ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2276
Скачиваний: 1
66
;
7
1
1
)
(
;
6
1
1
)
(
;
5
1
1
)
(
;
4
1
1
)
(
;
3
1
1
)
(
;
5
6
)
(
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
0
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
u
причем
0
0
u
R
.
В
результате
расчета
по
программе
ODE.mcd
при
5
n
получим
вектор
коэффициентов
)
130778
,
1
133009
,
0
466128
,
2
564241
,
2
140938
,
1
(
С
.
Подставив
коэффициенты
k
C
,
набираем
в
файле
отчета
получившееся
пробное
решение
:
).
(
130778
,
1
)
(
133009
,
0
)
(
466128
,
2
)
(
564241
,
2
)
(
140938
,
1
)
(
)
(
5
4
3
2
1
0
5
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
y
Определяем
значения
мер
точности
:
,
0004801
,
0
)
(
)
(
max
4
5
,
13
x
y
x
y
b
a
0,004606,
,
,...,
max
5
1
,
23
x
C
C
R
b
a
,00003062.
0
)
(
)
(
max
5
,
33
x
y
x
Y
b
a
4.2.
В
качестве
пробных
функций
используем
функции
,
полученные
в
примере
4
раздела
2.5:
);
4
cos(
4
)
4
sin(
)
(
);
3
cos(
3
)
3
sin(
)
(
);
2
cos(
2
)
2
sin(
)
(
);
cos(
)
sin(
)
(
;
)
(
;
5
6
)
(
5
4
3
2
1
0
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
x
u
e
x
u
x
x
u
x
причем
0
0
u
R
.
Замечание
.
Процедуру
получения
функций
вида
(2.34) – (2.36)
необходимо
описать
в
файле
отчета
.
В
результате
расчета
по
программе
ODE.mcd
при
5
n
получим
вектор
коэффициентов
)
000202
,
0
001314
,
0
008526
,
0
209285
,
0
539001
,
4
(
С
.
Подставив
коэффициенты
k
C
,
набираем
в
файле
отчета
получившееся
пробное
решение
:
).
(
000202
,
0
)
(
001314
,
0
)
(
008526
,
0
)
(
209285
,
0
)
(
539001
,
4
)
(
)
(
5
4
3
2
1
0
5
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
y
Определяем
значения
мер
точности
:
,
006344
,
0
)
(
)
(
max
4
5
,
14
x
y
x
y
b
a
0,229,
,
,...,
max
5
1
,
24
x
C
C
R
b
a
,006182.
0
)
(
)
(
max
5
,
34
x
y
x
Y
b
a
5.
Найдем
приближенное
решение
краевой
задачи
(2.41)
интегральным
методом
наименьших
квадратов
.
67
5.1.
В
пункте
«
Получение
приближенного
решения
интегральным
методом
наименьших
квадратов
»
в
качестве
пробных
функций
используем
функции
вида
(2.26),
полученные
в
примере
1
раздела
2.5:
.
7
1
1
)
(
,
6
1
1
)
(
,
5
1
1
)
(
,
4
1
1
)
(
,
3
1
1
)
(
,
5
6
)
(
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
0
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
u
В
результате
расчета
по
программе
при
5
n
получим
вектор
коэффициентов
)
202339
,
1
033207
,
0
595731
,
2
526122
,
2
137761
,
1
(
С
.
Подставив
коэффициенты
k
C
,
набираем
в
файле
отчета
получившееся
пробное
решение
:
).
(
202339
,
1
)
(
033207
,
0
)
(
595731
,
2
)
(
526122
,
2
)
(
137761
,
1
)
(
)
(
5
4
3
2
1
0
5
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
y
Определяем
значения
мер
точности
:
,
0003475
,
0
)
(
)
(
max
4
5
,
15
x
y
x
y
b
a
0,009123,
,
,...,
max
5
1
,
25
x
C
C
R
b
a
,000023.
0
)
(
)
(
max
5
,
35
x
y
x
Y
b
a
5.2.
В
качестве
пробных
функций
используем
функции
вида
(2.29)
полученные
в
примере
3
раздела
2.5:
.
