ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2265
Скачиваний: 1
36
Ищем
нетривиальное
решение
вида
(2.34).
Удовлетворяя
однородным
краевым
условиям
,
получаем
,
0
,
0
,
0
,
,
0
,
0
B
A
e
e
A
A
B
Be
Ae
B
A
следовательно
,
нетривиального
решения
нет
.
Ищем
нетривиальное
решение
вида
(2.35).
Из
однородных
краевых
условий
,
получаем
,
0
,
0
,
0
,
0
B
A
A
A
следовательно
, 1
)
(
1
x
u
.
Ищем
нетривиальное
решение
вида
(2.36).
Из
однородных
краевых
условий
,
получим
.
,
,
,
,
0
,
0
cos
sin
,
0
N
n
n
R
C
C
A
B
B
A
B
Следовательно
,
имеем
счетное
множество
нетривиальных
решений
),
)
1
cos((
)
(
x
k
x
u
k
,...
3
,
2
k
.
Таким
образом
,
пробное
решение
можно
искать
в
виде
)
)
1
cos((
2
1
2
)
(
2
1
2
x
k
C
C
x
x
x
y
n
k
k
n
.
Если
же
функции
)
(
x
u
k
(
1
k
)
взять
в
виде
(2.29),
то
1
2
3
2
3
2
1
2
)
1
(
2
3
2
1
2
)
(
k
n
k
k
n
x
x
C
x
x
C
C
x
x
x
y
,
если
же
–
в
виде
(2.30),
то
2
1
3
2
3
2
1
2
)
1
(
2
3
2
1
2
)
(
x
x
C
x
x
C
C
x
x
x
y
k
n
k
k
n
,
где
многочлены
2
3
3
0
2
3
)
(
,
1
)
(
x
x
x
P
x
P
удовлетворяют
однородным
граничным
условиям
и
найдены
среди
многочленов
)
(
),
(
),
(
),
(
3
2
1
0
x
P
x
P
x
P
x
P
с
неопределенными
коэффициентами
.
Пример
6.
Построить
пробное
решение
для
краевой
задачи
с
условиями
2
)
0
(
y
, 4
)
1
(
y
.
Решение
.
Методом
неопределенных
коэффициентов
находим
x
x
u
2
2
)
(
0
.
Определяя
пробные
функции
из
множества
(2.34) – (2.36),
устанавливаем
,
что
существуют
только
нетривиальные
решения
вида
(2.36),
причем
0
B
,
2
1
2
,
0
k
A
, ,...
3
,
2
,
1
k
,
x
k
x
u
k
2
1
2
cos
)
(
,
N
k
.
Следовательно
,
37
n
k
k
n
x
k
C
x
x
y
1
2
1
2
cos
2
2
)
(
.
Используя
же
пробные
функции
вида
(2.29)
или
(2.30),
получаем
n
k
k
k
n
x
x
C
x
C
x
x
y
2
2
1
)
1
(
)
1
(
2
2
)
(
или
n
k
k
k
n
x
x
C
x
C
x
x
y
2
1
2
2
1
)
1
(
)
1
(
2
2
)
(
,
где
многочлен
1
)
(
2
2
x
x
P
удовлетворяет
однородным
граничным
условиям
и
найден
среди
многочленов
)
(
),
(
),
(
2
1
0
x
P
x
P
x
P
с
неопределенными
коэффициентами
.
Пример
7.
Построить
пробное
решение
для
краевой
задачи
с
условиями
1
)
0
(
)
0
(
2
y
y
, 3
)
1
(
y
.
Решение
.
Методом
неопределенных
коэффициентов
находим
x
x
u
3
2
3
7
)
(
0
.
Ищем
нетривиальное
решение
вида
(2.34).
Удовлетворяя
однородным
краевым
условиям
,
получаем
.
0
2
2
1
,
,
0
,
0
2
2
2
2
2
e
e
B
Be
A
Be
Ae
B
A
B
A
Следовательно
,
существует
нетривиальное
решение
,
только
в
том
случае
,
если
существует
отрицательный
корень
уравнения
:
2
2
1
2
1
e
. (2.37)
Рисунок
2.1
показывает
,
что
отрицательных
корней
нет
.
Получим
только
тривиальное
решение
0
)
(
x
u
.
Рис
. 2.1.
Геометрическая
иллюстрация
корня
уравнения
(2.37)
Ищем
нетривиальное
решение
вида
(2.35).
Из
однородных
краевых
условий
,
получаем
,
0
,
0
,
0
,
0
2
B
A
B
A
B
A
следовательно
,
существует
только
тривиальное
решение
0
)
(
x
u
.
38
Ищем
нетривиальное
решение
вида
(2.36).
Из
однородных
краевых
условий
,
получим
.
0
sin
cos
,
0
2
B
A
A
B
Откуда
получаем
A
B
2
,
а
значения
являются
положительными
корнями
уравнения
2
tg
.
Последнее
уравнение
имеет
счетное
множество
корней
,
,
2
1
,
что
подтверждает
рисунок
2.2.
Их
значения
определяются
приближенными
численными
методами
,
например
,
метод
хорд
,
метод
Ньютона
,
методом
итерации
или
методом
половинного
деления
.
В
системе
MathCAD
корни
уравнений
отыскиваются
с
помощью
стандартной
функции
root
(
см
.
раздел
6.2).
Рис
. 2.2.
Геометрическая
иллюстрация
корней
уравнения
x
x
2
tg
Следовательно
,
)
sin(
)
cos(
2
)
(
x
x
x
u
k
k
k
k
, 1
k
.
Таким
образом
,
пробное
решение
можно
искать
в
виде
)
sin(
)
cos(
2
3
2
3
7
)
(
1
x
x
C
x
x
y
k
k
k
n
k
k
n
.
Если
использовать
пробные
функции
вида
(2.29), (2.30),
то
получаем
)
1
(
2
3
3
2
3
7
)
(
2
2
1
x
x
C
x
x
C
x
x
y
k
n
k
k
n
,
или
1
2
2
2
1
)
1
(
2
3
3
2
3
7
)
(
k
n
k
k
n
x
x
C
x
x
C
x
x
y
,
где
многочлен
2
3
)
(
2
2
x
x
x
P
удовлетворяет
однородным
граничным
условиям
и
найден
среди
многочленов
)
(
),
(
),
(
2
1
0
x
P
x
P
x
P
с
неопределенными
коэффициентами
.
Пример
8.
Построить
пробное
решение
для
краевой
задачи
с
условиями
1
)
0
(
2
)
0
(
y
y
,
3
)
1
(
3
)
1
(
y
y
.
39
Решение
.
Методом
неопределенных
коэффициентов
находим
2
2
)
(
0
x
x
u
.
Определяя
пробные
функции
из
множества
(2.34) – (2.36),
устанавливаем
,
что
существует
нетривиальное
решение
вида
(2.34),
причем
0
B
,
B
A
2
1
2
1
,
а
является
единственным
положительным
корнем
уравнения
1
3
1
2
1
3
1
2
2
e
. (2.38)
Последнее
подтверждает
рисунок
2.3.
Рис
. 2.3.
Геометрическая
иллюстрация
корней
уравнения
(2.38)
Уравнение
(2.38)
имеет
корень
951
,
0
1
,
который
может
быть
найден
любым
численным
методом
.
Следовательно
,
x
x
x
x
e
e
e
e
x
u
951
.
0
951
.
0
1
1
1
217
,
3
1
2
1
2
)
(
1
1
.
Нетривиального
решения
вида
(2.35)
не
существует
.
Найдем
нетривиальные
решения
вида
(2.36):
0
,
2
B
B
A
,
а
значения
являются
положительными
корнями
уравнения
2
6
1
5
tg
.
Таких
корней
это
уравнение
имеет
счетное
множество
,...
,
3
2
,
что
подтверждает
рисунок
2.4,
их
значения
определяются
численным
методом
.
Следовательно
,
)
sin(
)
cos(
2
)
(
x
x
x
u
k
k
k
k
, 2
k
.
Таким
образом
,
пробное
решение
можно
искать
в
виде
)
sin(
)
cos(
2
1
2
1
2
2
2
)
(
2
1
1
1
1
1
x
x
C
e
e
C
x
x
y
k
k
k
n
k
k
x
x
n
.
Если
использовать
пробные
функции
вида
(2.29), (2.30),
то
получаем
2
1
3
2
3
2
2
1
)
1
(
8
5
10
5
4
2
2
)
(
x
x
C
x
x
C
x
x
C
x
x
y
k
n
k
k
n
,
или
40
1
2
3
2
3
2
2
1
)
1
(
8
5
10
5
4
2
2
)
(
k
n
k
k
n
x
x
C
x
x
C
x
x
C
x
x
y
,
где
многочлены
2
3
3
2
2
8
5
)
(
,
10
5
4
)
(
x
x
x
P
x
x
x
P
удовлетворяют
однородным
граничным
условиям
и
найдены
среди
многочленов
)
(
),
(
),
(
),
(
3
2
1
0
x
P
x
P
x
P
x
P
с
неопределенными
коэффициентами
.
Рис
. 2.4.
Геометрическая
иллюстрация
корней
уравнения
2
6
1
5
tg
Пример
9.
Построить
пробное
решение
для
краевой
задачи
с
условиями
3
)
0
(
2
)
0
(
y
y
, 6
)
1
(
)
1
(
y
y
.
Решение
.
Методом
неопределенных
коэффициентов
находим
1
)
(
2
0
x
x
x
u
.
Определяя
пробные
функции
из
множества
(2.34) – (2.36),
устанавливаем
:
1.
Не
существуют
нетривиальные
решения
вида
(2.34);
2.
Существуют
нетривиальные
решения
вида
(2.35),
причем
0
,
2
1
B
B
A
,
так
что
можно
взять
2
)
(
1
x
x
u
;
3.
Существуют
нетривиальные
решения
вида
(2.36),
причем
0
,
2
B
B
A
,
а
значения
являются
положительными
корнями
уравнения
2
1
)
(
tg
.
Последнее
уравнение
имеет
счетное
множество
таких
корней
,...
,
3
2
.
Их
значения
определяются
численными
методами
.
для
определения
собственных
значений
.
Таким
образом
,
пробное
решение
можно
искать
в
виде
)
sin(
)
cos(
2
2
1
)
(
2
1
2
x
x
C
x
C
x
x
x
y
k
k
k
n
k
k
n
.