Файл: Методы расчета показателей надежности сжат.docx

3.3 Расчет показателей надежности восстанавливаемых систем методом Марковских процессов

Исходя из значений интенсивностей отказов ???? и интенсивностей восстановления ????, найти параметры надежности (предполагая простейший поток отказов): финальные вероятности нахождения системы во всех состояниях Рi , в том числе вероятность отказа системы Qc ; время наработки на отказ Tcp и интенсивность отказов системы c ; среднее время восстановления Tв; коэффициент готовности Кг ; среднее время безотказной работы системы (среднюю наработку до отказа) Тот.



Рис.6. Граф состояний

Исходя из графа, система может находиться в одном из 5 состояний:

0 – исправное состояние;

1 – 1-е работоспособное состояние: отказал первый элемент (находится в ремонте), второй и третий – исправны;

2 - 2-е работоспособное состояние: отказал второй элемент (находится в ремонте), первый и третий – исправны;

3 – 3-е работоспособное состояние: отказал третий элемент (находится в ремонте), первый и второй – исправны;

4 – неработоспособное состояние (состояние отказа): отказали последовательно все элементы и находятся в состоянии ремонта.

Интенсивность отказов ????????= = 1/ч, интенсивность восстановления ????????= =0,7142, 1/ч.

Составим систему уравнений Колмогорова для финальных вероятностей нахождения во всех состояниях:





Решим систему и получим значения финальных вероятностей:

Система состоит из шести уравнений, пять неизвестных, значит можно путем подстановки выразить каждую переменную:

---

Р₀=0,355

P₁=0,131

P₂=0,487

P₃=0,025

P₄=0,002
Вероятность отказа системы:

Q_C=P₄=0,00018
Вероятность безотказной работы:

P_C=1-Q_C=1-0,00018=0,99982
Время наработки на отказ:

T_ср= = =897,1 ч.
Интенсивность отказов:

λ_c=1/ T_ср=1/897,1 = 0,00111 1/ч.
Среднее время восстановления:

T_в= = =1,40
Коэффициент готовности:

К_г= = =0,999
Для нахождения среднего времени безотказной работы выполним преобразование Лапласа для уравнений Колмогорова с учетом начальных условий:

→
Система состоит из четырех уравнений, 3 неизвестных, значит можно путем подстановки выразить каждую переменную:

T₀=714,3 ч.

T₁=714,3 ч.

T₂=2,2 ч.

T₃=717 ч.

Среднее время безотказной работы системы:

T_от=T₀+T₁+T₂+T₃=714,3+714,3+2,2+717=2147,8 ч.

3.4 Структурный метод расчета надежности

Задана последовательно-параллельная схема расчёта надёжности. Так же задана интенсивность отказов для каждого i-ого элемента, время восстановления узла и время работы t=1год.

, , ,

, , и ,

,

, ,

---

Рис.7.

Логическая функция схемы:



Арифметическая функция:


Преобразуем узлы схемы:



Рис.8.









Функция надежности:





Значения функции надёжности схемы за t=1 год (8760 ч):





























Интенсивностьотказов:









Среднее время наработки до отказа:



Среднее время восстановления системы:

---

+ +

Коэффициент готовности:



Вывод: после определения всех параметров системы можно сделать вывод, что система в течении года будет работать надёжно с вероятностью 99.94%

3.5 Топологический метод расчета надежности резервированных систем

Топологическими называются методы, которые позволяют определить показатели надежности либо по графу состояний, либо по структурной схеме системы без составления и решения уравнений. Как и любые другие методы расчета надежности, они имеют свои ограничения:

• 
  интенсивности отказов и восстановления элементов сложной системы являются величинами постоянными, другими словами, время наработки на отказ и время восстановления распределены по экспоненциальному закону;
  
• 
  топологические методы нельзя использовать для многосвязных графов.
  

Дана система, состоящая из трех последовательно включенных блоков.



Рис.9.

1/ч,

1/ч,

1/ч,

Обслуживанием занимается одна ремонтная бригада (r = 2).

Найдем время наработки на отказ системы без резервирования. Для экспоненциального закона распределения интенсивностей отказов и восстановлений получим:





Время наработки на отказ системы без резервирования:

1. 
   Интенсивность отказа и интенсивность восстановления .
   

---

Если все элементы системы идентичны по безотказности и ремонтопригодности, то функционирование систем с постоянно включённым резервом, резервом замещением, с мажоритарным резервированием и скользящим резервом, обслуживаемых любым количеством ремонтных бригад, будет описываться графом, показанным на рис. 3.



Рис. 3. Граф состояний резервированной системы с идентичными элементами

Приняты следующие обозначения:

– интенсивности переходов, соответствующие отказам элементов системы,

– интенсивности переходов, соответствующие восстановлениям элементов системы.

Воспользуемся таблицей 2 и приведёнными ниже формулами:

• 
  наработка на отказ:
  

где

• 
  среднее время восстановления:
  

• 
  интенсивность восстановления
  

где r – число ремонтных бригад.

Интенсивность отказа первой системы после резервирования определяется по формуле в соответствии с таблицей 2 для постоянного резервирования:
Найдем интенсивность отказа и интенсивность восстановления первого элемента после резервирования ????1р и μ1р.











где ,

---