ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2023
Просмотров: 121
Скачиваний: 5
ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.
СОДЕРЖАНИЕ
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
1 2 3 4 5 6 7 8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОЙ
ТЕХНИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
КАФЕДРА КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ И НАНОЭЛЕКТРОНИКИ
Ю.И. Богданов
Физико- статистические основы
квантовой информатики
Москва 2010
2
УДК 519+530.145
Рецензенты: доктор физико- математических наук, профессор кафедры квантовой электроники МГУ им. М.В. Ломоносова С.П. Кулик ; кандидат физико- математических наук, ведущий научный сотрудник Физико- технологического института РАН В.В. Вьюрков
Богданов Ю.И.
Б.73 Физико- статистические основы квантовой информатики. Учебное пособие. М.: МИЭТ, 2010, 163 с.
Рассматривается введение в новую область исследований- квантовую информатику, связанную с использованием законов квантовой физики для целей вычислений и связи.
Подробно описываются и анализируются физико- статистические модели квантовых систем. Существенное внимание уделяется фундаментальным аспектам квантовой информатики таким, как статистический характер законов микромира, принцип дополнительности Н. Бора, неравенства Белла и др.
Пособие основано на курсе лекций, читаемом для студентов старших курсов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
3
Введение
В настоящее время мы становимся свидетелями рождения новой фундаментальной научной дисциплины - квантовой информатики. Стимулом к рождению и развитию новой науки являются активно ведущиеся работы, основанные на применении квантовых систем к задачам вычислений и связи
[1-6].
Следует отметить, что современные лазеры, твердотельные компьютеры и др. приборы также существенным образом базируются на законах квантовой физики. В чем же тогда специфика приборов квантовой информатики?
Краткий (и упрощенный) ответ на этот вопрос может быть таким.
Традиционные электронные приборы используют законы квантовой физики на уровне аппаратного обеспечения («железа»- hardware), новые же приборы квантовой информатики предполагают использование законов квантовой физики на уровне алгоритмов и программного обеспечения (software).
Технологическая революция XX века, связанная с использованием компьютеров, лазеров, ядерной энергии и др. достижений физики может быть названа первой квантовой революцией. Без преувеличения можно сказать, что развивающиеся в настоящее время методы и технологии квантовой информатики должны стать в XXI веке основой для новой (второй квантовой) технологической революции [5].
Оказывается, что использование законов квантовой теории не только на уровне “hardware”, но и на уровне “software” позволит квантовым компьютерам и приборам квантовой информатики решать задачи, недоступные никаким классическим компьютерам.
Направление квантовых вычислений стало активно развиваться после появления работ Р. Фейнмана [7,8]. Фейнман заметил, что моделирование квантовой физики на обычных компьютерах является экспоненциально сложной задачей. Отсюда он сделал вывод, что, возможно, компьютер,
4
основанный на квантовых принципах вычислений, окажется экспоненциально более мощным по сравнению со своими классическими собратьями. Ранее аналогичные соображения высказывал Ю.И. Манин [9].
Среди основных разработанных (и частично реализованных на простых физических системах) квантовых алгоритмов отметим следующие: алгоритм формирования запутанного состояния, алгоритм Дойча- Джозса (отличающий постоянные бинарные функции от переменных «сбалансированных» функций, имеющих различные значения для различных аргументов), алгоритмы квантовой телепортации и сверхплотного кодирования (dense coding), квантовый алгоритм поиска Гровера, квантовое дискретное преобразование
Фурье и алгоритм факторизации П. Шора (разложение большого целого числа на простые множители) [10-12]. Среди наиболее важных результатов теории квантовых вычислений следует также отметить открытие универсального набора квантовых логических элементов (позволяющих выполнять любое унитарное преобразование- вычисление в системе квантовых битов- кубитов)
[13,14], а также разработку квантовых алгоритмов коррекции ошибок [15].
Среди экспериментальных работ по реализации алгоритмов квантовой информатики отметим работы по таким направлениям, как квантовая телепортация и сверхплотное кодирование [16-18], а также приготовление белловских состояний [19,20].
Экспериментальные исследования по квантовому компьютингу ведутся в различных направлениях, среди которых отметим квантовую электродинамику резонаторов (КЭР) [21,22], линейные ионные ловушки [23-
25] и ядерный магнитный резонанс – ЯМР (жидкостной и твердотельный) [26-
28].
В настоящем пособии мы стремились показать, что квантовая информатика является основой не только для грядущих технологических достижений. Не менее важно то, что новая научная дисциплина оказывает
5
очень важное влияние на все теоретическое естествознание. Квантовая информатика позволяет лучше представить что такое квантовая физика, понять природу случайности, дать содержательное естественно- научное истолкование таким понятиям как информация, алгоритм, вычисление и др.
Представления квантовой информатики могут существенно изменить физику, математику, информатику, химию, молекулярную биологию и другие естественные науки. Это будет уже не только технологическая, но и научная квантовая революция.
Пособие состоит из пяти глав. В первой главе рассматривается вероятностная интерпретация векторов гильбертова пространства (на примере взаимно- дополнительных прямого и обратного преобразований Фурье).
Основанный на квантовой информатике подход позволяет осветить с новых и более общих позиций некоторые вопросы классической математической статистики. Так, оказывается, что аппарат характеристических функций классической математической статистики содержит в себе в рудиментарной форме представление об операторе координаты в импульсном представлении и аналогичные представления об операторе импульса в координатном представлении. Однако, в отрыве от представлений квантовой информатики, классическая статистика содержит эти понятия в сильно завуалированном виде. Неполнота и ограниченность классической теории становится очевидной с более общих позиций квантовой информатики. С точки зрения принципов квантовой информатики, недостаточность представлений классической математической статистики состоит в том, что последняя рассматривает только одно из возможных взаимно- дополнительных статистических распределений, игнорируя остальные. Только использование квантовых представлений позволяет увидеть за распределениями вероятностей более простой и фундаментальный геометрический объект – вектор состояния.
6
Во второй главе рассматриваются вопросы, связанные с точностью статистических характеристик гильбертова пространства. Геометрический аппарат квантовой информатики делает совершенно естественным рассмотрение наряду с обычными для статистики координатными величинами других (импульсных) величин, связанных с производными по координатам.
При таком подходе соотношение неопределенностей оказывается неравенством типа Коши- Буняковского. Наряду с элементарными сведениями по неравенству Коши- Буняковского и соотношению неопределенностей, в настоящей главе рассматриваются также соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона и многомерное обобщение соотношения неопределенностей Гейзенберга. Кроме того, основываясь на аппарате квантовой информатики, изучаются вопросы, связанные с информацией Фишера, неравенством Рао- Крамера и корневыми статистическими оценками.
В третьей главе формулируются постулаты квантовой информатики. Здесь выбор постулатов аналогичен аксиомам квантовой физики, изложенным в известной монографии М. Нильсена и И. Чанга [1], однако, в отличие от указанных авторов, в формулировке и интерпретации каждого постулата мы делаем акцент на его статистической природе. Тем самым подчеркивается, что постулаты квантовой информатики есть реализация программы, заложенной в известной 6-ой проблеме Гильберта, которая направлена на построение особой теории вероятностей, основанной на геометрических понятиях и фундаментальных свойствах микромира. В качестве важного примера применения постулатов квантовой информатики рассматривается процедура перехода от классической механики к квантовой.
В четвертой главе принципы квантовой информатики прилагаются к описанию основных квантовых логических элементов. Рассматриваются произвольные унитарные вращения кубита, описываются элементы Паули,
7
Адамара, управляемое НЕ (CNOT) и др. Представлена теорема о невозможности клонирования неизвестного квантового состояния, изучается важное для квантовой информатики явление запутанности квантовых состояний, описываются состояния Белла и анализируется неравенство Белла.
В пятой заключительной главе представлены некоторые фундаментальные квантовые алгоритмы, призванные продемонстрировать радикальное преимущество квантовой информатики над классической. Рассмотрены сверхплотное кодирование и телепортация, описан квантовый параллелизм, изучены алгоритмы Дойча, Дойча- Джозса и квантового преобразования
Фурье. Рассмотрены задачи нахождения периода функции и факторизации целых чисел, даны элементарные сведения по квантовой криптографии.
Данное учебное пособие написано для поддержки курса по физико- статистическим основам квантовой информатики, который читается для студентов кафедры квантовой физики и наноэлектроники МИЭТ.
Для понимания содержания от читателя требуется знание математики и физики в объеме стандартных программ для технических университетов.
Важная составная часть курса – это задачи. Их решение призвано дать читателю более глубокое понимание излагаемой теории и научить простейшим навыкам самостоятельной осмысленной работы в данной области.
Автор благодарен академику К.А. Валиеву за поддержку, а также всем участникам семинара по физике квантовых компьютеров в Физико- технологическом институте РАН за обсуждение различных вопросов квантовой информатики. Особая благодарность В.В. Вьюркову, А.А.
Кокину, С.П. Кулику, Ю.И. Ожигову, И.А. Семенихину и А.В. Цуканову, общение с которыми было очень полезным.
8
Глава 1. Квантовая случайность. Анализ взаимно- дополнительных
статистических величин.
«Отыщи всему начало, и ты многое поймешь!»
(Козьма Прутков «Мысли и афоризмы», №247).
Вероятностную природу квантовой теории можно продемонстрировать на примере статистической интерпретации комплексной функции и её Фурье- образа.
1.1.
Статистическая
интерпретация
прямого
и
обратного
преобразований Фурье. Координатное и импульсное распределения.
Пусть
( )
x
ψ
- произвольная комплексная функция, заданная в гильбертовом пространстве
2
L
. Такая функция обладает конечным интегралом от квадрата модуля
( )
∫
∞
<
ψ
dx
x
2
Прямое и обратное преобразования Фурье задаются следующими известными формулами:
( )
( ) ( )
∫
ψ
π
=
ψ
dp
ipx
p
x
exp
2 1
(1.1)
( )
( ) (
)
∫
−
ψ
π
=
ψ
dx
ipx
x
p
exp
2 1
(1.2)
Задача 1.1 Непосредственным расчетом покажите, что комбинация прямого и обратного преобразований Фурье приводит к исходной функции
(т.е является тождественным преобразованием).
Замечание: Воспользуйтесь следующим выражением для дельта- функции
Дирака в виде интеграла Фурье:
9
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.3)
Более подробно дельта- функция и ее свойства описываются в
Приложении к настоящей главе.
С комплексной функцией
( )
x
ψ
и её Фурье- образом
( )
p
ψ
можно связать распределения вероятностей.
Определим плотность распределения вероятности в исходном
(координатном) представлении как:
( )
( )
2
x
x
P
ψ
=
(1.4)
Выражение (1.4) называется формулой Борна.
С помощью Фурье- образа
( )
p
ψ
можно задать некоторое другое (а именно так называемое импульсное) распределение вероятностей:
( )
( )
2
p
p
P
ψ
=
Известно, что для функции и ее Фурье- образа выполняется равенство
Парсеваля:
( )
( )
∫
∫
ψ
=
ψ
dp
p
dx
x
2 2
Задача 1.2. Докажите равенство Парсеваля, используя Фурье- представление для дельта- функции
Равенство Парсеваля показывает, что полная вероятность не зависит от выбора представления. Её можно нормировать по выбору исследователя на произвольное положительное число. Как правило, условие нормировки выбирают в виде:
( )
( )
1
=
=
∫
∫
dp
p
P
dx
x
P
Рассматриваемая формула предполагает, что полная вероятность равна единице. Заметим, что в исследовательской практике используются и другие
10
условия нормировки. В частности, в задачах распада и рассеяния микрообъектов полная вероятность может характеризоваться суммарным числом событий в единицу времени и, таким образом, быть размерной.
Заметим, что функция
( )
x
ψ
и ее Фурье- образ
( )
p
ψ
содержат в себе эквивалентную информацию (знание одной из них позволяет найти другую с помощью прямого или обратного преобразования Фурье). Их называют амплитудами вероятности в координатном и импульсном представлении соответственно (вместо термина амплитуда вероятности в зависимости от контекста задач используют и другие близкие по смыслу термины: волновая функция, пси- функция, вектор состояния).
1.2. Принцип дополнительности Н. Бора
Координатное
( )
x
P
и импульсное
( )
p
P
распределения называются взаимно- дополнительными статистическими распределениями, поскольку информационно эти распределения дополняют друг друга. Дело в том, что при измерении, скажем, в координатном представлении совершенно теряется информация о фазе волновой функции
( )
x
ψ
. Действительно, переход от
( )
x
ψ
к
( )
( )
(
)
x
iS
x exp
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(фаза), никак не влияет на координатное распределение вероятности
( )
x
P
Такой переход, однако, вообще говоря, будет влиять на импульсное распределение
( )
p
P
. В этом смысле
( )
p
P
содержит в себе дополнительную информацию по отношению к
( )
x
P
Рассматриваемая терминология сформировалась под влиянием принципа дополнительности Н.Бора. Согласно этому принципу «данные, получаемые при разных условиях опыта, не могут быть охвачены одной- единственной картиной; эти данные должны скорее рассматриваться как дополнительные в
11
том смысле, что только совокупность разных явлений может дать более полное представление о свойствах объекта» [29].
В соответствии с квантовой теорией, полную информацию о статистической квантовой системе несет волновая функция (вектор состояния)
( )
x
ψ
. В то же время, чтобы экспериментально экстрагировать эту информацию, недостаточно использовать какое- либо одно фиксированное представление. Чтобы изучение квантовой системы было более полным, следует проводить измерения, отвечающие совокупности взаимно- дополнительных распределений. В этом и состоит со статистической точки зрения принцип дополнительности Н. Бора. Координатное и импульсное распределения являются примерами таких взаимно- дополнительных распределений. Статистический принцип дополнительности является ключевым для задач квантовой информатики.
Модель квантовой информатики предполагает определенные правила
«игры» между Природой и человеком (исследователем). Пси- функция
(вообще говоря, комплексная) содержит в себе полную информацию о квантовой системе. Её следует рассматривать как объект, аккумулирующий в себе возможные данные из различных взаимно- дополнительных распределений. В силу статистической природы квантовой механики, мы не имеем возможности измерить пси- функцию непосредственно (в противном случае, никакой статистики вообще бы не было). Все, что мы можем, это провести измерения над определенным числом представителей. Каждый из представителей находится в одном и том же состоянии
( )
x
ψ
(это определяется тем, что все они были приготовлены в одних и тех же условиях, по одному и тому же рецепту). При этом, получаемые нами статистические данные, будут давать нам информацию о
( )
2
x
ψ
,
( )
2
p
ψ
и др. распределениях в зависимости от выбранного представления.
12
С экспериментальной точки зрения, проверка справедливости квантовой теории, по- существу, основана на реконструкции (с помощью статистических измерений) свойств скрытого от непосредственного наблюдения вектора состояния в гильбертовом пространстве. Все проведенные до сих пор эксперименты находятся в согласии с представлениями квантовой информатики, основанными на взаимно- дополнительных статистических измерениях, за которыми стоит искомый вектор состояния квантовой системы в гильбертовом пространстве.
Заметим, что традиционная теория вероятностей и математическая статистика ограничиваются описанием только отдельных (не взаимно- дополнительных) распределений вероятностей
(одномерных или многомерных). Принцип дополнительности приводит к нарушению так называемой аксиомы о составных случайных величинах классической теории вероятностей [30]. Следуя Г. Крамеру [31] сформулируем эту аксиому в следующем виде: “Если
n
ξ
ξ ,...,
1
- случайные величины размерностей соответственно
n
k
k ,...,
1
, то каждый составной объект
(
)
n
ξ
ξ ,...,
1
также является случайной величиной (размерности
n
k
k
+
+ ...
1
)”. Таким образом, согласно аксиоме о составных случайных величинах, в классической теории вероятностей существует единственный способ перехода от описания отдельных свойств объектов к описанию совокупности таких свойств. Этот способ основан на переходе от одномерных распределений к многомерным. В квантовой информатике это не так. Поскольку распределения могут быть взаимно- дополнительными, их совокупность уже не есть распределение, а есть объект более общей природы- квантовое состояние. Так, за взаимно- дополнительными координатным
( )
x
P
и импульсным
( )
p
P
распределениями не стоит никакого их совместного распределения
( )
p
x
P ,
. Существование такого распределения противоречит, как будет видно ниже, принципу
13
неопределенности Гейзенберга. Объединяющим началом всех взаимно- дополнительных распределений, согласно квантовой информатике, является вектор состояния в гильбертовом пространстве. Квантовое состояние можно рассматривать как естественное обобщение понятия статистического распределения. Согласно сказанному выше, квантовое состояние не может быть сведено к одному- единственному статистическому распределению, а описывает одновременно совокупность различных взаимно- дополнительных распределений.
1.3. Характеристическая функция. Вычисление среднего и моментов.
Неполнота классической и полнота квантовой статистики.
Координатное и импульсное представления вектора состояния эквивалентны. В этой связи, интересно рассмотреть свойства координатного распределения вероятностей с точки зрения импульсного представления и наоборот – свойства импульсного распределения с позиции координатного представления.
С использованием волновой функции в импульсном представлении координатное распределение вероятностей можно записать в виде:
( )
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( ) (
) (
)
( ) (
)
du
ixu
u
f
ixu
u
p
p
dudp
p
p
ix
p
p
dpdp
x
x
x
P
−
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
−
−
ψ
ψ
π
=
ψ
ψ
=
∫
∫
∫
exp
2 1
exp
2 1
exp
2 1
*
1 1
*
1
*
В последнем равенстве мы ввели характеристическую функцию (х.ф.):
( )
( ) (
)
(
) ( )
∫
∫
ψ
+
ψ
=
−
ψ
ψ
=
p
u
p
dp
u
p
p
dp
u
f
*
*
(1.5)
Таким образом, мы получили, что плотность распределения можно рассматривать как обратное преобразование Фурье от характеристической функции:
14
( )
( ) (
)
du
ixu
u
f
x
P
−
π
=
∫
exp
2 1
(1.6)
Тогда, сама характеристическая функция есть прямое преобразование
Фурье от плотности или, что то же самое, математическое ожидание (среднее значение) от случайной величины
( )
iux
exp
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
iux
M
dx
ixu
x
P
u
f
exp exp
=
=
∫
Выкладки, совершенно аналогичные проделанным выше, показывают, что характеристическая функция импульсного распределения вероятностей выражается через свертку от координатной пси- функции. Пусть
( )
t
f
- характеристическая функция импульсного распределения, представляющая собой Фурье- образ от плотности распределения импульса
( )
p
P
:
( )
( ) ( )
( )
(
)
∫
=
=
ipt
M
dp
ipt
p
P
t
f
exp exp
В полной аналогии с (1.5) рассматриваемая характеристическая функция может быть представлена в виде свертки от координатной пси- функции:
( )
(
) ( )
( ) (
)
∫
∫
+
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
t
x
x
dx
x
t
x
dx
t
f
*
*
Далеко не всякая функция может рассматриваться как характеристическая, поскольку обратное преобразование Фурье от характеристической функции должно давать действительную, неотрицательную функцию (а именно- плотность, нормированную на единицу).
Проведенные выше расчеты, по- существу, позволяют обосновать следующее утверждение: для того, чтобы функция
( )
u
f
была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она представлялась в виде свертки (1.5) от комплексной функции
( )
p
ψ
, удовлетворяющей условию нормировки:
15
( )
1
2
=
ψ
∫
p
dp
(1.7)
Необходимость: Пусть
( )
u
f
характеристическая функция, тогда, согласно
(1.6), она определяет некоторую плотность
( )
x
P
. Определим пси функцию как
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
, где
( )
x
S
- произвольная действительная функция
(в частности, можно положить
( )
0
=
x
S
). Рассматриваемая процедура может быть названа дополнением классического статистического распределения до квантового состояния. Функция
( )
p
ψ
, определяемая формулой обратного преобразования Фурье (1.2), обеспечивает искомое представление характеристической функции в виде свертки (1.5). Таким образом, всякой характеристической функции можно сопоставить волновую функцию в импульсном пространстве (причем, такое представление неоднозначно).
Достаточность: Пусть
( )
u
f
представлено в виде свертки (1.5) от некоторой функции
( )
p
ψ
, нормированной согласно (1.7). Определим волновую функцию в координатном пространстве
( )
x
ψ
с помощью преобразования Фурье (1.1), а плотность распределения
( )
x
P
посредством формулы Борна (1.4). Согласно проведенным выше выкладкам, функция
( )
u
f
будет характеристической функцией распределения
( )
x
P
. Таким образом, всякой волновой функции импульсного пространства
( )
p
ψ
, можно поставить в соответствие единственную характеристическую функцию
( )
u
f
и единственное распределение
( )
x
P
. Утверждение доказано.
Формула (1.5) уже в рамках классической (неквантовой) статистики вскрывает (хотя и в «свернутом» виде) существование импульсного пространства и соответствующей волновой функции
( )
p
ψ
. Указанное соотношение характеризует неполноту классических представлений о
16
вероятности. Действительно, как это было показано выше, свертка (1.5) не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
p
ψ
в импульсном пространстве. Аналогично, соотношение (1.4) для плотности не позволяет однозначно найти волновую функцию
( )
x
ψ
в координатном пространстве.
Таким образом, за одним и тем же классическим распределением вероятности могут скрываться различные квантовые состояния, существенно отличающиеся друг от друга. Другими словами, классическое распределение вероятностей не дает полного описания случайного поведения реальных
(квантовых) систем.
Как уже было отмечено выше, чтобы классическая теория стала полной, ее следует дополнить таким образом, чтобы распределение вероятностей превратилось в вектор квантового состояния (для этого можно, например, ввести фазовый множитель). В то же время, более глубокие по своей природе квантовые объекты полностью укладываются в структуру гильбертова пространства векторов состояния. Вектор квантового состояния не требует (да и не допускает) дополнения до каких- либо объектов более общей природы.
Мы вернемся к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей в главе 3 после рассмотрения основных постулатов квантовой информатики.
Представление характеристической функции в виде свертки является результатом, известным и в классической теории вероятностей (см. теорему
4.2.4 в [32], а также [33]). Однако, классическая теория вероятностей никак не комментирует природу комплексной функции
( )
p
ψ
, фигурирующей в данном представлении.
Остановимся коротко на важном для дальнейшего изложения способе вычисления моментов случайной величины посредством аппарата характеристических функций.
Нетрудно видеть, что значение х.ф. в точке ноль всегда равно единице:
17
( )
1 0
=
f
Моменты случайной величины выражаются через значения соответствующих производных х.ф. в точке ноль. Действительно:
( )
( ) ( )
ixdx
ixu
x
P
u
f
exp
∫
=
′
, откуда
( )
( )
x
iM
f
=
′ 0
Таким образом, первая производная х.ф. в точке ноль связана с математическим ожиданием.
Аналогично получаем, что производная
k
- го порядка связана с
k
-ым моментом случайной величины:
( )
( )
( )
k
k
k
x
M
i
f
=
0
,
,...
2
,
1
,
0
=
k
1.4. Операторы координаты и импульса в координатном и
импульсном
представлении.
Фундаментальные
коммутационные
соотношения
Свойства х.ф. позволяют ввести оператор координаты в импульсном представлении. Действительно, рассматривая х.ф. как свертку (1.5), имеем:
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
∫
∫
ψ
∂
∂
ψ
=
−
ψ
∂
∂
ψ
−
=
′
−
=
=
p
p
p
dp
i
u
p
u
p
dp
i
fi
x
M
u
0
*
0
*
Таким образом, если в координатном представлении координата описывается оператором
xˆ
, сводящимся к умножению пси- функции на число
x
, (т.е.
( )
( )
x
x
x
x
ψ
=
ψ
ˆ
), то в импульсном представлении оператор координаты есть
p
i
x
∂
∂
=
ˆ
Аналогичным образом нетрудно показать, что, если в импульсном представлении импульс описывается оператором
pˆ
, просто сводящимся к умножению пси- функции на число
p
, т.е.
( )
( )
p
p
p
p
ψ
=
ψ
ˆ
, то в
18
координатном представлении оператор импульса есть
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
(изменение знака перед мнимой единицей
i
соответствует отличию между прямым и обратным преобразованиями Фурье).
Заметим, что операторы координаты и импульса эрмитовы. Переход от координатного представления к импульсному оставляет инвариантным фундаментальное коммутационное соотношение:
[ ]
i
p
x
x
p
x
p
−
=
−
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
ˆ
В случае нескольких степеней свободы представленное каноническое соотношение примет вид:
jk
j
k
k
j
i
p
x
x
p
δ
−
=
−
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
,
s
k
j
,...,
2
,
1
,
=
Здесь
s
- число степеней свободы
Рассматриваемое соотношение показывает, что каждый импульс не коммутирует только со своей (канонически сопряженной) координатой и коммутирует со всеми остальными координатами.
Все координаты коммутируют между собой, также как и все импульсы коммутируют между собой
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
x
x
x
x
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
=
−
j
k
k
j
p
p
p
p
Преобразование, сохраняющее фундаментальные коммутационные соотношения, называются каноническими.
Преобразование
Фурье является частным случаем унитарных преобразований. Оказывается, что в квантовой информатике можно рассматривать произвольные унитарные преобразования. При этом будет происходить замена одного представления на другое, дополнительное по отношению к исходному. Измерения, проводимые в различных представлениях, порождают совокупность взаимно- дополнительных
19
распределений. Рассмотренные соображения, изложенные систематическим образом, являются основой постулатов квантовой информатики (см. главу 3).
1.П. Приложение. Дельта- функция и ее свойства.
Мы приведем только краткую сводку некоторых важных свойств дельта- функции. Более полное и строгое изложение вопроса можно найти в [34].
Дельта- функция является важным инструментом в квантовой информатике, поскольку находит широкое применение в таких вопросах, как теория преобразования
Фурье, статистический анализ взаимно- дополнительных распределений и др.
Проведем исследования выражения (1.3) из раздела 1.1:
(
)
(
)
(
)
∫
−
π
=
−
δ
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
(1.8)
В точке
x
x
=
1
рассматриваемый интеграл заведомо расходится.
Проведем его регуляризацию. Ограничим область интегрирования по переменной
p
в пределах от
K
−
до
K
. Регуляризованная версия исходного соотношения (1.8) есть:
(
)
(
)
(
)
∫
−
−
π
=
−
δ
K
K
dp
x
x
ip
x
x
1 1
exp
2 1
Элементарное интегрирование сразу приводит к результату:
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1
1
sin
1
x
x
x
x
K
x
x
−
−
π
=
−
δ
Заметим, что интеграл от полученной функции по переменной
1
x
всегда равен единице:
(
)
1
1 1
=
−
δ
∫
+∞
∞
−
dx
x
x
20
Проанализируем характер поведения рассматриваемой функции
(
)
1
x
x
−
δ
Её максимум находится в точке
x
x
=
1
и равен
( )
π
=
δ
/
0
K
. При больших значениях обрезающего множителя
K
рассматриваемая функция локализована внутри интервала порядка
K
/
π
. При увеличении
K
функция становится все более и более локализованной вблизи ноля.
Последовательность функций
(
)
1
x
x
−
δ
, отвечающая бесконечно растущей последовательности значений
K
, называется дельта- образной.
Дельта- функцию можно определить как обобщенную сингулярную предельную функцию дельта- образной последовательности.
Таким образом:
( )
( )
x
Kx
x
K
sin lim
1
∞
→
π
=
δ
Приведем также некоторые другие представления для дельта- функции:
( )
( )
2 2
sin lim
1
Kx
Kx
x
K
∞
→
π
=
δ
(1.9)
( )
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
σ
π
=
δ
→
σ
2 2
0 2
exp
2 1
lim
x
x
(1.10)
Задача 1.3 Обоснуйте представления (1.9) и (1.10) для дельта- функции.
Дельта- функция может рассматриваться как производная от ступенчатой функции (функции Хевисайда)
( )
( )
x
x
Θ′
=
δ
, где
( )
⎩
⎨
⎧
<
≥
=
Θ
0
,
0 0
,
1
x
x
x
21
Основное свойство дельта- функции определяет способ ее интеграции с произвольной несингулярной функцией:
( ) ( )
( )
0
f
dx
x
f
x
=
δ
∫
Нетрудно получить и некоторые другие свойства для дельта- функции
(
) ( )
( )
0 0
x
f
dx
x
f
x
x
=
−
δ
∫
(1.11)
( ) ( )
( )
0 1
f
a
dx
x
f
ax
=
δ
∫
(1.12)
( )
(
) ( )
( ) ( )
i
i
i
x
f
x
g
dx
x
f
x
g
∑
∫
′
=
δ
1
,
(1.13) где
i
x
- простые корни функции
( )
x
f
Задача 1.4. Обоснуйте приведенные формулы (1.11)- (1.13).
22
Глава 2. Точность статистических характеристик гильбертова
пространства
В настоящей главе мы увидим, что различного вида неравенства Коши-
Буняковского, соотношения неопределенностей, а также неравенства Рао-
Крамера получаются, по- существу, с помощью одного и того же математического приема, сводящегося к элементарному требованию неотрицательности некоторого квадратного трехчлена. В разделах 2.1- 2.3 с использованием принципов квантовой информатики излагаются элементарные сведения, связанные с неравенством Коши- Буняковского и соотношением неопределенностей. В разделе 2.4 представлено так называемое соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона. В разделе 2.5 рассмотрено многомерное соотношение неопределенностей.
Информация Фишера и неравенство Рао- Крамера, известные еще из классической математической статистики, изучаются в разделах 2.6- 2.8 с новой квантово- информационной точки зрения.
2.1. Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его
статистическая интерпретация
Рассматриваемое неравенство имеет место для векторов произвольных линейных пространств, в которых определено понятие скалярного произведения. Приведем примеры таких пространств.
В комплексном конечномерном пространстве
s
C
размерности
s
скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой (в обозначениях Дирака):
∑
=
∗
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
s
j
j
j
1
В бесконечномерном гильбертовом пространстве
2
l
аналогичное определение имеет вид:
23
∑
∞
=
∗
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
1
j
j
j
Наконец, если
( )
x
ψ
и
( )
x
ϕ
- комплексные функции из пространства
2
L
, то их скалярное произведение есть:
( ) ( )
dx
x
x
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
∫
*
Покажем, что для любых векторов линейного пространства со скалярным произведением выполняется следующее неравенство Коши- Буняковского:
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Для определенности, при проведении выкладок будем иметь ввиду функции из пространства
2
L
Предположим вначале, что скалярное произведение
ψ
ϕ
- действительное число.
Пусть
ξ
- действительный параметр. Рассмотрим следующую заведомо неотрицательную функцию от
ξ
(эта функция представляет собой интеграл от заведомо неотрицательного выражения).
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
∫
≥
ξϕ
+
ψ
ξϕ
+
ψ
=
ξ
0
*
*
dx
x
x
x
x
F
В обозначениях Дирака имеем:
( )
(
)(
)
ϕ
ξ
+
ψ
ϕ
ξ
+
ψ
=
ξ
F
В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:
( )
ψ
ψ
+
ψ
ϕ
ξ
+
ϕ
ϕ
ξ
=
ξ
2 2
F
Здесь мы учли предположение о действительности рассматриваемого скалярного произведения, т.е.
ϕ
ψ
=
ψ
ϕ
24
Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:
(
)
0 4
4 2
≤
ψ
ψ
ϕ
ϕ
−
ψ
ϕ
Таким образом в рассматриваемом случае выполняется неравенство
Коши- Буняковского:
(
)
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Предположим теперь, что
ψ
ϕ
- комплексное число. Пусть
( )
α
=
ψ
ϕ
i
r exp
, где
r
и
α
- действительные числа.
Введем функцию, отличающуюся от
( )
x
ϕ
только фазой
( ) ( ) ( )
α
ϕ
=
ϕ
i
x
x
exp
Тогда
r
=
ψ
ϕ
является действительным числом и для него выполняется доказанное выше неравенство:
(
)
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Учтем, что введенное фазовое преобразование не меняет модуля скалярного произведения, поэтому:
(
)
2 2
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
,
ϕ
ϕ
=
ϕ
ϕ
Таким образом, неравенство Коши- Буняковского выполняется и в общем случае:
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Введем величину
F
, называемую согласованностью (fidelity) квантовых состояний
( )
x
ϕ
и
( )
x
ψ
ψ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
=
2
F
Для состояний, нормированных на единицу, имеем просто:
25 2
ψ
ϕ
=
F
Из неравенства Коши- Буняковского следует, что
1 0
≤
≤ F
Если исходить из этого неравенства, то заманчиво предположить, что
F
задает некоторую вероятность. Так оно и есть. Статистический смысл величины
F
заключается в том, что она задает вероятность обнаружения
квантовой системы в состоянии
( )
x
ϕ
при условии, что она была приготовлена в состоянии
( )
x
ψ
Обмен информацией в природе предполагает, что состояние
( )
x
ψ
, приготовленное (созданное) на одном конце (в системе «передатчик») может быть обнаружено (воспринято) таковым в другой системе-«приёмнике». В идеальном случае «приемник» может быть настроен на получение того же квантового состояния, когда
( ) ( )
x
x
ψ
=
ϕ
(с точностью до фазового множителя). В этом случае
1
=
F
. В действительности состояния
( )
x
ψ
и
( )
x
ϕ
, на которые настроен приемник и передатчик соответственно, всегда хотя бы немного отличаются и
1
<
F
. В рассматриваемом случае, таким образом,
F
задает вероятность «успеха» приемно- передающего акта.
2.2.Неравенство Коши- Буняковского в приложении к случайным
величинам
Пусть
( )
x
Y
Y
=
и
( )
x
Z
Z
=
- действительные случайные величины, представляющие собой произвольные функции от координаты
x
. Пусть
ξ
- действительный параметр. Рассмотрим заведомо неотрицательную функцию от
ξ
:
( )
(
)
0 2
≥
ψ
+
ξ
ψ
=
ξ
Z
Y
F
26
В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
Z
M
YZ
M
Y
M
F
+
ξ
+
ξ
=
ξ
Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:
( )
(
)
( ) ( )
0 4
4 2
2 2
≤
−
Z
M
Y
M
YZ
M
Таким образом для любых (коммутирующих) случайных величин выполняется неравенство Коши- Буняковского:
( )
(
)
( ) ( )
2 2
2
Z
M
Y
M
YZ
M
≤
В частности, если в качестве случайных величин рассмотреть величины
( )
Y
M
Y
−
и
( )
Z
M
Z
−
, приведенные к нулевым средним значениям, то для дисперсий получим неравенство:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
[
]
2
Z
M
Z
Y
M
Y
M
D
D
Z
Y
−
−
≥
Из последнего выражения следует неравенство для коэффициента корреляции
1 2
≤
r
Напомним, что коэффициент корреляции между случайными величинами
Y
и
Z
определяется формулой:
( )
(
)
( )
(
)
[
]
Z
Y
D
D
Z
M
Z
Y
M
Y
M
r
−
−
=
Квадрат коэффициента корреляции иногда называют коэффициентом детерминации. Этот коэффициент показывает, в какой мере случайная величина
Y
определяет (детерминирует) случайную величину
Z
и наоборот.
27
Можно показать, что неравенство Коши- Буняковского обращается в равенство в том и только том случае, когда случайные величины
Y
и
Z
линейно связаны между собой.
2.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и
импульса
Модифицируем приведенный выше пример. Рассмотрим вместо
Z
Y
+
ξ
выражение
x
x
+
∂
∂
ξ
. Заметим, что оператор производной не является эрмитовым, потому что
x
x
∂
∂
−
=
∂
∂
+
. Чтобы запись сделать более наглядной введем эрмитов оператор импульса
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
Рассмотрим как и при выводе неравенства Коши- Буняковского заведомо неотрицательную функцию от действительного параметра
ξ
( )
(
)(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
+
ξ
+
ξ
−
ψ
=
ξ
x
p
i
x
p
i
F
В развернутой записи имеем:
( )
( )
(
)
( )
2 2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x
M
p
x
x
p
M
i
p
M
F
+
−
ξ
−
ξ
=
ξ
Учтем каноническое коммутационное соотношение
i
p
x
x
p
−
=
− ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
В качестве наблюдаемых рассмотрим величины
( )
x
M
x
ˆ
ˆ
−
и
( )
p
M
p
ˆ
ˆ
−
, которые, очевидно, удовлетворяют тому же коммутационному соотношению.
Тогда для произведения дисперсий координаты и импульса получим искомое соотношение неопределенностей Гейзенберга :
4 1
≥
p
x
D
D
28
Дисперсия импульса есть средний квадрат импульса минус средний импульс в квадрате:
( )
( )
(
)
2 2
ˆ
ˆ
p
M
p
M
D
p
−
=
В развернутой записи средний квадрат импульса есть:
( )
( )
( )
( )
( )
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
p
M
ψ
∂
∂
ψ
∂
∂
=
ψ
∂
∂
ψ
−
=
∫
∫
∫
*
*
ˆ
2 2
2
Как следует из приведенных выкладок, неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда при некотором
ξ
:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
+
ξ
x
p
i
Это равенство имеет место только для гауссова состояния (основного состояния гармонического осциллятора).
Решение полученного уравнения в координатном и импульсном представлении соответственно есть:
( )
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
−
πσ
=
ψ
2 2
0 4
/
1 2
4
exp
2 1
x
x
x
x
x
( )
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
−
πσ
=
ψ
2 2
0 4
/
1 2
4
exp
2 1
p
p
p
p
p
Здесь
0
x
и
2
x
σ
- соответственно среднее и дисперсия для распределения координаты, а
0
p
и
2
p
σ
- соответственно среднее и дисперсия для распределения импульса.
Дисперсия координаты и импульса полученного гауссовского состояния определяются введенным параметром
ξ
2 2
ξ
=
σ
x
,
ξ
=
σ
2 1
2
p
29
Таким образом, рассматриваемые величины оказываются связанными между собой минимальным соотношением неопределенностей:
4 1
2 2
=
σ
σ
p
x
Мы видим, что состояние, минимизирующее соотношение неопределенностей, описывается действительной функцией.
Это обстоятельство неслучайно. Нетрудно видеть, что добавление произвольного фазового множителя к действительной координатной пси- функции не может уменьшить дисперсию импульса и, таким образом, не может усилить рассматриваемое неравенство.
2.4.
Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона
Неравенство, предложенное Шредингером и Робертсоном, отражает в себе свойства, присущие как неравенству Коши- Буняковского, так и соотношению неопределенностей Гейзенберга и, в известном смысле, может считаться их обобщением [35,36].
Пусть
1
z
и
2
z
- две произвольные наблюдаемые. Без ограничения общности будем считать их центрированными:
( )
( )
0 2
1
=
=
z
M
z
M
Рассмотрим следующее заведомо неотрицательное выражение:
( )
( )
(
)
( )
(
)
ψ
+
ϕ
ξ
+
ϕ
−
ξ
ψ
=
ξ
1 2
1 2
exp exp
z
z
i
z
z
i
F
Здесь
ξ
- произвольное действительное число,
ϕ
- тоже действительное, но фиксированное число (фаза, выбор которой мы осуществим позднее).
Определим ковариацию величин как
(
)
ψ
+
ψ
=
1 2
2 1
2 1
2 1
,
cov
z
z
z
z
z
z
Заметим, что симметризация произведения наблюдаемых потребовалась нам, чтобы сделать соответствующий оператор эрмитовым.
30
Пусть:
iC
z
z
z
z
=
−
2 2
1
, где
C
- эрмитов оператор. Тогда:
( )
ψ
−
ψ
−
=
1 2
2 1
z
z
z
z
i
C
M
В развернутой записи выражение для
( )
ξ
F
имеет вид:
( )
( )
(
) ( )
( ) ( )
(
)
( )
2 1
2 1
2 2
2
sin cos
,
cov
2
z
M
C
M
z
z
z
M
F
+
ϕ
−
ϕ
ξ
+
ξ
=
ξ
Пусть:
(
)
(
)
( )
(
)
2 2
2 1
2
,
cov
4
C
M
z
z
+
=
ρ
,
Очевидно, можно найти такой угол
β
, чтобы выполнялись тождества:
(
)
( )
β
ρ
= cos
,
cov
2 2
1
z
z
( )
( )
β
ρ
= sin
C
M
Тогда:
( )
( )
(
)
( )
0
cos
2 1
2 2
2
≥
+
β
+
ϕ
ξρ
+
ξ
=
ξ
z
M
z
M
F
Распорядимся произволом в выборе фазы
ϕ
, чтобы обеспечить выполнение равенства
(
)
1
cos
=
β
+
ϕ
. Указанный выбор, очевидно, обеспечит получение наиболее сильного неравенства:
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
ρ
≥
=
4
,
cov
4 2
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
C
M
z
z
z
D
z
D
z
M
z
M
Определим коэффициент корреляции между наблюдаемыми
1
z
и
2
z
как:
(
)
( ) ( )
2 1
2 1
,
cov
z
D
z
D
z
z
r
=
В результате, искомое неравенство (соотношение неопределенностей
Шредингера- Робертсона) примет вид:
( ) ( )
( )
(
)
4 2
2 2
1
K
C
M
z
D
z
D
≥
,
31
где
2 1
1
r
K
−
=
Введенный параметр
K
есть аналог известного числа Шмидта [37]. Это число имеет фундаментальное значение для описания квантовых корреляций и квантовой информации (см. Приложение к Главе 3).
Пусть теперь рассматриваемые наблюдаемые есть операторы координаты и импульса соответственно:
x
z
=
1
,
p
z
=
2
Тогда, в силу фундаментального перестановочного соотношения для координаты и импульса,
C
есть тождественный оператор (единичная матрица).
В этом случае соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона будет иметь вид:
( ) ( )
4 2
K
p
D
x
D
≥
Пусть
( )
x
D
x
=
Δ
,
( )
p
D
p
=
Δ
- неопределенности
(стандартные отклонения) для координаты и импульса. Тогда:
2
K
p
x
≥
Δ
Δ
Таким образом, если координата и импульс коррелируют друг с другом, произведение их неопределенностей возрастает в
K
раз по сравнению с величиной, определяемой неравенством Гейзенберга.
Заметим, что в силу некоммутативности координаты и импульса, их квантовая ковариация не может быть оценена по выборке подобно классической ковариации. Для вычисления соответствующей оценки нужно знать априори (или оценить по результатам взаимно- дополнительных измерений) вектор состояния (волновую функцию). Пусть:
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
,
32
где действительные функции
( )
x
P
и
( )
x
S
есть соответственно плотность и фаза пси- функции. Заметим, что фаза
( )
x
S
есть аналог классического действия механической системы.
Используя функции плотности и фазы, нетрудно получить следующее простое представление для ковариации координаты и импульса:
( )
( ) ( )
∫
∂
∂
=
ψ
+
ψ
=
dx
x
P
x
x
S
x
x
p
p
x
p
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2 1
,
cov
Наглядность полученного результата обусловлена тем, что в классической механике производная от функции действия
x
S
∂
∂
есть импульс.
2.5. Многомерное соотношение неопределенностей
Рассмотрим пространство размерности
s
Пусть
s
j
p
x
j
j
,...,
1
,
ˆ
,
ˆ
=
- соответствующие операторы координат и импульсов.
Вывод соотношения неопределенности в многомерном случае аналогичен одномерному, но теперь вместо действительного числа
ξ
следует ввести действительную симметричную матрицу
Ξ
с элементами
s
j
j
,...,
1
,
,
=
σ
ξ
σ
Такое видоизменение диктуется необходимостью придать рассматриваемым величинам геометрически инвариантный вид в гильбертовом пространстве.
Действительно для скалярного
ξ
, такая величина как
(
)
ψ
+
ξ
ρ
l
x
p
i
ˆ
ˆ
неинвариантна, потому что индексы
ρ
и
l
, вообще говоря, различны. В то же время, для матрицы
Ξ
величина
(
)
ψ
+
ξ
ρ
ρ
l
l
x
p
i
ˆ
ˆ
будет кет- вектором в гильбертовом пространстве (по повторяющемуся индексу
ρ
предполагается суммирование). Введем также действительный вектор
η
(
s
j
j
,...,
1
=
η
). С
33
его помощью, взяв скалярное произведение, преобразуем полученный кет- вектор в скаляр:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
η
+
ξ
ρ
ρ
l
l
l
x
p
i
Рассмотрим теперь следующее заведомо неотрицательное выражение (по повторяющимся индексам, как обычно, предполагается суммирование):
( )
(
)
(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
η
+
ξ
+
ξ
−
η
ψ
=
ξ
ρ
ρ
σ
σ
l
l
l
j
j
j
x
p
i
x
p
i
F
В развернутом виде получим:
( )
(
)
(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
+
ξ
−
ξ
−
ξ
ξ
η
η
ψ
=
ξ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
σ
ρ
σ
l
j
j
l
l
j
l
j
l
j
x
x
p
x
x
p
i
p
p
F
Чтобы использовать фундаментальные коммутационные соотношения между координатой и импульсом, перепишем последнее выражение, осуществив замену индексов
j
и
l
друг на друга, после чего сложим полученное выражение с исходным.
В качестве наблюдаемых будем использовать центрированные координаты и импульсы (имеющие нулевые средние).
В результате получим условие, согласно которому нижеследующее матричное выражение является неотрицательно определенным:
0
≥
Σ
+
Ξ
−
Ξ
ΞΣ
x
p
Напомним, что матрица
A
с элементами
jk
a
называется неотрицательно определенной, если для любого вектора
z
:
0
*
≥
=
k
j
jk
z
z
a
z
A
z
В полученном неравенстве мы ввели матрицы ковариаций координат и импульсов. Элементы этих матриц определяются выражениями
( )
ψ
ψ
=
Σ
l
j
jl
x
x
x ˆ
ˆ
( )
ψ
ψ
=
Σ
l
j
jl
p
p
p ˆ
ˆ
34
Учтем, что неотрицательная определенность матрицы ковариаций импульсов позволяет определить квадратный корень из нее.
Напомним, что произвольная эрмитова матрица
A
может быть приведена к диагональному виду, т.е. может быть представлена как:
+
= UDU
A
, где
U
- унитарная матрица, а
D
- действительная диагональная матрица.
Если, к тому же, матрица
A
неотрицательно определена, то неотрицательны и ее собственные значения, образующие диагональ матрицы
D
. В этом случае операция взятия квадратного корня из матрицы является хорошо определенной:
+
=
U
UD
A
2
/
1 2
/
1
С использованием понятия матричного квадратного корня, полученное выше неравенство можно представить в виде:
0 4
1 2
1 2
1 1
2
/
1 2
/
1 2
/
1 2
/
1
≥
Σ
+
Σ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−
Ξ
Σ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−
ΞΣ
−
−
−
x
p
p
p
p
p
Первое слагаемое слева заведомо неотрицательно определено (и обращается в ноль при
1 2
1
−
Σ
=
Ξ
p
). Отсюда следует, что и выражение
x
p
Σ
+
Σ
−
−1 4
1
неотрицательно определено, т.е.
p
x
Σ
≥
Σ
4 1
Полученное неравенство и есть искомое многомерное соотношение неопределенностей. Его смысл заключается в следующем: каково бы ни было квантовое состояние, матрица, равная разности
1 4
1
−
Σ
−
Σ
p
x
между матрицей ковариации координат и одной четвертой от матрицы, обратной к матрице ковариации импульсов, всегда является неотрицательно определенной.
35
Из приведенных расчетов следует, что неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда вектор состояния удовлетворяет следующему условию при
1 2
1
−
Σ
=
Ξ
p
:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
+
ξ
ρ
ρ
l
l
x
p
i
Отсюда получаем, что соответствующее состояние является гауссовским с матрицей ковариаций
p
Σ
в импульсном представлении и матрицей ковариаций
p
x
Σ
=
Σ
4 1
- в координатном.
Мы ограничились рассмотрением многомерного соотношения неопределенностей, которое является непосредственным обобщением одномерного соотношения неопределенностей Гейзенберга. Другие примеры обобщенных соотношений неопределенностей и, в частности, связанные с обобщением соотношения Шредингера- Робертсона можно найти в [35,36]
2.6. Информация Фишера
Рассмотрим квантовую систему, для которой пси- функция действительна:
( )
( )
x
P
x
=
ψ
. Использование таких пси- функций представляет собой простейший способ дополнения классической плотности распределения до квантового состояния. Для такой системы средний импульс равен нулю, а квадрат импульса есть:
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
dx
x
P
x
P
dx
x
P
x
x
P
x
p
M
∫
∫
′
=
∂
∂
∂
∂
=
2 2
4 1
ˆ
Здесь штрих означает производную по
x
Введем информацию Фишера, связанную с дисперсией импульса:
( )
( )
(
)
( )
dx
x
P
x
P
p
M
D
I
p
x
∫
′
=
=
=
2 2
ˆ
4 4
36
Тогда соотношение неопределенностей запишется в виде следующего неравенства:
1
≥
x
x
I
D
Полученное неравенство аналогично неравенству Рао- Крамера, рассматриваемому в следующем разделе
2.7. Неравенство Рао- Крамера
Рассмотрим снова ситуацию, когда плотность распределения дополняется до квантового состояния.
