухместное, бинарное) отношение – свойство пар объектов, которое описывает определенную взаимосвязь между объектами.
Пример. Пусть имеются одномерные множества и
, где
, , … ,
– множество граждан,
, , … ,
– множество банков. Примером классического отношения на множестве определения является отношение R «иметь счет в банке», которое состоит из пар
,
и, таким образом, является бинарным отношением, сопоставляющим граждан с банками , в которых у них открыты счета. Данное отношение может быть описано с помощью ФП
,
, представленной в трехмерном пространстве, и с помощью матрицы отношений R.
На рисунке 1.11 представлены трехмерная ФП и матрица отношения для
,
,
,
,
,
,
,

Нечетким n-арным отношением R, заданным на области определения
…
, называется упорядоченное множество кортежей из n элементов, имеющее вид:
, … ,
,
, … ,
|
, … ,
∈
, где
, … ,
:
…
→ 0,1 представляет собой функцию принадлежности отношения R, которая отображает область определения X на непрерывный интервал [0, 1].
В общем случае ФП отношения R представляет собой гиперповерхность в (n+1)-мерном пространстве.
Пример. Предположим, необходимо построить нечеткое отношение, описывающее в упрощенном виде диагностику неисправности в автомобиле.
Введем входное множество причин неисправностей
(предпосылок)
, , ,
, где
– «неисправность аккумулятора»,
– «неисправность карбюратора»,
– «низкое качество бензина», – «неисправность системы зажигания».
Множество
, ,
представляет собой проявления следующих неисправностей:
– «двигатель не запускается»,
–
«двигатель работает неустойчиво»,
– «двигатель не развивает полной мощности».
Между каждым элементом множества предпосылок и каждым элементом множества следствий существует некоторая взаимосвязь.
Исходя из экспертных знаний конкретного механика, марки автомобиля и т.д. взаимосвязь причин неисправностей и проявлений неисправностей в автомобиле описывается в виде нечеткого отношения
,
(табл. 1.4).
Таблица 1.4
Нечеткое отношение диагностики неисправности в автомобиле
,
Двигатель
– не запускается
– работает неустойчиво
– не развивает полной мощности
– неисправность аккумулятора
1 0,1 0,3
– неисправность карбюратора
0,8 0,9 1
– низкое качество бензина
0,7 0,8 0,5
– неисправность системы зажигания
1 0,5 0,2

В нечетком моделировании и управлении часто приходится иметь дело с нечеткими отношениями, полученными путем
агрегирования нечетких множеств, заданных на различных одномерных областях.
Например, в правиле ЕСЛИ–ТО компоненты условия
, , … ,
агрегируются с помощью логических связок И / ИЛИ, образуя бинарное нечеткое отношение R с ФП
,
Агрегирование нечетких множеств и можно выполнять, используя операторы T-норм в случае связки И
,
,
и операторы S-норм в случае связки ИЛИ:
,
,
Нечеткая импликация представляет собой правило
, простейшая форма которого выражается в виде: ЕСЛИ (x = A) ТО
(y = B), где (x = A) – условие (антецедент), а (y = B) – заключение
(консеквент).
Здесь A и B – нечеткие множества, заданные своими ФП
,
, и областями определения X, Y соответственно.
Обозначение нечеткой импликации имеет вид: A → B.
ФП импликации
→
, лежит в основе так называемых
нечетких рассуждений, обеспечивающих возможность вычисления выходного значения нечеткой модели (регулятора) для заданных входных значений. Чтобы определить данную функцию на основе
ФП условия и заключения
, следует использовать подходящий оператор импликации.
Оператор импликации Мамдани основан на предположении, что степень истинности заключения не может быть выше, чем степень выполнения условия
:
→
,
,
В нечетком управлении также используется оператор алгебраического произведения PROD:
→
,
∙
Если известны нечеткие отношения между множествами
,
: → и
,
: → , то нечёткое отношение
∙
∶ → , где
∙
,
⋃
,
∧
,
, называется (max-min)-композицией (сверткой) множеств X и Z.
Операция (max-min) ассоциативна:
∙
⋅
∙
⋅
Операция (max-min) не дистрибутивна относительно пересечения:
∙
⋀
∙
⋀
∙

Нечеткое отношение между Х и Y, обозначаемое через
∙
, может быть также задано (max-prod)-композицией отношений
∙
∙
,
⋃
,
⋅
,
Операция свертки является композиционным правилом нечеткого логического вывода.
Композиционными правилами вида (max-T) для нечеткой импликации ЕСЛИ А ТО В являются:
– (max-min)-композиция
max min
,
,
.
– (max-prod)-композиция max
⋅
,
.
3. Методика выполнения работы
3.1. Построение нечетких множеств
Пример. В качестве примера рассматривается универсальное множество
{1, 2,…, 10} и два его подмножества: А – множество чисел, меньших 7, и B – множество чисел, немного меньших 7.
Запишем подмножества в форме объединения одноэлементных подмножеств Х:
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
0 7
0 8
0 9
0 10
, или
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
0 1
0 2
0,5 3
0,6 4
0,8 5
0,9 6
0 7
0 8
0 9
0 10
, или
0,5 3
0,6 4
0,8 5
0,9 6
Несущее множество (носитель) для нечёткого множества В состоит из чисел
3, 4, 5, 6 , вкоторых значения ФП больше нуля.
Точкой перехода для множества B является
3, при котором значение функции принадлежности
0,5.
Поскольку ни одно из значений
3 не достигло своего возможного максимального значения, равного 1, то множество В является субнормальным. Для преобразования его в нормальное необходимо разделить все значения ФП на ее наибольшее значение.
Нечеткое множество В после нормирования примет следующий вид:
5/9 3
2/3 4
8/9 5
1 6

3.2. Выполнение операций с нечеткими множествами.
Пример. Имеется универсальное множество
1, 2, … , 10 и два его подмножества:
0,8 3
1 5
0,6 6
и
0,7 3
0,5 6
Дополнения нечетких множеств А и В:
1 0
1 1
0 2
1 0,8 3
1 0
4 1
1 5
1 0,6 6
1 0
7 1
0 8
1 0
9 1
0 10 1
1 1
2 0,2 3
1 4
0,4 6
1 7
1 8
1 9
1 10 1
1 1
2 0,3 3
1 5
0,5 6
1 7
1 8
1 9
1 10
Выполним операцию min-пересечения нечетких множеств А и В:
⋂
0,7 3
0,5 6
Выполним операцию объединения нечетких множеств А и В:
⋃
0,8 3
1 5
0,6 6
Отметим, что пересечение нечеткого множества со своим дополнением может не быть пустым:
⋂
0,2 3
0,4 6
⊘.
Объединение нечеткого множества со своим дополнением может не составлять универсальное множество Х.
⋂
1 1
1 2
0,7 3
1 4
1 5
0,5 6
1 7
1 8
1 9
1 10
Пример. На отрезке [0, 6] заданы множества А – «величина х
велика» и В – «величина х мала» с функциями принадлежности:
0, если 0 1;
, если 1 4,
1, если 4 6
1, если 0 1;
, если 1 3,
0, если 3 6
Построим дополнения нечетких множеств А и В:
1, если 0 1;
, если 1 4,
0, если 4 6
0, если 0 1;
, если 1 3,
1, если 3 6

Объединение нечетких множеств А и В имеет вид:
∪
max 1,0 , если 0 1
max
,
, если 1 2,2
max
,
, если 2,2 4
max 1,0 , если 4 6
1, если 0 1
если 1 2,2
если 2,2 4
1, если 4 6.
3.3. Нечеткие отношения и их свойства
Пример. В результате каких-то внешних воздействий (например, землетрясения) строительные конструкции получают различные повреждения. Экспертам необходимооценить состояние здания.
Характеристика повреждений отражается в множестве признаков
, , … ,
, например,
– «много трещин»,
–
«большие трещины», – «сильная деформация».
Множество видов потенциально возможных деформаций выражается в признаках
, , … ,
: например,
–
«усталостное или разрывное повреждение»,
– «пластическая деформация»,
– «нестабильность»,
– «прогрессирующее разрушение».
Пусть
, , … ,
– результаты оценки степени повреждения сооружения, которые изменяются от 0 до 1.
На основе профессиональных знаний эксперты могут указать, во-первых, соответствие между характеристиками повреждений и видами деформаций :
,
(табл. 1.5); во-вторых, соответствие между видами деформаций и степенью повреждения
:
,
(табл. 1.6).
Таблица 1.5
Нечеткое отношение
,
«повреждения – деформации»
Признаки повреждения
Виды деформации
– усталость и разрыв
– пластическая деформация
– нестабильность
– прогрессирующее разрушение
– «много трещин»
0,9 0,2 0,6 0,4
– «большие трещины»
0,8 0,3 0,7 0,8
– «сильная деформация»
0,3 0,8 0,9 0,7

Таблица 1.6
Нечеткое отношение
,
«деформации – степень повреждения»
Виды деформации
Степень повреждения
– усталость и разрыв
0,4
– пластическая деформация
0,3
– нестабильность
0,8
– прогрессирующее разрушение
1
Для установления отношений между характеристиками повреждений и степенью повреждения строится «max-min»- композиция нечетких отношений, представленная в табл. 1.7.
∙
,
,
∧
,
∨
,
∧
,
∨
∨
,
∧
,
∨
,
∧
,
0,9 ∧ 0,4 ∨ 0,2 ∧ 0,3 ∨ 0,6 ∧ 0,8 ∨ 0,4 ∧ 1 0,6.
Таблица 1.7
Нечеткое отношение
∙
«повреждения – степень повреждения»
∙
,
Степень повреждения
«max-min»-композиция
– «много трещин»
0,6
– «большие трещины»
0,8
– «сильная деформация»
0,8
«max-prod»-композиция
– «много трещин»
0,4
– «большие трещины»
0,8
– «сильная деформация»
0,7
По результатам построения нечеткой композиции определяются наиболее возможные степени повреждения конструкции здания в зависимости от характеристик повреждений: так, например, наибольшие степени повреждения здания получают при наличии больших трещин и сильной деформации.
Порядок выполнения работы
1. По варианту задания 1 представить три неточные формулировки некоторого понятия, представленного на естественном языке, в виде нечетких подмножеств
,
, . В качестве области рассуждений определить диапазон
0; x