ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2262
Скачиваний: 1
41
Если
использовать
пробные
функции
вида
(2.29), (2.30),
то
получаем
2
1
3
2
3
2
1
2
)
1
(
2
4
3
)
2
(
1
)
(
x
x
C
x
x
x
C
x
C
x
x
x
y
k
n
k
k
n
,
или
1
2
3
2
3
2
1
2
)
1
(
2
4
3
)
2
(
1
)
(
k
n
k
k
n
x
x
C
x
x
x
C
x
C
x
x
x
y
,
где
многочлены
2
4
3
)
(
,
2
)
(
2
3
3
1
x
x
x
x
P
x
x
P
удовлетворяют
однородным
граничным
условиям
и
найдены
среди
многочленов
)
(
),
(
),
(
),
(
3
2
1
0
x
P
x
P
x
P
x
P
с
неопределенными
коэффициентами
.
Пример
10.
Построить
пробное
решение
для
краевой
задачи
с
условиями
1
)
0
(
)
0
(
2
y
y
, 3
)
2
(
)
2
(
y
y
.
Решение
.
Методом
неопределенных
коэффициентов
находим
2
5
)
(
0
x
x
u
.
Определяя
пробные
функции
из
множества
(2.34) – (2.36),
устанавливаем
,
что
существуют
нетривиальные
решения
вида
(2.34),
причем
0
B
,
B
A
2
2
,
а
являются
положительными
корнями
уравнения
1
2
1
2
4
e
. (2.39)
Последнее
уравнение
имеет
два
положительных
корня
,
что
подтверждает
рисунок
2.5.
Рис
. 2.5.
Геометрическая
иллюстрация
корней
уравнения
(2.39)
Уравнение
(2.39)
имеет
корни
2,0039559
,
0,8454095
2
1
,
которые
могут
быть
найдены
любым
численным
методом
.
Следовательно
,
.
6
1012,14790
2
2
)
(
,
2,464432
2
2
)
(
2,0039559
2,0039559
2
2
2
0,8454095
0,8454095
1
1
1
2
2
1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
e
e
e
e
x
u
e
e
e
e
x
u
42
Нетривиального
решения
вида
(2.35)
не
существует
.
Найдем
нетривиальные
решения
вида
(2.36):
0
,
2
B
B
A
,
а
значения
являются
положительными
корнями
уравнения
2
2
3
tg2
.
Таких
корней
это
уравнение
имеет
счетное
множество
,...
,
4
3
,
что
подтверждает
рисунок
2.6,
их
значения
определяются
численным
методом
.
Рис
. 2.6.
Геометрическая
иллюстрация
корней
уравнения
2
2
3
tg2
Следовательно
,
)
sin(
2
)
cos(
)
(
x
x
x
u
k
k
k
k
, 3
k
.
Таким
образом
,
пробное
решение
можно
искать
в
виде
.
)
sin(
2
)
cos(
2
2
2
2
2
5
)
(
3
2
2
2
1
1
1
2
2
1
1
x
x
C
e
e
C
e
e
C
x
x
y
k
k
k
n
k
k
x
x
x
x
n
Если
использовать
пробные
функции
вида
(2.29), (2.30),
то
получаем
2
1
3
3
2
2
1
)
1
(
4
8
2
5
)
(
x
x
C
x
x
C
x
C
x
x
y
k
n
k
k
n
,
или
1
2
3
3
2
2
1
)
1
(
4
8
2
5
)
(
k
n
k
k
n
x
x
C
x
x
C
x
C
x
x
y
,
где
многочлены
4
8
)
(
,
)
(
3
3
2
2
x
x
x
P
x
x
P
удовлетворяют
однородным
граничным
условиям
и
найдены
среди
многочленов
)
(
),
(
),
(
),
(
3
2
1
0
x
P
x
P
x
P
x
P
с
неопределенными
коэффициентами
.
43
2.6.
Задание
к
лабораторной
работе
Используя
методы
Галеркина
,
Ритца
и
интегральный
метод
наименьших
квадратов
,
найти
наиболее
точное
приближенное
аналитическое
решение
n
i
i
i
n
x
u
C
x
u
x
y
1
0
)
(
)
(
)
(
краевой
задачи
,
)
(
)
(
,
)
(
)
(
,
0
1
1
2
1
0
2
1
0
2
2
2
1
0
b
b
y
b
b
y
b
a
a
y
a
a
y
a
y
x
d
y
x
x
d
d
y
(2.40)
из
пробных
решений
,
построенных
: 1)
методом
Галеркина
при
помощи
системы
из
n
пробных
функций
–
многочленов
(2.26)
и
двух
систем
поверочных
функций
,
одна
из
которых
составлена
из
пробных
функций
,
а
вторая
–
из
многочленов
Лежандра
(2.31); 2)
методом
Ритца
при
помощи
двух
систем
из
n
пробных
функций
–
многочленов
(2.26)
и
функций
вида
(2.34) –
(2.36); 3)
интегральным
методом
наименьших
квадратов
при
помощи
двух
систем
из
n
пробных
функций
–
многочленов
(2.26)
и
многочленов
(2.29).
Наиболее
точное
решение
установить
сравнением
мер
точности
полученных
приближенных
решений
,
)
(
)
(
max
1
]
,
[
1
x
y
x
y
n
n
b
a
,
)
,
,...,
(
max
1
]
,
[
2
x
C
C
R
n
b
a
,
)
(
)
(
max
]
,
[
3
x
y
x
Y
n
K
b
a
где
)
(
x
Y
K
–
решение
,
полученное
на
ЭВМ
с
использованием
стандартных
функций
прикладной
системы
MathCAD,
описанными
в
главе
6.
Сделать
выводы
о
возможностях
использованных
методов
.
Оформить
и
защитить
отчет
.
Варианты
заданий
,
определяемые
различными
наборами
значений
параметров
b
a
b
b
b
a
a
a
d
d
d
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
2
1
0
2
1
0
2
1
0
задачи
(2.40)
приведены
в
таблице
2.2.
Лабораторная
работа
выполняется
с
использованием
прикладной
системы
MathCAD,
в
которой
реализуются
алгоритмы
построения
пробных
решений
)
(
x
y
m
методами
Галеркина
,
Ритца
и
интегральным
методом
наименьших
квадратов
.
Перед
обращением
к
программе
необходимо
подготовить
числовые
и
строчные
данные
:
2
1
0
2
1
0
2
1
0
,
,
,
,
,
,
,
,
b
b
b
a
a
a
d
d
d
–
параметры
задачи
;
b
a
, –
концы
отрезка
интегрирования
;
n
–
число
параметров
n
C
C
,...,
1
в
пробном
решении
(
значение
параметра
n
задает
преподаватель
);
аналитические
выражения
для
пробных
функций
)
(
),...,
(
0
x
u
x
u
n
и
для
поверочных
функций
)
(
),...,
(
1
x
W
x
W
n
.
Аналитические
выражения
набираются
по
определенным
правилам
,
описанным
в
главе
6.
44
После
введения
числовых
и
строчных
данных
программа
автоматически
производит
расчет
:
компьютерного
решения
)
(
x
Y
K
;
значений
коэффициентов
n
C
C
,...,
1
;
пробных
решений
)
(
),
(
1
x
y
x
y
n
n
;
сравнения
)
(
x
y
n
с
)
(
1
x
y
n
и
)
(
x
y
n
с
)
(
x
Y
K
;
невязок
;
параметров
3
2
1
,
,
.
Таблица
2.2
Варианты
заданий
лабораторной
работы
№
вар
.
a
b
0
a
1
a
2
a
0
b
1
b
2
b
0
d
1
d
2
d
1 0 0,8 1 0
–
0,5
1 0 0,5 2 0 6
2 0 0,8 1 0 0 1 0 0,1 2 0 12
3 0 0,8 0 1 0,5 1 0 0,2 2 0 6
4 0 0,8 0 1 0 1 0 0,1 2 0 8
5 0 0,8 1 0
–
0,4
0 1 –
0,2 2 0 20
6 0 0,8 1 0
–
0,5
1 0 0,5 0 2 6
7 0 0,8 1 0 0 1 0 0,1 0 2 12
8 0 0,8 0 1 0,5 1 0 0,2 0 2 6
9 0 0,8 0 1 0 0 1 0,1 0 2 8
10 0 0,8 1 0
–
0,4
0 1 –
0,2 0 2 20
11 0 0,6 1 0 0,2 1 0 0,8 2 0 10
12 0 0,6 0 1
0,15
0 1 0,2 2 0 15
13 0 0,6 0 1
–
0,1
1 0 0,4 2 0 18
14 0 0,6 1 0
–
0,2
1 0 –
0,8 2 0 14
15 0 0,6 1 1 0,5 0 1 –
1,0 0 2 12
16 0 0,6 1 1 0,4 1 0 1 0 2 4
17 0 0,6 1 0 0,4 1 1 0,2 0 2 6
18 0 0,4 1 0 0 1 0 0,9 0 2 15
19 0 0,4 1 0 1 1 0
–
0,13
0 2 24
20 0 0,4 1 0 0 1 0 –
1,1 0 2 35
21 0 0,4 1 0 0 1 0
–
0,35
0 2 9
22 0 0,4 0 1 1 0 1 –
1 2 0 1
23 0 0,5 1 –
1
0,2 0 1 1 2 0 4
24 0 0,5 –
1 0 0,4 1 0 0,6 2 0 6
25 0 0,5 0 1 2 1 0 0,4 2 0 8
2.7.
Выполнение
работы
в
компьютерном
классе
1.
Прежде
чем
начать
выполнение
лабораторной
работы
на
ЭВМ
,
внимательно
ознакомьтесь
с
данной
инструкцией
.
2.
При
необходимости
включите
сами
(
или
попросите
лаборанта
)
питание
компьютера
.
После
того
,
как
система
загрузится
,
запускаем
двойным
щелчком
левой
кнопки
мыши
на
рабочем
столе
программу
Mathcad,
если
же
ярлык
отсутствует
,
то
открываем
программу
через
кнопку
«
Пуск
» (
Программы
Mathsoft
Mathcad).
45
3.
Узнайте
у
лаборанта
расположение
файла
ODE.mcd
и
откройте
его
(File
Open
или
,
если
программа
русифицирована
,
Файл
Открыть
).
При
любой
ошибке
ввода
программы
нужно
обратиться
к
лаборанту
.
4.
Прочитайте
в
начале
файла
задание
на
лабораторную
работу
и
просмотрите
пример
выполнения
работы
,
для
которого
исследование
уже
проведено
.
Программа
файла
ODE.mcd
состоит
из
шести
пунктов
«1.
Постановка
задачи
», «2.
Получение
приближенного
решения
с
помощью
программного
блока
в
системе
MathCAD», «3.
Получение
приближенного
решения
методом
Галеркина
», «4.
Получение
приближенного
решения
вариационным
методом
Ритца
», «5.
Получение
приближенного
решения
интегральным
методом
наименьших
квадратов
», «6.
Выводы
».
Цели
и
задачи
каждого
из
пунктов
описаны
ниже
.
5.
Для
набора
функций
нужно
либо
воспользоваться
всплывающим
меню
инструментов
«Calculator»,
либо
ввести
ее
с
клавиатуры
,
используя
следующие
символы
арифметических
действий
и
стандартных
функций
:
сложение
– ‘+’;
вычитание
– ‘–‘;
умножение
– ‘*’;
деление
– ‘/’;
возведение
в
степень
– ‘^’;
квадратный
корень
– ‘\’;
синус
– sin(
x
);
косинус
– cos(
x
);
экспонента
– exp(
x
);
натуральный
логарифм
– ln(
x
).
При
вводе
числовых
данных
,
являющихся
десятичными
дробями
,
целую
и
дробную
части
нужно
разделять
точкой
(
например
, 0.5, 1.5
и
т
.
д
.).
6.
Порядок
выполнения
работы
Вам
укажет
программа
подсказками
и
заданиями
,
выделенными
красным
цветом
.
7.
Для
формирования
файла
отчета
запускаем
двойным
щелчком
левой
кнопки
мыши
на
рабочем
столе
программу
Microsoft Word,
если
же
ярлык
отсутствует
,
то
открываем
программу
через
кнопку
«
Пуск
».
Открываем
новый
документ
.
В
начале
документа
необходимо
оформить
титульный
лист
,
описать
математическую
постановку
задачи
и
результаты
выполнения
подготовительных
расчетов
.
Затем
скопировать
основные
результаты
расчетов
из
программы
ODE.mcd
в
документ
и
оформить
итоговый
отчет
.
Копирование
–
‘Ctrl’+’Insert’,
вставка
– ‘Shift’+’Insert’.
Сохранить
документ
как
«
ФамилияСтудента
_
группа
_ODE.doc»
и
распечатать
.
Пример
файла
отчета
приведен
в
приложении
А
.
2.8.
Порядок
выполнения
лабораторной
работы
Рекомендуется
следующий
порядок
выполнения
лабораторной
работы
.
1.
Изучить
разделы
1.1–1.2, 2.1–2.7
и
подготовить
ответы
на
контрольные
вопросы
из
раздела
2.12.
2.
Пройти
собеседование
с
преподавателем
,
получить
допуск
к
выполнению
работы
на
ЭВМ
,
номер
варианта
задания
и
значение
параметра
n
.
3.
В
соответствии
с
вариантом
задания
выполнить
подготовительный
шаг
алгоритма
методов
Галеркина
,
Ритца
и
метода
наименьших
квадратов
и
подготовить
,
если
)
(
0
x
u
не
является
точным
решением
задачи
,
все
числовые
и
строчные
исходные
данные
для
расчетов
на
ЭВМ
.