ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2278
Скачиваний: 1
106
,
)
(
2
1
b
a
k
j
j
j
kj
dx
w
u
u
K
u
K
t
c
(4.16)
,
)
(
)
,
(
)
(
0
2
0
2
0
0
2
2
0
2
1
dx
x
w
t
u
t
u
t
x
g
u
x
u
K
x
u
K
t
b
k
b
a
k
(4.17)
.
,
1
,
,
1
n
j
n
k
Если
ввести
в
рассмотрение
матрицы
,
,
,
,
,
1
,
1
,
n
j
n
k
n
kj
n
kj
n
kj
v
V
b
B
c
C
h
H
a
A
то
система
(4.13)
в
матричном
виде
запишется
так
.
2
2
B
CV
dt
dV
H
dt
V
d
A
Так
как
матрица
A
невырожденная
,
то
отсюда
получаем
.
1
2
2
B
CV
dt
dV
H
A
dt
V
d
(4.18)
Таким
образом
,
функции
)
(
t
v
j
должны
удовлетворять
системе
из
n
линейных
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
2-
го
порядка
.
Заметим
,
что
если
функции
)
,
(
),
,
(
),
,
(
),
,
(
2
1
t
x
t
x
K
t
x
K
t
x
зависят
только
от
x
,
то
система
(4.18) –
система
с
постоянными
коэффициентами
.
Заметим
так
же
,
что
если
в
качестве
поверочных
функций
выбраны
пробные
,
которые
ортогональны
,
то
матрицы
A
и
1
A
являются
диагональными
матрицами
.
Запишем
теперь
в
развернутом
виде
условия
(4.11).
Получаем
0
)
(
),
(
)
0
,
(
)
0
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
(
)
0
(
)
0
,
(
0
1
1
0
x
w
x
f
x
u
v
x
w
x
u
x
w
x
f
x
u
v
x
u
k
n
j
j
k
j
k
n
j
j
j
или
;
,
1
,
)
(
),
0
,
(
)
(
)
0
(
)
(
),
(
0
1
n
k
x
w
x
u
x
f
v
x
w
x
u
k
n
j
j
k
j
или
;
,
1
,
)
0
(
1
n
k
d
v
a
k
n
j
j
kj
(4.19)
где
kj
a
определяются
формулами
(4.14),
а
b
a
k
k
k
dx
x
w
x
u
x
f
x
w
x
u
x
f
d
.
)
(
)
0
,
(
)
(
)
(
),
0
,
(
)
(
0
0
(4.20)
Если
ввести
матрицу
1
,
n
k
d
D
,
то
из
(4.19)
получаем
D
A
V
1
)
0
(
. (4.21)
Теперь
запишем
в
развернутом
виде
условия
(4.12).
Получаем
107
0
)
(
),
(
)
0
,
(
)
0
(
)
(
),
(
)
(
),
(
)
(
)
0
(
)
0
,
(
0
1
1
0
x
w
x
t
x
u
dt
dv
x
w
x
u
x
w
x
x
u
dt
dv
t
x
u
k
n
j
j
k
j
k
n
j
j
j
или
;
,
1
,
0
1
n
k
r
dt
dv
a
k
n
j
j
kj
(4.22)
где
kj
a
определяются
формулами
(4.14),
а
b
a
k
k
k
dx
x
w
t
x
u
x
x
w
t
x
u
x
r
.
)
(
)
0
,
(
)
(
)
(
,
)
0
,
(
)
(
0
0
(4.23)
Если
ввести
матрицу
1
,
n
k
r
R
,
то
из
(4.22)
получаем
.
)
0
(
1
R
A
dt
dV
(4.24)
Заметим
,
что
если
0
)
(
x
и
)
,
(
0
t
x
u
зависят
только
от
x
,
то
n
k
v
k
,
1
,
0
)
0
(
и
.
0
3
R
Таким
образом
,
для
нахождения
функций
n
k
t
v
k
,
1
),
(
,
определяющих
пробное
решение
(4.6),
получаем
задачу
Коши
для
канонической
системы
(4.18)
линейных
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
порядка
n
2
с
начальными
условиями
(4.21)
и
(4.24).
Решив
указанную
задачу
Коши
и
подставив
определяемые
этим
решением
функции
)
(
t
v
k
в
(4.6),
заканчиваем
построение
пробного
решения
)
,
(
t
x
u
n
.
Опишем
возможный
алгоритм
построения
приближенного
решения
задачи
(4.1)–(4.4)
методом
Галеркина
,
предполагая
,
что
последовательность
1
)
,
(
t
x
u
n
сходится
равномерно
к
точному
решению
)
,
(
t
x
U
.
1.
Подготовительный
шаг
алгоритма
.
На
этом
шаге
выбираем
функцию
)
,
(
0
t
x
u
и
находим
невязку
)
,
(
)
,
(
0
10
t
x
g
u
L
t
x
R
от
подстановки
функции
)
,
(
0
t
x
u
в
уравнение
(4.1).
Находим
невязку
)
(
)
0
,
(
)
(
0
20
x
f
x
u
x
R
для
условия
(4.3)
и
невязку
)
(
)
0
,
(
)
(
0
30
x
t
x
u
x
R
для
условия
(4.4).
Определяем
10
10
)
,
(
max
t
x
R
D
,
20
20
,
)
(
max
x
R
b
a
и
30
30
,
)
(
max
x
R
b
a
.
Если
1
10
,
2
20
и
3
30
,
где
1
,
2
и
3
–
заданные
меры
точности
приближенного
решения
,
то
полагаем
)
,
(
~
)
,
(
0
t
x
u
t
x
U
.
В
противном
случае
переходим
к
следующему
шагу
алгоритма
,
предварительно
выбрав
пробные
)
(
x
u
j
и
поверочные
)
(
x
w
k
функции
.
Как
выбирать
пробные
и
поверочные
функции
,
показано
в
разделе
3.2
данной
работы
.
108
2.
Первый
шаг
алгоритма
.
Определив
функцию
)
(
1
t
v
из
решения
задачи
Коши
(4.18), (4.21)
и
(4.24)
при
1
n
,
строим
функцию
)
(
)
(
)
,
(
1
1
0
1
x
u
t
v
u
t
x
u
.
Находим
по
формулам
(4.7)–(4.9)
невязки
x
v
R
x
v
R
t
x
t
v
R
),
0
(
,
),
0
(
,
,
),
(
1
31
1
21
1
11
и
определяем
11
1
11
,
,
max
t
x
v
R
D
,
21
1
21
,
),
0
(
max
x
v
R
b
a
и
31
1
31
,
),
0
(
max
x
v
R
b
a
.
Если
1
11
,
2
21
и
3
31
,
то
полагаем
)
,
(
~
)
,
(
1
t
x
u
t
x
U
и
вычисления
заканчиваем
.
В
противном
случае
переходим
к
вычислениям
на
втором
шаге
алгоритма
и
т
.
д
.
Таким
образом
,
на
m
-
м
1
m
шаге
алгоритма
строим
функцию
m
k
k
k
m
x
u
t
v
t
x
u
t
x
u
1
0
)
(
)
(
)
,
(
)
,
(
,
определив
предварительно
функции
)
(
),...,
(
1
t
v
t
v
m
из
решения
задачи
Коши
(4.18), (4.21), (4.24)
при
m
n
.
Находим
по
формулам
(4.7)–(4.9)
невязки
x
v
v
R
x
v
v
R
t
x
t
v
t
v
R
m
m
m
m
m
m
),
0
(
),...,
0
(
,
),
0
(
),...,
0
(
,
,
),
(
),...,
(
1
3
1
2
1
1
,
а
затем
вычисляем
.
max
,
max
,
max
3
3
,
2
2
,
1
1
m
m
b
a
m
m
b
a
m
m
D
R
R
R
Если
3
3
2
2
1
1
,
,
m
m
m
,
то
полагаем
)
,
(
~
)
,
(
t
x
u
t
x
U
m
,
в
противном
случае
переходим
к
1
m
-
му
шагу
алгоритма
.
4.2.
Задание
к
лабораторной
работе
Рассматривается
начально
-
краевая
задача
:
в
двумерной
области
T
t
l
x
t
x
D
0
,
0
:
)
,
(
2
R
найти
решение
)
,
(
t
x
u
дифференциального
уравнения
,
2
2
1
2
2
x
u
c
t
u
(4.25)
удовлетворяющее
условиям
;
)
,
(
,
)
,
0
(
3
2
c
t
l
u
c
t
u
(4.26)
;
)
(
)
0
,
(
2
2
4
2
3
2
4
c
x
l
l
c
c
c
x
c
x
f
x
u
(4.27)
;
0
)
(
)
0
,
(
x
t
x
u
(4.28)
где
4
3
2
1
,
,
,
c
c
c
c
–
некоторые
заданные
постоянные
величины
.
Заметим
,
что
эта
задача
получается
как
частный
случай
задачи
(4.1)–(4.4)
при
,
0
a
,
b
,
0
)
,
(
t
x
,
)
,
(
1
1
c
t
x
K
,
0
)
,
(
2
t
x
K
,
0
,
t
x
,
0
)
,
(
t
x
g
,
0
)
(
x
.
,
0
,
1
,
,
0
,
1
3
2
1
0
2
2
1
0
c
b
b
b
c
a
a
a
Варианты
заданий
,
определяемые
различным
набором
значений
постоянных
4
3
2
1
,
,
,
c
c
c
c
задачи
(4.25)–(4.27)
и
параметра
T
,
приведены
в
таблице
4.1.
109
Таблица
4.1
Варианты
задания
к
лабораторной
работе
№
l
1
c
2
c
3
c
4
c
T
1
3 9 0,1
–
0,1
1 1
2 2 4 –
0,1 0,1 –
1 1
3
1 1 0,1
0,2 1 1
4 3 4/9 0,2 0,1 –
1 1
5
2 9
–
0,1
0,1 1 1
6
1
4
0,1
– 0,1
– 1
1
7
2
9
– 0,1
– 0,2
1
1
8
3
1/4
– 0,1
0,1
– 1
1
9 1 4/9 0,2 0,1 1 1
10 3 4 0,1 0,2 –
1 1
Лабораторная
работа
выполняется
с
использованием
прикладной
системы
MathCAD,
которая
реализует
алгоритм
построения
пробных
решений
)
,
(
t
x
u
m
задачи
(4.25)–(4.28)
методом
Галеркина
.
Перед
обращением
к
программе
необходимо
подготовить
числовые
и
строчные
данные
.
Числовые
данные
:
l
–
правый
конец
отрезка
изменения
переменной
x
;
1
c
–
числовой
параметр
уравнения
(4.25);
4
3
2
,
,
c
c
c
–
числовые
параметры
условий
(4.26), (4.27);
n
–
число
параметров
n
C
C
,...,
1
в
пробном
решении
(
значение
параметра
n
задает
преподаватель
);
T
–
значение
параметра
T
задачи
.
Строчные
данные
:
аналитические
выражения
для
функции
)
(
),...,
(
),
(
1
0
x
u
x
u
x
u
n
;
аналитические
выражения
поверочных
функций
)
(
),...,
(
1
x
w
x
w
n
.
После
введения
числовых
и
строчных
данных
программа
автоматически
производит
расчет
значений
)
(
),...,
(
1
T
v
T
v
n
,
построение
графиков
разности
пробного
решения
и
точного
решения
,
разности
пробного
решения
и
предыдущего
пробного
решения
,
таблиц
невязок
)
,
(
1
T
x
R
и
)
(
2
x
R
,
на
основании
которых
определяются
меры
точности
полученного
решения
.
Заметим
,
что
для
рассматриваемой
задачи
0
)
(
3
x
R
.
В
лабораторной
работе
требуется
:
1.
