ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2282
Скачиваний: 1
96
0
2
0
0.002
0.004
0.006
R2 x
( )
x
Замените
старое
значение
меры
точности
43
наибольшим
значением
R2 x
( )
на
отрезке
[a,b]
43
4.852 10
3
Выводы
Таким
образом
,
при
n
5
получаем
следующие
результаты
использования
трех
систем
пробных
и
поверочных
функций
при
t=T
max
|
U
(
x
,
T
)–
u
n
(
x
,
T
)|
max|u
n
(
x
,
T
)–
u
n–1
(
x
,
T
)|
max
|
R
1
n
(
x
,
T
)|
max
|
R
2
n
(
x
)|
1.
11
0.000564
21
0.007272
31
0.019
41
1.871 10
12
2.
12
0.001072
22
0.019
32
0.012
42
7.55 10
15
3.
13
1.068 10
8
23
1.06 10
6
33
0
43
0.004852
Сделайте
вывод
о
точности
трех
полученных
решений
и
запишите
лучшее
из
них
.
(
В
примере
третья
система
пробных
и
поверочных
тригонометрических
функций
дает
лучшее
приближение
решения
дифференциального
уравнения
.)
3.7.
Расчетная
часть
лабораторной
работы
для
тестирующего
примера
Выполним
расчетную
часть
лабораторной
работы
.
Найдем
решение
)
,
(
t
x
u
при
1
t
задачи
(3.28) – (3.30).
Ее
можно
интерпретировать
как
задачу
одномерной
нестационарной
теплопроводности
,
когда
концы
стержня
поддерживаются
при
постоянных
температурах
и
известна
начальная
температура
стержня
.
Найдем
точное
решение
этой
задачи
методом
разделения
переменных
[4,5].
Известно
,
что
для
уравнения
теплопроводности
с
однородными
граничными
условиями
2
2
1
x
u
с
t
u
,
0
,
0
:
)
,
(
)
,
(
2
t
l
x
t
x
D
t
x
R
,
,
0
)
,
0
(
t
u
,
0
)
,
(
t
l
u
)
(
)
0
,
(
x
f
x
u
,
решение
имеет
вид
[4]
97
1
sin
)
,
(
2
2
2
1
n
t
l
n
c
n
x
l
n
e
A
t
x
u
, (3.31)
где
n
A
–
коэффициенты
Фурье
l
n
dx
x
l
n
x
l
A
0
.
sin
)
(
2
(3.32)
Найдем
решение
волнового
уравнения
с
неоднородными
граничными
условиями
(3.28)–(3.30).
На
основании
примера
3
получим
функцию
x
x
u
1
)
(
0
,
поэтому
ищем
)
,
(
t
x
U
в
виде
.
1
)
,
(
)
,
(
x
t
x
V
t
x
U
(3.33)
Тогда
из
(3.28)–(3.30)
для
определения
функции
)
,
(
t
x
V
получаем
следующую
задачу
с
однородными
условиями
2
2
1
,
0
x
V
t
V
, (3.34)
0
)
,
0
(
t
V
, 0
)
,
(
t
V
, (3.35)
.
)
(
)
0
,
(
x
x
x
x
V
(3.36)
Подставляя
в
(3.31), (3.32)
)
(
)
(
,
,
1
,
0
1
x
x
x
l
с
,
получим
решение
1
1
.
0
),
sin(
)
,
(
2
n
t
n
n
nx
e
A
t
x
V
где
0
2
)
sin(
2
dx
nx
x
x
A
n
.
Интегрируя
два
раза
по
частям
,
получаем
.
1
2
,
8
;
2
,
0
1
1
4
3
3
m
n
n
m
n
n
A
n
n
Таким
образом
,
точное
решение
задачи
(3.28)–(3.30)
аналитически
задается
выражением
1
3
1
2
1
,
0
)
1
2
(
sin
1
2
8
1
)
,
(
2
m
t
m
x
m
m
e
x
t
x
U
(3.37)
Найдем
такое
значение
M
m
,
при
котором
функция
M
m
m
x
m
m
e
x
x
U
1
3
)
1
2
(
1
,
0
)
1
2
(
sin
)
1
2
(
8
1
)
1
,
(
ˆ
2
(3.38)
98
приближенно
с
абсолютной
точностью
001
,
0
определяет
функцию
(3.37)
на
множестве
1
,
0
:
)
,
(
T
t
x
D
t
x
G
,
т
.
е
.
001
,
0
)
1
,
(
ˆ
)
1
,
(
:
,
0
x
U
x
U
x
. (3.39)
Оценим
сверху
величину
.
3
)
1
2
(
1
,
0
1
)
2
4
)(
2
2
(
1
,
0
3
3
3
)
1
2
(
1
,
0
1
]
)
1
2
(
)
1
2
[(
1
,
0
3
3
3
)
1
2
(
1
,
0
1
3
)
1
2
(
1
,
0
1
3
1
2
1
.
0
1
3
1
2
1
,
0
)
1
2
(
8
)
1
2
2
(
)
1
2
(
)
1
2
(
8
)
1
2
(
)
1
2
(
)
1
2
(
8
)
1
2
(
8
)
1
2
(
sin
1
2
8
)
1
2
(
sin
)
1
2
(
8
2
2
2
2
2
2
2
2
M
e
e
k
M
M
M
e
e
m
M
M
e
m
e
x
m
m
e
x
m
m
e
M
k
k
M
k
M
M
m
M
m
M
M
m
m
M
m
m
M
m
m
).
(
1
1
)
1
2
(
8
....
1
)
1
2
(
8
....
7
2
1
2
5
2
1
2
3
2
1
2
1
)
1
(
8
,
0
3
)
1
2
(
1
,
0
)
1
(
6
,
1
)
1
(
8
,
0
3
)
1
2
(
1
,
0
)
8
4
(
6
,
0
3
)
6
4
(
4
,
0
3
)
4
4
(
2
,
0
3
2
2
M
e
M
e
e
e
M
e
e
M
M
e
M
M
e
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M
Значит
,
условие
(3.39)
будет
заведомо
выполнено
,
если
001
,
0
1
)
1
2
(
8
)
(
)
1
(
8
,
0
)
1
2
(
1
,
0
3
2
M
M
e
e
M
M
. (3.40)
Найдем
подбором
наименьшее
значение
M
,
при
котором
выполняется
условие
(3.40).
Получаем
.
001
,
0
0006
,
0
)
3
(
,
001
,
0
0018
,
0
)
2
(
,
001
,
0
0480
,
0
1
27
1416
,
3
8
)
1
(
6
,
1
9
,
0
e
e
Следовательно
, 3
M
.
Итак
,
функция
3
1
3
)
1
2
(
1
,
0
)
1
2
(
sin
)
1
2
(
8
1
)
1
,
(
ˆ
2
m
m
x
m
m
e
x
x
U
по
меньшей
мере
с
точностью
001
,
0
определяет
значения
функции
)
1
,
(
x
U
на
отрезке
,
0
.
Замечание
.
Процедуру
получения
функции
u
0
(
x
,
t
)
и
решения
методом
Фурье
необходимо
описать
в
файле
отчета
.
Копируем
график
полученного
решения
при
1
T
(
рис
. 3.1)
из
файла
Parab.mcd
в
файл
отчета
.
99
Рис
.3.1.
График
точного
решения
Построим
теперь
приближенное
решение
методом
Галеркина
,
выбрав
x
x
u
1
)
(
0
(
тогда
)
1416
,
3
(
)
(
)
(
0
x
x
x
u
x
f
)
и
используя
разные
варианты
пробных
и
поверочных
функций
.
Вводим
порядок
пробных
решений
5
n
.
1
вариант
.
Построим
систему
пробных
функций
вида
(2.28)
для
задачи
с
однородными
краевыми
условиями
:
.
0
)
(
,
0
)
0
(
u
u
Так
как
2
2
1
n
n
,
то
отыскиваем
все
многочлены
порядка
меньше
2,
удовлетворяющие
краевым
условиям
.
Если
A
u
1
или
Bx
A
u
1
,
то
однородные
условия
выполняются
,
если
0
1
u
,
что
невозможно
из
-
за
требования
линейной
независимости
пробных
функций
.
Поэтому
в
качестве
пробных
и
поверочных
функций
выбираем
нормированные
функции
;
5
,
1
),
(
1
)
(
k
x
u
u
x
u
k
k
k
(3.41)
где
)
(
)
(
x
x
x
u
k
k
,
)
3
2
)(
1
2
)(
1
(
)
(
5
,
1
0
2
k
k
k
dx
x
u
u
k
k
k
.
Т
.
е
.
,
1
31831
,
0
98364
,
0
1
30
1
x
x
x
x
u
,
1
31831
,
0
58576
,
0
1
105
2
2
2
x
x
x
x
u
.
1
31831
,
0
05400
,
0
1
858
,
1
31831
,
0
12886
,
0
1
495
,
1
31831
,
0
28885
,
0
1
252
5
5
5
4
4
4
3
3
3
x
x
x
x
u
x
x
x
x
u
x
x
x
x
u
100
Замечание
.
Процедуру
получения
всех
пробных
и
поверочных
функций
необходимо
описать
в
файле
отчета
.
В
результате
расчета
по
программе
при
5
n
получим
вектор
коэффициентов
)
665
,
0
7511
,
1
1978
,
2
5038
,
1
454
,
2
(
,
100
T
k
Y
.
Подставив
коэффициенты
k
Y
,
100
,
набираем
в
файле
отчета
получившееся
пробное
решение
:
).
(
665
,
0
)
(
7511
,
1
)
(
1978
,
2
)
(
5038
,
1
)
(
454
,
2
)
(
)
1
,
(
5
4
3
2
1
0
5
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
Анализируя
график
функции
)
1
,
(
)
1
,
(
5
x
U
x
u
,
определяем
значение
меры
точности
.
5639
000
,
0
)
1
,
(
)
1
,
(
max
5
,
0
11
x
U
x
u
Анализируя
график
функции
)
1
,
(
)
1
,
(
4
5
x
u
x
u
,
определяем
значение
меры
точности
.
7272
00
,
0
)
1
,
(
)
1
,
(
max
4
5
,
0
21
x
u
x
u
Анализируя
график
невязки
)
1
,
(
1
x
R
решения
)
1
,
(
5
x
u
,
определяем
значение
меры
точности
0,019.
)
1
,
(
max
1
,
0
31
x
R
Анализируя
график
невязки
|
)
(
|
2
x
R
решения
)
1
,
(
5
x
u
,
определяем
значение
меры
точности
.
10
1.871
max
-12
2
,
0
41
x
R
2
вариант
.
В
качестве
пробных
возьмем
функции
(3.41),
а
в
качестве
поверочных
–
нормированные
многочлены
Лежандра
(2.31),
которые
ортогональны
на
отрезке
,
0
,
т
.
е
.
функции
;
5
,
1
),
(
)
(
1
)
(
1
1
k
x
P
x
P
x
w
k
k
k
где
,
3
2
2
30
2
2
35
8
1
)
(
,
2
2
3
2
2
5
2
1
)
(
,
1
2
2
3
2
1
)
(
,
2
2
)
(
,
1
)
(
2
4
4
3
3
2
2
1
0
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
P
x
x
P
x
P