ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2270
Скачиваний: 1
61
C1
if n
1
submatrix A
0
n
2
0
n
2
(
)
(
)
1
submatrix B
0
n
2
0
0
(
)
10
UP x
( )
if n
1
V2
0
x
(
)
1
n
1
k
C1
k
1
V2 k x
(
)
V2
0
x
(
)
C
равним
полученные
решения
для
n
5
и
4
n
0
0.5
1
0
2
10
4
4
10
4
U x
( )
UP x
( )
x
Замените
старое
значение
меры
точности
16
наибольшим
значением
U x
( )
UP x
( )
на
отрезке
[a,b]
16
3.475 10
4
Найдем
невязку
полученного
решения
R x
( )
L
0
x
V2
(
)
f x
( )
1
n
i
C
i
1
L i x
V2
(
)
0
0.5
1
0
0.005
0.01
R x
( )
x
Замените
старое
значение
меры
точности
26
наибольшим
значением
R x
( )
на
отрезке
[a,b]
26
9.123 10
3
Сравним
решения
,
полученные
интегральным
методом
наименьших
квадратов
и
с
помощью
стандартной
функции
системы
MathCAD
62
0
0.5
1
0
1
10
5
2
10
5
3
10
5
2.334 10
5
2.645 10
8
Yk x
( )
U x
( )
b
a
x
Замените
старое
значение
меры
точности
36
наибольшим
значением
Y x
( )
U x
( )
на
отрезке
[a,b]
36
2.334 10
5
Выводы
Таким
образом
,
при
5
n
получаем
следующие
результаты
:
1.
Метод
Галеркина
.
Использование
в
качестве
пробных
функций
многочленов
(2.26)
и
двух
систем
поверочных
функций
:
многочленов
(2.26)
и
многочленов
Лежандра
:
Поверочные
ф
-
ции
max|
)
(
)
(
1
x
y
x
y
n
n
|
max|
)
(
x
R
n
| max|
)
(
)
(
x
y
x
Yk
n
|
Многочлены
(2.26)
11
0.000807
21
0.011
31
0.000043
Многочл
.
Лежандра
12
0.000388
22
0.008786
32
0.000024
2.
Вариационный
метод
Ритца
.
Использование
двух
систем
пробных
функций
:
многочленов
(2.26)
и
c
обственных
функций
краевой
задачи
(2.32),
(2.6):
Пробные
функции
max|
)
(
)
(
1
x
y
x
y
n
n
|
max|
)
(
x
R
n
| max|
)
(
)
(
x
y
x
Yk
n
|
Многочлены
(2.26)
13
0.00048
23
0.004606
33
0.000031
Функции
(2.34) –
(2.36)
14
0.006344
24
0.229
34
0.006182
3.
Интегральный
метод
наименьших
квадратов
.
Использование
в
качестве
пробных
функций
двух
систем
многочленов
вида
(2.26)
и
(2.29)
Пробные
функции
max|
)
(
)
(
1
x
y
x
y
n
n
|
max|
)
(
x
R
n
| max|
)
(
)
(
x
y
x
Yk
n
|
Многочлены
(2.26)
15
0.000348
25
0.009123
35
0.000023
Многочлены
(2.29)
16
0.000348
26
0.009123
36
0.000023
Скопируйте
в
файл
отчета
полученные
результаты
,
сделайте
выводы
о
наилучшем
приближении
и
методе
его
получения
.
63
2.10.
Расчетная
часть
лабораторной
работы
для
тестирующего
примера
Выполним
основную
расчетную
часть
лабораторной
работы
в
системе
MathCAD
для
краевой
задачи
(2.41).
1.
Запускаем
программу
MathCAD.
Открываем
файл
ODE.mcd (
текст
программы
приведен
в
разделе
2.9).
В
пункте
«
Постановка
задачи
»
вводим
числовые
параметры
b
a
b
b
b
a
a
a
,
,
,
,
,
,
,
2
1
0
2
1
0
и
функции
)
(
),
(
),
(
x
f
x
q
x
p
,
входящие
в
задачу
(2.41)
.
4
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
1
,
0
,
2
6
2
)
(
,
2
)
(
,
3
)
(
2
1
0
2
1
0
2
b
b
b
a
a
a
b
a
x
x
x
f
x
q
x
p
Замечание
.
Для
задачи
(2.40)
необходимо
еще
ввести
числовые
параметры
2
1
0
,
,
d
d
d
,
входящие
в
функции
)
(
),
(
x
q
x
p
.
2.
В
пункте
«
Получение
приближенного
решения
с
помощью
программного
блока
в
системе
MathCAD»
записываем
дифференциальное
уравнение
(2.41)
в
виде
нормальной
системы
дифференциальных
уравнений
второго
порядка
.
2
6
2
2
3
,
2
0
1
1
1
0
x
x
y
y
y
y
y
Далее
с
помощью
функции
bvalfit
(
см
.
раздел
6.2)
краевую
задачу
приводим
к
задаче
Коши
,
получая
начальные
условия
.
0,846776
0
1
0
0,153224,
)
0
(
y
y
y
Решая
полученную
задачу
Коши
для
обыкновенного
дифференциального
уравнения
,
используя
метод
Рунге
-
Кутта
,
заложенный
в
программный
блок
odesolve
(
см
.
раздел
6.6),
находим
решение
дифференциального
уравнения
)
(
x
Y
y
,
разбив
отрезок
]
1
,
0
[
на
10000
N
частей
(
в
дальнейшем
будем
называть
его
точным
решением
).
Копируем
график
полученного
решения
(
рис
.
2.2)
в
файл
отчета
.
Рис
.2.2.
