ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.12.2021
Просмотров: 2965
Скачиваний: 33
98
1
ˆ
m
{x}
∑
−
=
∆
1
0
1
],
[
1
N
t
i
x
N
(9.4.30)
где
N
- количество наблюдений (
N =
1
−
∆
t
T
)
Возможно, нахождение оценки среднего значения по
предварительно найденной оценке дифференциального закона
распределения
:
)
(
ˆ
x
f
1
ˆ
m
{x}=
∫
∞
∞
−
x
dx
x
f
)
(
ˆ
(9.4.31)
Если
)
(
ˆ
x
f
определяется по реализации случайного процесса
длительностью
T
одновременно для всех значений
x
, то оценка
среднего, полученная этим способом, тождественно совпадает с
оценкой, полученной усреднением этой реализации за тот же
интервал времени.
Методы определения моментных характеристик порядка выше
первого аналогичны методам, используемым при нахождении
оценки
m
1
{x}.
Так, определение оценки для начального момента к-го
порядка для дискретных наблюдений по формуле:
1
ˆ
m
{x}=
∑
−
=
∆
1
0
]
[
1
N
i
k
t
i
x
N
Оценки первых четырех начальных момента используют для
определения оценок дисперсии, асимметрии, эксцесса.
Оценка дисперсии:
2
ˆ
σ
{x}=
2
ˆ
m
{x} – (
1
ˆ
m
{x})
2
(9.4.32)
Оценка коэффициента асимметрии:
{x}
K
ˆ
{x} =
2
3
2
1
2
3
1
2
1
3
]
{x})
m
ˆ
(
-
{x}
m
ˆ
[
]
{x})
m
ˆ
2(
{x}
m
ˆ
{x}
m
ˆ
3
-
{x}
ˆ
[
+
m
(9.3.33)
Оценка эксцесса:
2
ˆ
γ
{x}=
2
2
1
2
4
1
2
1
2
1
3
4
]
{x})
m
ˆ
(
-
{x}
m
ˆ
[
{x})
ˆ
(
3
{x})
m
ˆ
{x}(
m
ˆ
6
{x}
m
ˆ
{x}
m
ˆ
4
-
{x}
ˆ
m
m
−
+
(9.4.34)
Вычисление оценки условной дисперсии производится по формуле:
2
ˆ
σ
{
x(t)
y
n
(t +
)
τ
} =
2
ˆ
m
{x(t)/
)
(
τ
+
t
y
n
} – [
1
ˆ
m
{x(t)/
)
(
τ
+
t
y
n
}]
2
(9.4.35)
9.4.3 Методы определения функций корреляции
99
Задача экспериментального определения функций корреляции
является одной из наиболее важных и широко распространенных на
практике исследования случайных процессов. Разработаны
многочисленные методы определения корреляционных функций.
Рассмотрим наиболее распространенные из этих методов.
Мультипликационный
метод является основным методом
экспериментального определения функций корреляций. В случае
дискретных
наблюдений
оценки
корреляционной
функции
вычисляют по формуле:
∑
−
−
=
∆
+
∆
−
=
1
0
],
)
[(
]
[
1
)
(
ˆ
n
N
i
xy
t
n
i
y
t
i
x
n
N
R
τ
t
n
∆
=
τ
(9.4.36)
При этом предполагается, что
m
1
{x}
и
m
1
{y}
известны и равны
нулю.
Рассмотрим
алгоритм
машинной
оперативной
корреляционной обработки случайного дискретного процесса,
представленный в виде последовательности
{x
ij
}
выборки, по
алгоритму
)
(
)
(
1
)
(
ˆ
1
τ
τ
+
=
∑
=
t
x
t
x
n
R
i
n
i
i
xx
(9.4.37)
Метод разложения функции корреляции в ряд.
Этот метод
также имеет широкое распространение. Чаще всего используется
разложение по ортогональным полиномам Лаггера
L
n
(
ατ
).
Известно, что автокорреляционная функция может быть
представлена в виде ряда
)
(
)
(
0
ατ
τ
n
n
n
xx
L
b
R
∑
∞
=
=
(9.4.37)
где
dt
t
y
t
x
Ln
e
R
b
T
n
xx
n
)
(
)
(
T
1
)d
(
)
(
0
0
∫
∫
=
=
−
∞
τ
ατ
α
τ
ατ
τ
ατ
α
τ
ατ
d
L
e
t
x
t
y
n
n
)
(
)
(
)
(
0
∫
∞
−
−
=
Таким образом, задача получения коэффициентов
b
n
может
быть решена путем усреднения по времени произведений исходной
реализации
x(t)
и этой же реализации, пропущенной через линейный
фильтр с весовой функцией:
)
(
)
(
ατ
α
τ
ατ
n
n
L
e
h
−
=
что соответствует передаточной функции фильтра:
1
)
(
+
+
=
n
n
n
p
p
W
α
α
По найденным значениям можно определить искомую функцию
корреляции
),
(
)
(
1
ατ
τ
n
k
n
n
xx
L
b
R
∑
−
=
(9.4.38)
100
где
k -
число фильтров Лаггера (
k =
5….6).
Основным
достоинством
указанного
метода
является
отсутствие элементов задержки.
Иногда может оказаться удобным и разложение
)
(
τ
xx
R
в ряд
Маклорена. В этом случае
,
)!
2
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
)
2
(
2
n
t
x
t
x
t
x
R
n
n
n
xx
α
τ
∑
∞
=
+
=
(9.4.39)
где
n
n
n
dt
t
x
d
t
x
2
2
)
2
(
)
(
)
(
=
Этот метод удобен в тех случаях, когда могут быть
непосредственно измерены производные случайного процесса.
