ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2279
Скачиваний: 1
76
);
(
)
(
2
)
(
)
(
),
(
)
(
2
)
(
)
(
2
1
2
0
1
0
0
2
1
2
0
1
0
0
t
b
t
C
b
b
b
b
t
B
b
b
b
t
A
b
t
a
t
C
a
a
a
a
t
B
a
a
a
t
A
a
если
0
2
2
1
2
0
0
1
2
0
0
2
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
,
то
система
совместна
и
неопределена
,
причем
)
(
t
B
можно
придавать
произвольные
значения
.
Если
0
2
,
то
система
несовместна
,
и
ищем
)
,
(
0
t
x
u
в
виде
).
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
3
3
2
0
t
x
P
x
t
D
x
t
C
x
t
B
t
A
t
x
u
Условия
(3.2)
приводят
к
системе
).
(
)
(
3
)
(
2
)
(
)
(
),
(
)
(
3
)
(
2
)
(
)
(
2
2
1
3
0
1
2
0
1
0
0
2
2
1
3
0
1
2
0
1
0
0
t
b
t
D
b
b
b
b
t
C
b
b
b
b
t
B
b
b
b
t
A
b
t
a
t
D
a
a
a
a
t
C
a
a
a
a
t
B
a
a
a
t
A
a
Покажем
,
что
это
система
всегда
совместна
и
,
следовательно
,
неопределена
.
Для
этого
надо
доказать
,
что
для
любых
значений
параметров
1
1
0
0
,
,
,
,
,
b
a
b
a
b
a
не
могут
выполняться
все
условия
несовместности
,
отмеченные
выше
,
одновременно
.
,
0
3
3
,
0
2
2
,
0
2
0
2
0
2
1
3
0
0
2
1
3
0
0
1
2
0
0
1
2
0
0
1
0
0
1
0
0
a
b
b
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
b
b
b
b
b
a
a
a
a
b
b
b
b
a
Введем
обозначения
1
0
3
1
0
2
0
0
1
,
,
a
b
x
b
a
x
b
a
x
и
заметим
,
что
,
в
силу
ограничений
на
параметры
0
,
0
2
1
2
0
2
1
2
0
b
b
a
a
и
последнего
из
выписанных
условий
несовместности
,
переменные
1
x
,
2
x
и
3
x
одновременно
в
ноль
обратиться
не
могут
.
Тогда
первые
три
условия
несовместности
можно
записать
в
виде
линейной
однородной
системы
относительно
1
x
,
2
x
и
3
x
,
0
3
3
,
0
2
2
,
0
)
(
3
2
2
2
1
3
3
3
2
1
2
2
3
2
1
x
a
x
b
x
a
b
ax
bx
x
a
b
x
x
x
a
b
которая
должна
иметь
ненулевое
решение
.
Для
этого
необходимо
и
достаточно
,
чтобы
определитель
третьего
порядка
.
0
3
3
2
2
1
1
2
2
3
3
2
2
3
a
b
a
b
a
b
a
b
a
b
Последнее
невозможно
,
так
как
4
3
)
(
a
b
и
b
a
.
Таким
образом
,
при
любых
значениях
параметров
1
0
1
0
,
,
,
,
,
b
b
a
a
b
a
всегда
найдется
хотя
бы
одна
функция
вида
)
,
(
)
,
(
3
0
t
x
P
t
x
u
,
удовлетворяющая
условиям
(3.2).
77
Пример
1.
Построить
)
,
(
0
t
x
u
для
задачи
с
краевыми
условиями
.
4
)
,
1
(
)
,
1
(
,
)
,
0
(
)
,
0
(
t
x
t
u
t
u
t
x
t
u
t
u
(3.21)
Решение
.
Пусть
)
(
)
,
(
0
t
A
t
x
u
,
тогда
условия
(3.21)
дают
,
0
5
;
4
)
(
,
)
(
t
t
t
A
t
t
A
т
.
е
. –
несовместную
систему
.
Если
теперь
x
t
B
t
A
t
x
u
)
(
)
(
)
,
(
0
,
то
условия
(3.21)
приводят
к
системе
.
5
)
(
,
6
)
(
;
4
)
(
2
)
(
,
)
(
)
(
t
t
B
t
t
A
t
t
B
t
A
t
t
B
t
A
Следовательно
,
в
качестве
функции
)
,
(
0
t
x
u
можно
взять
функцию
t
x
t
x
u
)
5
6
(
)
,
(
0
.
Пример
2.
Построить
функцию
)
,
(
0
t
x
u
для
задачи
с
краевыми
условиями
.
2
)
,
2
(
)
,
2
(
,
)
,
0
(
)
,
0
(
2
t
t
e
x
t
u
t
u
e
x
t
u
t
u
(3.22)
Решение
.
Пусть
)
(
)
,
(
0
t
A
t
x
u
,
тогда
условия
(3.22)
дают
,
0
2
;
2
)
(
,
)
(
2
2
t
t
t
t
e
e
e
t
A
e
t
A
т
.
е
. –
несовместную
систему
.
Если
теперь
x
t
B
t
A
t
x
u
)
(
)
(
)
,
(
0
,
то
условия
(3.22)
приводят
также
к
несовместной
системе
.
2
)
(
)
(
,
)
(
)
(
2
t
t
e
t
B
t
A
e
t
B
t
A
(3.23)
Полагая
2
0
)
(
)
(
)
(
)
,
(
x
t
С
x
t
B
t
A
t
x
u
,
снова
получаем
несовместную
систему
(3.23).
Ищем
поэтому
)
,
(
0
t
x
u
в
виде
3
2
0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
,
(
x
t
D
x
t
С
x
t
B
t
A
t
x
u
.
Из
условий
(3.22)
имеем
;
2
)
(
12
)
(
4
)
(
)
(
8
)
(
4
)
(
2
)
(
,
)
(
)
(
2
t
t
е
t
D
t
C
t
B
t
D
t
С
t
B
t
A
е
t
B
t
A
.
2
)
(
4
,
)
(
)
(
;
2
)
(
4
)
(
)
(
,
)
(
)
(
2
2
t
t
t
t
t
е
е
t
D
е
t
B
t
A
е
t
D
t
B
t
A
е
t
B
t
A
Получили
совместную
систему
.
Одним
из
решений
ее
будет
,
например
,
следующая
совокупность
функций
,
0
)
(
,
0
)
(
,
)
(
t
C
t
B
e
t
A
t
.
25
,
0
5
,
0
)
(
2
t
t
e
e
t
D
78
Таким
образом
,
3
2
0
5
,
0
25
,
0
)
,
(
x
e
e
e
t
x
u
t
t
t
.
Пример
3.
Построить
)
,
(
0
t
x
u
и
систему
из
пяти
пробных
функций
для
задачи
с
краевыми
условиями
.
const,
)
,
(
const,
)
,
0
(
3
2
3
2
c
c
c
t
l
u
c
t
u
(3.24)
Решение
.
Если
A
x
u
)
(
0
,
то
получаем
из
(3.24)
несовместную
систему
.
,
3
2
c
A
c
A
Если
Bx
A
x
u
)
(
0
,
то
условия
задачи
(3.24)
дают
.
,
,
,
2
3
2
3
2
l
c
c
B
c
A
c
lB
A
c
A
Таким
образом
,
.
)
(
2
3
2
0
c
c
l
x
c
x
u
Построим
систему
пробных
функций
вида
(2.28)
для
задачи
с
однородными
краевыми
условиями
:
.
0
)
(
,
0
)
0
(
l
u
u
Так
как
2
2
1
n
n
,
то
отыскиваем
все
многочлены
порядка
меньше
2,
удовлетворяющие
краевым
условиям
.
Если
A
u
1
или
Bx
A
u
1
,
то
однородные
условия
выполняются
,
если
0
1
u
,
что
невозможно
из
-
за
требования
линейной
независимости
пробных
функций
.
Поэтому
в
качестве
пробных
функций
можно
взять
).
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
(
5
5
4
4
3
3
2
2
1
l
x
x
x
u
l
x
x
x
u
l
x
x
x
u
l
x
x
x
u
l
x
x
x
u
3.3.
Задание
к
лабораторной
работе
Рассматривается
начально
-
краевая
задача
:
в
двумерной
области
T
t
l
x
t
x
D
0
,
0
:
)
,
(
2
R
найти
решение
)
,
(
t
x
u
дифференциального
уравнения
,
2
2
1
x
u
c
t
u
(3.25)
удовлетворяющее
условиям
;
)
,
(
,
)
,
0
(
3
2
c
t
l
u
c
t
u
(3.26)
79
;
)
(
)
0
,
(
2
2
4
2
3
2
4
c
x
l
l
c
c
c
x
c
x
f
x
u
(3.27)
где
4
3
2
1
,
,
,
c
c
c
c
–
некоторые
заданные
постоянные
величины
.
Заметим
,
что
эта
задача
получается
как
частный
случай
задачи
(3.1)–(3.3)
при
,
0
a
,
l
b
,
)
,
(
1
c
t
x
K
,
0
)
,
(
t
x
,
0
)
,
(
t
x
g
,
1
0
a
,
0
1
a
,
2
2
c
a
,
1
0
b
,
1
1
b
.
3
2
c
b
Варианты
заданий
,
определяемые
различными
наборами
значений
постоянных
4
3
2
1
,
,
,
c
c
c
c
задачи
(3.25)–(3.27)
и
параметра
T
,
приведены
в
таблице
3.1.
Таблица
3.1
Варианты
задания
к
лабораторной
работе
№
l
1
c
2
c
3
c
4
c
T
1
0,1 1 3 1 1
2
5
,
0
0,2 2 4 –
1 1
3
25
,
0
0,4 3 5 1 1
4
0,1 3 1 –
1 1
5
5
,
0
0,2 4 2 1 1
6
25
,
0
0,4 5 3 –
1 1
7
0,3 1 2 1 1
8
5
,
0
0,5 2 3 –
1 1
9
25
,
0
0,6 4 5 1 1
10
0,7 1 4 –
1 1
Лабораторная
работа
выполняется
с
использованием
прикладной
системы
MathCAD,
которая
реализует
алгоритм
построения
пробных
решений
)
,
(
t
x
u
m
задачи
(3.25)–(3.27)
методом
Галеркина
.
Перед
обращением
к
программе
необходимо
подготовить
числовые
и
строчные
данные
.
Числовые
данные
:
l
–
правый
конец
отрезка
изменения
переменной
x
;
4
3
2
1
,
,
,
c
c
c
c
–
числовые
параметры
задачи
(3.25)–(3.27);
n
–
число
параметров
n
C
C
,...,
1
в
пробном
решении
(
значение
параметра
n
задает
преподаватель
);
T
–
значение
параметра
T
задачи
.
Строчные
данные
:
аналитические
выражения
для
функций
)
(
),...,
(
),
(
1
0
x
u
x
u
x
u
n
;
аналитические
выражения
для
поверочных
функций
)
(
),...,
(
1
x
w
x
w
n
.
После
введения
числовых
и
строчных
данных
программа
автоматически
производит
расчет
значений
)
(
),...,
(
1
T
v
T
v
n
,
построение
графиков
разности
пробного
решения
и
точного
решения
,
разности
пробного
решения
и
80
предыдущего
пробного
решения
,
таблиц
невязок
)
,
(
1
T
x
R
и
)
(
2
x
R
,
на
основании
которых
определяются
меры
точности
полученного
решения
.
В
лабораторной
работе
требуется
:
1.
Методом
Фурье
(
методом
разделения
переменных
)
найти
точное
аналитически
заданное
решение
)
,
(
t
x
U
задачи
(3.25)–(3.27)
и
построить
график
точного
решения
при
T
t
,
т
.
е
.
функцию
)
,
(
)
(
T
x
U
x
v
.
2.
Методом
Галеркина
найти
три
пробных
решения
)
,
(
T
x
u
n
,
используя
нормированные
системы
пробных
и
поверочных
функций
,
тип
которых
задает
преподаватель
.
3.
Определить
меры
точности
полученных
решений
.
Сделать
вывод
о
точности
решений
и
записать
лучшее
из
них
.
4.
Оформить
и
защитить
отчет
.
3.4.
Выполнение
работы
в
компьютерном
классе
1.
Прежде
чем
начать
выполнение
лабораторной
работы
на
ЭВМ
,
внимательно
ознакомьтесь
с
данной
инструкцией
.
2.
При
необходимости
включите
сами
(
или
попросите
лаборанта
)
питание
компьютера
.
После
того
,
как
система
загрузится
,
запускаем
двойным
щелчком
левой
кнопки
мыши
на
рабочем
столе
программу
Mathcad,
если
же
ярлык
отсутствует
,
тогда
открываем
программу
через
кнопку
«
Пуск
» (
Программы
Mathsoft
Mathcad).
3.
Узнайте
у
лаборанта
расположение
файла
Parab.mcd
и
откройте
его
(File
Open
или
,
если
программа
русифицирована
,
Файл
Открыть
).
При
любой
ошибке
ввода
программы
нужно
обратиться
к
лаборанту
.
4.
Прочитайте
в
начале
файла
задание
на
лабораторную
работу
и
просмотрите
пример
выполнения
работы
,
для
которого
исследование
уже
проведено
.
Программа
файла
Parab.mcd
состоит
из
четырех
пунктов
«
Постановка
задачи
», «
Получение
точного
решения
», «
Получение
приближенного
решения
», «
Выводы
».
Цели
и
задачи
каждого
из
пунктов
описаны
ниже
.
5.
Для
набора
функций
нужно
либо
воспользоваться
всплывающим
меню
инструментов
«Calculator»,
либо
ввести
ее
с
клавиатуры
,
используя
следующие
символы
арифметических
действий
и
стандартных
функций
:
сложение
– ‘+’;
вычитание
– ‘–‘;
умножение
– ‘*’;
деление
– ‘/’;
возведение
в
степень
– ‘^’;
квадратный
корень
– ‘\’;
синус
– sin(
x
);
косинус
– cos(
x
);
экспонента
– exp(
x
);
натуральный
логарифм
– ln(
x
).
При
вводе
числовых
данных
,
являющихся
десятичными
дробями
,
целую
и
дробную
части
нужно
разделять
точкой
(
например
, 0.5, 1.5
и
т
.
д
.).
6.
Порядок
выполнения
работы
Вам
укажет
программа
подсказками
и
заданиями
,
выделенными
красным
цветом
.