Пусть распределение вероятностей и соответствующее квантовое состояние зависят от некоторого действительного параметра
θ
, т.е.:
( )
( )
θ
=
θ
ψ
x
P
x
Пусть
θˆ
есть несмещенная оценка неизвестного параметра
θ
, основанная на выборке объема
n
в координатном пространстве, т.е.
(
)
n
x
x ,...,
ˆ
ˆ
1
θ
=
θ
Условие несмещенности означает, что среднее значение (математическое ожидание) выборочной оценки
θˆ
совпадает с истинным значением параметра
θ
, т.е.
( )
( ) ( )
(
)
∫
θ
=
⋅⋅
⋅
θ
⋅
θ
⋅⋅
⋅
θ
=
θ
n
n
n
dx
dx
x
x
x
P
x
P
M
1 1
1
,...,
ˆ
ˆ
Примерами несмещенных оценок могут служить известные оценки математического ожидания и дисперсии [31]:
n
x
x
x
n
+
+
=
1
(
)
∑
=
−
−
=
n
k
k
x
x
n
s
1 2
2 1
1
Пусть
θ
∂
∂
−
=
θ
i
p
- оператор, канонически сопряженный параметру
θ
37
Нашей целью является вывод следующего соотношения, называемого неравенством Рао-Крамера:
1
≥
θ
θ
I
D
Здесь введена информация Фишера, которая имеет вид:
( )
(
)
( )
( ) ( )
dx
x
P
x
P
n
dx
x
P
x
P
n
I
θ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
θ
∂
θ
∂
=
θ
θ
∂
θ
∂
=
∫
∫
θ
2 2
ln
/
Воспользуемся тем, что вектор состояния для выборки может быть определен следующим выражением
(
)
( ) ( )
θ
⋅⋅
⋅
θ
=
ψ
n
n
x
P
x
P
x
x
1 1
,...,
Проведем подробные вычисления. Пусть
(
)
ˆ
ψ
ξ
θ θ ψ
θ
∂
+
−
∂
- кет вектор, где
ξ
, как и ранее, произвольный действительный параметр,
( )
ˆ
ψ
ξ
θ θ ψ
θ
∗
∗
∂
+
−
∂
- соответствующий бра- вектор.
Заведомо неотрицательное выражение есть:
( )
(
)
(
)
*
*
ˆ
ˆ
F
dx
ψ
ψ
ξ
ξ
θ θ ψ
ξ
θ θ ψ
θ
θ
⎛
⎞
∂
∂
⎛
⎞
=
+
−
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
∫
Здесь для сокращения записи мы полагаем, что
n
dx
dx
dx
⋅
⋅
⋅
=
1
,
(
)
n
x
x ,...,
1
ψ
ψ
=
В развернутой записи имеем:
( )
0 2
≥
+
+
=
c
b
a
F
ξ
ξ
ξ
, где
dx
I
a
θ
∂
ψ
∂
θ
∂
ψ
∂
=
=
∫
θ
*
4
38
( )
dx
b
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ψ
θ
∂
ψ
∂
+
θ
∂
ψ
∂
ψ
θ
−
θ
=
*
*
ˆ
( )
θ
=
ψ
ψ
θ
−
θ
=
∫
D
dx
с
*
ˆ
2
Можно показать, что
1
−
=
b
. Для этого достаточно представить подинтегральное выражение с помощью формулы для производной произведения в виде
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
ψ
ψ
−
θ
∂
ψ
ψ
θ
−
θ
∂
=
=
θ
∂
θ
−
θ
∂
ψ
ψ
−
θ
∂
ψ
ψ
θ
−
θ
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ψ
θ
∂
ψ
∂
+
θ
∂
ψ
∂
ψ
θ
−
θ
*
*
ˆ
ˆ
*
*
ˆ
*
*
ˆ
Интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу несмещенности оценки. В результате, учитывая условие нормировки, получаем, что
1
−
=
b
Из условия
0 4
2
≤
− ac
b
для дискриминанта получаем искомый результат
– неравенство Рао-Крамера [38- 40]:
θ
θ
≥
I
D
1
Заметим, что мы провели вычисления не только для предполагаемого случая действительных векторов состояния, но и для более общего случая комплексных пси- функций.
В этом случае информация Фишера есть:
dx
I
θ
∂
ψ
∂
θ
∂
ψ
∂
=
∫
θ
*
4
Информация Фишера является аналогом дисперсии импульса и отличается от последней множителем 4 и тем, что под интегралом идет дифференцирование по параметру, а не по координате.
Для случая действительных пси- функций, как нетрудно показать, имеет место приведенное выше выражение для информации Фишера (6). При
39
выводе следует воспользоваться легко проверяемым свойством аддитивности информации Фишера (информация от
n
независимых представителей в
n
раз превосходит информацию от одного представителя).
Полученное неравенство, очевидно, является наиболее сильным для случая, когда информация Фишера
θ
I
минимальна. Как и в случае соотношения неопределенности Гейзенберга, можно показать, что добавление произвольного фазового множителя к действительной пси- функции не может привести к уменьшению информации Фишера.
Выше мы видели, что соотношение неопределенностей из неравенства превращается в равенство для гауссова состояния. Аналогичный результат справедлив и для неравенства Рао- Крамера. Последнее превращается в равенство для оценок, имеющих нормальное распределение и только для них.
Такие оценки называются эффективными.
Выше мы предполагали несмещенность статистической оценки. Однако, проведенные выкладки позволяют также получить более общее неравенство
Рао- Крамера, пригодное и для смещенных оценок. В этом случае оно имеет вид:
( )
( )
(
)
θ
θ
β′
+
≥
θ
−
θ
I
M
2 2
1
ˆ
(2.1) где
( )
( )
θ
−
θ
=
θ
β
ˆ
M
- смещение оценки.
(2.2)
Заметим, что в представленном неравенстве слева вместо обычной дисперсии стоит величина, которая характеризует рассеяние выборочной оценки
θˆ
относительно истинного значения
θ
Задача 2.1 Обоснуйте неравенство Рао- Крамера (2.1)- (1.2), учитывающее возможную смещенность оценки.
40
2.8. Многомерное неравенство Рао- Крамера и корневая оценка
«Смотри в корень!» (Козьма Прутков «Мысли и афоризмы»,
№228).
Неравенство Рао- Крамера, также как и соотношение неопределенностей, может быть обобщено на многомерный случай.
Можно показать, что для любой несмещенной оценки
θˆ
неизвестного многомерного параметра
θ
матрица
1
−
θ
θ
−
Σ
I
является неотрицательно определенной:
0 1
≥
−
Σ
−
θ
θ
I
В случае оценок, близких к эффективным, соответствующая разность близка к нулю. Примером таких оценок могут служить оценки максимального правдоподобия, которые обладают свойством асимптотической эффективности [38- 40].
Здесь
θ
Σ
- матрица ковариации оценки
θˆ
. Элементы матрицы информации Фишера
θ
I
могут быть представлены в виде:
( )
( )
( ) ( )
dx
x
P
x
P
x
P
n
I
k
j
jk
θ
θ
∂
θ
∂
θ
∂
θ
∂
=
∫
θ
ln ln
(2.3)
С точки зрения квантовой информатики принципиально важно, что выражение для информационной матрицы Фишера радикально упрощается, если ввести пси – функцию (здесь для простоты мы считаем ее действительной) [41,42].
( )
( ) ( )
dx
x
x
n
I
k
j
jk
∫
θ
∂
θ
ψ
∂
θ
∂
θ
ψ
∂
=
θ
41
Для задач статистики фундаментальное значение имеет матрица, обратная к матрице информации Фишера. В силу сложности выражения (2.3) для многопараметрической матрицы информации Фишера, получаемые на его основе оценки обратной матрицы, как правило, являются плохо обусловленными. Единственным известным исключением является так называемая корневая оценка, основанная на введении пси – функции.
Приведем кратко соответствующие результаты. Более подробное изложение можно найти в [41,42].
Пусть разложение пси- функции по набору ортонормированных базисных функций
( )
1
,...,
1
,
0
−
=
ϕ
s
j
x
j
имеет вид:
( )
(
)
( )
( )
( )
x
c
x
c
x
c
c
x
s
s
s
1 1
1 1
0 2
1 2
1 1
−
−
−
ϕ
+
+
ϕ
+
ϕ
+
+
−
=
ψ
(2.4)
Здесь мы исключили из числа оцениваемых параметров коэффициент
(
)
2 1
2 1
0 1
−
+
+
−
=
s
c
c
c
, так как, согласно условию нормировки, он рассчитывается через другие коэффициенты.
Величины
1 2
1
,...,
,
−
s
c
c
c
являются независимыми оцениваемыми параметрами.
В случае корневого разложения (2.4) информационная матрица ij
I
имеет порядок
(
) (
)
1 1
−
×
−
s
s
и выражается в следующем простом виде:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
δ
=
2 0
4
c
c
c
n
I
j
i
ij
ij
, где
(
)
2 1
2 1
0 1
−
+
+
−
=
s
c
c
c
Замечательной особенностью полученного выражения является его независимость от выбора базисных функций. Оказывается, что этим свойством обладает только корневая оценка плотности.
42
Матрица ковариаций оценки вектора состояния
ˆc
, в случае оценок, близких к эффективным, есть приближенно матрица, обратная к матрице информации Фишера:
( )
( )
c
I
c
1
ˆ
−
=
Σ
Компоненты этой матрицы есть:
(
)
j
i
ij
ij
c
c
n
−
δ
=
Σ
4 1
1
,...,
1
,
−
=
s
j
i
(2.5)
Полученную матрицу ковариаций можно расширить, добавив в нее ковариации компоненты
0
ˆc
вектора состояния с остальными компонентами.
Оказывается, что общая матрица ковариаций будет иметь тот же самый вид, что и (2.5), но теперь
1
,...,
1
,
0
,
−
=
s
j
i
Таким образом, модель статистики, основанная на введении пси- функции, корневом разложении и методах квантовой информатики, является выделенной по отношению к любым другим мыслимым моделям. Её преимущества обусловлены простотой, универсальностью и хорошими вычислительными свойствами. Выражаясь в духе Дирака, можно сказать, что
«Природа просто не могла не воспользоваться столь красивой математической моделью».
Эффективность корневого подхода в задачах восстановления квантовых состояний была подтверждена в работах [43-47]. Была показана возможность экспериментального восстановления оптических квантовых состояний так называемого бифотонного поля с высокой точностью, которая значительно превосходит уровень других известных экспериментов.
Опыт квантовой физики показывает, что при описании поведения микрообъектов целесообразно отказаться от явно ограниченных представлений, сводящих квантовые системы к механическим частицам, волнам и т.п. Вместо механистических картин явлений следует использовать статистическое описание квантовых состояний, которое оказывается наиболее
43
естественным и полным. При этом, само статистическое описание не должно ассоциироваться с механистическими моделями, основанными на случайном механическом выборе объектов, бросании монеты, игральной кости и т.п.
Выше мы пытались показать, что наиболее фундаментальные представления о вероятности никак не связаны с такими механическими моделями и аналогиями. Статистическая модель, в основе которой лежит вектор состояния в гильбертовом пространстве и есть наиболее общая и универсальная модель теории вероятностей.
44
1 2 3 4 5 6 7 8
Глава 2. Точность статистических характеристик гильбертова
пространства
В настоящей главе мы увидим, что различного вида неравенства Коши-
Буняковского, соотношения неопределенностей, а также неравенства Рао-
Крамера получаются, по- существу, с помощью одного и того же математического приема, сводящегося к элементарному требованию неотрицательности некоторого квадратного трехчлена. В разделах 2.1- 2.3 с использованием принципов квантовой информатики излагаются элементарные сведения, связанные с неравенством Коши- Буняковского и соотношением неопределенностей. В разделе 2.4 представлено так называемое соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона. В разделе 2.5 рассмотрено многомерное соотношение неопределенностей.
Информация Фишера и неравенство Рао- Крамера, известные еще из классической математической статистики, изучаются в разделах 2.6- 2.8 с новой квантово- информационной точки зрения.
2.1. Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его
статистическая интерпретация
Рассматриваемое неравенство имеет место для векторов произвольных линейных пространств, в которых определено понятие скалярного произведения. Приведем примеры таких пространств.
В комплексном конечномерном пространстве
s
C
размерности
s
скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой (в обозначениях Дирака):
∑
=
∗
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
s
j
j
j
1
В бесконечномерном гильбертовом пространстве
2
l
аналогичное определение имеет вид:
23
∑
∞
=
∗
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
1
j
j
j
Наконец, если
( )
x
ψ
и
( )
x
ϕ
- комплексные функции из пространства
2
L
, то их скалярное произведение есть:
( ) ( )
dx
x
x
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
∫
*
Покажем, что для любых векторов линейного пространства со скалярным произведением выполняется следующее неравенство Коши- Буняковского:
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Для определенности, при проведении выкладок будем иметь ввиду функции из пространства
2
L
Предположим вначале, что скалярное произведение
ψ
ϕ
- действительное число.
Пусть
ξ
- действительный параметр. Рассмотрим следующую заведомо неотрицательную функцию от
ξ
(эта функция представляет собой интеграл от заведомо неотрицательного выражения).
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
∫
≥
ξϕ
+
ψ
ξϕ
+
ψ
=
ξ
0
*
*
dx
x
x
x
x
F
В обозначениях Дирака имеем:
( )
(
)(
)
ϕ
ξ
+
ψ
ϕ
ξ
+
ψ
=
ξ
F
В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:
( )
ψ
ψ
+
ψ
ϕ
ξ
+
ϕ
ϕ
ξ
=
ξ
2 2
F
Здесь мы учли предположение о действительности рассматриваемого скалярного произведения, т.е.
ϕ
ψ
=
ψ
ϕ
24
Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:
(
)
0 4
4 2
≤
ψ
ψ
ϕ
ϕ
−
ψ
ϕ
Таким образом в рассматриваемом случае выполняется неравенство
Коши- Буняковского:
(
)
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Предположим теперь, что
ψ
ϕ
- комплексное число. Пусть
( )
α
=
ψ
ϕ
i
r exp
, где
r
и
α
- действительные числа.
Введем функцию, отличающуюся от
( )
x
ϕ
только фазой
( ) ( ) ( )
α
ϕ
=
ϕ
i
x
x
exp
Тогда
r
=
ψ
ϕ
является действительным числом и для него выполняется доказанное выше неравенство:
(
)
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Учтем, что введенное фазовое преобразование не меняет модуля скалярного произведения, поэтому:
(
)
2 2
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
,
ϕ
ϕ
=
ϕ
ϕ
Таким образом, неравенство Коши- Буняковского выполняется и в общем случае:
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Введем величину
F
, называемую согласованностью (fidelity) квантовых состояний
( )
x
ϕ
и
( )
x
ψ
ψ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
=
2
F
Для состояний, нормированных на единицу, имеем просто:
25 2
ψ
ϕ
=
F
Из неравенства Коши- Буняковского следует, что
1 0
≤
≤ F
Если исходить из этого неравенства, то заманчиво предположить, что
F
задает некоторую вероятность. Так оно и есть. Статистический смысл величины
F
заключается в том, что она задает вероятность обнаружения
квантовой системы в состоянии
( )
x
ϕ
при условии, что она была приготовлена в состоянии
( )
x
ψ
Обмен информацией в природе предполагает, что состояние
( )
x
ψ
, приготовленное (созданное) на одном конце (в системе «передатчик») может быть обнаружено (воспринято) таковым в другой системе-«приёмнике». В идеальном случае «приемник» может быть настроен на получение того же квантового состояния, когда
( ) ( )
x
x
ψ
=
ϕ
(с точностью до фазового множителя). В этом случае
1
=
F
. В действительности состояния
( )
x
ψ
и
( )
x
ϕ
, на которые настроен приемник и передатчик соответственно, всегда хотя бы немного отличаются и
1
<
F
. В рассматриваемом случае, таким образом,
F
задает вероятность «успеха» приемно- передающего акта.
2.2.Неравенство Коши- Буняковского в приложении к случайным
величинам
Пусть
( )
x
Y
Y
=
и
( )
x
Z
Z
=
- действительные случайные величины, представляющие собой произвольные функции от координаты
x
. Пусть
ξ
- действительный параметр. Рассмотрим заведомо неотрицательную функцию от
ξ
:
( )
(
)
0 2
≥
ψ
+
ξ
ψ
=
ξ
Z
Y
F
26
В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
Z
M
YZ
M
Y
M
F
+
ξ
+
ξ
=
ξ
Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:
( )
(
)
( ) ( )
0 4
4 2
2 2
≤
−
Z
M
Y
M
YZ
M
Таким образом для любых (коммутирующих) случайных величин выполняется неравенство Коши- Буняковского:
( )
(
)
( ) ( )
2 2
2
Z
M
Y
M
YZ
M
≤
В частности, если в качестве случайных величин рассмотреть величины
( )
Y
M
Y
−
и
( )
Z
M
Z
−
, приведенные к нулевым средним значениям, то для дисперсий получим неравенство:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
[
]
2
Z
M
Z
Y
M
Y
M
D
D
Z
Y
−
−
≥
Из последнего выражения следует неравенство для коэффициента корреляции
1 2
≤
r
Напомним, что коэффициент корреляции между случайными величинами
Y
и
Z
определяется формулой:
( )
(
)
( )
(
)
[
]
Z
Y
D
D
Z
M
Z
Y
M
Y
M
r
−
−
=
Квадрат коэффициента корреляции иногда называют коэффициентом детерминации. Этот коэффициент показывает, в какой мере случайная величина
Y
определяет (детерминирует) случайную величину
Z
и наоборот.
27
Можно показать, что неравенство Коши- Буняковского обращается в равенство в том и только том случае, когда случайные величины
Y
и
Z
линейно связаны между собой.
2.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и
импульса
Модифицируем приведенный выше пример. Рассмотрим вместо
Z
Y
+
ξ
выражение
x
x
+
∂
∂
ξ
. Заметим, что оператор производной не является эрмитовым, потому что
x
x
∂
∂
−
=
∂
∂
+
. Чтобы запись сделать более наглядной введем эрмитов оператор импульса
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
Рассмотрим как и при выводе неравенства Коши- Буняковского заведомо неотрицательную функцию от действительного параметра
ξ
( )
(
)(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
+
ξ
+
ξ
−
ψ
=
ξ
x
p
i
x
p
i
F
В развернутой записи имеем:
( )
( )
(
)
( )
2 2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x
M
p
x
x
p
M
i
p
M
F
+
−
ξ
−
ξ
=
ξ
Учтем каноническое коммутационное соотношение
i
p
x
x
p
−
=
− ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
В качестве наблюдаемых рассмотрим величины
( )
x
M
x
ˆ
ˆ
−
и
( )
p
M
p
ˆ
ˆ
−
, которые, очевидно, удовлетворяют тому же коммутационному соотношению.
Тогда для произведения дисперсий координаты и импульса получим искомое соотношение неопределенностей Гейзенберга :
4 1
≥
p
x
D
D
28
Дисперсия импульса есть средний квадрат импульса минус средний импульс в квадрате:
( )
( )
(
)
2 2
ˆ
ˆ
p
M
p
M
D
p
−
=
В развернутой записи средний квадрат импульса есть:
( )
( )
( )
( )
( )
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
p
M
ψ
∂
∂
ψ
∂
∂
=
ψ
∂
∂
ψ
−
=
∫
∫
∫
*
*
ˆ
2 2
2
Как следует из приведенных выкладок, неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда при некотором
ξ
:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
+
ξ
x
p
i
Это равенство имеет место только для гауссова состояния (основного состояния гармонического осциллятора).
Решение полученного уравнения в координатном и импульсном представлении соответственно есть:
( )
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
−
πσ
=
ψ
2 2
0 4
/
1 2
4
exp
2 1
x
x
x
x
x
( )
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
−
πσ
=
ψ
2 2
0 4
/
1 2
4
exp
2 1
p
p
p
p
p
Здесь
0
x
и
2
x
σ
- соответственно среднее и дисперсия для распределения координаты, а
0
p
и
2
p
σ
- соответственно среднее и дисперсия для распределения импульса.
Дисперсия координаты и импульса полученного гауссовского состояния определяются введенным параметром
ξ
2 2
ξ
=
σ
x
,
ξ
=
σ
2 1
2
p
29
Таким образом, рассматриваемые величины оказываются связанными между собой минимальным соотношением неопределенностей:
4 1
2 2
=
σ
σ
p
x
Мы видим, что состояние, минимизирующее соотношение неопределенностей, описывается действительной функцией.
Это обстоятельство неслучайно. Нетрудно видеть, что добавление произвольного фазового множителя к действительной координатной пси- функции не может уменьшить дисперсию импульса и, таким образом, не может усилить рассматриваемое неравенство.
2.4.
Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона
Неравенство, предложенное Шредингером и Робертсоном, отражает в себе свойства, присущие как неравенству Коши- Буняковского, так и соотношению неопределенностей Гейзенберга и, в известном смысле, может считаться их обобщением [35,36].
Пусть
1
z
и
2
z
- две произвольные наблюдаемые. Без ограничения общности будем считать их центрированными:
( )
( )
0 2
1
=
=
z
M
z
M
Рассмотрим следующее заведомо неотрицательное выражение:
( )
( )
(
)
( )
(
)
ψ
+
ϕ
ξ
+
ϕ
−
ξ
ψ
=
ξ
1 2
1 2
exp exp
z
z
i
z
z
i
F
Здесь
ξ
- произвольное действительное число,
ϕ
- тоже действительное, но фиксированное число (фаза, выбор которой мы осуществим позднее).
Определим ковариацию величин как
(
)
ψ
+
ψ
=
1 2
2 1
2 1
2 1
,
cov
z
z
z
z
z
z
Заметим, что симметризация произведения наблюдаемых потребовалась нам, чтобы сделать соответствующий оператор эрмитовым.
30
Пусть:
iC
z
z
z
z
=
−
2 2
1
, где
C
- эрмитов оператор. Тогда:
( )
ψ
−
ψ
−
=
1 2
2 1
z
z
z
z
i
C
M
В развернутой записи выражение для
( )
ξ
F
имеет вид:
( )
( )
(
) ( )
( ) ( )
(
)
( )
2 1
2 1
2 2
2
sin cos
,
cov
2
z
M
C
M
z
z
z
M
F
+
ϕ
−
ϕ
ξ
+
ξ
=
ξ
Пусть:
(
)
(
)
( )
(
)
2 2
2 1
2
,
cov
4
C
M
z
z
+
=
ρ
,
Очевидно, можно найти такой угол
β
, чтобы выполнялись тождества:
(
)
( )
β
ρ
= cos
,
cov
2 2
1
z
z
( )
( )
β
ρ
= sin
C
M
Тогда:
( )
( )
(
)
( )
0
cos
2 1
2 2
2
≥
+
β
+
ϕ
ξρ
+
ξ
=
ξ
z
M
z
M
F
Распорядимся произволом в выборе фазы
ϕ
, чтобы обеспечить выполнение равенства
(
)
1
cos
=
β
+
ϕ
. Указанный выбор, очевидно, обеспечит получение наиболее сильного неравенства:
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
ρ
≥
=
4
,
cov
4 2
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
C
M
z
z
z
D
z
D
z
M
z
M
Определим коэффициент корреляции между наблюдаемыми
1
z
и
2
z
как:
(
)
( ) ( )
2 1
2 1
,
cov
z
D
z
D
z
z
r
=
В результате, искомое неравенство (соотношение неопределенностей
Шредингера- Робертсона) примет вид:
( ) ( )
( )
(
)
4 2
2 2
1
K
C
M
z
D
z
D
≥
,
31
где
2 1
1
r
K
−
=
Введенный параметр
K
есть аналог известного числа Шмидта [37]. Это число имеет фундаментальное значение для описания квантовых корреляций и квантовой информации (см. Приложение к Главе 3).
Пусть теперь рассматриваемые наблюдаемые есть операторы координаты и импульса соответственно:
x
z
=
1
,
p
z
=
2
Тогда, в силу фундаментального перестановочного соотношения для координаты и импульса,
C
есть тождественный оператор (единичная матрица).
В этом случае соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона будет иметь вид:
( ) ( )
4 2
K
p
D
x
D
≥
Пусть
( )
x
D
x
=
Δ
,
( )
p
D
p
=
Δ
- неопределенности
(стандартные отклонения) для координаты и импульса. Тогда:
2
K
p
x
≥
Δ
Δ
Таким образом, если координата и импульс коррелируют друг с другом, произведение их неопределенностей возрастает в
K
раз по сравнению с величиной, определяемой неравенством Гейзенберга.
Заметим, что в силу некоммутативности координаты и импульса, их квантовая ковариация не может быть оценена по выборке подобно классической ковариации. Для вычисления соответствующей оценки нужно знать априори (или оценить по результатам взаимно- дополнительных измерений) вектор состояния (волновую функцию). Пусть:
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
,
32
где действительные функции
( )
x
P
и
( )
x
S
есть соответственно плотность и фаза пси- функции. Заметим, что фаза
( )
x
S
есть аналог классического действия механической системы.
Используя функции плотности и фазы, нетрудно получить следующее простое представление для ковариации координаты и импульса:
( )
( ) ( )
∫
∂
∂
=
ψ
+
ψ
=
dx
x
P
x
x
S
x
x
p
p
x
p
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2 1
,
cov
Наглядность полученного результата обусловлена тем, что в классической механике производная от функции действия
x
S
∂
∂
есть импульс.
2.5. Многомерное соотношение неопределенностей
Рассмотрим пространство размерности
s
Пусть
s
j
p
x
j
j
,...,
1
,
ˆ
,
ˆ
=
- соответствующие операторы координат и импульсов.
Вывод соотношения неопределенности в многомерном случае аналогичен одномерному, но теперь вместо действительного числа
ξ
следует ввести действительную симметричную матрицу
Ξ
с элементами
s
j
j
,...,
1
,
,
=
σ
ξ
σ
Такое видоизменение диктуется необходимостью придать рассматриваемым величинам геометрически инвариантный вид в гильбертовом пространстве.
Действительно для скалярного
ξ
, такая величина как
(
)
ψ
+
ξ
ρ
l
x
p
i
ˆ
ˆ
неинвариантна, потому что индексы
ρ
и
l
, вообще говоря, различны. В то же время, для матрицы
Ξ
величина
(
)
ψ
+
ξ
ρ
ρ
l
l
x
p
i
ˆ
ˆ
будет кет- вектором в гильбертовом пространстве (по повторяющемуся индексу
ρ
предполагается суммирование). Введем также действительный вектор
η
(
s
j
j
,...,
1
=
η
). С
33
его помощью, взяв скалярное произведение, преобразуем полученный кет- вектор в скаляр:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
η
+
ξ
ρ
ρ
l
l
l
x
p
i
Рассмотрим теперь следующее заведомо неотрицательное выражение (по повторяющимся индексам, как обычно, предполагается суммирование):
( )
(
)
(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
η
+
ξ
+
ξ
−
η
ψ
=
ξ
ρ
ρ
σ
σ
l
l
l
j
j
j
x
p
i
x
p
i
F
В развернутом виде получим:
( )
(
)
(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
+
ξ
−
ξ
−
ξ
ξ
η
η
ψ
=
ξ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
σ
ρ
σ
l
j
j
l
l
j
l
j
l
j
x
x
p
x
x
p
i
p
p
F
Чтобы использовать фундаментальные коммутационные соотношения между координатой и импульсом, перепишем последнее выражение, осуществив замену индексов
j
и
l
друг на друга, после чего сложим полученное выражение с исходным.
В качестве наблюдаемых будем использовать центрированные координаты и импульсы (имеющие нулевые средние).
В результате получим условие, согласно которому нижеследующее матричное выражение является неотрицательно определенным:
0
≥
Σ
+
Ξ
−
Ξ
ΞΣ
x
p
Напомним, что матрица
A
с элементами
jk
a
называется неотрицательно определенной, если для любого вектора
z
:
0
*
≥
=
k
j
jk
z
z
a
z
A
z
В полученном неравенстве мы ввели матрицы ковариаций координат и импульсов. Элементы этих матриц определяются выражениями
( )
ψ
ψ
=
Σ
l
j
jl
x
x
x ˆ
ˆ
( )
ψ
ψ
=
Σ
l
j
jl
p
p
p ˆ
ˆ
34
Учтем, что неотрицательная определенность матрицы ковариаций импульсов позволяет определить квадратный корень из нее.
Напомним, что произвольная эрмитова матрица
A
может быть приведена к диагональному виду, т.е. может быть представлена как:
+
= UDU
A
, где
U
- унитарная матрица, а
D
- действительная диагональная матрица.
Если, к тому же, матрица
A
неотрицательно определена, то неотрицательны и ее собственные значения, образующие диагональ матрицы
D
. В этом случае операция взятия квадратного корня из матрицы является хорошо определенной:
+
=
U
UD
A
2
/
1 2
/
1
С использованием понятия матричного квадратного корня, полученное выше неравенство можно представить в виде:
0 4
1 2
1 2
1 1
2
/
1 2
/
1 2
/
1 2
/
1
≥
Σ
+
Σ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−
Ξ
Σ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−
ΞΣ
−
−
−
x
p
p
p
p
p
Первое слагаемое слева заведомо неотрицательно определено (и обращается в ноль при
1 2
1
−
Σ
=
Ξ
p
). Отсюда следует, что и выражение
x
p
Σ
+
Σ
−
−1 4
1
неотрицательно определено, т.е.
p
x
Σ
≥
Σ
4 1
Полученное неравенство и есть искомое многомерное соотношение неопределенностей. Его смысл заключается в следующем: каково бы ни было квантовое состояние, матрица, равная разности
1 4
1
−
Σ
−
Σ
p
x
между матрицей ковариации координат и одной четвертой от матрицы, обратной к матрице ковариации импульсов, всегда является неотрицательно определенной.
35
Из приведенных расчетов следует, что неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда вектор состояния удовлетворяет следующему условию при
1 2
1
−
Σ
=
Ξ
p
:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
+
ξ
ρ
ρ
l
l
x
p
i
Отсюда получаем, что соответствующее состояние является гауссовским с матрицей ковариаций
p
Σ
в импульсном представлении и матрицей ковариаций
p
x
Σ
=
Σ
4 1
- в координатном.
Мы ограничились рассмотрением многомерного соотношения неопределенностей, которое является непосредственным обобщением одномерного соотношения неопределенностей Гейзенберга. Другие примеры обобщенных соотношений неопределенностей и, в частности, связанные с обобщением соотношения Шредингера- Робертсона можно найти в [35,36]
2.6. Информация Фишера
Рассмотрим квантовую систему, для которой пси- функция действительна:
( )
( )
x
P
x
=
ψ
. Использование таких пси- функций представляет собой простейший способ дополнения классической плотности распределения до квантового состояния. Для такой системы средний импульс равен нулю, а квадрат импульса есть:
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
dx
x
P
x
P
dx
x
P
x
x
P
x
p
M
∫
∫
′
=
∂
∂
∂
∂
=
2 2
4 1
ˆ
Здесь штрих означает производную по
x
Введем информацию Фишера, связанную с дисперсией импульса:
( )
( )
(
)
( )
dx
x
P
x
P
p
M
D
I
p
x
∫
′
=
=
=
2 2
ˆ
4 4
36
Тогда соотношение неопределенностей запишется в виде следующего неравенства:
1
≥
x
x
I
D
Полученное неравенство аналогично неравенству Рао- Крамера, рассматриваемому в следующем разделе
2.7. Неравенство Рао- Крамера
Рассмотрим снова ситуацию, когда плотность распределения дополняется до квантового состояния.
Пусть распределение вероятностей и соответствующее квантовое состояние зависят от некоторого действительного параметра
θ
, т.е.:
( )
( )
θ
=
θ
ψ
x
P
x
Пусть
θˆ
есть несмещенная оценка неизвестного параметра
θ
, основанная на выборке объема
n
в координатном пространстве, т.е.
(
)
n
x
x ,...,
ˆ
ˆ
1
θ
=
θ
Условие несмещенности означает, что среднее значение (математическое ожидание) выборочной оценки
θˆ
совпадает с истинным значением параметра
θ
, т.е.
( )
( ) ( )
(
)
∫
θ
=
⋅⋅
⋅
θ
⋅
θ
⋅⋅
⋅
θ
=
θ
n
n
n
dx
dx
x
x
x
P
x
P
M
1 1
1
,...,
ˆ
ˆ
Примерами несмещенных оценок могут служить известные оценки математического ожидания и дисперсии [31]:
n
x
x
x
n
+
+
=
1
(
)
∑
=
−
−
=
n
k
k
x
x
n
s
1 2
2 1
1
Пусть
θ
∂
∂
−
=
θ
i
p
- оператор, канонически сопряженный параметру
θ
37
Нашей целью является вывод следующего соотношения, называемого неравенством Рао-Крамера:
1
≥
θ
θ
I
D
Здесь введена информация Фишера, которая имеет вид:
( )
(
)
( )
( ) ( )
dx
x
P
x
P
n
dx
x
P
x
P
n
I
θ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
θ
∂
θ
∂
=
θ
θ
∂
θ
∂
=
∫
∫
θ
2 2
ln
/
Воспользуемся тем, что вектор состояния для выборки может быть определен следующим выражением
(
)
( ) ( )
θ
⋅⋅
⋅
θ
=
ψ
n
n
x
P
x
P
x
x
1 1
,...,
Проведем подробные вычисления. Пусть
(
)
ˆ
ψ
ξ
θ θ ψ
θ
∂
+
−
∂
- кет вектор, где
ξ
, как и ранее, произвольный действительный параметр,
( )
ˆ
ψ
ξ
θ θ ψ
θ
∗
∗
∂
+
−
∂
- соответствующий бра- вектор.
Заведомо неотрицательное выражение есть:
( )
(
)
(
)
*
*
ˆ
ˆ
F
dx
ψ
ψ
ξ
ξ
θ θ ψ
ξ
θ θ ψ
θ
θ
⎛
⎞
∂
∂
⎛
⎞
=
+
−
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
∫
Здесь для сокращения записи мы полагаем, что
n
dx
dx
dx
⋅
⋅
⋅
=
1
,
(
)
n
x
x ,...,
1
ψ
ψ
=
В развернутой записи имеем:
( )
0 2
≥
+
+
=
c
b
a
F
ξ
ξ
ξ
, где
dx
I
a
θ
∂
ψ
∂
θ
∂
ψ
∂
=
=
∫
θ
*
4
38
( )
dx
b
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ψ
θ
∂
ψ
∂
+
θ
∂
ψ
∂
ψ
θ
−
θ
=
*
*
ˆ
( )
θ
=
ψ
ψ
θ
−
θ
=
∫
D
dx
с
*
ˆ
2
Можно показать, что
1
−
=
b
. Для этого достаточно представить подинтегральное выражение с помощью формулы для производной произведения в виде
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
ψ
ψ
−
θ
∂
ψ
ψ
θ
−
θ
∂
=
=
θ
∂
θ
−
θ
∂
ψ
ψ
−
θ
∂
ψ
ψ
θ
−
θ
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ψ
θ
∂
ψ
∂
+
θ
∂
ψ
∂
ψ
θ
−
θ
*
*
ˆ
ˆ
*
*
ˆ
*
*
ˆ
Интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу несмещенности оценки. В результате, учитывая условие нормировки, получаем, что
1
−
=
b
Из условия
0 4
2
≤
− ac
b
для дискриминанта получаем искомый результат
– неравенство Рао-Крамера [38- 40]:
θ
θ
≥
I
D
1
Заметим, что мы провели вычисления не только для предполагаемого случая действительных векторов состояния, но и для более общего случая комплексных пси- функций.
В этом случае информация Фишера есть:
dx
I
θ
∂
ψ
∂
θ
∂
ψ
∂
=
∫
θ
*
4
Информация Фишера является аналогом дисперсии импульса и отличается от последней множителем 4 и тем, что под интегралом идет дифференцирование по параметру, а не по координате.
Для случая действительных пси- функций, как нетрудно показать, имеет место приведенное выше выражение для информации Фишера (6). При
39
выводе следует воспользоваться легко проверяемым свойством аддитивности информации Фишера (информация от
n
независимых представителей в
n
раз превосходит информацию от одного представителя).
Полученное неравенство, очевидно, является наиболее сильным для случая, когда информация Фишера
θ
I
минимальна. Как и в случае соотношения неопределенности Гейзенберга, можно показать, что добавление произвольного фазового множителя к действительной пси- функции не может привести к уменьшению информации Фишера.
Выше мы видели, что соотношение неопределенностей из неравенства превращается в равенство для гауссова состояния. Аналогичный результат справедлив и для неравенства Рао- Крамера. Последнее превращается в равенство для оценок, имеющих нормальное распределение и только для них.
Такие оценки называются эффективными.
Выше мы предполагали несмещенность статистической оценки. Однако, проведенные выкладки позволяют также получить более общее неравенство
Рао- Крамера, пригодное и для смещенных оценок. В этом случае оно имеет вид:
( )
( )
(
)
θ
θ
β′
+
≥
θ
−
θ
I
M
2 2
1
ˆ
(2.1) где
( )
( )
θ
−
θ
=
θ
β
ˆ
M
- смещение оценки.
(2.2)
Заметим, что в представленном неравенстве слева вместо обычной дисперсии стоит величина, которая характеризует рассеяние выборочной оценки
θˆ
относительно истинного значения
θ
Задача 2.1 Обоснуйте неравенство Рао- Крамера (2.1)- (1.2), учитывающее возможную смещенность оценки.
40
2.8. Многомерное неравенство Рао- Крамера и корневая оценка
«Смотри в корень!» (Козьма Прутков «Мысли и афоризмы»,
№228).
Неравенство Рао- Крамера, также как и соотношение неопределенностей, может быть обобщено на многомерный случай.
Можно показать, что для любой несмещенной оценки
θˆ
неизвестного многомерного параметра
θ
матрица
1
−
θ
θ
−
Σ
I
является неотрицательно определенной:
0 1
≥
−
Σ
−
θ
θ
I
В случае оценок, близких к эффективным, соответствующая разность близка к нулю. Примером таких оценок могут служить оценки максимального правдоподобия, которые обладают свойством асимптотической эффективности [38- 40].
Здесь
θ
Σ
- матрица ковариации оценки
θˆ
. Элементы матрицы информации Фишера
θ
I
могут быть представлены в виде:
( )
( )
( ) ( )
dx
x
P
x
P
x
P
n
I
k
j
jk
θ
θ
∂
θ
∂
θ
∂
θ
∂
=
∫
θ
ln ln
(2.3)
С точки зрения квантовой информатики принципиально важно, что выражение для информационной матрицы Фишера радикально упрощается, если ввести пси – функцию (здесь для простоты мы считаем ее действительной) [41,42].
( )
( ) ( )
dx
x
x
n
I
k
j
jk
∫
θ
∂
θ
ψ
∂
θ
∂
θ
ψ
∂
=
θ
41
Для задач статистики фундаментальное значение имеет матрица, обратная к матрице информации Фишера. В силу сложности выражения (2.3) для многопараметрической матрицы информации Фишера, получаемые на его основе оценки обратной матрицы, как правило, являются плохо обусловленными. Единственным известным исключением является так называемая корневая оценка, основанная на введении пси – функции.
Приведем кратко соответствующие результаты. Более подробное изложение можно найти в [41,42].
Пусть разложение пси- функции по набору ортонормированных базисных функций
( )
1
,...,
1
,
0
−
=
ϕ
s
j
x
j
имеет вид:
( )
(
)
( )
( )
( )
x
c
x
c
x
c
c
x
s
s
s
1 1
1 1
0 2
1 2
1 1
−
−
−
ϕ
+
+
ϕ
+
ϕ
+
+
−
=
ψ
(2.4)
Здесь мы исключили из числа оцениваемых параметров коэффициент
(
)
2 1
2 1
0 1
−
+
+
−
=
s
c
c
c
, так как, согласно условию нормировки, он рассчитывается через другие коэффициенты.
Величины
1 2
1
,...,
,
−
s
c
c
c
являются независимыми оцениваемыми параметрами.
В случае корневого разложения (2.4) информационная матрица ij
I
имеет порядок
(
) (
)
1 1
−
×
−
s
s
и выражается в следующем простом виде:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
δ
=
2 0
4
c
c
c
n
I
j
i
ij
ij
, где
(
)
2 1
2 1
0 1
−
+
+
−
=
s
c
c
c
Замечательной особенностью полученного выражения является его независимость от выбора базисных функций. Оказывается, что этим свойством обладает только корневая оценка плотности.
42
Матрица ковариаций оценки вектора состояния
ˆc
, в случае оценок, близких к эффективным, есть приближенно матрица, обратная к матрице информации Фишера:
( )
( )
c
I
c
1
ˆ
−
=
Σ
Компоненты этой матрицы есть:
(
)
j
i
ij
ij
c
c
n
−
δ
=
Σ
4 1
1
,...,
1
,
−
=
s
j
i
(2.5)
Полученную матрицу ковариаций можно расширить, добавив в нее ковариации компоненты
0
ˆc
вектора состояния с остальными компонентами.
Оказывается, что общая матрица ковариаций будет иметь тот же самый вид, что и (2.5), но теперь
1
,...,
1
,
0
,
−
=
s
j
i
Таким образом, модель статистики, основанная на введении пси- функции, корневом разложении и методах квантовой информатики, является выделенной по отношению к любым другим мыслимым моделям. Её преимущества обусловлены простотой, универсальностью и хорошими вычислительными свойствами. Выражаясь в духе Дирака, можно сказать, что
«Природа просто не могла не воспользоваться столь красивой математической моделью».
Эффективность корневого подхода в задачах восстановления квантовых состояний была подтверждена в работах [43-47]. Была показана возможность экспериментального восстановления оптических квантовых состояний так называемого бифотонного поля с высокой точностью, которая значительно превосходит уровень других известных экспериментов.
Опыт квантовой физики показывает, что при описании поведения микрообъектов целесообразно отказаться от явно ограниченных представлений, сводящих квантовые системы к механическим частицам, волнам и т.п. Вместо механистических картин явлений следует использовать статистическое описание квантовых состояний, которое оказывается наиболее
43
естественным и полным. При этом, само статистическое описание не должно ассоциироваться с механистическими моделями, основанными на случайном механическом выборе объектов, бросании монеты, игральной кости и т.п.
Выше мы пытались показать, что наиболее фундаментальные представления о вероятности никак не связаны с такими механическими моделями и аналогиями. Статистическая модель, в основе которой лежит вектор состояния в гильбертовом пространстве и есть наиболее общая и универсальная модель теории вероятностей.
44
1 2 3 4 5 6 7 8
Глава 2. Точность статистических характеристик гильбертова
пространства
В настоящей главе мы увидим, что различного вида неравенства Коши-
Буняковского, соотношения неопределенностей, а также неравенства Рао-
Крамера получаются, по- существу, с помощью одного и того же математического приема, сводящегося к элементарному требованию неотрицательности некоторого квадратного трехчлена. В разделах 2.1- 2.3 с использованием принципов квантовой информатики излагаются элементарные сведения, связанные с неравенством Коши- Буняковского и соотношением неопределенностей. В разделе 2.4 представлено так называемое соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона. В разделе 2.5 рассмотрено многомерное соотношение неопределенностей.
Информация Фишера и неравенство Рао- Крамера, известные еще из классической математической статистики, изучаются в разделах 2.6- 2.8 с новой квантово- информационной точки зрения.
2.1. Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его
статистическая интерпретация
Рассматриваемое неравенство имеет место для векторов произвольных линейных пространств, в которых определено понятие скалярного произведения. Приведем примеры таких пространств.
В комплексном конечномерном пространстве
s
C
размерности
s
скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой (в обозначениях Дирака):
∑
=
∗
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
s
j
j
j
1
В бесконечномерном гильбертовом пространстве
2
l
аналогичное определение имеет вид:
23
∑
∞
=
∗
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
1
j
j
j
Наконец, если
( )
x
ψ
и
( )
x
ϕ
- комплексные функции из пространства
2
L
, то их скалярное произведение есть:
( ) ( )
dx
x
x
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
∫
*
Покажем, что для любых векторов линейного пространства со скалярным произведением выполняется следующее неравенство Коши- Буняковского:
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Для определенности, при проведении выкладок будем иметь ввиду функции из пространства
2
L
Предположим вначале, что скалярное произведение
ψ
ϕ
- действительное число.
Пусть
ξ
- действительный параметр. Рассмотрим следующую заведомо неотрицательную функцию от
ξ
(эта функция представляет собой интеграл от заведомо неотрицательного выражения).
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
∫
≥
ξϕ
+
ψ
ξϕ
+
ψ
=
ξ
0
*
*
dx
x
x
x
x
F
В обозначениях Дирака имеем:
( )
(
)(
)
ϕ
ξ
+
ψ
ϕ
ξ
+
ψ
=
ξ
F
В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:
( )
ψ
ψ
+
ψ
ϕ
ξ
+
ϕ
ϕ
ξ
=
ξ
2 2
F
Здесь мы учли предположение о действительности рассматриваемого скалярного произведения, т.е.
ϕ
ψ
=
ψ
ϕ
24
Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:
(
)
0 4
4 2
≤
ψ
ψ
ϕ
ϕ
−
ψ
ϕ
Таким образом в рассматриваемом случае выполняется неравенство
Коши- Буняковского:
(
)
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Предположим теперь, что
ψ
ϕ
- комплексное число. Пусть
( )
α
=
ψ
ϕ
i
r exp
, где
r
и
α
- действительные числа.
Введем функцию, отличающуюся от
( )
x
ϕ
только фазой
( ) ( ) ( )
α
ϕ
=
ϕ
i
x
x
exp
Тогда
r
=
ψ
ϕ
является действительным числом и для него выполняется доказанное выше неравенство:
(
)
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Учтем, что введенное фазовое преобразование не меняет модуля скалярного произведения, поэтому:
(
)
2 2
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
,
ϕ
ϕ
=
ϕ
ϕ
Таким образом, неравенство Коши- Буняковского выполняется и в общем случае:
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Введем величину
F
, называемую согласованностью (fidelity) квантовых состояний
( )
x
ϕ
и
( )
x
ψ
ψ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
=
2
F
Для состояний, нормированных на единицу, имеем просто:
25 2
ψ
ϕ
=
F
Из неравенства Коши- Буняковского следует, что
1 0
≤
≤ F
Если исходить из этого неравенства, то заманчиво предположить, что
F
задает некоторую вероятность. Так оно и есть. Статистический смысл величины
F
заключается в том, что она задает вероятность обнаружения
квантовой системы в состоянии
( )
x
ϕ
при условии, что она была приготовлена в состоянии
( )
x
ψ
Обмен информацией в природе предполагает, что состояние
( )
x
ψ
, приготовленное (созданное) на одном конце (в системе «передатчик») может быть обнаружено (воспринято) таковым в другой системе-«приёмнике». В идеальном случае «приемник» может быть настроен на получение того же квантового состояния, когда
( ) ( )
x
x
ψ
=
ϕ
(с точностью до фазового множителя). В этом случае
1
=
F
. В действительности состояния
( )
x
ψ
и
( )
x
ϕ
, на которые настроен приемник и передатчик соответственно, всегда хотя бы немного отличаются и
1
<
F
. В рассматриваемом случае, таким образом,
F
задает вероятность «успеха» приемно- передающего акта.
2.2.Неравенство Коши- Буняковского в приложении к случайным
величинам
Пусть
( )
x
Y
Y
=
и
( )
x
Z
Z
=
- действительные случайные величины, представляющие собой произвольные функции от координаты
x
. Пусть
ξ
- действительный параметр. Рассмотрим заведомо неотрицательную функцию от
ξ
:
( )
(
)
0 2
≥
ψ
+
ξ
ψ
=
ξ
Z
Y
F
26
В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
Z
M
YZ
M
Y
M
F
+
ξ
+
ξ
=
ξ
Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:
( )
(
)
( ) ( )
0 4
4 2
2 2
≤
−
Z
M
Y
M
YZ
M
Таким образом для любых (коммутирующих) случайных величин выполняется неравенство Коши- Буняковского:
( )
(
)
( ) ( )
2 2
2
Z
M
Y
M
YZ
M
≤
В частности, если в качестве случайных величин рассмотреть величины
( )
Y
M
Y
−
и
( )
Z
M
Z
−
, приведенные к нулевым средним значениям, то для дисперсий получим неравенство:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
[
]
2
Z
M
Z
Y
M
Y
M
D
D
Z
Y
−
−
≥
Из последнего выражения следует неравенство для коэффициента корреляции
1 2
≤
r
Напомним, что коэффициент корреляции между случайными величинами
Y
и
Z
определяется формулой:
( )
(
)
( )
(
)
[
]
Z
Y
D
D
Z
M
Z
Y
M
Y
M
r
−
−
=
Квадрат коэффициента корреляции иногда называют коэффициентом детерминации. Этот коэффициент показывает, в какой мере случайная величина
Y
определяет (детерминирует) случайную величину
Z
и наоборот.
27
Можно показать, что неравенство Коши- Буняковского обращается в равенство в том и только том случае, когда случайные величины
Y
и
Z
линейно связаны между собой.
2.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и
импульса
Модифицируем приведенный выше пример. Рассмотрим вместо
Z
Y
+
ξ
выражение
x
x
+
∂
∂
ξ
. Заметим, что оператор производной не является эрмитовым, потому что
x
x
∂
∂
−
=
∂
∂
+
. Чтобы запись сделать более наглядной введем эрмитов оператор импульса
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
Рассмотрим как и при выводе неравенства Коши- Буняковского заведомо неотрицательную функцию от действительного параметра
ξ
( )
(
)(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
+
ξ
+
ξ
−
ψ
=
ξ
x
p
i
x
p
i
F
В развернутой записи имеем:
( )
( )
(
)
( )
2 2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x
M
p
x
x
p
M
i
p
M
F
+
−
ξ
−
ξ
=
ξ
Учтем каноническое коммутационное соотношение
i
p
x
x
p
−
=
− ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
В качестве наблюдаемых рассмотрим величины
( )
x
M
x
ˆ
ˆ
−
и
( )
p
M
p
ˆ
ˆ
−
, которые, очевидно, удовлетворяют тому же коммутационному соотношению.
Тогда для произведения дисперсий координаты и импульса получим искомое соотношение неопределенностей Гейзенберга :
4 1
≥
p
x
D
D
28
Дисперсия импульса есть средний квадрат импульса минус средний импульс в квадрате:
( )
( )
(
)
2 2
ˆ
ˆ
p
M
p
M
D
p
−
=
В развернутой записи средний квадрат импульса есть:
( )
( )
( )
( )
( )
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
p
M
ψ
∂
∂
ψ
∂
∂
=
ψ
∂
∂
ψ
−
=
∫
∫
∫
*
*
ˆ
2 2
2
Как следует из приведенных выкладок, неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда при некотором
ξ
:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
+
ξ
x
p
i
Это равенство имеет место только для гауссова состояния (основного состояния гармонического осциллятора).
Решение полученного уравнения в координатном и импульсном представлении соответственно есть:
( )
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
−
πσ
=
ψ
2 2
0 4
/
1 2
4
exp
2 1
x
x
x
x
x
( )
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
−
πσ
=
ψ
2 2
0 4
/
1 2
4
exp
2 1
p
p
p
p
p
Здесь
0
x
и
2
x
σ
- соответственно среднее и дисперсия для распределения координаты, а
0
p
и
2
p
σ
- соответственно среднее и дисперсия для распределения импульса.
Дисперсия координаты и импульса полученного гауссовского состояния определяются введенным параметром
ξ
2 2
ξ
=
σ
x
,
ξ
=
σ
2 1
2
p
29
Таким образом, рассматриваемые величины оказываются связанными между собой минимальным соотношением неопределенностей:
4 1
2 2
=
σ
σ
p
x
Мы видим, что состояние, минимизирующее соотношение неопределенностей, описывается действительной функцией.
Это обстоятельство неслучайно. Нетрудно видеть, что добавление произвольного фазового множителя к действительной координатной пси- функции не может уменьшить дисперсию импульса и, таким образом, не может усилить рассматриваемое неравенство.
2.4.
Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона
Неравенство, предложенное Шредингером и Робертсоном, отражает в себе свойства, присущие как неравенству Коши- Буняковского, так и соотношению неопределенностей Гейзенберга и, в известном смысле, может считаться их обобщением [35,36].
Пусть
1
z
и
2
z
- две произвольные наблюдаемые. Без ограничения общности будем считать их центрированными:
( )
( )
0 2
1
=
=
z
M
z
M
Рассмотрим следующее заведомо неотрицательное выражение:
( )
( )
(
)
( )
(
)
ψ
+
ϕ
ξ
+
ϕ
−
ξ
ψ
=
ξ
1 2
1 2
exp exp
z
z
i
z
z
i
F
Здесь
ξ
- произвольное действительное число,
ϕ
- тоже действительное, но фиксированное число (фаза, выбор которой мы осуществим позднее).
Определим ковариацию величин как
(
)
ψ
+
ψ
=
1 2
2 1
2 1
2 1
,
cov
z
z
z
z
z
z
Заметим, что симметризация произведения наблюдаемых потребовалась нам, чтобы сделать соответствующий оператор эрмитовым.
30
Пусть:
iC
z
z
z
z
=
−
2 2
1
, где
C
- эрмитов оператор. Тогда:
( )
ψ
−
ψ
−
=
1 2
2 1
z
z
z
z
i
C
M
В развернутой записи выражение для
( )
ξ
F
имеет вид:
( )
( )
(
) ( )
( ) ( )
(
)
( )
2 1
2 1
2 2
2
sin cos
,
cov
2
z
M
C
M
z
z
z
M
F
+
ϕ
−
ϕ
ξ
+
ξ
=
ξ
Пусть:
(
)
(
)
( )
(
)
2 2
2 1
2
,
cov
4
C
M
z
z
+
=
ρ
,
Очевидно, можно найти такой угол
β
, чтобы выполнялись тождества:
(
)
( )
β
ρ
= cos
,
cov
2 2
1
z
z
( )
( )
β
ρ
= sin
C
M
Тогда:
( )
( )
(
)
( )
0
cos
2 1
2 2
2
≥
+
β
+
ϕ
ξρ
+
ξ
=
ξ
z
M
z
M
F
Распорядимся произволом в выборе фазы
ϕ
, чтобы обеспечить выполнение равенства
(
)
1
cos
=
β
+
ϕ
. Указанный выбор, очевидно, обеспечит получение наиболее сильного неравенства:
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
ρ
≥
=
4
,
cov
4 2
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
C
M
z
z
z
D
z
D
z
M
z
M
Определим коэффициент корреляции между наблюдаемыми
1
z
и
2
z
как:
(
)
( ) ( )
2 1
2 1
,
cov
z
D
z
D
z
z
r
=
В результате, искомое неравенство (соотношение неопределенностей
Шредингера- Робертсона) примет вид:
( ) ( )
( )
(
)
4 2
2 2
1
K
C
M
z
D
z
D
≥
,
31
где
2 1
1
r
K
−
=
Введенный параметр
K
есть аналог известного числа Шмидта [37]. Это число имеет фундаментальное значение для описания квантовых корреляций и квантовой информации (см. Приложение к Главе 3).
Пусть теперь рассматриваемые наблюдаемые есть операторы координаты и импульса соответственно:
x
z
=
1
,
p
z
=
2
Тогда, в силу фундаментального перестановочного соотношения для координаты и импульса,
C
есть тождественный оператор (единичная матрица).
В этом случае соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона будет иметь вид:
( ) ( )
4 2
K
p
D
x
D
≥
Пусть
( )
x
D
x
=
Δ
,
( )
p
D
p
=
Δ
- неопределенности
(стандартные отклонения) для координаты и импульса. Тогда:
2
K
p
x
≥
Δ
Δ
Таким образом, если координата и импульс коррелируют друг с другом, произведение их неопределенностей возрастает в
K
раз по сравнению с величиной, определяемой неравенством Гейзенберга.
Заметим, что в силу некоммутативности координаты и импульса, их квантовая ковариация не может быть оценена по выборке подобно классической ковариации. Для вычисления соответствующей оценки нужно знать априори (или оценить по результатам взаимно- дополнительных измерений) вектор состояния (волновую функцию). Пусть:
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
,
32
где действительные функции
( )
x
P
и
( )
x
S
есть соответственно плотность и фаза пси- функции. Заметим, что фаза
( )
x
S
есть аналог классического действия механической системы.
Используя функции плотности и фазы, нетрудно получить следующее простое представление для ковариации координаты и импульса:
( )
( ) ( )
∫
∂
∂
=
ψ
+
ψ
=
dx
x
P
x
x
S
x
x
p
p
x
p
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2 1
,
cov
Наглядность полученного результата обусловлена тем, что в классической механике производная от функции действия
x
S
∂
∂
есть импульс.
2.5. Многомерное соотношение неопределенностей
Рассмотрим пространство размерности
s
Пусть
s
j
p
x
j
j
,...,
1
,
ˆ
,
ˆ
=
- соответствующие операторы координат и импульсов.
Вывод соотношения неопределенности в многомерном случае аналогичен одномерному, но теперь вместо действительного числа
ξ
следует ввести действительную симметричную матрицу
Ξ
с элементами
s
j
j
,...,
1
,
,
=
σ
ξ
σ
Такое видоизменение диктуется необходимостью придать рассматриваемым величинам геометрически инвариантный вид в гильбертовом пространстве.
Действительно для скалярного
ξ
, такая величина как
(
)
ψ
+
ξ
ρ
l
x
p
i
ˆ
ˆ
неинвариантна, потому что индексы
ρ
и
l
, вообще говоря, различны. В то же время, для матрицы
Ξ
величина
(
)
ψ
+
ξ
ρ
ρ
l
l
x
p
i
ˆ
ˆ
будет кет- вектором в гильбертовом пространстве (по повторяющемуся индексу
ρ
предполагается суммирование). Введем также действительный вектор
η
(
s
j
j
,...,
1
=
η
). С
33
его помощью, взяв скалярное произведение, преобразуем полученный кет- вектор в скаляр:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
η
+
ξ
ρ
ρ
l
l
l
x
p
i
Рассмотрим теперь следующее заведомо неотрицательное выражение (по повторяющимся индексам, как обычно, предполагается суммирование):
( )
(
)
(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
η
+
ξ
+
ξ
−
η
ψ
=
ξ
ρ
ρ
σ
σ
l
l
l
j
j
j
x
p
i
x
p
i
F
В развернутом виде получим:
( )
(
)
(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
+
ξ
−
ξ
−
ξ
ξ
η
η
ψ
=
ξ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
σ
ρ
σ
l
j
j
l
l
j
l
j
l
j
x
x
p
x
x
p
i
p
p
F
Чтобы использовать фундаментальные коммутационные соотношения между координатой и импульсом, перепишем последнее выражение, осуществив замену индексов
j
и
l
друг на друга, после чего сложим полученное выражение с исходным.
В качестве наблюдаемых будем использовать центрированные координаты и импульсы (имеющие нулевые средние).
В результате получим условие, согласно которому нижеследующее матричное выражение является неотрицательно определенным:
0
≥
Σ
+
Ξ
−
Ξ
ΞΣ
x
p
Напомним, что матрица
A
с элементами
jk
a
называется неотрицательно определенной, если для любого вектора
z
:
0
*
≥
=
k
j
jk
z
z
a
z
A
z
В полученном неравенстве мы ввели матрицы ковариаций координат и импульсов. Элементы этих матриц определяются выражениями
( )
ψ
ψ
=
Σ
l
j
jl
x
x
x ˆ
ˆ
( )
ψ
ψ
=
Σ
l
j
jl
p
p
p ˆ
ˆ
34
Учтем, что неотрицательная определенность матрицы ковариаций импульсов позволяет определить квадратный корень из нее.
Напомним, что произвольная эрмитова матрица
A
может быть приведена к диагональному виду, т.е. может быть представлена как:
+
= UDU
A
, где
U
- унитарная матрица, а
D
- действительная диагональная матрица.
Если, к тому же, матрица
A
неотрицательно определена, то неотрицательны и ее собственные значения, образующие диагональ матрицы
D
. В этом случае операция взятия квадратного корня из матрицы является хорошо определенной:
+
=
U
UD
A
2
/
1 2
/
1
С использованием понятия матричного квадратного корня, полученное выше неравенство можно представить в виде:
0 4
1 2
1 2
1 1
2
/
1 2
/
1 2
/
1 2
/
1
≥
Σ
+
Σ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−
Ξ
Σ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−
ΞΣ
−
−
−
x
p
p
p
p
p
Первое слагаемое слева заведомо неотрицательно определено (и обращается в ноль при
1 2
1
−
Σ
=
Ξ
p
). Отсюда следует, что и выражение
x
p
Σ
+
Σ
−
−1 4
1
неотрицательно определено, т.е.
p
x
Σ
≥
Σ
4 1
Полученное неравенство и есть искомое многомерное соотношение неопределенностей. Его смысл заключается в следующем: каково бы ни было квантовое состояние, матрица, равная разности
1 4
1
−
Σ
−
Σ
p
x
между матрицей ковариации координат и одной четвертой от матрицы, обратной к матрице ковариации импульсов, всегда является неотрицательно определенной.
35
Из приведенных расчетов следует, что неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда вектор состояния удовлетворяет следующему условию при
1 2
1
−
Σ
=
Ξ
p
:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
+
ξ
ρ
ρ
l
l
x
p
i
Отсюда получаем, что соответствующее состояние является гауссовским с матрицей ковариаций
p
Σ
в импульсном представлении и матрицей ковариаций
p
x
Σ
=
Σ
4 1
- в координатном.
Мы ограничились рассмотрением многомерного соотношения неопределенностей, которое является непосредственным обобщением одномерного соотношения неопределенностей Гейзенберга. Другие примеры обобщенных соотношений неопределенностей и, в частности, связанные с обобщением соотношения Шредингера- Робертсона можно найти в [35,36]
2.6. Информация Фишера
Рассмотрим квантовую систему, для которой пси- функция действительна:
( )
( )
x
P
x
=
ψ
. Использование таких пси- функций представляет собой простейший способ дополнения классической плотности распределения до квантового состояния. Для такой системы средний импульс равен нулю, а квадрат импульса есть:
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
dx
x
P
x
P
dx
x
P
x
x
P
x
p
M
∫
∫
′
=
∂
∂
∂
∂
=
2 2
4 1
ˆ
Здесь штрих означает производную по
x
Введем информацию Фишера, связанную с дисперсией импульса:
( )
( )
(
)
( )
dx
x
P
x
P
p
M
D
I
p
x
∫
′
=
=
=
2 2
ˆ
4 4
36
Тогда соотношение неопределенностей запишется в виде следующего неравенства:
1
≥
x
x
I
D
Полученное неравенство аналогично неравенству Рао- Крамера, рассматриваемому в следующем разделе
2.7. Неравенство Рао- Крамера
Рассмотрим снова ситуацию, когда плотность распределения дополняется до квантового состояния.
Пусть распределение вероятностей и соответствующее квантовое состояние зависят от некоторого действительного параметра
θ
, т.е.:
( )
( )
θ
=
θ
ψ
x
P
x
Пусть
θˆ
есть несмещенная оценка неизвестного параметра
θ
, основанная на выборке объема
n
в координатном пространстве, т.е.
(
)
n
x
x ,...,
ˆ
ˆ
1
θ
=
θ
Условие несмещенности означает, что среднее значение (математическое ожидание) выборочной оценки
θˆ
совпадает с истинным значением параметра
θ
, т.е.