)
1
(
)
(
,
)
1
(
)
(
,
)
1
(
)
(
,
4
1
1
)
(
,
3
1
1
)
(
,
5
6
)
(
4
2
5
3
2
4
2
2
3
3
2
2
1
0
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
u
Замечание
.
Процедуру
получения
функций
вида
(2.29),
необходимо
описать
в
файле
отчета
.
В
результате
расчета
по
программе
при
5
n
получим
вектор
коэффициентов
)
171763
,
0
337991
,
0
023365
,
1
361081
,
9
207857
,
4
(
С
.
Подставив
коэффициенты
k
C
,
набираем
в
файле
отчета
получившееся
пробное
решение
:
).
(
171763
,
0
)
(
337991
,
0
)
(
023365
,
1
)
(
361081
,
9
)
(
207857
,
4
)
(
)
(
5
4
3
2
1
0
5
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
y
Определяем
значения
мер
точности
:
,
0003475
,
0
)
(
)
(
max
4
5
,
16
x
y
x
y
b
a
0,009123,
,
,...,
max
5
1
,
26
x
C
C
R
b
a
,000023.
0
)
(
)
(
max
5
,
36
x
y
x
Y
b
a
68
2.11.
Основные
термины
Линейное
дифференциальное
уравнение
второго
порядка
,
краевые
(
граничные
)
условия
,
краевая
задача
.
Точное
,
приближенное
,
пробное
решения
уравнения
.
Невязка
пробного
решения
уравнения
.
Пробные
и
поверочные
функции
,
линейная
независимость
и
ортогональность
функций
,
функциональная
последовательность
.
Численный
метод
,
алгоритм
.
Методы
взвешенных
невязок
:
метод
Галеркина
,
метод
наименьших
квадратов
.
Вариационный
метод
Ритца
,
функционал
.
2.12.
Вопросы
для
самоконтроля
1.
Опишите
алгоритм
решения
краевой
задачи
для
линейного
дифференциального
уравнения
второго
порядка
аналитическим
методом
.
2.
Каким
образом
уравнение
(2.1)
свести
к
равносильному
уравнению
типа
(2.2)?
3.
Найдите
решение
краевой
задачи
(2.41)
аналитическим
методом
.
4.
Каковы
отличия
краевой
задачи
от
задачи
Коши
?
5.
Каким
условиям
должны
удовлетворять
пробные
функции
в
методе
Галеркина
?
6.
Как
находится
функция
,
названная
в
методе
Галеркина
невязкой
пробного
решения
?
7.
Какими
свойствами
должны
обладать
поверочные
функции
в
методе
Галеркина
?
8.
Как
в
методе
Галеркина
строится
система
линейных
алгебраических
уравнений
для
определения
коэффициентов
пробного
решения
?
Проверьте
истинность
формул
(2.11), (2.12).
9.
В
каком
случае
невязка
пробного
решения
сходится
к
нулю
в
среднем
при
n
?
10.
Опишите
алгоритм
приближенного
решения
краевой
задачи
для
линейного
дифференциального
уравнения
второго
порядка
методом
Галеркина
.
11.
В
чем
основная
идея
вариационного
подхода
к
решению
краевой
задачи
(2.2), (2.3)?
12.
Проверьте
правильность
данных
,
представленных
в
таблице
2.1.
69
13.
Какими
свойствами
должны
обладать
пробные
функции
в
методе
Ритца
?
14.
Как
в
методе
Ритца
находится
невязка
пробного
решения
?
15.
Как
в
методе
Ритца
строится
система
алгебраических
уравнений
для
определения
коэффициентов
пробного
решения
?
Проверьте
справедливость
соотношений
(2.17), (2.18).
16.
Опишите
алгоритм
приближенного
решения
краевой
задачи
(2.2),(2.3)
методом
Ритца
.
17.
Как
в
методе
наименьших
квадратов
строится
система
линейных
уравнений
для
определения
параметров
пробного
решения
?
18.
Получите
самостоятельно
развернутый
вид
условий
(2.22),
проверив
тем
самым
справедливость
формул
(2.23), (2.24).
19.
Опишите
алгоритм
приближенного
решения
краевой
задачи
(2.1), (2.3)
интегральным
методом
наименьших
квадратов
.
20.
Докажите
,
что
ортогональная
на
]
,
[
b
a
система
функций
,
среди
которых
нет
тождественно
равной
нулю
,
линейно
независима
.
21.
Приведите
пример
пробных
функций
для
решения
задачи
методами
Галеркина
,
Ритца
и
интегральным
методом
наименьших
квадратов
.
22.
Приведите
пример
построения
пробных
функций
методом
неопределенных
коэффициентов
.
23.
Напишите
два
многочлена
Лежандра
,
ортогональные
на
отрезке
[2; 4],
и
проверьте
их
ортогональность
.
24.
Приведите
пример
задачи
на
собственные
значения
(
уравнение
и
краевые
условия
).
25.
Напишите
две
собственные
функции
задачи
(2.32), (2.33)
и
проверьте
их
ортогональность
.
26.
Приведите
физические
интерпретации
изучаемой
краевой
задачи
.
70
3.
Решение
начально
-
краевой
задачи
для
одномерного
параболического
уравнения
методом
Галеркина
3.1.
Постановка
задачи
и
алгоритм
метода
Рассмотрим
следующую
начально
-
краевую
задачу
.
Требуется
в
двумерной
области
0
,
;
)
,
(
2
t
b
x
a
t
x
D
R
найти
решение
)
,
(
t
x
U
дифференциального
уравнения
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
2
t
x
g
u
t
x
x
u
K
x
u
x
K
t
u
t
x
u
L
, (3.1)
удовлетворяющее
двум
краевым
(
граничным
)
условиям
),
(
)
,
(
)
,
(
),
(
)
,
(
)
,
(
2
1
0
2
1
0
t
b
x
t
b
u
b
t
b
u
b
t
a
x
t
a
u
a
t
a
u
a
(3.2)
и
начальному
условию
),
(
)
0
,
(
x
f
x
u
(3.3)
где
)
(
),
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
2
2
t
b
t
a
t
x
g
t
x
t
x
K
t
x
K
x
–
заданные
,
непрерывные
на
D
функции
;
0
)
,
(
t
x
K
1
0
1
0
,
,
,
b
b
a
a
–
заданные
действительные
числа
,
причем
0
,
0
2
1
2
0
2
1
2
0
b
b
a
a
; )
(
x
f
–
заданная
функция
,
непрерывная
на
b
a
,
вместе
с
)
(
x
f
и
такая
,
что
).
0
(
)
(
)
(
),
0
(
)
(
)
(
2
1
0
2
1
0
b
b
f
b
b
f
b
a
a
f
a
a
f
a
(3.4)
Напомним
,
что
в
такой
форме
может
быть
поставлена
задача
одномерной
нестационарной
теплопроводности
,
рассмотренная
в
разделе
1.1.
Например
,
типичная
задача
о
нестационарной
теплопередаче
путем
теплопроводности
в
однородном
стержне
единичной
длины
,
концы
которого
поддерживаются
при
температурах
1
T
и
2
T
,
при
начальном
распределении
температуры
вдоль
стержня
по
закону
1
2
1
)
sin(
)
0
,
(
T
T
x
x
T
x
T
получается
как
частный
случай
сформулированной
задачи
:
.
)
sin(
,
,
0
,
1
,
,
0
,
1
0
)
,
(
,
0
)
,
(
,
1
)
,
(
,
1
,
0
1
1
2
2
1
0
2
1
0
T
T
T
x
x
x
f
T
b
b
b
T
a
a
a
t
x
g
t
x
t
x
K
b
a
(3.5)
В
методе
Галеркина
для
нахождения
приближенного
решения
задачи
(3.1)–
(3.4)
строится
функциональная
последовательность
0
)
,
(
t
x
u
n
из
пробных
решений
)
,
(
t
x
u
n
следующим
образом
.