Методом
Фурье
(
методом
разделения
переменных
)
найти
точное
аналитически
заданное
решение
)
,
(
t
x
U
задачи
(4.25)–(4.28)
и
построить
график
точного
решения
при
T
t
,
т
.
е
.
функции
)
,
(
)
(
T
x
U
x
v
.
2.
Методом
Галеркина
найти
три
пробных
решения
)
,
(
T
x
u
n
,
используя
нормированные
системы
пробных
и
поверочных
функций
,
тип
которых
задает
преподаватель
.
110
3.
Определить
меры
точности
полученных
решений
.
Сделать
вывод
о
точности
решений
и
выписать
лучшее
из
них
.
4.
Оформить
и
защитить
отчет
.
4.3.
Выполнение
работы
в
компьютерном
классе
1.
Прежде
чем
начать
выполнение
лабораторной
работы
на
ЭВМ
,
внимательно
ознакомьтесь
с
данной
инструкцией
.
2.
При
необходимости
включите
сами
(
или
попросите
лаборанта
)
питание
компьютера
.
После
того
,
как
система
загрузится
,
запускаем
двойным
щелчком
левой
кнопки
мыши
на
рабочем
столе
программу
Mathcad,
если
же
ярлык
отсутствует
,
тогда
открываем
программу
через
кнопку
«
Пуск
» (
Программы
Mathsoft
Mathcad).
3.
Узнайте
у
лаборанта
расположение
файла
Hyperb.mcd
и
откройте
его
(File
Open
или
,
если
программа
русифицирована
,
Файл
Открыть
).
При
любой
ошибке
ввода
программы
нужно
обратиться
к
лаборанту
.
4.
Прочитайте
в
начале
файла
задание
на
лабораторную
работу
и
просмотрите
пример
выполнения
работы
,
для
которого
исследование
уже
проведено
.
Программа
файла
Hyperb.mcd
состоит
из
четырех
пунктов
«
Постановка
задачи
», «
Получение
точного
решения
», «
Получение
приближенного
решения
», «
Выводы
».
Цели
и
задачи
каждого
из
пунктов
описаны
ниже
.
5.
Для
набора
функций
нужно
либо
воспользоваться
всплывающим
меню
инструментов
«Calculator»,
либо
ввести
ее
с
клавиатуры
,
используя
следующие
символы
арифметических
действий
и
стандартных
функций
:
сложение
– ‘+’;
вычитание
– ‘–‘;
умножение
– ‘*’;
деление
– ‘/’;
возведение
в
степень
– ‘^’;
квадратный
корень
– ‘\’;
синус
– sin(
x
);
косинус
– cos(
x
);
экспонента
– exp(
x
);
натуральный
логарифм
– ln(
x
).
При
вводе
числовых
данных
,
являющихся
десятичными
дробями
,
целую
и
дробную
части
нужно
разделять
точкой
(
например
, 0.5, 1.5
и
т
.
д
.).
6.
Порядок
выполнения
работы
Вам
укажет
программа
подсказками
и
заданиями
,
выделенными
красным
цветом
.
7.
Для
формирования
файла
отчета
запускаем
двойным
щелчком
левой
кнопки
мыши
на
рабочем
столе
программу
Microsoft Word,
если
же
ярлык
отсутствует
,
то
открываем
программу
через
кнопку
«
Пуск
».
Открываем
новый
документ
.
В
начале
документа
необходимо
оформить
титульный
лист
,
описать
математическую
постановку
задачи
и
результаты
выполнения
подготовительных
расчетов
.
Затем
скопировать
основные
результаты
расчетов
из
программы
Hyperb.mcd
в
документ
и
оформить
итоговый
отчет
.
Копирование
– ‘Ctrl’+’Insert’,
вставка
– ‘Shift’+’Insert’.
Сохранить
документ
как
«
ФамилияСтудента
_
группа
_Hyperb.doc»
и
распечатать
.
Файл
отчета
оформить
аналогично
приложению
А
,
описывающему
выполнение
лабораторной
работы
№
1
.