Файл: Практикум по дисциплинам Методы искусственного интеллекта в управлении, Интеллектуальное управление сложными объектами.pdf

Рис. 2.4. Агрегирование для сложного условия
Если в сложном высказывании Если ( = ) И ( = ) два простых подусловия связаны логическим союзом И (конъюнктивное условие), то степень выполнения условия для числовых значений аргументов
∗
и
∗
определяется с помощью любого из операторов T-нормы, например, min или prod:
⋂
∗
,
∗
∗
,
∗
;
∗
,
∗
0,3;
∗
,
∗
0,24.
Если в сложном высказывании Если ( = ) ИЛИ ( = ) два простых подусловия связаны логическим союзом
ИЛИ
(альтернативное условие), то степень выполнения условия для числовых значений аргументов
∗
и
∗
определяется с помощью любого из операторов S-нормы, например, max:
⋃
∗
,
∗
∗
,
∗
,
∗
,
∗
0,8.
Условия могут иметь и более сложную форму – состоять из множества подусловий, связанных союзами И, ИЛИ, например, как в выражении: Если ( = ) И ( = ) ИЛИ ( = ) И ( = ).
В этом случае вначале следует выполнять все операции пересечения
И, а затем все операции объединения ИЛИ.
После нахождения степеней выполнения условий для отдельных правил становится ясным, какие правила будут участвовать в процессе логического вывода, и появляется возможность определения активизированных ФП заключений отдельных правил при заданных входных значениях
∗
нечеткой модели.

2.2.2. Активизация в системах НЛВ – операция, которая может быть названа выводом на правилах и заключается в определении активизированных ФП заключений отдельных правил.
Функции принадлежности каждого из элементарных подзаключений консеквентов всех продукционных правил определяются при помощи одного из методов нечеткой композиции:
– min-активизация
∗
min
,
;
– prod-активизация
∗
∙
, где
∙
– ФП терма, который является значением выходной переменной нечеткого правила;
– степени истинности нечетких высказываний, образующих соответствующие следствия ядер нечетких продукционных правил.
При min-активизации ФП вывода в правой части правила
«отсекается» по высоте, соответствующей вычисленной степени истинности предпосылки в левой части правила.
На рис. 2.5 представлена min-активизация для Правила 1 ЕСЛИ
( = ) И ( = ) ТО (y = ).
Рис. 2.5. Min-активизация для сложного правила
В prod-активизации ФП вывода масштабируется в соответствии с вычисленной степенью истинности предпосылки левой части правила. На рис. 2.6 представлена prod-активизация для
Правила 1.
Рис. 2.6. Prod-активизация для сложного правила

2.2.3. Аккумулирование в системах НЛВ – это процедура объединения, или аккумулирования, всех степеней истинности заключений правил; формирования результирующего нечеткого множества и нахождения результирующей ФП
Результирующая ФП определяется с использованием одной из S-норм, например, с помощью операции максимума (max) или суммы (sum). На рис. 2.7 представлена результирующая ФП для правил нечеткой базы правил, построенная с помощью операции max.
Рис. 2.7. Результирующая ФП, построенная с помощью операции max
2.3. Дефаззификация
Под дефаззификацией нечеткого множества, являющегося результатом нечеткого логического вывода, понимается операция нахождения четкого (числового) значения
∗
, которое бы наиболее
«рациональным» образом представляло это множество. Цель дефаззификации заключается в том, чтобы, используя результаты аккумуляции всех выходных ЛП, получить количественное значение каждой из выходных переменных, которое может быть использовано
исполнительными механизмами системы управления, внешними по отношению к системе нечеткого вывода.
Рис. 2.8. Иллюстрация методов дефаззификации

Существуют различные методы дефаззификации, наиболее известными среди которых являются (см. рис. 2.8):
– CОG (Center of Gravity) – метод центра тяжести, в котором определяется абсцисса центра тяжести фигуры, ограниченной графиком ФП. Значение координаты центра тяжести может быть найдено как отношение момента фигуры под кривой относительно вертикальной оси к площади этой фигуры:
∗
, пределы интегрирования задаются областью определения результирующего нечёткого множества-вывода. Для интегрирования необходимо определить точки пересечения отдельных составляющих
ФП, разбить поверхность на секторы и выполнить интегрирование в пределах каждого из секторов.
Для дискретного нечеткого множества значение координаты центра тяжести определяется по формуле:
∗
∑
∙
∑
;
– SOM (Smallest Of Maximums) – метод первого из максимумов, в котором в качестве четкого значения y, представляющего результирующее нечеткое множество, выбирается наименьшее значение, максимизирующее его ФП;
– LOM (Largest Of Maximums) – метод последнего максимума, где в качестве четкого значения y выбирается наибольшее значение, соответствующее максимуму ФП;
– MOM (Mean Of Maximums) – метод центра максимума, в котором ФП рассматривается как функция, представляющая результирующее множество средним значением, соответствующим максимуму ФП.
2.4. Алгоритмы нечеткого логического вывода
Рассмотрим алгоритмы нечеткого логического вывода.
Положим, что базу правил образуют два нечетких правила вида:
П 1: ЕСЛИ ( = ) И ( = ) ТО (y = );
П 2: ЕСЛИ ( = ) И ( = ) ТО (y = ), где и – имена входных переменных; – имя переменной выво- да; , , , ,
, – некоторые значения нечетких подмножеств.

Необходимо определить на основе четких значений
∗
и
∗
и приведенной базы нечетких правил четкое значение выхода .
2.4.1. Алгоритм Мамдани былпредложен в 1975 г. английским математиком Э. Мамдани. Данный алгоритм получил наибольшее применение в системах НЛВ. Этапы нечеткого логического вывода в алгоритме Мамдани описываются в табл. 2.1.
2.4.2. Алгоритм Ларсена (табл. 2.1) отличается от алгоритма
Мамдани тем, что в нем нечеткая импликация моделируется с использованием операции алгебраического произведения. В случае немонотонных входных нечётких множеств данный алгоритм оказывается точнее алгоритма Мамдани.
Таблица 2.1
Алгоритмы Мамдани и Ларсена
№
Шаг алгоритма
Описание
1 Фаззифи- кация определяются степени истинности предпосылок каждого правила:
∗
),
∗
),
∗
),
∗
)
2 Агреги- рование определяются уровни «отсечения» для предпосылок каждого из правил с использованием операции «min»:
∗
∧
∗
);
∗
∧
∗
)
3
Активи- зация по
Мамдани определяются «усеченные» результирующие ФП на основе min-активизации:
∗
∧
;
∗
∧
Активи- зация по
Ларсену определяются «усеченные» результирующие ФП на основе prod-активизации:
∗
∙
;
∗
∙
4 Аккуму- ляция: с использованием операции max производится объединение найденных усеченных ФП, что приводит к получению итогового нечеткого подмножества для выходной переменной:
∗
∨
∗
∧
∨
∧
5 Дефаззи- фикация нахождение выходной переменной проводится любым из методов дефаззификации, например, методом центра тяжести
2.4.3. Алгоритм Сугено. Модели Такаги-Сугено (TS-модели) еще называют квазилинейными моделями и нечеткими линейными моделями. От моделей Мамдани, в которых правила представлены в виде ЕСЛИ (x =A) ТО (y = B), TS-модели отличаются формой правил:
ЕСЛИ (x = A) ТО (y = f(x)),

т.е. вместо нечетких термов заключение каждого правила содержит функцию f(x), которая может быть представлена как линейной функцией от входов вида (y = ax + b), так и нелинейной ФП.
Если в модели нечеткой системы база правил имеет вид:
Правило 1: ЕСЛИ ( = ) ТО (
);
….
Правило m: ЕСЛИ (
=
) ТО (
), то значение выхода модели вычисляется на основе степеней активизации отдельных заключений
,
1, … , , в соответствии с формулой:
∑
∙
∑
Этапы выполнения алгоритма Сугено описываются в табл. 2.2; при этом используется набор из двух правил:
П 1: ЕСЛИ ( = ) И ( = ) ТО (y =
∙
∙
);
П 2: ЕСЛИ ( = ) И ( = ) ТО (y =
∙
∙
).
Таблица 2.2
Алгоритм Такаги-Сугено
№
Шаг
Описание
1 Фаззифи- кация определяются степени истинности предпосылок каждого правила:
∗
),
∗
),
∗
),
∗
)
2 Агрегиро- вание определяются уровни «отсечения» для предпосылок каждого из правил с использованием операции «min»:
∗
∧
∗
);
∗
∧
∗
)
3 Активи- зация определяются значения степеней истинности всех заключений правил нечётких продукций:
∗
∙
∗
∙
∗
;
∗
∙
∗
∙
∗
4 Аккуму- ляция: практически отсутствует, т.к. для расчётов используются действительные числа
5 Дефаззи- фикация используется модифицированный вариант расчета четкого значения переменной:
∙
∗
∙
∗
2.5. Системы нечеткого вывода в задачах управления
Одним из основных направлений практического использования систем нечеткого вывода (СНВ) является решение задач управления различными объектами или процессами. В этом случае построение нечеткой модели основывается на формальном представлении

характеристик исследуемой системы в терминах ЛП. Поскольку кроме алгоритма управления, основными понятиями систем управления (СУ) являются входные и выходные переменные, то именно они рассматриваются как ЛП при формировании базы правил в СНВ.
В общем случае цель управления заключается в том, чтобы на основе анализа текущего состояния объекта управления (ОУ) определить значения управляющих переменных, реализация которых позволяет обеспечить желаемое поведение или состояние ОУ. Для решения этих задач используется классическая теория управления, которая основывается на представлении объекта и процесса управления в форме систем с обратной связью (рис. 2.9).
Рис. 2.9. Архитектура компонентов процесса управления с обратной связью
С датчиков, преобразующих контролируемые параметры ОУ в сигналы, входные переменные поступают на вход СУ. На выходе СУ на основе некоторого алгоритма управления формируется множество значений выходных переменных, которые еще называют управляющими переменными. Значения переменных процесса управления поступают на вход ОУ и, совместно со значениями входных параметров ОУ, изменяют его поведение в желаемом направлении. В такой системе используемые для управления техническими объектами СУ называются контроллерами.
Модель нечеткого управления основана на замене классической
СУ системой нечеткого управления, в качестве которой используются
СНВ. В этом случае модель нечеткого управления (рис. 2.10) строится с учетом необходимости реализации всех этапов нечеткого вывода, а сам процесс вывода реализуется на основе одного из ранее рассмотренных алгоритмов нечеткого вывода.

Рис. 2.10. Архитектура компонентов процесса нечеткого управления
3. Методика выполнения работы
3.1. Построение модели системы нечеткого управления смесителем воды в душе на основе алгоритмов нечеткого логического вывода Мамдани и Ларсена с простыми правилами вида SISO
При принятии душа на вход смесителя подается холодная и горячая вода. Наиболее комфортные условия для душа создаются при наличии на выходе смесителя теплой воды постоянной температуры.
Во время принятия душа возможен неравномерный расход воды, поэтому температура воды на выходе смесителя может колебаться, приводя к необходимости ручного изменения подачи холодной или горячей воды. Задача состоит в том, чтобы сделать регулировку температуры воды автоматической, обеспечивая постоянную температуру воды на выходе смесителя (рис. 2.11).
Рис. 2.11. Иллюстрация модели нечеткого управления смесителем воды в душе

Опыт принятия душа позволяет сформулировать несколько эвристических правил, которые применяются каждым человеком при регулировании температуры воды на выходе смесителя. Примем, что поворот вентиля вправо ведет к уменьшению температуры поступающей воды, а поворот влево – к увеличению.
1. Если вода холодная, то следует повернуть вентиль крана горячей воды на большой угол влево.
2. Если вода прохладная, то следует повернуть вентиль крана горячей воды на небольшой угол влево.
3. Если вода теплая, то оставить вентиль крана горячей воды без воздействия.
4. Если вода не очень горячая, то следует повернуть вентиль крана горячей воды на небольшой угол вправо.
5. Если вода горячая, то следует повернуть вентиль крана горячей воды на большой угол вправо.
Представленные правила будут основой базы правил СНВ модели нечеткого управления. Для формирования базы правил необходимо сначала определить входные и выходные ЛП.
Входная ЛП – «температура воды» на выходе смесителя (
о
С) использует терм-множество = {«холодная»
, «прохладная»
,
«теплая»
, «не очень горячая»
, «горячая»
, с ФП, изображенными на рис. 2.12.
Рис. 2.12. График ФП для термов ЛП «Температура воды»
Выходная ЛП – «угол поворота вентиля крана горячей воды», измеряемый в угловых градусах: поворот вправо означает положительное направление отсчета, а поворот влево – отрицатель- ное. Терм-множеством ЛП является множество = {«большой

угол влево»
, «небольшой угол влево»
, «нуль»
, «небольшой угол вправо»
, «большой угол вправо»
} с кусочно-линейными
ФП, изображенными на рис. 2.13.
Рис. 2.13 График ФП для термов ЛП «Угол поворота вентиля крана»
Итак, база нечетких правил имеет вид:
Правило 1: ЕСЛИ x = ТО y =
Правило 2: ЕСЛИ x = ТО y =
Правило 3: ЕСЛИ x = ТО y = .
Правило 4: ЕСЛИ x = ТО y = .
Правило 5: ЕСЛИ x = ТО y =
Необходимо определить угол поворота вентиля крана горячей воды для случая, когда текущая температура воды на выходе смесителя равна 55°С. Для решения задачи используется алгоритм
НЛВ Мамдани (рис. 2.14).
Фаззификация входной ЛП приводит к срабатыванию 3-го и 4-го правил нечетких продукций, поэтому эти правила считаются
активными и используются в текущем процессе нечеткого вывода.
Степени истинности для предпосылок активных правил равны 0,2 и
0,5:
|
∗
0,2;
|
∗
0,5.
Поскольку все условия в правилах заданы в форме простых высказываний типа SISO, этап их агрегирования тривиален и оставляет степени истинности 0,2 и 0,5 без изменения.
На этапе активизации заключений в нечетких правилах продукций определяются «усеченные» результирующие ФП:
Правило 3:
|
∗
0,2;
;
Правило 4:
|
∗
0,5;