ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 21.12.2021
Просмотров: 2966
Скачиваний: 33
93
•
повышение
качества
управления
(быстродействия,
устойчивости и т.п.), обычно – за счет введения в закон
управления производных;
•
предсказание (прогнозирование) возмущающих воздействий
или возмущающего движения при создании оптимальных
систем
комбинированного
типа,
содержащих
две
составляющих управления, из которых одна является
функцией текущего состояния, а вторая – функцией
предсказанного возмущения;
•
предсказание положения в стационарной точке в задачах
планирования
экстремальных
экспериментов
или
экстремального регулирования для ускорения процесса
поиска;
•
предсказание аварийных ситуаций и редко измеряемых
переменных, когда для управления процессом требуется более
частый опрос переменных, чем реально возможный.
Рассмотрим постановку задачи экстраполяции в условиях помех.
Пусть последовательность измерений в дискретные моменты
опроса имеет вид
y
i
=
x
i
+ ξ
, i = 1,2,…
где
x
i
– регулярная составляющая,
ξ – случайная помеха измерения с нулевым средним и
дисперсией
2
ξ
σ
,
i – моменты опроса.
Будем искать регулярную составляющую (временную модель
измеряемой переменной) в одном из следующих видов:
j
m
j
j
i
j
a
−
∑
=
0
!
-
полиноминальная модель
x
i
=
Tj
i
m
j
j
e
a
−
=
∑
0
-
экспоненциальная модель (9.3.22)
)
sin(
0
j
m
j
j
j
i
a
ϕ
ω
+
∑
=
-
тригонометрическая модель
В качестве критерия предсказания обычно выбирают
среднеквадратичную ошибку (СКО) между предсказанным на k
тактов (обычно k = 1) и фактическими значениями:
έ
2
= M{(x
i+1
– y
i+k
)
2
}→ min (9.3.23)_
{a
j
}
Эта задача решается в несколько этапов:
•
выбирается интервал наблюдения (или количество исходных
для предсказания замеров;
94
•
по критерию минимума СКО вычисляются оценки
коэффициентов
{a
j
},
обеспечивающие
наилучшую
интерполяцию исходных замеров принятой моделью (эту
процедуру называют сглаживанием);
•
модель процесса с найденным коэффициентом используют для
предсказания.
Количество исходных точек не может быть ниже порядка m
модели. При их равенстве коэффициенты находятся однозначно из
m уравнений, однако, точность здесь невысока из-за наличия помех.
Обычно используют существенно большее число измерений, при
этом избыточную информацию используют для повышения
точности предсказания. Интервал между замерами берут равным
(0,10….0,25)Т
э.
В большинстве случаев предсказание можно осуществлять и
без построения временной модели переменной. Применяют
следующие алгоритмы предсказания:
- ступенчатую аппроксимацию, когда предсказываемое
значение переменной совпадает с ее величиной ( при сглаженной
помехе) в последней точке замера (этот метод не требует никаких
вычислений, однако его погрешность максимальна по сравнению с
другими алгоритмами) – дисперсия ошибки предсказания на время
∆t для эргодического процесса равна:
έ
2 =
2[R
y
(0) - R
y
(∆t)]
+
2
ξ
σ
(9.3.24)
где R
y
– корреляционная функция процесса y(t).
Наилучшие результаты дает дискретный фильтр-экстраполятор
Калмана-Бьюси. Однако здесь требуются наиболее трудоемкие
вычисления. Для стационарных процессов близкие к максимально
достижимым результатам дает фильтр Винера:
x
i+k
=
∑
=
−
m
j
j
i
j
y
a
0
(9.3.25)
где m – память фильтра,
{a
j
} – коэффициенты, настраиваемые по критерию
минимума СКВ предсказания.
9.4 Статистическая обработка экспериментальных данных
Важным моментом задачи исследования и управления ТОУ
является
обработка
большого
потока
экспериментальной
информации, имеющей, как правило, случайный характер. И это
обуславливает
необходимость
использования
методов
математической статистки для извлечения ценной информации из
экспериментальных данных.
95
С учетом необходимости работы АСУТП в реальном масштабе
времени, статистическая обработка информации должна быть
оперативной. То есть обработка должна осуществляться в ходе
эксперимента в темпе поступления информации непосредственно от
исследуемых объектов за минимальное время и с получением
результатов обработки в виде, удобном для дальнейшего
использования. В связи с этим для обеспечения оперативности
обработки экспериментальной информации должны использоваться
простые методы и алгоритмы статистической обработки.
Целью
оперативной
статистической
обработки
экспериментальной информации в рамках анализа реализаций
случайных процессов является получение системы статистических
оценок с определенной доверительной вероятностью и точностью в
реальном масштабе времени.
Оценки плотностей вероятностей эмпирических распределений
в виде многомерного функционала при условии стационарности и
эргодичности
случайных
процессов
x
1
(t),x
2
(t)
–
является
исчерпывающей характеристикой совокупности процессов {x
k
(t)}.