График
точного
решения
Заметим
,
что
поставленная
задача
имеет
единственное
точное
решение
)
(
x
y
y
вида
,
6935
,
0
5403
,
1
)
(
3
7
)
(
7
2
1
2
2
2
2
2
2
2
x
e
e
x
e
e
e
e
e
e
e
e
y
x
x
x
x
(2.42)
64
которое
получено
аналитическим
методом
,
известным
из
теории
линейных
дифференциальных
уравнений
с
постоянными
коэффициентами
.
Сравнение
функций
)
(
x
y
и
)
(
x
Y
показывает
,
что
погрешность
не
превышает
13
10
414
,
3
.
Следовательно
,
решение
)
(
x
Y
найдено
достаточно
точно
.
Замечание
.
Компьютерное
решение
будет
тем
точнее
,
чем
больше
число
точек
разбиения
введено
в
функцию
odesolve
.
Вводим
порядок
пробных
решений
5
n
.
3.
В
пункте
«
Получение
приближенного
решения
методом
Галеркина
»
в
качестве
пробных
функций
)
(
...,
),
(
),
(
5
1
0
x
u
x
u
x
u
используем
функции
,
построенные
в
примере
1
раздела
2.5,
.
7
1
1
)
(
,
6
1
1
)
(
,
5
1
1
)
(
,
4
1
1
)
(
,
3
1
1
)
(
,
5
6
)
(
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
0
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
x
u
x
x
u
Замечание
.
Процедуру
получения
многочленов
вида
(2.26)
необходимо
описать
в
файле
отчета
.
3.1.
Воспользовавшись
указаниями
из
раздела
2.5,
в
качестве
поверочных
функций
возьмем
пробные
)
(
),...,
(
5
1
x
u
x
u
.
7
1
1
)
(
,
6
1
1
)
(
,
5
1
1
)
(
,
4
1
1
)
(
,
3
1
1
)
(
6
5
5
4
4
3
3
2
2
1
x
x
x
W
x
x
x
W
x
x
x
W
x
x
x
W
x
x
x
W
В
результате
расчета
по
программе
при
5
n
получим
вектор
коэффициентов
)
213380
,
1
073920
,
0
647392
,
2
499320
,
2
132936
,
1
(
С
.
Подставив
коэффициенты
k
C
,
набираем
в
файле
отчета
получившееся
пробное
решение
:
).
(
213380
,
1
)
(
073920
,
0
)
(
647392
,
2
)
(
499320
,
2
)
(
132936
,
1
)
(
)
(
5
4
3
2
1
0
5
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
y
Анализируя
график
функции
)
(
)
(
4
5
x
y
x
y
,
определяем
значение
меры
точности
.
0008066
,
0
)
(
)
(
max
4
5
,
11
x
y
x
y
b
a
Анализируя
график
невязки
решения
)
(
5
x
y
,
определяем
значение
меры
точности
0,011.
,
,...,
max
5
1
,
21
x
C
C
R
b
a
Анализируя
график
функции
)
(
)
(
5
x
y
x
Y
,
определяем
значение
меры
точности
,0000289.
0
)
(
)
(
max
5
,
31
x
y
x
Y
b
a
65
3.2.
Воспользовавшись
указаниями
из
раздела
2.5,
в
качестве
поверочных
функций
возьмем
многочлены
Лежандра
.
3
1
2
30
1
2
35
8
1
)
(
,
1
2
3
1
2
5
2
1
)
(
,
1
1
2
3
2
1
)
(
,
1
2
)
(
,
1
)
(
2
4
5
3
4
2
3
2
1
x
x
x
W
x
x
x
W
x
x
W
x
x
W
x
W
В
результате
расчета
по
программе
при
5
n
получим
вектор
коэффициентов
)
220506
,
1
080164
,
0
637995
,
2
510888
,
2
136001
,
1
(
С
.
Подставив
коэффициенты
k
C
,
набираем
в
файле
отчета
получившееся
пробное
решение
:
).
(
220506
,
1
)
(
0801646
,
0
)
(
637995
,
2
)
(
510888
,
2
)
(
136001
,
1
)
(
)
(
5
4
3
2
1
0
5
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
y
Определяем
значения
мер
точности
:
,
0003876
,
0
)
(
)
(
max
4
5
,
12
x
y
x
y
b
a
0,008786,
,
,...,
max
5
1
,
22
x
C
C
R
b
a
,00002381.
0
)
(
)
(
max
5
,
32
x
y
x
Y
b
a
4.
Найдем
на
отрезке
1
,
0
приближенное
значение
краевой
задачи
(2.41)
методом
Ритца
.
Сводим
задачу
(2.41)
к
задаче
(2.2), (2.3),
определяя
,
согласно
(2.5),
.
3
exp
)
(
3
0
x
x
e
dt
x
K
Получаем
задачу
,
4
)
1
(
)
1
(
,
1
)
0
(
)
0
(
),
(
)
(
)
(
y
y
y
y
x
g
y
x
y
x
K
(2.43)
где
x
x
x
e
x
x
x
g
e
x
e
x
K
3
2
3
3
2
6
2
)
(
;
2
)
(
;
3
)
(
.
Определяем
параметры
функционала
(2.13).
Так
как
1
1
0
1
0
b
b
a
a
,
то
в
соответствии
с
таблицей
2.1
имеем
.
0
,
04979
,
0
,
1
,
4
,
1
3
1
0
0
1
0
0
2
0
2
b
a
b
a
b
a
q
q
e
b
k
b
b
e
a
k
a
a
b
b
T
a
a
T
4.1.
В
пункте
«
Получение
приближенного
решения
вариационным
методом
Ритца
»
в
качестве
пробных
функций
используем
также
функции
,
полученные
в
примере
1
раздела
2.5: