ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2273
Скачиваний: 1
111
4.4.
Порядок
выполнения
лабораторной
работы
1.
Повторить
разделы
1.2, 3.2,
изучить
разделы
4.1–4.5
данной
работы
и
подготовить
ответы
на
контрольные
вопросы
из
раздела
4.7.
2.
Пройти
собеседование
с
преподавателем
;
получить
номер
варианта
работы
,
значение
параметра
n
и
указания
по
выбору
пробных
и
поверочных
функций
.
3.
Выполнить
первый
пункт
задания
,
связанный
с
построением
ряда
Фурье
для
точного
решения
задачи
)
,
(
t
x
U
и
нахождением
длины
отрезка
этого
ряда
,
обеспечивающую
точность
решения
0,001.
4.
Выполнить
подготовительный
шаг
алгоритма
метода
Галеркина
и
,
если
)
(
0
x
u
не
является
точным
решением
задачи
,
подготовить
все
числовые
и
строчные
данные
для
расчетов
и
в
пункте
«
Постановка
задачи
»
программы
Hyperb.mcd
ввести
их
вместо
данных
примера
,
введенных
изначально
.
5.
В
пункте
«
Получение
точного
решения
»
программы
ввести
число
,
намного
превышающее
найденное
в
3-
м
пункте
число
слагаемых
в
разложении
точного
решения
в
тригонометрический
ряд
Фурье
(
чтобы
гарантировать
достаточную
точность
решения
и
в
дальнейшем
считать
его
точным
).
Скопировать
график
получившегося
точного
решения
)
,
(
T
x
U
в
файл
отчета
.
6.
В
пункте
«
Получение
приближенного
решения
»
рассмотрено
применение
трех
систем
пробных
и
поверочных
функций
.
По
заданию
преподавателя
ввести
(
вместо
уже
введенных
для
примера
)
системы
пробных
)
,
1(
x
k
V
и
поверочных
)
,
(
x
k
W
функций
,
указанных
во
2-
м
пункте
(
см
.
раздел
4.5).
Выполнить
построение
n-
го
пробного
решения
задачи
.
Следует
скопировать
в
файл
отчета
вектор
коэффициентов
)
(
T
v
k
(
элементы
вектора
k
Y
,
100
программы
)
пробных
решений
и
набрать
в
отчете
решение
с
этими
коэффициентами
.
Так
же
необходимо
скопировать
в
этот
файл
пункт
«
Выводы
».
7.
Оформить
и
распечатать
файл
отчета
по
лабораторной
работе
,
который
должен
содержать
титульный
лист
,
математическую
постановку
задачи
и
ее
физическую
интерпретацию
,
результаты
выполнения
подготовительных
расчетов
,
основные
результаты
расчетов
на
ЭВМ
,
выводы
о
возможностях
использованных
систем
пробных
и
поверочных
функций
и
наиболее
приближенное
к
точному
аналитическое
решение
.
8.
Защитить
отчет
.
4.5.
Программа
в
системе
MathCAD
и
тестирующий
пример
В
данном
пункте
приведен
текст
программы
Hyperb.mcd,
разработанной
для
решения
начально
-
краевой
задачи
для
одномерного
гиперболического
уравнения
методом
Галеркина
.
В
тексте
разбирается
получение
пробного
112
решения
)
,
(
5
t
x
u
при
1
t
задачи
:
найти
функцию
)
,
(
t
x
u
,
удовлетворяющую
в
области
1
0
,
0
:
)
,
(
2
t
x
t
x
D
R
уравнению
2
2
2
2
x
u
t
u
(4.29)
и
условиям
,
1
)
,
0
(
t
u
,
2
)
,
(
t
u
(4.30)
2
2
8233
,
2
1
1
1
)
(
)
0
,
(
x
x
x
x
x
f
x
u
,
0
)
0
,
(
t
x
u
. (4.31)
Задача
(4.29)–(4.31)
является
частным
случаем
задачи
(4.25)–(4.28)
при
1
1
с
, 1
2
с
, 2
3
с
, 1
4
с
, 1
T
t
.
Использовать
три
системы
пробных
и
поверочных
функций
:
1.
Пробные
и
поверочные
функции
–
многочлены
(2.28);
2.
Пробные
функции
–
многочлены
(2.28),
поверочные
функции
–
многочлены
Лежандра
(2.31);
3.
Пробные
и
поверочные
функции
–
тригонометрические
функции
x
k
)
1
2
sin(
.
Лабораторная
работа
«
Решение
начально
-
краевой
задачи
для
одномерного
гиперболического
уравнения
методом
Галеркина
»
Задание
на
лабораторную
работу
1.
В
пункте
«
Постановка
задачи
»
ввести
вместо
данных
примера
непрерывные
функции
уравнения
K1(x) (K>0), K2(x),
(x),
(x), g(x), f(x),
(x)
и
числовые
параметры
задачи
a, b, a0, a1, a2, b0, b1, b2, c1, c2, c3, c4
своего
варианта
.
2.
В
пункте
«
Получение
точного
решения
»
программы
ввести
число
слагаемых
в
разложении
решения
в
ряд
,
намного
превышающее
найденное
аналитически
число
,
обеспечивающее
точность
решения
0.001.
Скопировать
график
полученной
интегральной
кривой
в
файл
отчета
.
3.
В
пункте
«
Получение
приближенного
решения
»
выполнить
построение
n-
го
пробного
решения
задачи
тремя
системами
пробных
и
поверочных
функций
.
Скопировать
в
файл
отчета
вектор
коэффициентов
Y
100,k
пробного
решения
и
набрать
в
отчете
решение
с
этими
коэффициентами
при
t=T.