Метод, основанный на использовании двумерной плотности
вероятности, позволяет вычислить
)
(
τ
xy
R
из соотношения:
∫ ∫
∞
∞
−
∞
∞
−
=
,
)
,
,
(
)
(
dxdy
y
x
xyf
R
xy
τ
τ
(9.4.40)
где
f(x,y,τ) –
двумерная плотность вероятности процессов
y(t +τ)
и
x(t).
Следовательно, для определения оценки корреляционной
функции необходимо иметь оценку двумерной плотности
вероятности.
Метод дискретных апериодических выборок использует
следующее соотношение для корреляционной функции
),
(
lim
)
(
1
0
τ
η
τ
+
=
∑
−
=
N
i
i
xy
t
y
N
R
(9.4.41)
где
−
i
t
моменты времени, в которых процесс
x(t)
пересекает
уровень η, т.е.
x(t
i
) =
η
η – константа, принимающая любые значения, кроме нуля.
Для нормальных случайных процессов показано, что
существует оптимальное значение константы η, равное
x
σ
×
2
, при
котором ошибка в вычислении функции корреляции за конечное
время анализа минимальна.
9.4.4Методы определения спектральной плотности
Спектральная плотность
S(
ω
)
позволяет судить о частотных
свойствах
случайного
процесса.
Она
характеризует
его
интенсивность на различных частотах или, иначе, среднюю
мощность, приходящуюся на единицу полосы частот.
Поскольку спектральная и корреляционная функция случайного
стационарного
процесса
связаны
прямым
и
обратным
соотношениями Винера-Хинчина
101
ω
ω
τ
τ
τ
π
ω
ωτ
ωτ
d
e
S
R
d
e
R
S
i
j
∫
∫
∞
∞
−
∞
∞
−
−
=
=
)
(
)
(
)
(
2
1
)
(
(9.4.42),
то при изучении частотных свойств процесса достаточно определить
любую из этих функций. Однако, в ряде случаев определение
)
(
ω
S
является более предпочтительным.
Алгоритмы определения спектральной плотности можно
разделить на четыре основные группы:
•
алгоритмы,
построенные
на
принципе
узкополосной
фильтрации;
•
алгоритмы,
использующие
преобразование
Фурье
от
реализации случайного процесса;
•
алгоритмы,
использующие
аппроксимацию
)
(
ω
S
ортогональными полиномами,
•
алгоритмы, основывающиеся на преобразовании Фурье от
корреляционной функции.
Различают
также
методы
получения
спектральных
характеристик последовательного действия, в которых анализ
происходит последовательно на каждой частоте, и параллельного
действия, которые позволяют анализировать
)
(
ω
S
параллельно во
времени для нескольких значений частот. При этом следует
отметить, что время изменения
)
(
ω
S
для последовательного метода
значительно больше, чем для параллельного.
9.5
Контроль достоверности исходной информации
Назначение алгоритмов контроля достоверности исходной
информации – повысить точность и надежность работы АСУТП.
Точность работы отдельных датчиков может быть несколько
улучшена при одновременном контроле ряда параметров
технологического процесса за счет рационального использования
информации, поступающей от других датчиков объекта, либо за счет
информации, хранимой в памяти ЦВМ. При этом рациональное
корректирование работы отдельных датчиков позволяет значительно
повысить
достоверность
информации,
выдаваемой
ЦВМ
операторам.
Рассмотрим некоторые методы решения такой задачи.
Возможность повышения точности определения измеряемой
величины появляется при ее одновременном замере несколькими
датчиками, либо замере и одновременно возможности ее
вычисления (на основе математической модели) по исходным
102
данным, получаемым от других датчиков. Распространенными
примерами таких ситуаций являются замеры расходов материальных
потоков или энергетических потоков в начале и конце трубопровода;
замер расхода вещества датчиком и одновременное вычисление его
из уравнения баланса для узла, потребляющего или выделяющего
данное вещество; непосредственное измерение искомой величины
рядом датчиков, резервирующих друг друга и т.д.
Использование математической модели позволяет либо
обнаружить
и
скорректировать
источник
недостоверной
информации (неисправный датчик), либо установить нарушение
математической модели, что может служить сигналом об аварийной
ситуации, например, разрушение трубопровода.
Пусть
x
{
n
x
x
x
......
,
,
2
1
}
– вектор расхода n потоков на
производстве, которые связаны
m(m<n)
уравнениями материального
баланса:
0
1
=
∑
=
i
n
i
ij
x
a
при j = 1,….,m (9.5.43)
где
ij
a
- параметры уравнений
Частично
или
полностью
эти
потоки
измеряются
соответствующими расходомерами, которые выдают значения
расходов с погрешностями
{
1
1
,....,
−
n
x
x
(
(
},
где
n
n
≤
1
. При этом каждый датчик имеет свою
известную
среднюю
квадратичную
погрешность
оценки
x
σ
{
xm
x
σ
σ
,....,
1
}
. Естественно, за счет этих погрешностей на практике
уравнения баланса удовлетворяются неточно. Это позволяет
поставить задачу повышения достоверности работы датчиков
расхода за счет использования дополнительной информации,
содержайщеся в уравнениях баланса.
Корректировка величин потоков заключается в определении
такого вектора
x
, который удовлетворял бы уравнению
материального баланса и минимизировал бы квадратичную ошибку
отклонения от измеренного значения:
min
)
(
2
1
→
−
∑
=
n
i
xi
i
x
x
σ
(
(9.5.44)
Поставленная задача является задачей математического
программирования и может быть решена методом неопределенных
множителей Лагранжа.
Еще одним случаем появления избыточной информации
является наличие в технологических процессах нескольких
конструктивно идентичных параллельных технологических ниток,
оснащенных
одинаковыми
измерительными
приборами
и