Файл: Ю. И. Богданов Физико статистические основы.pdf

запутанными
(entangled) состояниями.
В соответствии с постулатами квантовой информатики полное описание каждого кубита в отдельности задается соответствующими однокубитовыми векторами состояний.
Исходное состояние системы независимо приготовленных кубитов задается тензорным произведением однокубитовых состояний. При включении взаимодействия между кубитами возникают квантовые корреляции. В результате, совместное состояние регистра кубитов перестает быть сепарабельным, т.е. становится запутанным.
Запутанные состояния соответствуют ситуациям, которые не имеют классических аналогов и за которыми не стоит интуиция, подкрепленная наглядными механическими образами. Заметим, что такие состояния как раз и обеспечивают экспоненциальный рост размерности гильбертова пространства состояний в зависимости от числа кубитов.
4.4. Измерение кубитов
Измерение в квантовой системе, состоящей из одного или более кубитов, есть результат проектирования состояния системы до измерения в гильбертово подпространство, совместимое с измеренными значениями. При измерении, как уже отмечалось выше в главе 3, происходит редукция состояния. Амплитуда вероятности проекции, полученной в результате редукции, пересчитывается таким образом, чтобы снова быть нормированной на единицу.

83
В силу Постулата 3 (раздел 3.1), вероятность того, что результат измерения примет заданное значение, есть сумма квадратов модулей амплитуд вероятности всех компонент, совместимых с результатом измерения.
Рассмотрим для примера измерения в системе из двух кубитов. Вектор состояния такой системы в общем случае есть:
11 10 01 00 11 10 01 00
c
c
c
c
+
+
+
=
ψ
Здесь
11 10 01 00
,
,
,
c
c
c
c
- произвольные комплексные числа, удовлетворяющие условию нормировки:
1 2
11 2
10 2
01 2
00
=
+
+
+
c
c
c
c
Пусть измеряется первый кубит. Вероятность обнаружить его в состоянии
0
есть
2 01 2
00
c
c
+
, а в состоянии
1
соответственно
2 11 2
10
c
c
+
. Если измерение первого кубита дало
0
, то редуцированное состояние окажется пропорциональным вектору
01 00 01 00
c
c
+
. После нормировки получим окончательно для состояния после рассматриваемого измерения:
[
]
01 00 1
01 00 2
01 2
00
c
c
c
c
+
+
=
ψ′
Измерения запутанных и незапутанных состояний принципиально отличаются друг от друга. С точки зрения концепции измерений, кубиты оказываются незапутанными, если измерение одного из них никак не влияет на состояние другого и, напротив, кубиты обязательно будут запутаны, если такое влияние существует.
Рассмотрим, например, состояние
[
]
01 00 2
1
+
, которое не является запутанным, т.к. может быть представлено в виде тензорного произведения

84
отдельных кубитов
[
]
[
]
1 0
2 1
0 01 00 2
1
+
⊗
=
+
. Здесь, очевидно, измерение первого кубита никак не влияет на состояние второго и наоборот.
Рассмотрим, напротив, состояние
[
]
11 00 2
1
+
, которое является запутанным. Теперь, результат измерения одного из кубитов влияет на то, какое состояние возникнет у второго кубита. Так, если первый кубит окажется в состоянии
0
, то и второй автоматически окажется в состоянии
0
, если же в результате измерения первого кубита будет получено состояние
1
, то и второй кубит обязательно будет обнаружен в состоянии
1
. Рассматриваемое состояние является одним из так называемых состояний Белла. Подробнее свойства таких состояний будут описаны в разделах 4.8- 4.10
4.5. Простейшие квантовые логические элементы
Любые квантовые вычисления сводятся к унитарным преобразованиям системы кубитов. В силу линейности, преобразование полностью определяется действием на соответствующие базисные векторы.
Рассмотрим вначале некоторые полезные преобразования квантового состояния отдельных кубитов. Ниже приведены такие преобразования и соответствующие им матрицы.
Мы везде используем стандартный (канонический) базис:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
1 0
1
,
0 1
0
Тождественное преобразование задается единичной двумерной матрицей
1 1
,
0 0
:
→
→
I
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
1 0
0 1
I

85
Матрицы Паули задают следующие преобразования:
0 1
,
1 0
:
→
→
X
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
0 1
1 0
X
0 1
,
1 0
:
i
i
Y
−
→
→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
0 0
i
i
Y
1 1
,
0 0
:
−
→
→
Z
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
1 0
0 1
Z
Заметим, что матрицы Паули одновременно являются эрмитовыми и унитарными, поэтому унитарны и все указанные выше преобразования.
Элемент Паули
X
есть оператор отрицания (negation), он осуществляет обмен состояниями, т.е. преобразует ноль в единицу и наоборот. Элемент
Z
задает оператор фазового сдвига (phase shift). Преобразование
Y
определяется произведением указанных операторов, поскольку
iY
ZX
=
Рассмотрим теперь важнейший для квантовых вычислений логический элемент- так называемое
управляемое – НЕ (Controlled-Not)
преобразование. Преобразование CNOT действует не на один, а одновременно на два кубита следующим образом: CNOT изменяет состояние второго
(управляемого) кубита, если первый (управляющий) находится в состоянии
1
, т.е.
10 11
,
11 10
,
01 01
,
00 00
:
→
→
→
→
CNOT
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0 1
0 0
1 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 1
CNOT
Оператор CNOT также унитарен и эрмитов одновременно.
Рассматриваемое преобразование является принципиально новым по сравнению с однокубитовыми преобразованиями, т.к. матрица CNOT не

86
может быть разложена в тензорное произведение двух однокубитовых матриц.
Удобно иметь графическое представление преобразований квантового состояния, особенно когда эти преобразования связаны с взаимодействием нескольких кубитов. CNOT- элемент обычно изображается на квантовых логических схемах в виде следующей картинки
Рис. 4.1 Графическое изображение двухкубитового элемента CNOT
Здесь значок
•
соответствует управляющему кубиту, а значок
⊕
- управляемому кубиту.
Аналогично можно определить элемент Control-Control-Not (CCNOT), который соответствует преобразованию, меняющему третий бит, когда оба первые есть
1
(см. рисунок). Это так называемый элемент Тоффоли.
Рис. 4.2 Графическое изображение элемента Тоффоли
Действие элемента Тоффоли на базисные состояния и соответствующая унитарная матрица задаются следующим образом.

87 110 111
,
111 110
,
101 101
,
100 100
,
011 011
,
010 010
,
001 001
,
000 000
:
→
→
→
→
→
→
→
→
CCNOT
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0 1
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
1 0
0 0
0 0
0 0
0 1
CCNOT
Однокубитовые преобразования изображаются графически, например, так:
Рис. 4.3 Примеры графических изображений однокубитовых квантовых элементов.
Оказывается, что любое унитарное преобразование- вычисление в системе кубитов можно выполнить с помощью так называемых универсальных наборов квантовых логических элементов [13,14]. Например, произвольное унитарное вращение состояния отдельного кубита и двухкубитовая операция
CNOT могут рассматриваться в качестве такого универсального набора.
4.6. Преобразование Уолша-Адамара (Walsh-Hadamar Transformation)
В квантовой информатике очень широко используется следующее однокубитовое преобразование – так называемое преобразование Адамара.
Оно определяется как:

88
(
)
(
)
1 0
2 1
1
,
1 0
2 1
0
:
−
→
+
→
H
Задача 4.9
Покажите, что
(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
+
=
1 1
1 1
2 1
2 1
Z
X
H
Докажите следующие тождества:
ZH
HX
=
XH
HZ
=
0
=
+ YH
HY
Преобразование, которое обеспечивает приложение
H
к каждому из
n
кубитов квантового регистра, называется преобразованием Уолша- Адамара:
1
,...,
1
,
W
,
1
m
1
−
=
⊗
=
=
+
n
m
W
H
H
W
m
Задача 4.10
Докажите свойство преобразования Уолша- Адамара, которое дается формулой:
∑
−
=
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⊗
⊗
⊗
1 2
0
раз
2 1
0 00
H
H
H
n
x
n
n
раз
n
x
3 2
1 4
4 3
4 4
2 1
Результат этой задачи часто используется при разработке квантовых алгоритмов (см. главу 5).
4.7. Теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового
состояния
Свойство линейности унитарных квантовых преобразований приводит к невозможности копирования (клонирования) информации в квантовом компьютере. Рассматриваемая теорема является одним из краеугольных камней квантовой информатики.

89
Доказательство проведем от противного. Предположим, что
U
- унитарное преобразование, осуществляющее клонирование.
Такое преобразование действовало бы по правилу
aa
a
U
=
0
для любого квантового состояния
a
. Здесь запись
a
и
0
может означать не только однокубитовые, но и многокубитовые состояния.
Пусть
a
и
b
- два ортогональных квантовых состояния. Если
U
- оператор клонирования, то
aa
a
U
=
0
,
bb
b
U
=
0
. Рассмотрим теперь состояние, являющееся суперпозицией исходных состояний
(
)
b
a
c
+
=
2 1
Тогда, в силу линейности унитарного преобразования
(
)
(
)
bb
aa
b
U
a
U
c
U
+
=
+
=
2 1
0 0
2 1
0
(4.5)
Кроме того, по предположению,
U
есть оператор клонирования, который должен действовать в том числе и на состояния
c
. Поэтому:
(
)
bb
ba
ab
aa
cc
c
U
+
+
+
=
=
2 1
0
(4.6)
Состояние, задаваемое формулой (4.6), очевидно, не совпадает с состоянием, задаваемым формулой (4.5). Получено противоречие, что и доказывает теорему.
Важно понимать какое состояние возможно реализовать, а какое нет.
Можно приготовить квантовое состояние, которое известно нам заранее.
Принцип невозможности клонирования говорит о невозможности клонировать неизвестное состояние.
Заметим также, что можно создавать запутанное состояние
1 11 0
00
b
a
+
из неизвестного состояния
1 0
b
a
+
. Пример реализации

90
такого рода запутанного состояния дается квантовой схемой, изображенной на рисунке.
Рис. 4.4 Квантовая схема генерации запутанного состояния
Рассматриваемое двухкубитовое состояние не является, однако, реализацией схемы клонирования однокубитового состояния
1 0
b
a
+
. В силу запутанности, кубиты в состоянии
11 00
b
a
+
оказываются связанными друг с другом: если один оказался при измерении, например, в состоянии
0
, то и второй окажется в том же состоянии.
Задача 4.11
Обобщите представленную выше на рисунке квантовую схему, т.е. придумайте схему, позволяющую создавать запутанное состояние
1 11 0
00
b
a
+
из неизвестного состояния
1 0
b
a
+
для случая трех и более кубитов.
Настоящим клоном было бы состояние
n
частиц вида
(
)
(
)
1 0
1 0
b
a
b
a
+
⊗
⊗
+
, созданное из неизвестного состояния
1 0
b
a
+
Это, однако, невозможно в силу доказанной выше теоремы.
Теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния символизирует принципиально важную роль статистических методов в квантовой информатике. Действительно, если бы рассматриваемое здесь клонирование было возможно, то, имея в распоряжении только одного представителя, мы могли бы создать сколь угодно много его копий. Проведя измерения над этими копиями, мы смогли бы сколь угодно точно

91
восстановить квантовое состояние и любые его характеристики. Другими словами, нам не нужен был бы статистический ансамбль для проведения взаимно- дополнительных измерений, поскольку такой ансамбль всегда можно было бы воссоздать, имея под рукой всего одного представителя. Это противоречило бы таким принципам статистики, как неравенство Рао-
Крамера. В действительности, уже простейшее однокубитовое состояние
1 0
b
a
+
содержит в себе бесконечное (континуальное) количество информации в том смысле, что описывается комплексными бесконечно- значными числами (такими, как
a
и
b
). Измерение отдельного представителя приводит к редукции его квантового состояния и соответствующей потере информации о комплексных амплитудах. Однако, одновременно с этим исследователь получает некоторое элементарное количество информации (в каком из возможных базисных состояний обнаруживается квантовая система).
Для точного восстановления квантового состояния потребуется бесконечное число представителей. В реальных задачах всегда имеется конечный объем экспериментальных данных и, соответственно, возможна только приближенная оценка квантового состояния. Точность восстановления квантового состояния оказывается тем выше, чем больше число представителей статистического ансамбля подвергается измерениям (и разрушению исходных квантовых состояний).
Подробно задача статистического восстановления квантовых состояний рассмотрена в работах
[30, 43, 44, 51, 52].
4.8. Состояния Белла
Состояниями Белла называют следующие четыре двухкубитовые состояния.
(
)
11 00 2
1 00
+
=
Φ
=
β
+

92
(
)
10 01 2
1 01
+
=
Ψ
=
β
+
(
)
11 00 2
1 10
−
=
Φ
=
β
−
(
)
10 01 2
1 11
−
=
Ψ
=
β
−
Задача 4.12
Покажите, что все состояния Белла являются запутанными
Указанные состояния могут быть созданы с помощью квантовой схемы, изображенной на рисунке.
Рис. 4.5 Квантовая схема для генерации состояний Белла
Состояния Белла относят к классу так называемых ЭПР состояний. Такой термин возник в связи с парадоксом (эффектом) Эйнштейна - Подольского –
Розена, который рассматривается ниже.
4.9 Парадокс (эффект) Эйнштейна - Подольского - Розена
Предположим, что источник генерирует пару частиц в состоянии Белла, например
(
)
11 00 2
1
+
. Такая пара частиц называется ЭПР – парой.
Пусть одна из этих частиц посылается в пункт A (к Алисе), а другая – в пункт B (к Бобу). Алиса и Боб могут находиться сколь угодно далеко друг от друга.

93
Предположим, что Алиса измеряет свою частицу и наблюдает состояние
0
. Это означает, что совместное состояние частиц теперь оказывается состоянием
00
и, следовательно, при измерении своей частицы Боб обязательно получит
0
Аналогично, если Алиса получит при измерении
1
, то Боб также получит
1
. Заметим, что изменение совместного квантового состояния частиц происходит мгновенно, даже если частицы находятся друг от друга сколь угодно далеко.
На первый взгляд кажется, что Алиса и Боб получают возможность обмениваться сообщениями со скоростью, большей скорости света в вакууме.
Однако, это не так. Рассматриваемое явление нельзя использовать для налаживания линии связи, действующей быстрее света. Все что мы можем сказать – это то, что Алиса и Боб, используя эффект ЭПР, могут одновременно в разных местах наблюдать одинаковое случайное поведение.
Отметим, что первоначальная формулировка авторов ЭПР парадокса относилась к системам с непрерывными переменными. Здесь мы представили более простой пример, основанный на рассмотрении дискретных (спиновых) переменных. Такая формулировка ЭПР парадокса впервые была предложена
Д. Бомом.
Заметим, что ЭПР парадокс на деле не является никаким парадоксом.
Правильнее говорить об ЭПР эффекте. Он заключается в том, что части одной общей системы, даже после прекращения взаимодействия между ними, продолжают описываться единым квантовым состоянием. Это явление рассматривалось как парадокс на заре развития квантовой теории. В настоящее время ЭПР эффект находит свое естественное воплощение в задачах квантовой информатики.

94
4.10 Неравенство Белла
Рассмотрим следующее состояние Белла
(
)
↓↑
−
↑↓
=
ψ
2 1
(4.7)
В обозначениях формулы (4.7) предполагается, что состояние образовано двумя спиновыми частицами. Это же состояние в других обозначениях есть:
(
)
⎟⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
−
=
ψ
0 1
1 0
2 1
10 01 2
1
(4.8)
В обозначениях формулы (4.8) рассматриваемое состояние Белла описывается как двухкубитовое состояние.
Будем в качестве оператора спина использовать оператор
σv
(т.е. будем опускать множитель
2
h
). В таком представлении, результат измерения спина есть либо
1
+
, либо
1
−
Если при измерении на ось
z
Алиса получает
1
+
, то Боб при измерении на ту же ось с необходимостью получает
1
−
и наоборот. То же самое будет происходить и при измерении на любую другую ось в пространстве. Данное состояние является так называемым синглетным состоянием. Оно отвечает суммарному спину системы из двух частиц, равному нулю (поэтому равна нулю и проекция спина системы на любую ось).
Заметим, что состояние
(
)
10 01 2
1
+
, отличающееся знаком от рассматриваемого, также отвечает нулевой проекции спина, но при этом суммарный спин равен единице. Набор из трех состояний
00
,

95
(
)
10 01 2
1
+
и
11
образует так называемый триплет (триплетное состояние). Триплет отвечает суммарному спину двух частиц, равному единице (
1
=
j
), и трем значениям проекции спина соответственно:
1
,
0
,
1
−
+
=
m
Задача 4.13
Покажите инвариантность синглетного состояния относительно выбора оси квантования.
Дадим набросок решения задачи. Пусть
0
и
1
состояния, отвечающие проекциям спина (оператор
z
σ
) соответственно
1
+
и
1
−
на некоторую ось
nr
,
0′
и
1′
- те же состояния при проектировании на ось
n′
r
Новые и старые базисные состояния связаны унитарным преобразованием
1 0
0 01 00
u
u
+
=
′
1 0
1 11 10
u
u
+
=
′
Здесь
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
11 10 01 00
u
u
u
u
U
- унитарная матрица.
Пусть её определитель равен единице:
1 01 10 11 00
=
− u
u
u
u
Тогда, нетрудно показать, что выполняется тождество:
10 01 0
1 1
0
−
=
′
′
−
′
′
Рассматриваемое тождество показывает, что синглетное состояние имеет один и тот же вид, независимо от оси квантования.
Заметим, что определитель унитарной матрицы может отличаться от единицы несущественным фазовым множителем.

96
Рассмотрим теперь некоторую процедуру измерения синглетного состояния. Пусть Алиса измеряет проекцию спина своей частицы на ось
ar
, а
Боб- проекцию спина своей частицы на ось
b
r
При измерении Алиса получает
1
+
с вероятностью
2 1
и
1
−
с вероятностью
2 1
. После этого состояние редуцируется таким образом, что
Боб при измерении на ту же ось
ar будет получать
1
−
, если Алиса получает
1
+
и наоборот. Если же Боб проводит измерение на другую ось
b
r
, расположенную под углом
θ
к оси Алисы, то в соответствии с полученными ранее результатами (см. разделы 4.1- 4.2), будем иметь следующее распределение вероятностей измерений:
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛θ
=
−
+
2
cos
2 1
1
,
1 2
AB
P
(4.9)
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛θ
=
+
+
2
sin
2 1
1
,
1 2
AB
P
(4.10)
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛θ
=
+
−
2
cos
2 1
1
,
1 2
AB
P
(4.11)
(
)
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛θ
=
−
−
2
sin
2 1
1
,
1 2
AB
P
(4.12)
Здесь
(
)
1
,
1
−
+
AB
P
означает, что Алиса получает
1
+
, а Боб
1
−
и т.д.
Задача 4.14
Докажите приведенные выше формулы (4.9)- (4.12).
Указание: воспользуйтесь результатами, описывающими реализацию произвольного состояния кубита посредством унитарного поворота.

97
Задача 4.15
Покажите, что маргинальные распределения, описывающие показания отдельно Алисы и Боба, есть:
( )
( )
2 1
1 1
=
−
=
+
A
A
P
P
( )
( )
2 1
1 1
=
−
=
+
B
B
P
P
Покажите, что математические ожидания этих распределений равны нулю, а дисперсии единице.
Пусть
X
и
Y
- случайные величины, регистрируемые соответственно
Алисой и Бобом. Покажите, что коэффициент корреляции случайных величин
X
и
Y
есть:
( )
( )
b
a
XY
M
R
AB
r r
−
=
θ
−
=
=
cos
Напомним, что классические (неквантовые) представления о вероятности исходят из того, что случайность является «ненастоящей»
(субъективной). На самом деле объект, якобы, обладает данным значением параметра и до измерения, только оно скрыто от нас, а измерение просто проявляет то, что было ранее скрыто (шар в урне был либо черным, либо белым и до того, как мы его вынули).
Оказывается, что квантовые корреляции, проявляемые в синглетном состоянии Белла, опровергают такие представления, поскольку подобные корреляции не могут быть смоделированы никакой классической моделью, т.е. моделью со скрытыми (латентными) параметрами (типа рулетки).
Чтобы показать это рассмотрим так называемое неравенство Белла-
Клаузера- Хорна- Шимони [1,66].
Пусть
1
X
,
2
X
,
1
Y
,
2
Y
- произвольные действительные числа, не превышающие по модулю 1.
1
≤
j
X
,
1
≤
j
Y
,
2
,
1
=
j
Покажем, что

98 2
2 2
2 1
2 2
1 1
1
≤
−
+
+
≤
−
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Пусть, например, все параметры неотрицательны и
2 1
Y
Y
≥
, тогда
(
)
(
)
(
)(
)
(
)
2
,
max
2
,
max
2 1
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
2 1
1 2
2 1
2 2
1 1
1
≤
=
−
+
+
≤
−
+
+
=
−
+
+
X
X
Y
Y
Y
Y
Y
X
X
Y
Y
X
Y
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Задача 4.16
Проведите до конца рассуждения, доказывающие неравенство
Белла- Клаузера- Хорна- Шимони.
Пусть теперь
1
X
,
2
X
,
1
Y
,
2
Y
- действительные случайные величины, удовлетворяющие тем же неравенствам.
Задача 4.17
Покажите, что неравенства, справедливые для некоторых случайных величин, останутся справедливыми и для соответствующих средних значений (математических ожиданий).
С учетом результатов последней задачи, усредняя неравенство Белла-
Клаузера- Хорна- Шимони, получим:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2
2 1
2 2
1 1
1
≤
−
+
+
Y
X
M
Y
X
M
Y
X
M
Y
X
M
Оказывается, что полученное неравенство нарушается при измерениях синглетного состояния Белла. Действительно, выберем направления измерений в одной плоскости так, чтобы полярные углы были:
0
=
ϕ
для 1
ar
,
2
π
=
ϕ
для 2
ar
,
4 3
π
−
=
ϕ
для 1
b
r
,
4 3
π
=
ϕ
для 2
b
r
Тогда:
(
)
(
)
(
)
2 2
4 3
cos
1 2
2 1
1 1
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
−
=
=
=
Y
X
M
Y
X
M
Y
X
M

99
(
)
2 2
4
cos
2 2
−
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ π
−
=
Y
X
M
В результате получим:
( )
(
)
(
)
(
)
2 2
2 2
2 1
2 2
1 1
1
>
=
−
+
+
Y
X
M
Y
X
M
Y
X
M
Y
X
M
Таким образом, неравенство Белла нарушается.
Проясним статистический смысл неравенства Белла и факта его нарушения. При усреднении неравенства Белла- Клаузера- Хорна- Шимони, когда вычислялись средние значения
( ) (
) (
)
1 2
2 1
1 1
,
,
Y
X
M
Y
X
M
Y
X
M
и
(
)
2 2
Y
X
M
, неявно предполагалось, что существует совместное распределение случайных величин
(
)
2 2
1 1
,
,
,
Y
X
Y
X
P
(всего 16 вероятностей). Реально же такого распределения в представленном примере не существует. Другими словами, в приведенном примере нельзя подобрать 16 таких неотрицательных чисел
(вероятностей), чтобы описать все корреляции (некоторые из «вероятностей» обязательно будут отрицательными, т.е. не будут на деле вероятностями).
С физической точки зрения результат Белла служит еще одной иллюстрацией к принципу дополнительности Н. Бора и связанной с ним некоммутативностью наблюдаемых. Действительно, измерениям Алисы на оси 1
ar и 2
ar отвечают некоммутирующие спиновые переменные, поэтому совместное двумерное распределение
(
)
2 1
,
X
X
P
не существует. Аналогично, не существует двумерного распределения
(
)
2 1
,
Y
Y
P
, которое отвечало бы результатам измерений Боба на оси 1
b
r и 2
b
r
. Уже отсюда следует, что не существует и совместного четырехмерного распределения этих величин, т.е. не существует
(
)
2 2
1 1
,
,
,
Y
X
Y
X
P
Остановимся коротко на методологической стороне неравенства Белла.
Возникает вопрос: зачем Беллу потребовалось конструировать достаточно

100
сложный пример, доказывающий, что совместного распределения
(
)
2 2
1 1
,
,
,
Y
X
Y
X
P
не существует, если этот факт заведомо известен, поскольку принцип дополнительности и некоммутативность спиновых операторов приводят к неправомочности уже более простых распределений
(
)
2 1
,
X
X
P
и
(
)
2 1
,
Y
Y
P
?
Попробуем ответить на этот вопрос. Дело в том, что довольно часто при слишком упрощенном изложении предмета всю специфику квантовых явлений пытаются свести к неустранимому взаимодействию микросистемы с измерительным прибором.
В частности, нередко говорят, что некоммутирующие переменные (например,
1
X
и
2
X
) не могут быть определены одновременно только потому, что измерение одной из них приводит к физическому воздействию на микрообъект и разрушению его квантового состояния, что, как следствие, ведет к невозможности измерения другой переменной (
2
X
). При таком понимании квантовых явлений считают, что каждый микрообъект, якобы, всегда обладает определенными значениями характеризующих его переменных, но эти переменные могут находиться в скрытом (латентном) состоянии. В таких моделях, называемых теориями со скрытыми параметрами, имеют смысл и распределения для некоммутирующих переменных типа
(
)
2 1
,
X
X
P
, но существуют эти распределения не в явной, а в скрытой (латентной) форме. В этой связи, пример Белла может рассматриваться как аргумент против подобного рода теорий со скрытыми параметрами.
Действительно, Белл не вводит в рассмотрение несуществующих распределений
(
)
2 1
,
X
X
P
и
(
)
2 1
,
Y
Y
P
, относящихся к измерениям над одной частицей. Он рассматривает только измерения над различными частицами, пространственно удаленными друг от друга. Этим измерениям соответствуют

101
коммутирующие спиновые переменные, отвечающие различным частицам, поэтому хорошо определенны и соответствующие распределения
(
)
1 1
,
Y
X
P
,
(
)
2 1
,
Y
X
P
,
(
)
1 2
,
Y
X
P
и
(
)
2 2
,
Y
X
P
. Согласно логике теории со скрытыми параметрами, измерения Алисы никак не должны влиять на скрытые параметры Боба и наоборот, поэтому должно выполняться неравенство Белла.
Многочисленные проведенные эксперименты, однако, согласуются с предсказаниями квантовой теории и убедительно демонстрируют факт нарушения неравенства Белла. Таким образом, нарушение неравенства Белла свидетельствует против теорий со скрытыми параметрами (против так называемого скрытого реализма).
Поясним, в каком контексте здесь используется термин реализм. Согласно квантовой теории, в соответствии с принципами статистики, микрообъект, находящийся в квантовом состоянии суперпозиции, не обладает до измерения определенным значением физической переменной (представленной в суперпозиции). В результате соответствующего проекционного измерения микрообъект переходит в другое состояние, с определенным значением рассматриваемой физической переменной. Согласно же так называемому реализму (в разрез с принципами квантовой информатики и опытом) считается, что микрообъект всегда обладает определенным набором свойств
(хотя и, возможно, в скрытой и сложной форме). Именно такого рода реализм и отвергается фактом нарушения неравенства Белла.
В теориях со скрытыми параметрами рассматриваемые переменные
2 2
1 1
,
,
,
Y
X
Y
X
могут быть сложными функциями большого числа (например, миллиона) других неизвестных скрытых параметров. Однако, и в этом случае
(в предположении однозначности и гладкости соответствующих зависимостей), для наших переменных
2 2
1 1
,
,
,
Y
X
Y
X
возникнет некоторое распределение
(
)
2 2
1 1
,
,
,
Y
X
Y
X
P
, которое будет следствием более глубокого

102
неизвестного распределения для скрытых микропараметров. Все проведенные выше рассуждения останутся справедливыми и для этого гипотетического случая. Таким образом, неравенство Белла для переменных
2 2
1 1
,
,
,
Y
X
Y
X
останется в силе независимо от того, стоят или нет за рассматриваемыми скрытыми переменными еще более «скрытые». Таким образом, усложнение модели, связанное с введением распределений все большего и большего числа переменных ничего не может дать для объяснения факта нарушения неравенства Белла в принципе. Как мы уже видели выше, для объяснения различия между классической и квантовой статистикой нужны качественно новые идеи. Эти идеи связаны с принципом дополнительности и соответствующим рассмотрением некоммутирующих наблюдаемых.
Объектом, объединяющим свойства всех взаимно- дополнительных распределений, как мы уже видели ранее, служит вектор квантового состояния (который не может быть заменен ни на какое распределение сколь угодно высокой размерности).
Стоит уточнить, что факт нарушения неравенства Белла свидетельствует против так называемого локального реализма (т.е. остается еще возможность для «нелокального реализма», когда некоторые из скрытых параметров могут быть де- локализованы, т.е. будут одновременно принадлежать обеим частицам, поэтому измерение Алисой своей частицы неведомым и нелокальным образом будет влиять и на частицу Боба).
Резюмируя аргументы, представленные выше, отметим, что сама постановка вопроса о скрытых параметрах и связанная с этим многолетняя полемика в физической литературе, на наш взгляд, свидетельствуют о еще недостаточном понимании принципа дополнительности и статистического характера квантовой теории. Можно предположить, что действительный прогресс в понимании смысла квантовой теории будет достигаться не столько тем, что с помощью сложных расчетов и хитроумных экспериментов будут

103
отвергнуты все возможные различные теории со скрытыми параметрами, сколько тем, что будет осознана изначальная искусственность и практическая бессмысленность подобного рода построений (подобно тому, как в свое время была осознана бессмысленность многочисленных теорий электродинамического эфира).
4.11. Физическая реализация кубита. Спиновой магнитный резонанс.
Мы рассмотрим физическую реализацию кубита на примере квантовой системы со спиновым магнитным резонансом.
На основе уравнения Дирака можно показать, что наличие спина у электрона приводит к появлению у него магнитного момента.
Соответствующий гамильтониан взаимодействия магнитного момента
μr с магнитным полем
H
r есть:
H
r rμ
−
=
int
Η
, где
σ
=
μ
r h
r
mc
e
2
Пусть магнитное поле
H
r есть комбинация однородного поля
0
H
r
, направленного вдоль оси
z
и поля
1
H
r
, вращающегося в плоскости
y
x
,
:
(
)
t
e
t
e
H
e
H
H
y
x
z
ω
+
ω
+
=
sin cos
1 0
r r
r r
Для определенности будем иметь ввиду электрон. С учетом отрицательного знака заряда электрона, имеем:
H
r rσ
μ
=
int
Η
, где
mc
e
2
h
=
μ
Уравнение Паули, представляющее собой модификацию уравнения
Шредингера с учетом спина электрона, есть:

104
ϕ
=
∂
ϕ
∂
int
Η
t
ih
, где
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ϕ
ϕ
=
ϕ
2 1
- двухкомнонетнный спинор.
Пусть h
0 0
H
μ
=
ω
, h
1 1
H
μ
=
ω
- соответственно продольная и поперечная частоты.
Тогда уравнение Паули примет вид:
ϕ
Ω
=
∂
ϕ
∂
t
i
, где
( )
( )
(
)
t
t
y
x
z
ω
σ
+
ω
σ
ω
+
σ
ω
=
Ω
sin cos
1 0
- оператор частоты.
Осуществим переход к другим (медленным) переменным посредством преобразования
ϕ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
ω
=
ϕ
z
t
i
2
exp

Рассматриваемое преобразование называется переходом во вращающуюся систему координат. Для новой переменной получим уравнение:
ϕ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
σ
ω
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
ω
−
Ω
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
ω
=
∂
ϕ
∂

2 2
exp
2
exp

z
z
z
t
i
t
i
t
i
Учтем, что (см. формулу (4.4) раздела 4.2):
z
z
t
i
t
t
i
σ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ω
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ω
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
σ
ω
2
sin
2
cos
2
exp
Тогда, рассматриваемое уравнение примет вид:

105
ϕ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
σ
ω
+
σ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
−
ω
=
∂
ϕ
∂

2

1 0
x
z
t
i
Его решение, очевидно, есть:
( )
0 1
0

2
exp

ϕ
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
σ
ω
+
σ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
−
ω
−
=
ϕ
x
z
it
t
Последняя формула описывает поворот квантового состояния на сфере
Блоха.
Ось поворота и угол вращения есть:
R
x
z
e
e
n
Ω
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
−
ω
=
r r
r
1 0
2 2
,
t
R
Ω
=
θ
,
Где
2 1
2 0
2 2
ω
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
−
ω
=
Ω
R
- частота Раби
Наиболее простая динамика спина- кубита будет наблюдаться в условиях резонанса, когда
2 0
ω
=
ω
. Практически такой резонанс достигается обычно путем медленного изменения продольного поля
0
H
r
В условиях резонанса в рассматриваемом примере происходит вращение состояния кубита вокруг оси
x
Задача 4.18
Пусть начальное состояние кубита есть
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
=
ϕ
0 1
0

0
, что соответствует «северному полюсу» на сфере Блоха. Покажите, что в условиях резонанса, чтобы перевести кубит из состояния
0
в состояние
1
,

106
достаточно выждать в течении времени
R
t
Ω
π
=
(так называемый
π
- импульс). Аналогично, покажите, что воздействие в течении
R
t
Ω
π
=
2
приводит к повороту состояния на угол
2
/
π
вокруг оси
x
, что соответствует преобразованию состояния
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
=
ϕ
0 1
0

0
в состояние
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
− i
1 2
1
Динамика кубита может быть представлена в виде:
( )
0

2
sin
2
cos

ϕ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Ω
σ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Ω
=
ϕ
t
n
i
t
t
R
R
r r
Задача 4.19
Пусть начальное состояние кубита есть
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
=
ϕ
0 1
0

0
Покажите, что вероятность переворота спина (спин- флип) есть:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Ω
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Ω
ω
=
2
sin
4 2
2 1
t
P
R
R
Среднее по времени от полученной вероятности есть:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
ω
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ω
−
ω
ω
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
Ω
ω
=
2 1
2 2
1 2
1 2
2 2
R
P
Последнее выражение, рассматриваемое как функция
0
ω
, описывает резонанс на частоте
2 0
ω
=
ω
Заметим, что в реальных экспериментах, как правило,
0 1
ω
<<
ω
Приведём некоторые данные, необходимые для проведения численных оценок
Магнитный момент электрона:

107 652 159 001 1
/
=
μ
μ
B
e
, где
Дж/Тл
10 015 274 9
эрг/гс
10 015 274 9
2 24 21
−
−
⋅
=
⋅
=
=
μ
c
m
e
e
B
h
- магнетон Бора.
Небольшое отличие отношения
B
e
μ
μ /
от единицы называется аномальным магнитным моментом электрона. Теоретическое объяснение этого эффекта, согласующееся с экспериментом с очень высокой точности, является важным достижением квантовой электродинамики.
Магнитный момент протона есть:
847 792 2
/
=
μ
μ
N
p
, где
Дж/Тл
10 786 050 5
эрг/гс
10 786 050 5
2 27 24
−
−
⋅
=
⋅
=
=
μ
c
m
e
p
N
h
- ядерный магнетон
Большое отличие магнитного момента протона от ядерного магнетона является следствием сложной (кварковой) структуры частицы (заметим, что в теории Дирака частица предполагается точечной).
Нейтрон, несмотря на нулевой заряд, также обладает магнитным моментом, который равен (в ядерных магнетонах)
913042 1
/
−
=
μ
μ
N
n
Оценим типичные частоты, возникающие при магнитном резонансе
Пусть продольное поле есть:
Тл
1 0
=
H
Тогда для электрона получаем:
ГГц
0125 14 2
2 0
0 0
=
π
μ
=
π
ω
=
ν
h
H
e
e
e
,
Резонансная частота есть:
ГГц
025 28 2
0
=
ν
=
ν
e
e
Аналогично для протона:

108
МГц
29 21 2
2 0
0 0
=
π
μ
=
π
ω
=
ν
h
H
p
p
p
,
Резонансная частота протона:
МГц
58 42 2
0
=
ν
=
ν
p
p

109

1   2   3   4   5   6   7   8