Это дает возможность в рамках корреляционно-регрессионного
анализа получить функции корреляции, дисперсий, спектральных
плотностей, безусловных и условных математических ожиданий и
других числовых характеристик, связанных с физическими
параметрами объекта, а также ошибки (дисперсии или СКО),
спектральные характеристики и т.д., по которым можно судить о
качественном состоянии объекта.
Рассмотрим некоторые алгоритмы статистической обработки
экспериментальной информации.
9.4.1 Методы определения функций распределения
Известны
следующие
методы
определения
функций
распределения:
•
метод изменения относительного времени пребывания
реализации случайного процесса выше заданного уровня;
•
метод, основанный на разложении функции распределения в
ряд по ортонормированным функциям;
•
метод, основанный на разложении функции распределения в
ряд по моментам;
•
метод гистограмм.
Первый
метод основан на соотношении
1 – F(x
0
)
= lim
∑
T
1
{∆t
i
[x
(t)>x
0
]} = lim
T
t
(9.4.26)
где
F(x
0
)
– интегральная функция распределения,
96
T- время анализа,
t = ∑ {·} – сумма интервалов времени в течении T, когда
реализация
x(t)
превышает
x
0
.
При достаточно больших T алгоритм вычисления ординат F(x
0
)
определяется соотношением:
1
- F(x
0
)
≅
T
t
(9.4.27)
Для
вычисления
ординат
дифференциального
закона
распределения f(x) можно воспользоваться соотношением:
F(x)
=
x
T
t
x
x
F
ij
∆
∆
≅
∆
∆
∑
)
(
(8.4.28)
где
−
∆
∑
ij
t
суммарное время пребывания реализации
случайного процесса x(t) в равных интервалах
x
∆
, задаваемых на
различных уровнях.
Второй
метод основан на представлении плотности
вероятности в виде
f(x)
=
)
(
1
x
C
n
n
n
Ψ
∑
∞
=
(9.4.29)
где
−
Ψ
)
(
x
n
система ортонормированных функций,
C
n
=
∫
∞
∞
Ψ
n
dx
x
f
x
)
(
)
(
- коэффициенты Фурье.
Поскольку
x(t)
–
реализация
случайного
процесса,
следовательно
C
n
= M{Ψ[x(t)]}
где –
M
– символ математического ожидания
M{Ψ
n
[x(t)]} = lim
,
)]
(
[
2
1
dt
t
x
T
T
T
n
∫
−
Ψ
т.е. коэффициенты
C
n
могут быть определены усреднением во
времени функций
Ψ
n
[x(t)]
исследуемого случайного процесса.
Таким образом, алгоритм нахождения оценки f(x) по этому
методу следующий:
1.выполнить преобразование
y
n
(t) = Ψ
n
[x(t)]
2.Получить оценку математического ожидания
Ĉ
n
=
dt
t
y
T
T
n
)
(
1
0
∫
3.Найти оценку плотности вероятности
∑
=
=
k
n
x
f
1
)
(
ˆ
Ĉ
n
Ψ
n
(x)
97
Выбирая определенное число фильтров, можно получить
хорошее приближение
)
(
ˆ
x
f
к искомой f(x).
Оценка интегральной функции распределения находится из
соотношения:
∫
∞
∞
−
=
dx
x
f
x
F
)
(
)
(
ˆ
Третий
метод во многом аналогичен предыдущему и
отличается лишь тем, что разложение искомой функции плотности
вероятности производится по системе функций, не являющейся
ортонормированной, вследствие чего алгоритм получается менее
эффективным, чем в предыдущем случае.
Метод
гистограмм
наиболее часто используется на практике
для оперативной оценки многомерных плотностей вероятностей.
Выборки случайного стационарного процесса кодируются,
распределяются по фиксированным адресам ОЗУ, принимаемым за
каналы гистограмм. Одновременно формируются числовые
значения ординат гистограмм, реализующих алгоритм вычисления
оценки многомерной плотности вероятности
)].
(
[
ˆ
t
x
f
k
Числовое значение каждой ординаты в случае одномерного
анализа характеризует частоту появления значений случайной
функции в соответствующем интервале квантования по уровню. В
случае многомерного анализа оно определяет частоту появления
совместного события, при котором значения случайных функций
будут находиться в определенных интервалах квантования по
уровню (по амплитуде).
Практическая трудность использования алгоритмов вычисления
многомерных гистограмм заключена в необходимом объеме
фиксированных адресов. Для устранения этой трудности бывает
целесообразным
заменить
оценки
многомерной
плотности
вероятности системой оценок собственных и смешанных двумерных
плотностей вероятностей, охватывающих все комбинации парных
связей для нескольких аргументов. При такой замене необходимый
объем памяти ЦВМ резко снижается.
9.4.2.Методы определения математического ожидания
.
Наиболее
распространенной
задачей
является
задача
определения математического ожидания или среднего значения
случайного процесса
m
1
{x}.
Для определения
m
1
{x}
обычно
применяют метод усреднения по времени, имеющий ряд
модификаций.
При использовании данных в дискретные моменты оценка
m
1
{x}
определяется соотношением: