ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2277
Скачиваний: 1
101
2
1
0
2
1
2
)
(
||
||
k
dx
x
P
P
k
k
.
Таким
образом
,
5642
.
0
)
(
1
x
w
,
)
1
6366
.
0
(
9772
.
0
)
(
2
x
x
w
,
)
1
)
1
636
.
0
(
3
(
6308
.
0
)
(
2
3
x
x
w
,
)
3
)
1
6366
.
0
(
5
(
)
1
6366
.
0
(
7464
.
0
)
(
2
4
x
x
x
w
,
)
3
)
1
6366
.
0
(
30
)
1
6366
.
0
(
35
(
2116
.
0
)
(
3
4
5
x
x
x
w
.
В
результате
расчета
по
программе
при
5
n
получим
вектор
коэффициентов
)
591
,
0
5563
,
1
0088
,
2
4224
,
1
4678
,
2
(
,
100
T
k
Y
.
Подставив
коэффициенты
k
Y
,
100
,
набираем
в
файле
отчета
получившееся
пробное
решение
:
).
(
591
,
0
)
(
5563
,
1
)
(
0088
,
2
)
(
4224
,
1
)
(
4678
,
2
)
(
)
1
,
(
5
4
3
2
1
0
5
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
Определяем
значения
мер
точности
:
1072,
00
,
0
)
1
,
(
)
1
,
(
max
5
,
0
12
x
U
x
u
,
019
,
0
)
1
,
(
)
1
,
(
max
4
5
,
0
22
x
u
x
u
0,012,
)
1
,
(
max
1
,
0
32
x
R
.
10
.55
7
max
-15
2
,
0
42
x
R
3
вариант
.
В
качестве
пробных
и
поверочных
функций
выбираем
нормированные
функции
;
5
,
1
),
(
1
)
(
k
x
u
u
x
u
k
k
k
где
,
1
2
sin
x
k
x
u
k
2
0
2
dx
x
u
u
k
k
.
Т
.
е
. );
sin(
7979
,
0
)
(
),
sin(
7979
,
0
)
(
1
1
x
x
u
x
x
u
).
9
sin(
63
,
64
)
(
),
9
sin(
7979
,
0
)
(
);
7
sin(
10
,
39
)
(
),
7
sin(
7979
,
0
)
(
);
5
sin(
95
,
19
)
(
),
5
sin(
7979
,
0
)
(
);
3
sin(
181
,
7
)
(
),
3
sin(
7979
,
0
)
(
5
5
4
4
3
3
2
2
x
x
u
x
x
u
x
x
u
x
x
u
x
x
u
x
x
u
x
x
u
x
x
u
В
результате
расчета
по
программе
при
5
n
получим
вектор
коэффициентов
102
)
000001
,
0
000069
,
0
0021
,
0
0481
,
0
8878
,
2
(
,
100
T
k
Y
.
Подставив
коэффициенты
k
Y
,
100
,
набираем
в
файле
отчета
получившееся
пробное
решение
:
).
(
000001
,
0
)
(
000069
,
0
)
(
0021
,
0
)
(
0481
,
0
)
(
8878
,
2
)
(
)
1
,
(
5
4
3
2
1
0
5
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
x
u
Определяем
значения
мер
точности
:
,
10
1,068
)
1
,
(
)
1
,
(
max
-8
5
,
0
13
x
U
x
u
,
10
1,06
)
1
,
(
)
1
,
(
max
-6
4
5
,
0
23
x
u
x
u
,
10
5
)
1
,
(
max
-17
1
,
0
33
x
R
.
10
4,852
max
-3
2
,
0
43
x
R
3.8.
Основные
термины
Уравнение
параболического
типа
.
Начально
-
краевая
задача
,
граничные
и
начальные
условия
.
Точное
,
приближенное
,
пробное
решения
уравнения
.
Невязки
пробного
решения
уравнения
.
Метод
Галеркина
.
Пробные
и
поверочные
функции
.
3.9.
Вопросы
для
самоконтроля
1.
Приведите
физические
интерпретации
задачи
(3.1)–(3.3).
2.
Найдите
решение
задачи
(3.1)–(3.3)
с
условиями
(3.5)
методом
разделения
переменных
.
3.
Найдите
решение
задачи
(3.1)–(3.3)
с
условиями
(3.5)
операционным
методом
,
используя
преобразование
Лапласа
.
4.
Каким
условиям
должны
удовлетворять
пробные
функции
?
5.
Какими
свойствами
должны
обладать
поверочные
функции
?
6.
Как
находятся
,
согласно
алгоритму
метода
Галеркина
для
решения
задачи
(3.1)–(3.3),
функции
1
R
и
2
R
,
названные
невязками
?
7.
Как
строится
система
линейных
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
для
определения
коэффициентов
)
(
t
v
k
пробного
решения
?
Постройте
эту
систему
для
задачи
(3.1)–(3.3).
8.
Как
определяются
начальные
условия
в
задаче
Коши
относительно
функций
)
(
t
v
k
?
Найти
уравнения
,
определяющие
эти
условия
для
задачи
(3.1)–
(3.3).
9.
Какие
условия
обеспечивают
сходимость
в
среднем
последовательности
пробных
решений
к
точному
решению
задачи
(3.1)–(3.3)?
10.
Приведите
конкретный
пример
пробных
функций
для
задачи
(3.1)–(3.3).
11.
Как
нормировать
пробную
или
поверочную
функцию
на
отрезке
b
a
, ?
12.
Как
проверить
ортогональность
функций
на
b
a
, ?
13.
Как
проверить
ортонормированность
функций
на
b
a
, ?
103
4.
Решение
начально
-
краевой
задачи
для
одномерного
гиперболического
уравнения
методом
Галеркина
4.1.
Постановка
задачи
и
алгоритм
метода
Рассмотрим
следующую
начально
-
краевую
задачу
:
в
двумерной
области
0
,
:
)
,
(
2
t
b
x
a
t
x
D
R
найти
решение
)
,
(
t
x
U
дифференциального
уравнения
),
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
2
2
1
2
2
t
x
g
u
t
x
x
u
t
x
K
x
u
t
x
K
t
u
t
x
t
u
t
x
u
L
(4.1)
удовлетворяющее
двум
краевым
(
граничным
)
условиям
),
(
)
,
(
)
,
(
),
(
)
,
(
)
,
(
2
1
0
2
1
0
t
b
x
t
b
u
b
t
b
u
b
t
a
x
t
a
u
a
t
a
u
a
(4.2)
и
начальным
условиям
)
(
)
0
,
(
x
f
x
u
, (4.3)
)
(
)
0
,
(
x
t
x
u
, (4.4)
где
)
,
(
t
x
,
)
,
(
1
t
x
K
(
0
1
K
),
)
,
(
2
t
x
K
, )
,
(
t
x
, )
,
(
t
x
g
–
заданные
,
непрерывные
на
D
функции
; )
(
2
t
a
, )
(
2
t
b
–
дифференцируемые
на
)
,
0
[
функции
;
1
0
1
0
,
,
,
b
b
a
a
–
заданные
действительные
числа
,
причем
0
2
1
2
0
a
a
,
0
2
1
2
0
b
b
;
)
(
x
f
–
заданная
функция
,
непрерывная
на
]
,
[
b
a
вместе
с
)
(
x
f
и
такая
,
что
);
0
(
)
(
)
(
),
0
(
)
(
)
(
2
1
0
2
1
0
b
b
f
b
b
f
b
a
a
f
a
a
f
a
)
(
x
–
заданная
функция
,
непрерывная
на
]
,
[
b
a
вместе
со
своей
производной
и
такая
,
что
.
)
0
(
)
(
)
(
,
)
0
(
)
(
)
(
2
1
0
2
1
0
dt
db
b
b
b
b
dt
da
a
a
a
a
Напомним
,
что
в
такой
форме
может
быть
поставлена
задача
о
поперечных
колебаниях
струны
или
задача
о
продольных
или
крутильных
колебаниях
стержня
,
рассмотренные
в
главе
1.
В
методе
Галеркина
для
нахождения
приближенного
решения
задачи
(4.1)–
(4.4)
строится
функциональная
последовательность
0
)
,
(
t
x
u
n
из
пробных
решений
)
,
(
t
x
u
n
следующим
образом
.
Задаемся
в
области
D
некоторой
104
системой
дважды
дифференцируемых
функций
)
(
...,
),
(
),
,
(
1
0
x
u
x
u
t
x
u
n
таких
,
что
)
,
(
0
t
x
u
удовлетворяет
краевым
условиям
(4.2),
а
пробные
функции
)
(
x
u
i
)
1
(
i
являются
линейно
независимыми
на
b
a
,
и
удовлетворяют
однородным
краевым
условиям
.
0
)
(
)
(
,
0
)
(
)
(
1
0
1
0
b
u
b
b
u
b
a
u
a
a
u
a
(4.5)
Составляем
функцию
n
k
k
k
n
x
u
t
v
t
x
u
t
x
u
1
0
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
(4.6)
с
неизвестными
пока
функциями
)
(
),...,
(
1
t
v
t
v
n
,
зависящими
только
от
аргумента
t
.
Подчеркнем
,
что
в
силу
линейности
условий
(4.2)
и
(4.5),
функция
(4.6)
удовлетворяет
условиям
(4.2)
при
любых
функциях
)
(
),...,
(
1
t
v
t
v
n
.
Значит
,
следует
так
определить
)
(
t
v
i
)
1
(
i
и
количество
)
(
n
этих
функций
,
чтобы
)
,
(
t
x
u
n
из
(4.6)
удовлетворяла
уравнению
(4.1)
и
начальным
условиям
(4.3),
(4.4)
с
заданной
точностью
.
Подставляя
)
,
(
t
x
u
n
вместо
)
,
(
t
x
u
в
уравнение
(4.1) ,
получаем
невязку
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
,
,
)
(
),...,
(
(
1
0
1
0
2
1
2
0
2
1
0
2
0
2
1
2
2
1
1
t
x
g
u
v
u
t
x
u
v
x
u
t
x
K
u
v
x
u
t
x
K
t
u
t
x
t
u
x
u
t
v
t
x
t
v
t
x
t
v
t
v
R
n
k
k
k
n
k
k
k
n
k
k
k
n
k
k
k
k
n
или
.
,
,
,...,
(
0
2
0
2
0
0
2
2
0
2
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
t
u
t
u
g
u
x
u
K
x
u
K
v
u
u
K
u
K
t
v
u
t
v
u
t
x
v
v
R
n
k
k
k
k
k
n
k
k
k
n
k
k
k
n
(4.7)
Подставляя
)
0
,
(
x
u
n
в
(4.3),
находим
невязку
)
(
)
(
)
0
(
)
0
,
(
),
0
(
),...,
0
(
1
0
1
2
x
f
x
u
v
x
u
x
v
v
R
n
k
k
k
n
. (4.8)
Подставляя
t
x
u
n
)
0
,
(
,
находим
невязку
)
(
)
(
)
0
(
)
0
,
(
),
0
(
),...,
0
(
1
0
1
3
x
x
u
v
t
x
u
x
v
v
R
n
k
k
k
n
. (4.9)
Невязки
1
R
,
2
R
и
3
R
являются
характеристиками
уклонения
функции
(4.6)
от
точного
решения
)
,
(
t
x
U
задачи
(4.1)–(4.4).
Во
всяком
случае
,
если
при
некотором
наборе
функций
)
(
t
v
j
0
1
R
, 0
2
R
и
0
3
R
,
то
функция
)
,
(
t
x
u
n
из
(4.6) –
точное
решение
.
105
В
общем
случае
эти
невязки
оказываются
отличными
от
нуля
.
Поэтому
накладываем
дополнительные
условия
на
функции
)
(
t
v
k
и
их
начальные
значения
)
0
(
k
v
,
)
0
(
k
v
,
так
,
чтобы
невязки
в
каком
-
то
смысле
были
бы
наименьшими
.
В
обобщенном
методе
Галеркина
эти
условия
определяются
системами
уравнений
:
;
,
1
,
0
)
(
,
,
),
(
),...,
(
1
1
n
k
x
w
t
x
t
v
t
v
R
k
n
(4.10)
;
,
1
,
0
)
(
,
),
0
(
),...,
0
(
1
2
n
k
x
w
x
v
v
R
k
n
(4.11)
;
,
1
,
0
)
(
,
),
0
(
),...,
0
(
1
3
n
k
x
w
x
v
v
R
k
n
(4.12)
где
)
(
),...,
(
1
x
w
x
w
n
–
заданные
линейно
независящие
на
b
a
,
поверочные
функции
;
а
b
a
dx
x
W
x
V
x
W
x
V
)
(
)
(
)
(
),
(
.
Напомним
здесь
,
что
если
поверочные
функции
)
(
),...,
(
1
x
w
x
w
n
входят
в
полную
на
b
a
,
систему
функций
,
то
можно
ожидать
сходимости
последовательности
0
)
,
(
t
x
u
n
в
среднем
к
точному
решению
)
,
(
t
x
U
[1].
Запишем
условия
(4.10)
в
развернутом
виде
,
0
)
(
,
)
,
(
)
(
0
2
0
2
0
0
2
2
0
2
1
1
2
1
1
1
2
2
x
w
t
u
t
u
t
x
g
u
x
u
K
x
u
K
v
u
u
K
u
K
dt
dv
u
dt
v
d
x
u
k
n
j
j
j
j
j
n
j
j
j
n
j
j
j
или
,
0
)
(
,
)
,
(
,
,
,
0
2
0
2
0
0
2
2
0
2
1
1
2
1
1
1
2
2
x
w
t
u
t
u
t
x
g
u
x
u
K
x
u
K
v
w
u
u
K
u
K
dt
dv
w
u
dt
v
d
w
u
k
n
j
j
k
j
j
j
n
j
j
k
j
n
j
j
k
j
или
;
,
1
,
1
1
1
2
2
n
k
b
v
c
dt
dv
h
dt
v
d
a
k
n
j
j
kj
n
j
j
kj
n
j
j
kj
(4.13)
где
,
)
(
)
(
,
b
a
k
j
k
j
kj
dx
x
w
x
u
w
u
a
(4.14)
,
)
(
)
(
)
,
(
)
(
b
a
k
j
kj
dx
x
w
x
u
t
x
t
h
(4.15)