4.
Скопировать
результаты
пункта
«
Выводы
»
в
файл
отчета
,
и
,
анализируя
их
,
сделать
в
файле
отчета
выводы
о
точности
построенных
решений
.
113
Постановка
задачи
Требуется
в
области
D={(x, t) |
a
x
b
t
0
}
найти
решение
U(x, t)
дифференциального
уравнения
2
t
U
d
d
2
x t
(
)
t
U
d
d
K1 x t
(
)
2
x
U
d
d
2
K2 x t
(
)
x
U
d
d
x t
(
)
U
g x t
(
)
удовлетворяющее
двум
краевым
условиям
a0 U a t
(
)
a1
x
U a t
(
)
d
d
a2 t
( )
b0 U b t
(
)
b1
x
U b t
(
)
d
d
b2 t
( )
и
начальным
условиям
U x
0
(
)
f x
( )
t
U x
0
(
)
d
d
x
( )
Рассмотрим
случай
,
когда
функции
, K1, K2,
, g, a2, b2
не
зависят
от
t.
Введите
непрерывные
функции
уравнения
(x), K1(x) (K1>0), K2(x),
(x),
g(x), f(x),
(x)
и
числовые
параметры
задачи
a, b, a0, a1, a2, b0, b1, b2, c1, c2,
c3, c4
c1
1
c2
1
c3
2
c4
1
x
( )
0
K1 x
( )
c1
K2 x
( )
0
x
( )
0
g x
( )
0
a
0
b
a0
1
a1
0
a2
c2
b0
1
b1
0
b2
c3
x
( )
0
f x
( )
c4 x
2
c3
c2
c4 b
2
b
x
c2
то
есть
f x
( )
x
2
1
2
x
1
Проверим
соответствие
граничных
и
начальных
условий
if a0 f a
( )
a1
a
f a
( )
d
d
a2
"Yes"
"No"
"Yes"
if b0 f b
( )
b1
b
f b
( )
d
d
b2
"Yes"
"No"
"Yes"
if a0
a
( )
a1
a
a
( )
d
d
0 "Yes"
"No"
"Yes"
114
if b0
b
( )
b1
b
b
( )
d
d
0 "Yes"
"No"
"Yes"
Если
хотя
бы
одно
условие
не
выполняется
(="No"),
то
задача
поставлена
не
корректно
.
Введите
конечный
момент
времени
,
до
которого
необходимо
провести
исследование
вашего
варианта
T
1
Получение
точного
решения
Найдем
точное
решение
U(x, t),
используя
разложение
функции
в
ряд
Фурье
.
Если
const
c1
x
K1
x
K2
x
g
x
x
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(
,
то
решение
имеет
вид
U(x, t)=U0(x)+
1
M
k
A
k
cos k
b a
c1
t
B
k
sin k
b a
c1
t
sin k
b a
x
Введите
число
слагаемых
,
обеспечивающих
достаточно
большую
точность
решения
(
для
примера
M=14
обеспечивает
точность
0,001,
поэтому
возьмем
число
,
превышающее
данное
,
например
, M=30)
M
30
Если
a1=0, b1=0,
то
функцию
U0(x)
можно
взять
в
виде
U0 x
( )
b0 a2
b
b2 a0
a
a0 b0
b
a
(
)
b2 a0
b0 a2
(
)
x
a0 b0
b
a
(
)
U0 x
( )
1
x
Вычислим
коэффициенты
A
k
, B
k
i
1
M
A2
i 1
2
b
a
a
b
x
f x
( )
U0 x
( )
(
)
sin
i
x
b
a
d
B2
i
1
2
i
a
b
x
x
( )
sin
i
x
b
a
d
Следовательно
,
точное
решение
U(x, t)
имеет
вид
UT x t
(
)
U0 x
( )
1
M
k
A2
k
1
cos
k
c1
t
b a
B2
k
1
sin
k
c1
t
b a
sin
k
x
b a
115
График
точного
решения
при
t=T
0
2
0
1
2
UT x T
(
)
x
Скопируйте
график
полученной
интегральной
кривой
в
файл
отчета
.
Получение
приближенного
решения
Введите
порядок
пробного
решения
U
n
=V(0,x)+
n
k
t
k
H
x
k
V
1
)
,
(
)
,
(
.
n
5
1.
Введите
систему
пробных
функций
:
k
1
n
V0 k x
(
)
x
a
(
)
k
x
b
(
)
Нормируем
их
.
Для
этого
вычислим
нормировочные
коэффициенты
i
1
n
VV
i
1
a
b
x
V0 i x
(
)
(
)
2
d
Получили
нормированные
пробные
функции
k
0
n
V k x
(
)
if k
0
V0 k x
(
)
VV
k
1
b0 a2
b
b2 a0
a
a0 b0
b
a
(
)
b2 a0
b0 a2
(
)
x
a0 b0
b
a
(
)
Введите
функции
V1(k,x)
и
V2(k,x),
равные
первой
и
второй
производной
от
функции
V(k,x)
k
0
n
V1 k x
(
)
if k
0
x
a
(
)
k
x
b
(
)
k
x
a
(
)
k
1
VV
k
1
b2 a0
b0 a2
a0 b0
b
a
(
)
V2 k x
(
)
if k
0
if k
1
2 k
x
a
(
)
k
1
x
b
(
)
k
k
1
(
)
x
a
(
)
k
2
VV
k
1
2
VV
k
1
0
Введите
систему
поверочных
функций
:
W k x
(
)
V k x
(
)