ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.12.2021
Просмотров: 2970
Скачиваний: 33
88
нет
да
Рис.9.1 Блок-схема алгоритма аппроксимации по схеме Горнера
Аппроксимацию табличных данных обычно проводят либо
полиномом равномерного наилучшего приближения, либо с
помощью полинома регрессии. В первом случае полученный
полином дает минимальное значение максимальной ошибки
линеаризации в диапазоне аппроксимации, во втором –
минимальное значение среднеквадратической погрешности (при
фиксированной степени полинома
n).
Для уменьшения времени вычислений и требуемой памяти
ЦВМ
желательно
выбирать
аппроксимирующий
полином
наименьшей степени, но обеспечивающий допустимую погрешность
∆
x
доп
. При аппроксимации полиномом равномерного наилучшего
приближения должно выполняться требование
[δ
i
] ≤ δ
max
≤ ∆
x
доп
(9.3.4.)
Ввод исходных данных
0
,....,
1
,
a
a
a
n
n
−
y
S: =
n
a
S: =
y
S
n: = n - 1
n = 0
S: = S +
1
−
n
a
0
:
a
S
S
+
=
Выдача результата
89
где δ
i
- погрешность аппроксимации в каждой заданной точке
y
i
(
i=
1,2,….,
n
), выражающаяся формулой:
δ
i =
P
n
(
y
i
) -
x
i
Это условие можно записать в виде
δ
max
+ P
n
(
y
i
) -
x
i
≥ 0 (9.3.5.)
i =
1,2,…m
δ
max
+
x
i
- + P
n
(
y
i
) ≥ 0 (9.3.6.)
δ
max
≥ 0 (9.3.7.)
Для полинома равномерного наилучшего приближения
требуется найти минимум линейной формы, которой в данном
случае является величина
L
n
=δ
max
(
a
n,….
a
0
) →
min
(9.3.8)
{
a
i
}
Эта задача сводится к задаче линейного программирования, где
(9.3.8.) является целевой функцией, а (9.3.5.) ÷ (9.3.7.)
ограничениями. Если допустимая величина ошибки ∆
x
доп
меньше
L
n
,
следует увеличить степень полинома на единицу, найти для него
L
n+1
и опять проверить неравенство ∆
x
доп
≥
L
n+1.
Итак, если аппроксимирующий полином есть, значения
измеряемой величины вычисляются по схеме Горнера на основе
показаний датчика; если аппроксимирующий полином не задан и в
памяти ЦВМ записана вся градуировочная таблица, то расчет
значений проводится по интерполяционной формуле.
В ряде АСУТП информация об измеряемых параметрах
выражается в ЭВМ правильной дробью α, изменяющейся от 0 до 1
при изменении параметра от минимального до максимального
значения. Тогда вычисление абсолютных величин давления,
перемещения, объема, осуществляется по формуле:
P
t
= P
max
×
α (9.3.9)
где P
t
- текущее значение параметра (кг/см
2
, м, м
3
;
P
max
-
максимальное
значение
шкалы
датчика
соответствующего параметра.
Преобразование
температурных
(параметров)
сигналов
производится по формуле:
θ
t
= θ
min
+ (θ
max
-θ
min
) α, (9.3.10.)
где θ
max
, θ
min
- максимальное и минимальное значения шкалы
датчика температуры (˚C).
Объемные (м
3
/ч) и весовые (кг/ч) расходы определяются
соответственно по формулам:
θ
t
= θ
max
α
(9.3.11.)
90
G
t
= G
max
α
(9.3.12.)
9.3.2
Фильтрация и сглаживание
Задача фильтрации по Винеру формулируется следующим
образом. Пусть входной сигнал представляет собой случайный
процесс Z(t) при -∞ < t < ∞ и пусть Z(t) представляет собой смесь (не
обязательно аддитивную) полезного сигнала y(t
)
и помехи
ξ
(t)
Требуется построить систему (фильтр) такой обработки входного
сигнала, которая позволила бы получить на выходе желаемый
сигнал d(t), являющийся результатом определенной операции L над
одним лишь полезным сигналом
x
(t) : d(t) = L{
x
(t)}.
Обычно рассматривают следующие частные случаи:
а) d(t) = x(t)(-
α
) –задача фильтрации и сглаживания;
б) d(t) = x(t) – задача чистой фильтрации;
в) в(t) = y(t)(+
α
) – задача фильтрации и упреждения; где
α
>0.
При
ξ
(t)
= 0 задачи (а) и (в) определяются как задачи чистого
сглаживания и упреждения соответственно.
Существуют самые различные фильтры (Винера, Калмана,
упрощенный фильтр Калмана, (α – β) фильтр и т.д.) отличающиеся
своими характеристиками.
Выбор фильтра определяется рядом противоречивых факторов
(требованиями системы к точности объекта, относительной
точностью фильтров, чувствительностью характеристик системы к
изменению параметров модели, требованиями фильтров к
вычислительным средствам и т.д.), поэтому исходят из
компромиссного решения между точностью фильтра, его
требованиями к вычислительным средствам и ограничениями
системы.
С точки зрения требований к объему вычислений выгодно
использовать фильтр экспоненциального сглаживания (ЭС):
y(t) = γe
γt
где γ – параметр фильтра.
Сравнение реализаций фильтра в непрерывном и дискретном
варианте показало, что дискретный фильтр обладает практически
большими преимуществами при использовании его в системе
централизованного
контроля.
Всякий
дискретный
фильтр
описывается разностным уравнением:
a
n
x(i – n) = a
n-1
x(i – n +1) +…..+a
0
x(i) =
= b
m
d(i-m) + b
m-1
d(i-m+1) + ……+ b
0
d(i) (9.3.13)
где x(i) – дискретный входной сигнал,
d(i) – дискретный выходной сигнал.
91
Z – преобразование уравнения (9.3.13) позволяет получить
выражение для передаточной функции фильтра в следующем виде:
Y(z) =
0
0
......
.....
)
(
)
(
b
z
b
a
z
a
z
x
z
d
m
m
n
n
+
+
+
+
=
−
−
(9.3.14)
Для фильтра экспоненциального сглаживания (ЭС)
Y(z) =
1
−
+
γ
γ
z
z
(9.3.15)
Для реализации на ЦВМ фильтра ЭС получено выражение:
d
n
= x
n
+ξ
n
+(1-γ)[x
n-1
+ ξ
n-1
]+…..
+(1- γ)
n-1
[x + ξ
1
] + (1- γ)
n
[x + ξ
0
) (9.3.16)
где x
n
– значение входного сигнала в момент времени t = nT
(T – интервал дискретности)
ξ
n
– значение помехи в момент t = nT
γ – параметр фильтра (0 ≤ γ ≤ 1
В рекуррентной форме соотношение (8.3.16) имеет вид:
d[n] = γz[n] + (1 – γ)d[n -1] (9.3.17)
где z[n] = x[n] + ξ
n
(9.3.18)
Сглаживание является частным случаем общей задачи
фильтрации сигнала.
9.3.3.Интерполяция и экстраполяция
Интерполяция
– построение приближенного или точного
аналитического выражения функциональной зависимости, когда о
ней известны только соотношения между аргументом и
соответствующими значениями функции в конечном ряде точек -
имеет следующие применения в АСУТП:
•
линеаризация и интерполяция сигналов датчиков;
•
формирование
непрерывно-изменяющегося
сигнала
по
коэффициенту временного полинома или числовой программе
в системах программного регулирования;
•
получение аналитического выражения статической (обычно в
виде квадратичной формы от входных воздействий) или
динамической
(обычно
в
виде
дробно-рациональной
передаточной функции) характеристик по экспериментально
92
полученным
точкам
в
задачах
идентификации
и
характеризации;
•
получение аналитического выражения корреляционных
функций или спектральных плотностей при статистической
обработки данных;
•
переход от одной формы математического описания к другой
в задачах характеризации;
•
интерполяция таблиц, номограмм, диаграмм, хранящихся в
памяти ЭВМ, для определения каких-либо параметров,
например, параметров ПИД-регулятора по номограммам.
Для интерполирования функции по точным значениям
применяют интерполяционные формулы:
- при линейной интерполяции значения функции f в точке
(
x
i
< x < x
i+1
) берется равным
f
ˆ
(
x
) =
)
(
(
[
1
1
i
i
i
i
i
x
f
x
f
x
x
x
x
−
−
−
+
+
] (9.3.19)
- при интерполировании по Лагранжу, когда известны
значения функции в m точках x
1……
x
m
, образуется многочлен
степени (m – 1):
L(x) =
f
ˆ
(
x
) =
∑
=
m
k
1
f(x
)
)
)(
)...(
)(
(
)
)...(
)(
)...(
)(
(
1
1
2
1
1
1
2
1
+
−
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
k
k
k
k
k
m
r
k
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
(9.3.20)
- при интерполировании по Ньютону, когда известны
значения функции в m точках x
1……
x
m
, расположенных на равных
расстояниях друг от друга, образуется многочлен:
P
m-1
(
x
) =
f(x)
=
f(x
1
) +
f
m
m
t
t
t
f
t
t
f
t
m
1
2
)!
1
(
)
)....(
1
(
....
!
2
)
1
(
!
1
−
∆
−
−
−
+
∆
−
+
∆
(9.3.21)
где t =
;
1
1
−
−
n
x
x
);
(
)
(
1
2
x
f
x
f
t
−
=
∆
)
(
)
(
2
(
1
2
3
2
x
f
x
f
x
f
f
+
−
=
∆
;
)
(
(
)
1
(
)....
(
(
(
1
1
2
1
)
1
x
f
x
f
C
x
f
C
x
f
f
k
k
k
k
k
k
k
−
+
+
−
=
∆
−
+
Задача интерполяции при наличии помех измерений называется
задачей сглаживания.
9.3.4.Экстраполяция
–
распространение
результатов,
полученных из наблюдений над одной частью явления на другую
его часть, недоступную для наблюдения. Имеет следующее
применение в АСУТП: