ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2258
Скачиваний: 1
31
Видим
,
что
система
имеет
множество
решений
R
,
,
3
,
3
:
,
,
C
B
A
C
B
A
G
.
Выбираем
одно
решение
из
G
при
3
1
,
тогда
.
3
1
1
)
(
2
1
x
x
x
u
Аналогично
,
используя
формулу
,
...
1
1
1
0
k
k
k
x
A
x
A
A
u
находим
,
5
1
1
)
(
,
4
1
1
)
(
4
3
3
2
x
x
x
u
x
x
x
u
.
7
1
1
)
(
,
6
1
1
)
(
6
5
5
4
x
x
x
u
x
x
x
u
Пример
2.
Построить
)
(
0
x
u
и
систему
из
трех
пробных
функций
для
задачи
с
краевыми
условиями
.
2
)
2
(
)
2
(
,
1
)
0
(
)
0
(
y
y
y
y
(2.28)
Решение
.
Если
)
(
0
x
u
,
то
условия
(2.28)
приводят
к
несовместной
системе
.
2
,
1
A
A
Предположим
,
что
Bx
A
u
0
,
тогда
B
u
0
и
условия
(2.28)
дают
,
1
0
,
1
,
2
,
1
,
2
2
,
1
B
A
B
A
B
A
B
B
A
B
A
тоже
несовместную
систему
.
Полагаем
2
0
Cx
Bx
A
u
,
тогда
Cx
B
u
2
0
и
условия
(2.28)
дают
,
1
0
,
1
,
2
,
1
,
2
2
,
1
B
A
B
A
B
A
B
B
A
B
A
которая
несовместна
.
Ищем
)
(
0
x
u
в
виде
3
2
0
Dx
Cx
Bx
A
u
,
тогда
2
0
3
2
Dx
Cx
B
u
,
и
из
(2.28)
имеем
.
2
4
,
1
,
2
12
4
8
4
2
,
1
D
B
A
B
A
D
C
B
D
C
B
A
B
A
Решаем
полученную
систему
методом
Гаусса
в
матричной
форме
,
чтобы
найти
все
решения
системы
.
Прямой
ход
метода
:
.
1
0
0
4
0
1
1
0
0
1
~
1
4
0
0
0
1
0
0
1
1
~
2
4
0
1
1
1
0
0
1
1
B
C
D
A
D
C
B
A
D
C
B
A
Видим
,
что
система
совместна
,
ибо
ранг
матрицы
системы
rg
равен
рангу
расширенной
матрицы
и
равен
2.
Так
как
число
неизвестных
системы
,
равное
32
четырем
,
больше
2
rg
,
то
система
неопределена
,
и
все
множество
решений
0
G
системы
получаем
обратным
ходом
метода
Гаусса
,
придавая
двум
неизвестным
C
и
B
произвольные
значения
.
Получаем
R
2
1
2
1
1
0
,
;
4
1
,
,
,
1
:
)
,
,
,
(
D
C
B
A
D
C
B
A
G
.
Выбираем
решение
из
0
G
при
0
2
1
.
Тогда
3
0
4
1
1
)
(
x
x
u
.
Определяем
теперь
)
(
1
x
u
.
Если
0
)
(
1
A
x
u
,
то
однородные
условия
,
соответствующие
условиям
(2.28),
выполняются
при
0
A
,
что
недопустимо
.
Пусть
Bx
A
x
u
)
(
1
,
B
x
u
)
(
1
,
и
из
однородных
условий
,
соответствующих
условиям
(2.28),
имеем
0
,
0
,
0
B
A
B
A
B
A
.
Эта
система
неопределена
,
ее
множество
решений
R
;
,
:
)
,
(
1
B
A
B
A
G
.
Выбираем
одно
ненулевое
решение
при
1
,
тогда
x
x
u
1
)
(
1
.
Ищем
)
(
2
x
u
.
Пусть
2
2
)
(
Cx
Bx
A
x
u
(
0
C
),
тогда
Cx
D
u
2
2
и
однородные
условия
дают
систему
.
0
0
,
0
C
B
A
B
A
Решая
ее
методом
Гаусса
,
находим
множество
решений
R
2
1
2
1
1
2
,
;
,
,
:
)
,
,
(
C
B
A
C
B
A
G
.
Выбирая
одно
ненулевое
решение
(
0
C
),
при
1
2
1
,
получаем
2
2
1
)
(
x
x
x
u
.
Находим
)
(
3
x
u
.
Если
3
2
3
)
(
Dx
Cx
Bx
A
x
u
(
0
D
),
то
2
3
3
2
)
(
Dx
Cx
B
x
u
,
и
из
однородных
условий
имеем
систему
,
0
,
0
,
0
4
0
,
0
D
B
A
D
C
B
A
B
A
которая
противоречит
условию
0
D
.
Пусть
теперь
4
3
2
3
)
(
Ex
Dx
Cx
Bx
A
x
u
(
0
E
),
тогда
3
2
3
4
3
2
)
(
Ex
Dx
Cx
B
x
u
,
и
из
однородных
условий
получаем
систему
.
0
16
4
0
,
0
,
0
32
12
4
16
8
4
2
,
0
E
D
C
B
A
B
A
E
D
C
B
E
D
C
B
A
B
A
33
Решая
ее
методом
Гаусса
,
получаем
множество
решений
.
,
,
;
,
4
,
,
,
:
)
,
,
,
,
(
3
2
1
3
3
2
1
1
3
R
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
G
Выбирая
одно
ненулевое
решение
(
0
E
)
при
1
1
, 1
2
,
1
3
,
имеем
4
3
2
3
4
1
)
(
x
x
x
x
x
u
.
II.
Подчеркнем
,
что
если
пробные
функции
выбираются
на
множестве
многочленов
,
то
их
всегда
можно
найти
методом
неопределенных
коэффициентов
,
причем
неоднозначно
.
Например
,
в
возможные
системы
пробных
функций
)
(
x
u
i
можно
включить
многочлены
,
2
,
1
,
0
,
)
(
)
(
)
(
2
1
i
x
b
a
x
x
u
n
i
n
i
m
(2.29)
или
,
,
2
,
1
,
0
,
)
(
)
(
)
(
2
1
i
x
b
a
x
x
u
i
n
n
i
m
(2.30)
где
;
0
если
,
2
;
0
если
,
1
1
1
1
a
a
n
;
0
если
,
2
;
0
если
,
1
1
1
2
b
b
n
,
2
1
l
n
n
m
а
остальные
функции
)
(
),...,
(
1
x
u
x
u
m
следует
определить
среди
многочленов
)
(
,
),
(
1
0
x
P
x
P
l
методом
неопределенных
коэффициентов
.
Пример
3
.
Построить
систему
пробных
функций
для
задачи
(2.2)
с
однородными
краевыми
условиями
.
0
)
1
(
)
1
(
,
0
)
0
(
)
0
(
y
y
y
y
Решение
.
Так
как
4
2
1
n
n
,
то
из
примера
1
выписываем
первые
две
пробные
функции
2
1
3
1
1
)
(
x
x
x
u
,
3
2
4
1
1
)
(
x
x
x
u
(
все
многочлены
порядка
меньше
4,
удовлетворяющие
краевым
условиям
).
Таким
образом
,
учитывая
,
что
2
,
2
2
1
n
n
,
пробное
решение
можно
искать
в
виде
1
2
3
3
2
2
1
)
1
(
4
1
1
3
1
1
)
(
k
n
k
k
n
x
x
C
x
x
C
x
x
C
x
y
,
если
функции
)
(
x
u
k
)
3
(
k
взять
в
виде
(2.29).
Если
же
в
виде
(2.30),
то
2
1
3
3
2
2
1
)
1
(
4
1
1
3
1
1
)
(
x
x
C
x
x
C
x
x
C
x
y
k
n
k
k
n
.
III.
При
выборе
систем
поверочных
функций
полезно
вспомнить
о
системах
функций
,
ортогональных
на
некотором
отрезке
.
Например
,
известно
[3],
что
многочлены
Лежандра
,
определяемые
формулой
,...
2
,
1
,
0
,
)
1
(
!
2
1
)
(
2
n
t
dt
d
n
t
P
n
n
n
n
n
(2.31)
34
ортогональны
на
[–1,1].
Так
что
,
если
в
качестве
поверочных
функций
)
(
x
W
k
решено
взять
,
например
,
первые
пять
многочленов
Лежандра
,
ортогональных
на
b
a
, ,
то
в
первые
пять
выражений
из
(2.31):
)
3
30
35
(
8
1
)
(
),
3
5
(
2
1
)
(
),
1
3
(
2
1
)
(
,
)
(
,
1
)
(
2
4
4
5
3
3
4
2
2
3
1
2
0
1
t
t
t
P
W
t
t
t
P
W
t
t
P
W
t
t
P
W
t
P
W
следует
подставить
.
2
2
b
a
x
a
b
t
IV.
Важным
источником
для
построения
ортогональных
на
]
,
[
b
a
пробных
функций
является
множество
решений
задачи
,
называемой
задачей
на
собственные
значения
для
дифференциального
оператора
y
y
L
]
[
[3].
Рассмотрим
конкретный
пример
такой
задачи
.
Пример
4.
Требуется
найти
действительные
значения
параметра
,
при
которых
существуют
нетривиальные
решения
дифференциального
уравнения
0
y
y
, (2.32)
удовлетворяющие
однородным
условиям
.
0
)
1
(
)
1
(
,
0
)
0
(
)
0
(
y
y
y
y
(2.33)
Решение
.
Пусть
0
,
тогда
общее
решение
уравнения
(2.32)
будет
иметь
вид
2
1
C
x
C
y
.
Пытаясь
удовлетворить
условиям
(2.33),
получаем
.
0
,
0
,
0
,
0
,
0
2
,
0
2
1
2
2
1
2
1
2
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Таким
образом
, 0
не
является
собственным
значением
,
так
как
ему
соответствует
единственное
тривиальное
(
0
y
)
решение
задачи
(2.32), (2.33).
Пусть
0
,
тогда
x
x
e
C
e
C
y
2
1
,
,
и
условия
(2.33)
приводят
к
системе
уравнений
.
0
)
1
(
,
0
)
1
(
,
0
)
)(
1
(
,
0
)
1
(
)
1
(
,
0
)
1
(
)
1
(
,
0
)
1
(
)
1
(
,
0
,
0
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
C
C
C
e
e
C
C
e
C
e
C
C
C
e
C
e
C
e
C
e
C
C
C
C
C
Получим
нетривиальное
решение
задачи
(2.32), (2.33)
при
0
,
1
2
C
и
собственная
функция
имеет
вид
x
e
y
1
.
Пусть
теперь
0
.
Тогда
)
sin(
)
cos(
2
1
x
C
x
C
y
,
,
и
краевые
условия
(2.33)
дают
35
,
0
cos
sin
sin
cos
,
0
2
1
2
1
2
1
C
C
C
C
C
C
.
0
sin
)
1
(
,
,
0
cos
sin
)
sin
(cos
,
,
0
)
cos
(sin
)
sin
(cos
,
2
2
1
2
2
1
2
1
2
1
C
C
C
C
C
C
C
C
C
C
Видим
,
что
существуют
нетривиальные
решения
задачи
(2.32), (2.33),
если
0
sin
,
т
.
е
. ,...
2
,
1
,
n
n
Таким
образом
,
множество
собственных
значений
определяется
формулой
,...
2
,
1
,
)
(
2
n
n
n
,
а
множество
собственных
функций
,
соответствующих
собственному
значению
n
,
имеет
базисную
функцию
).
cos(
)
sin(
)
cos(
)
sin(
x
n
n
x
n
x
x
y
n
n
n
n
Окончательно
получим
множество
собственных
значений
и
соответствующих
им
собственных
функций
:
,...
2
,
1
,
)
(
),
cos(
)
sin(
)
cos(
)
sin(
,
2
1
1
n
n
x
n
n
x
n
x
x
y
e
y
n
n
n
n
n
x
Для
того
чтобы
убедиться
в
ортогональности
на
1
,
0
функций
)
(
)
(
),
(
m
n
x
y
x
y
m
n
,
достаточно
проверить
,
что
1
0
0
)
(
)
(
)
,
(
dx
x
y
x
y
y
y
m
n
m
n
.
V.
Пример
4
показывает
,
что
полную
систему
пробных
или
поверочных
функций
)
(
x
u
i
, 1
i
можно
составить
из
последовательно
определяемых
нетривиальных
решений
задачи
(2.32), (2.6)
трех
видов
:
;
0
,
)
(
x
x
Be
Ae
x
u
(2.34)
;
)
(
B
Ax
x
u
(2.35)
.
0
),
sin(
)
cos(
)
(
x
B
x
A
x
u
(2.36)
Приведем
теперь
еще
несколько
примеров
построения
пробных
решений
задачи
(2.1)
с
некоторыми
вариантами
краевых
условий
(2.3).
Пример
5.
Построить
пробное
решение
(2.7)
с
краевыми
условиями
2
)
0
(
y
, 3
)
1
(
y
.
Решение
.
Пусть
2
0
Cx
Bx
u
.
Тогда
из
граничных
условий
находим
2
B
, 3
2
C
B
,
т
.
е
. 2
B
,
2
1
C
.
Итак
,
2
0
2
1
2
)
(
x
x
x
u
.
Построим
пробные
функции
,
используя
формулы
(2.34) – (2.36).