ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2274
Скачиваний: 1
71
Задаемся
в
области
D
некоторой
системой
дважды
дифференцируемых
функций
)
(
...,
),
(
),
,
(
1
0
x
u
x
u
t
x
u
n
таких
,
что
)
,
(
0
t
x
u
удовлетворяет
краевым
условиям
(3.2),
а
пробные
функции
)
(
x
u
i
)
1
(
i
являются
линейно
независимыми
на
b
a
,
и
удовлетворяют
однородным
краевым
условиям
.
0
)
(
)
(
,
0
)
(
)
(
1
0
1
0
b
u
b
b
u
b
a
u
a
a
u
a
(3.6)
Составляем
функцию
n
k
k
k
n
x
u
t
v
t
x
u
t
x
u
1
0
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
(3.7)
с
неизвестными
пока
функциями
)
(
...,
),
(
),
(
2
1
t
v
t
v
t
v
n
,
зависящими
только
от
аргумента
t
.
Подчеркнем
,
что
в
силу
линейности
условий
(3.2)
и
(3.6),
функция
(3.7)
удовлетворяет
условиям
(3.2)
при
любых
функциях
)
(
),...,
(
1
t
v
t
v
n
.
Значит
,
следует
так
определить
)
(
t
v
i
)
1
(
i
и
количество
)
(
n
этих
функций
,
чтобы
)
,
(
t
x
u
n
из
(3.7)
удовлетворяла
уравнению
(3.1)
и
начальному
условию
(3.3)
с
заданной
точностью
.
Подставляя
)
,
(
t
x
u
n
вместо
)
,
(
t
x
u
в
уравнение
(3.1),
получаем
невязку
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
,
),
(
),...,
(
1
0
1
0
1
1
2
0
2
0
1
1
t
x
g
u
v
u
t
x
u
v
x
u
x
K
u
v
x
u
t
x
K
t
u
x
u
dt
dv
t
x
t
v
t
v
R
n
k
k
k
n
k
k
k
n
k
n
k
k
k
k
k
n
или
.
,
,
,...,
0
0
0
2
0
2
1
1
1
1
t
u
g
u
x
u
x
K
x
u
K
v
u
u
x
K
u
K
dt
dv
u
t
x
v
v
R
n
k
k
k
k
k
n
k
k
k
n
(3.8)
Подставляя
)
0
,
(
x
u
n
,
полученную
из
(3.7)
при
0
t
,
в
(3.3),
находим
невязку
)
(
)
(
)
0
(
)
0
,
(
),
0
(
),...,
0
(
1
0
1
2
x
f
x
u
v
x
u
x
v
v
R
n
k
k
k
n
. (3.9)
Невязки
1
R
и
2
R
являются
характеристиками
уклонения
функции
(3.7)
от
точного
решения
)
,
(
t
x
U
задачи
(3.1)–(3.4).
Во
всяком
случае
,
если
при
некотором
наборе
функций
)
(
),...,
(
1
t
v
t
v
n
0
1
R
и
0
2
R
,
то
функция
)
,
(
t
x
u
n
из
(3.7) –
точное
решение
)
,
(
t
x
U
.
В
общем
случае
эти
невязки
оказываются
отличными
от
нуля
.
Поэтому
накладываем
дополнительные
условия
на
функции
)
(
t
v
k
и
их
начальные
значения
)
0
(
k
v
так
,
чтобы
невязки
в
каком
-
то
смысле
были
бы
наименьшими
.
72
В
обобщенном
методе
Галеркина
эти
условия
определяются
системой
уравнений
:
;
,
1
,
0
)
(
,
,
),
(
),...,
(
1
1
n
k
x
w
t
x
t
v
t
v
R
k
n
(3.10)
;
,
1
,
0
)
(
,
),
0
(
),...,
0
(
1
2
n
k
x
w
x
v
v
R
k
n
(3.11)
где
)
(
),...,
(
1
x
w
x
w
n
–
заданные
линейно
независимые
на
b
a
,
поверочные
функции
и
b
a
dx
x
W
x
V
x
W
x
V
)
(
)
(
))
(
),
(
(
.
Напомним
здесь
,
что
если
поверочные
функции
)
(
),...,
(
1
x
w
x
w
n
входят
в
полную
на
b
a
,
систему
функций
,
то
можно
ожидать
сходимости
последовательности
0
)
,
(
t
x
u
n
в
среднем
к
точному
решению
)
,
(
t
x
U
[1].
Запишем
условия
(3.10)
в
развернутом
виде
,
0
)
(
,
)
,
(
)
(
0
0
0
1
1
x
w
t
u
t
x
g
u
x
u
K
x
u
u
K
x
v
dt
dv
x
u
k
n
j
j
j
j
n
j
j
j
или
,
0
)
(
,
)
,
(
,
,
0
0
0
1
1
x
w
t
u
t
x
g
u
x
u
K
x
v
w
u
u
K
x
w
u
dt
dv
k
n
j
j
k
j
j
n
j
k
j
j
или
n
k
t
b
v
t
c
dt
dv
a
k
n
j
j
kj
n
j
j
kj
,
1
),
(
)
(
1
1
; (3.12)
где
b
a
k
j
k
j
kj
dx
x
w
x
u
w
u
a
)
(
)
(
,
, (3.13)
b
a
k
j
j
j
k
j
j
kj
dx
w
u
u
x
K
u
K
w
u
u
K
x
c
,
, (3.14)
b
a
k
k
k
dx
w
t
u
g
u
x
u
x
K
x
u
K
x
w
t
u
t
x
g
u
x
u
K
x
t
b
,
)
(
,
)
,
(
)
(
0
0
0
2
0
2
0
0
0
(3.15)
n
k
,
1
,
n
j
,
1
.
Если
ввести
в
рассмотрение
матрицы
73
,
,
,
,
1
,
1
,
n
j
n
k
n
kj
n
kj
v
V
b
B
c
C
a
A
то
система
(3.12)
в
матричном
виде
запишется
так
B
CV
dt
dV
A
. (3.16)
Покажем
,
что
матрица
A
всегда
невырожденная
,
т
.
е
. 0
det
A
.
Рассмотрим
однородную
линейную
алгебраическую
систему
уравнений
относительно
неизвестных
n
,...,
,
2
1
n
j
j
k
j
n
k
w
u
1
,
1
,
0
,
. (3.17)
Если
0
det
A
,
то
система
(3.17)
имеет
множество
ненулевых
решений
.
Пусть
одним
из
таких
решений
является
совокупность
n
,...,
,
2
1
,
где
,
например
,
0
m
.
Подставляя
это
решение
в
уравнение
системы
(3.17),
суммируя
все
получившиеся
при
этом
равенства
и
используя
свойства
скалярного
произведения
,
получаем
0
...
,
...
1
1
1
n
n
n
w
w
u
u
,
0
m
.
Так
как
функции
)
(
x
w
k
линейно
независимы
,
то
0
...
1
n
w
w
.
Значит
,
должно
выполнятся
тождество
0
,
0
...
1
1
m
n
n
u
u
.
Но
это
невозможно
из
-
за
линейной
независимости
функций
n
u
u
,...,
1
.
Значит
,
ненулевых
решений
у
системы
(3.17)
нет
,
а
для
этого
необходимо
и
достаточно
,
чтобы
0
det
A
.
Таким
образом
,
матрица
A
невырожденная
и
,
следовательно
,
имеет
обратную
матрицу
1
A
.
Теперь
из
(3.16)
получаем
B
CV
A
dt
dV
1
. (3.18)
Таким
образом
,
функции
)
(
t
v
j
должны
удовлетворять
нормальной
системе
линейных
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
n
-
го
порядка
.
Заметим
,
что
если
функции
)
,
(
),
,
(
t
x
t
x
K
зависят
только
от
x
,
то
система
(3.18)
–
система
с
постоянными
коэффициентами
.
Заметим
так
же
,
что
если
в
качестве
поверочных
функций
выбраны
пробные
,
которые
ортогональны
,
то
матрицы
A
и
1
A
являются
диагональными
матрицами
.
Запишем
теперь
в
развернутом
виде
условия
(3.11).
Получаем
;
0
)
(
),
(
)
0
,
(
)
0
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
(
)
0
(
)
0
,
(
0
1
1
0
x
w
x
f
x
u
v
x
w
x
u
x
w
x
f
x
u
v
x
u
k
n
j
j
k
j
k
n
j
j
j
или
;
,
1
,
)
(
),
0
,
(
)
(
)
0
(
)
(
),
(
0
1
n
k
x
w
x
u
x
f
v
x
w
x
u
k
j
n
j
k
j
или
74
;
,
1
,
)
0
(
1
n
k
d
v
a
k
n
j
j
kj
(3.19)
где
kj
a
определяются
формулами
(3.13),
а
b
a
k
k
k
dx
x
w
x
u
x
f
x
w
x
u
x
f
d
.
)
(
)
0
,
(
)
(
)
(
),
0
,
(
)
(
0
0
Если
ввести
матрицу
1
,
n
k
d
D
,
то
из
(3.19)
получаем
D
A
V
1
)
0
(
. (3.20)
Таким
образом
,
для
нахождения
функций
n
k
t
V
k
,
1
),
(
,
определяющих
пробное
решение
(3.7),
получаем
задачу
Коши
для
нормальной
системы
(3.18)
линейных
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
n
-
го
порядка
с
начальными
условиями
(3.20).
Решив
указанную
задачу
Коши
и
подставив
определяемые
этим
решением
функции
)
(
t
v
k
в
(3.7),
заканчиваем
построение
пробного
решения
)
,
(
t
x
u
n
.
Опишем
возможный
алгоритм
построения
приближенного
решения
задачи
(3.1)–(3.3)
методом
Галеркина
,
предполагая
,
что
последовательность
0
)
,
(
t
x
u
n
сходится
равномерно
к
точному
решению
)
,
(
t
x
U
.
1.
Подготовительный
шаг
алгоритма
.
На
этом
шаге
выбираем
функцию
)
,
(
0
t
x
u
и
находим
невязку
)
,
(
)
,
(
0
10
t
x
g
u
L
t
x
R
от
подстановки
функции
)
,
(
0
t
x
u
в
уравнение
(3.1).
Находим
невязку
)
(
)
0
,
(
)
(
0
20
x
f
x
u
x
R
для
условия
(3.3).
Определяем
10
10
)
,
(
max
t
x
R
D
и
20
20
,
)
(
max
x
R
b
a
.
Если
1
10
и
2
20
,
где
1
и
2
заданные
меры
точности
приближенного
решения
,
то
полагаем
)
,
(
~
)
,
(
0
t
x
u
t
x
U
.
В
противном
случае
переходим
к
следующему
шагу
алгоритма
,
предварительно
выбрав
)
(
x
u
j
и
поверочные
)
(
x
w
k
функции
.
2.
Первый
шаг
алгоритма
.
Определив
функцию
)
(
1
t
v
из
решения
задачи
Коши
(3.18), (3.20)
при
1
n
,
строим
функции
)
(
)
(
)
,
(
1
1
0
1
x
u
t
v
u
t
x
u
.
Находим
по
формулам
(3.8), (3.9)
невязки
x
v
R
t
x
t
v
R
),
0
(
,
,
),
(
1
21
1
11
и
определяем
11
1
11
,
,
max
t
x
v
R
D
и
21
1
21
,
),
0
(
max
x
v
R
b
a
.
Если
1
11
и
2
21
,
то
полагаем
)
,
(
~
)
,
(
1
t
x
u
t
x
U
,
и
вычисления
заканчиваем
.
В
противном
случае
переходим
к
вычислениям
на
втором
шаге
алгоритма
и
т
.
д
.
Таким
образом
,
на
m
-
ом
1
m
шаге
алгоритма
строим
функцию
m
k
k
k
m
x
u
t
v
t
x
u
t
x
u
1
0
),
(
)
(
)
,
(
)
,
(
определив
предварительно
функции
)
(
),...,
(
1
t
v
t
v
m
из
решения
задачи
Коши
(3.18), (3.20)
при
m
n
.
Находим
по
формулам
(3.8), (3.9)
невязки
75
x
v
v
R
t
x
t
v
t
v
R
m
m
m
m
),
0
(
),...,
0
(
,
,
),
(
),...,
(
1
2
1
1
,
а
затем
вычисляем
m
m
m
D
t
x
t
v
t
v
R
1
1
1
,
),
(
),...,
(
max
и
m
m
m
b
a
x
v
v
R
2
1
2
,
),
0
(
),...,
0
(
max
.
Если
1
1
m
и
2
2
m
,
то
полагаем
)
,
(
~
)
,
(
t
x
u
t
x
U
m
,
в
противном
случае
переходим
к
)
1
(
m
-
му
шагу
алгоритма
.
3.2.
О
построении
функции
u
0
(x,t)
Пробные
и
поверочные
функции
можно
выбирать
так
же
или
такими
же
методами
,
как
описано
в
предыдущей
главе
.
Поэтому
обсудим
здесь
только
возможность
построения
функции
)
,
(
0
t
x
u
в
виде
многочлена
относительно
x
с
коэффициентами
,
зависящими
от
t
,
и
рассмотрим
несколько
примеров
,
иллюстрирующих
эту
возможность
.
Например
,
положив
)
(
)
,
(
0
t
A
t
x
u
,
из
условий
(3.2)
получаем
систему
функциональных
уравнений
),
(
)
(
),
(
)
(
2
0
2
0
t
b
t
A
b
t
a
t
A
a
и
если
2
0
2
0
a
b
b
a
,
то
система
совместна
и
0
2
)
(
)
(
a
t
a
t
A
.
Если
же
2
0
2
0
a
b
b
a
,
то
система
несовместна
,
и
ищем
)
,
(
0
t
x
u
в
виде
)
,
(
)
(
)
(
)
,
(
1
0
t
x
P
x
t
B
t
A
t
x
u
.
Для
определения
)
(
t
A
и
)
(
t
B
из
условий
(3.2)
получаем
систему
функциональных
уравнений
);
(
)
(
)
(
),
(
)
(
)
(
2
1
0
0
2
1
0
0
t
b
t
B
b
b
b
t
A
b
t
a
t
B
a
a
a
t
A
a
которую
можно
исследовать
,
используя
теорему
Кронекера
-
Капелли
,
как
линейную
неоднородную
алгебраическую
систему
относительно
неизвестных
функций
)
(
t
A
и
)
(
t
B
.
Если
0
1
0
0
1
0
0
1
a
a
a
b
b
b
b
a
,
то
система
совместна
и
определена
при
этом
,
)
(
,
)
(
1
2
0
2
0
1
1
0
2
1
0
2
b
b
a
a
t
B
b
b
b
b
a
a
a
a
t
A
и
функция
)
,
(
)
,
(
1
0
t
x
P
t
x
u
определяется
однозначно
.
Если
0
1
,
то
система
несовместна
,
и
ищем
t
x
u
,
0
в
виде
).
,
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
2
2
0
t
x
P
x
t
C
x
t
B
t
A
t
x
u
Для
определения
)
(
t
A
и
)
(
t
B
из
условий
(3.2)
получаем
систему