( )
( ) ( )
(
)
∫
θ
=
⋅⋅
⋅
θ
⋅
θ
⋅⋅
⋅
θ
=
θ
n
n
n
dx
dx
x
x
x
P
x
P
M
1 1
1
,...,
ˆ
ˆ
Примерами несмещенных оценок могут служить известные оценки математического ожидания и дисперсии [31]:
n
x
x
x
n
+
+
=
1
(
)
∑
=
−
−
=
n
k
k
x
x
n
s
1 2
2 1
1
Пусть
θ
∂
∂
−
=
θ
i
p
- оператор, канонически сопряженный параметру
θ
37
Нашей целью является вывод следующего соотношения, называемого неравенством Рао-Крамера:
1
≥
θ
θ
I
D
Здесь введена информация Фишера, которая имеет вид:
( )
(
)
( )
( ) ( )
dx
x
P
x
P
n
dx
x
P
x
P
n
I
θ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
θ
∂
θ
∂
=
θ
θ
∂
θ
∂
=
∫
∫
θ
2 2
ln
/
Воспользуемся тем, что вектор состояния для выборки может быть определен следующим выражением
(
)
( ) ( )
θ
⋅⋅
⋅
θ
=
ψ
n
n
x
P
x
P
x
x
1 1
,...,
Проведем подробные вычисления. Пусть
(
)
ˆ
ψ
ξ
θ θ ψ
θ
∂
+
−
∂
- кет вектор, где
ξ
, как и ранее, произвольный действительный параметр,
( )
ˆ
ψ
ξ
θ θ ψ
θ
∗
∗
∂
+
−
∂
- соответствующий бра- вектор.
Заведомо неотрицательное выражение есть:
( )
(
)
(
)
*
*
ˆ
ˆ
F
dx
ψ
ψ
ξ
ξ
θ θ ψ
ξ
θ θ ψ
θ
θ
⎛
⎞
∂
∂
⎛
⎞
=
+
−
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
∫
Здесь для сокращения записи мы полагаем, что
n
dx
dx
dx
⋅
⋅
⋅
=
1
,
(
)
n
x
x ,...,
1
ψ
ψ
=
В развернутой записи имеем:
( )
0 2
≥
+
+
=
c
b
a
F
ξ
ξ
ξ
, где
dx
I
a
θ
∂
ψ
∂
θ
∂
ψ
∂
=
=
∫
θ
*
4
38
( )
dx
b
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ψ
θ
∂
ψ
∂
+
θ
∂
ψ
∂
ψ
θ
−
θ
=
*
*
ˆ
( )
θ
=
ψ
ψ
θ
−
θ
=
∫
D
dx
с
*
ˆ
2
Можно показать, что
1
−
=
b
. Для этого достаточно представить подинтегральное выражение с помощью формулы для производной произведения в виде
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
ψ
ψ
−
θ
∂
ψ
ψ
θ
−
θ
∂
=
=
θ
∂
θ
−
θ
∂
ψ
ψ
−
θ
∂
ψ
ψ
θ
−
θ
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ψ
θ
∂
ψ
∂
+
θ
∂
ψ
∂
ψ
θ
−
θ
*
*
ˆ
ˆ
*
*
ˆ
*
*
ˆ
Интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу несмещенности оценки. В результате, учитывая условие нормировки, получаем, что
1
−
=
b
Из условия
0 4
2
≤
− ac
b
для дискриминанта получаем искомый результат
– неравенство Рао-Крамера [38- 40]:
θ
θ
≥
I
D
1
Заметим, что мы провели вычисления не только для предполагаемого случая действительных векторов состояния, но и для более общего случая комплексных пси- функций.
В этом случае информация Фишера есть:
dx
I
θ
∂
ψ
∂
θ
∂
ψ
∂
=
∫
θ
*
4
Информация Фишера является аналогом дисперсии импульса и отличается от последней множителем 4 и тем, что под интегралом идет дифференцирование по параметру, а не по координате.
Для случая действительных пси- функций, как нетрудно показать, имеет место приведенное выше выражение для информации Фишера (6). При
39
выводе следует воспользоваться легко проверяемым свойством аддитивности информации Фишера (информация от
n
независимых представителей в
n
раз превосходит информацию от одного представителя).
Полученное неравенство, очевидно, является наиболее сильным для случая, когда информация Фишера
θ
I
минимальна. Как и в случае соотношения неопределенности Гейзенберга, можно показать, что добавление произвольного фазового множителя к действительной пси- функции не может привести к уменьшению информации Фишера.
Выше мы видели, что соотношение неопределенностей из неравенства превращается в равенство для гауссова состояния. Аналогичный результат справедлив и для неравенства Рао- Крамера. Последнее превращается в равенство для оценок, имеющих нормальное распределение и только для них.
Такие оценки называются эффективными.
Выше мы предполагали несмещенность статистической оценки. Однако, проведенные выкладки позволяют также получить более общее неравенство
Рао- Крамера, пригодное и для смещенных оценок. В этом случае оно имеет вид:
( )
( )
(
)
θ
θ
β′
+
≥
θ
−
θ
I
M
2 2
1
ˆ
(2.1) где
( )
( )
θ
−
θ
=
θ
β
ˆ
M
- смещение оценки.
(2.2)
Заметим, что в представленном неравенстве слева вместо обычной дисперсии стоит величина, которая характеризует рассеяние выборочной оценки
θˆ
относительно истинного значения
θ
Задача 2.1 Обоснуйте неравенство Рао- Крамера (2.1)- (1.2), учитывающее возможную смещенность оценки.
40
2.8. Многомерное неравенство Рао- Крамера и корневая оценка
«Смотри в корень!» (Козьма Прутков «Мысли и афоризмы»,
№228).
Неравенство Рао- Крамера, также как и соотношение неопределенностей, может быть обобщено на многомерный случай.
Можно показать, что для любой несмещенной оценки
θˆ
неизвестного многомерного параметра
θ
матрица
1
−
θ
θ
−
Σ
I
является неотрицательно определенной:
0 1
≥
−
Σ
−
θ
θ
I
В случае оценок, близких к эффективным, соответствующая разность близка к нулю. Примером таких оценок могут служить оценки максимального правдоподобия, которые обладают свойством асимптотической эффективности [38- 40].
Здесь
θ
Σ
- матрица ковариации оценки
θˆ
. Элементы матрицы информации Фишера
θ
I
могут быть представлены в виде:
( )
( )
( ) ( )
dx
x
P
x
P
x
P
n
I
k
j
jk
θ
θ
∂
θ
∂
θ
∂
θ
∂
=
∫
θ
ln ln
(2.3)
С точки зрения квантовой информатики принципиально важно, что выражение для информационной матрицы Фишера радикально упрощается, если ввести пси – функцию (здесь для простоты мы считаем ее действительной) [41,42].
( )
( ) ( )
dx
x
x
n
I
k
j
jk
∫
θ
∂
θ
ψ
∂
θ
∂
θ
ψ
∂
=
θ
41
Для задач статистики фундаментальное значение имеет матрица, обратная к матрице информации Фишера. В силу сложности выражения (2.3) для многопараметрической матрицы информации Фишера, получаемые на его основе оценки обратной матрицы, как правило, являются плохо обусловленными. Единственным известным исключением является так называемая корневая оценка, основанная на введении пси – функции.
Приведем кратко соответствующие результаты. Более подробное изложение можно найти в [41,42].
Пусть разложение пси- функции по набору ортонормированных базисных функций
( )
1
,...,
1
,
0
−
=
ϕ
s
j
x
j
имеет вид:
( )
(
)
( )
( )
( )
x
c
x
c
x
c
c
x
s
s
s
1 1
1 1
0 2
1 2
1 1
−
−
−
ϕ
+
+
ϕ
+
ϕ
+
+
−
=
ψ
(2.4)
Здесь мы исключили из числа оцениваемых параметров коэффициент
(
)
2 1
2 1
0 1
−
+
+
−
=
s
c
c
c
, так как, согласно условию нормировки, он рассчитывается через другие коэффициенты.
Величины
1 2
1
,...,
,
−
s
c
c
c
являются независимыми оцениваемыми параметрами.
В случае корневого разложения (2.4) информационная матрица ij
I
имеет порядок
(
) (
)
1 1
−
×
−
s
s
и выражается в следующем простом виде:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
δ
=
2 0
4
c
c
c
n
I
j
i
ij
ij
, где
(
)
2 1
2 1
0 1
−
+
+
−
=
s
c
c
c
Замечательной особенностью полученного выражения является его независимость от выбора базисных функций. Оказывается, что этим свойством обладает только корневая оценка плотности.
42
Матрица ковариаций оценки вектора состояния
ˆc
, в случае оценок, близких к эффективным, есть приближенно матрица, обратная к матрице информации Фишера:
( )
( )
c
I
c
1
ˆ
−
=
Σ
Компоненты этой матрицы есть:
(
)
j
i
ij
ij
c
c
n
−
δ
=
Σ
4 1
1
,...,
1
,
−
=
s
j
i
(2.5)
Полученную матрицу ковариаций можно расширить, добавив в нее ковариации компоненты
0
ˆc
вектора состояния с остальными компонентами.
Оказывается, что общая матрица ковариаций будет иметь тот же самый вид, что и (2.5), но теперь
1
,...,
1
,
0
,
−
=
s
j
i
Таким образом, модель статистики, основанная на введении пси- функции, корневом разложении и методах квантовой информатики, является выделенной по отношению к любым другим мыслимым моделям. Её преимущества обусловлены простотой, универсальностью и хорошими вычислительными свойствами. Выражаясь в духе Дирака, можно сказать, что
«Природа просто не могла не воспользоваться столь красивой математической моделью».
Эффективность корневого подхода в задачах восстановления квантовых состояний была подтверждена в работах [43-47]. Была показана возможность экспериментального восстановления оптических квантовых состояний так называемого бифотонного поля с высокой точностью, которая значительно превосходит уровень других известных экспериментов.
Опыт квантовой физики показывает, что при описании поведения микрообъектов целесообразно отказаться от явно ограниченных представлений, сводящих квантовые системы к механическим частицам, волнам и т.п. Вместо механистических картин явлений следует использовать статистическое описание квантовых состояний, которое оказывается наиболее
43
естественным и полным. При этом, само статистическое описание не должно ассоциироваться с механистическими моделями, основанными на случайном механическом выборе объектов, бросании монеты, игральной кости и т.п.
Выше мы пытались показать, что наиболее фундаментальные представления о вероятности никак не связаны с такими механическими моделями и аналогиями. Статистическая модель, в основе которой лежит вектор состояния в гильбертовом пространстве и есть наиболее общая и универсальная модель теории вероятностей.
44
1 2 3 4 5 6 7 8
Глава 2. Точность статистических характеристик гильбертова
пространства
В настоящей главе мы увидим, что различного вида неравенства Коши-
Буняковского, соотношения неопределенностей, а также неравенства Рао-
Крамера получаются, по- существу, с помощью одного и того же математического приема, сводящегося к элементарному требованию неотрицательности некоторого квадратного трехчлена. В разделах 2.1- 2.3 с использованием принципов квантовой информатики излагаются элементарные сведения, связанные с неравенством Коши- Буняковского и соотношением неопределенностей. В разделе 2.4 представлено так называемое соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона. В разделе 2.5 рассмотрено многомерное соотношение неопределенностей.
Информация Фишера и неравенство Рао- Крамера, известные еще из классической математической статистики, изучаются в разделах 2.6- 2.8 с новой квантово- информационной точки зрения.
2.1. Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его
статистическая интерпретация
Рассматриваемое неравенство имеет место для векторов произвольных линейных пространств, в которых определено понятие скалярного произведения. Приведем примеры таких пространств.
В комплексном конечномерном пространстве
s
C
размерности
s
скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой (в обозначениях Дирака):
∑
=
∗
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
s
j
j
j
1
В бесконечномерном гильбертовом пространстве
2
l
аналогичное определение имеет вид:
23
∑
∞
=
∗
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
1
j
j
j
Наконец, если
( )
x
ψ
и
( )
x
ϕ
- комплексные функции из пространства
2
L
, то их скалярное произведение есть:
( ) ( )
dx
x
x
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
∫
*
Покажем, что для любых векторов линейного пространства со скалярным произведением выполняется следующее неравенство Коши- Буняковского:
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Для определенности, при проведении выкладок будем иметь ввиду функции из пространства
2
L
Предположим вначале, что скалярное произведение
ψ
ϕ
- действительное число.
Пусть
ξ
- действительный параметр. Рассмотрим следующую заведомо неотрицательную функцию от
ξ
(эта функция представляет собой интеграл от заведомо неотрицательного выражения).
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
∫
≥
ξϕ
+
ψ
ξϕ
+
ψ
=
ξ
0
*
*
dx
x
x
x
x
F
В обозначениях Дирака имеем:
( )
(
)(
)
ϕ
ξ
+
ψ
ϕ
ξ
+
ψ
=
ξ
F
В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:
( )
ψ
ψ
+
ψ
ϕ
ξ
+
ϕ
ϕ
ξ
=
ξ
2 2
F
Здесь мы учли предположение о действительности рассматриваемого скалярного произведения, т.е.
ϕ
ψ
=
ψ
ϕ
24
Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:
(
)
0 4
4 2
≤
ψ
ψ
ϕ
ϕ
−
ψ
ϕ
Таким образом в рассматриваемом случае выполняется неравенство
Коши- Буняковского:
(
)
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Предположим теперь, что
ψ
ϕ
- комплексное число. Пусть
( )
α
=
ψ
ϕ
i
r exp
, где
r
и
α
- действительные числа.
Введем функцию, отличающуюся от
( )
x
ϕ
только фазой
( ) ( ) ( )
α
ϕ
=
ϕ
i
x
x
exp
Тогда
r
=
ψ
ϕ
является действительным числом и для него выполняется доказанное выше неравенство:
(
)
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Учтем, что введенное фазовое преобразование не меняет модуля скалярного произведения, поэтому:
(
)
2 2
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
,
ϕ
ϕ
=
ϕ
ϕ
Таким образом, неравенство Коши- Буняковского выполняется и в общем случае:
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Введем величину
F
, называемую согласованностью (fidelity) квантовых состояний
( )
x
ϕ
и
( )
x
ψ
ψ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
=
2
F
Для состояний, нормированных на единицу, имеем просто:
25 2
ψ
ϕ
=
F
Из неравенства Коши- Буняковского следует, что
1 0
≤
≤ F
Если исходить из этого неравенства, то заманчиво предположить, что
F
задает некоторую вероятность. Так оно и есть. Статистический смысл величины
F
заключается в том, что она задает вероятность обнаружения
квантовой системы в состоянии
( )
x
ϕ
при условии, что она была приготовлена в состоянии
( )
x
ψ
Обмен информацией в природе предполагает, что состояние
( )
x
ψ
, приготовленное (созданное) на одном конце (в системе «передатчик») может быть обнаружено (воспринято) таковым в другой системе-«приёмнике». В идеальном случае «приемник» может быть настроен на получение того же квантового состояния, когда
( ) ( )
x
x
ψ
=
ϕ
(с точностью до фазового множителя). В этом случае
1
=
F
. В действительности состояния
( )
x
ψ
и
( )
x
ϕ
, на которые настроен приемник и передатчик соответственно, всегда хотя бы немного отличаются и
1
<
F
. В рассматриваемом случае, таким образом,
F
задает вероятность «успеха» приемно- передающего акта.
2.2.Неравенство Коши- Буняковского в приложении к случайным
величинам
Пусть
( )
x
Y
Y
=
и
( )
x
Z
Z
=
- действительные случайные величины, представляющие собой произвольные функции от координаты
x
. Пусть
ξ
- действительный параметр. Рассмотрим заведомо неотрицательную функцию от
ξ
:
( )
(
)
0 2
≥
ψ
+
ξ
ψ
=
ξ
Z
Y
F
26
В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
Z
M
YZ
M
Y
M
F
+
ξ
+
ξ
=
ξ
Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:
( )
(
)
( ) ( )
0 4
4 2
2 2
≤
−
Z
M
Y
M
YZ
M
Таким образом для любых (коммутирующих) случайных величин выполняется неравенство Коши- Буняковского:
( )
(
)
( ) ( )
2 2
2
Z
M
Y
M
YZ
M
≤
В частности, если в качестве случайных величин рассмотреть величины
( )
Y
M
Y
−
и
( )
Z
M
Z
−
, приведенные к нулевым средним значениям, то для дисперсий получим неравенство:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
[
]
2
Z
M
Z
Y
M
Y
M
D
D
Z
Y
−
−
≥
Из последнего выражения следует неравенство для коэффициента корреляции
1 2
≤
r
Напомним, что коэффициент корреляции между случайными величинами
Y
и
Z
определяется формулой:
( )
(
)
( )
(
)
[
]
Z
Y
D
D
Z
M
Z
Y
M
Y
M
r
−
−
=
Квадрат коэффициента корреляции иногда называют коэффициентом детерминации. Этот коэффициент показывает, в какой мере случайная величина
Y
определяет (детерминирует) случайную величину
Z
и наоборот.
27
Можно показать, что неравенство Коши- Буняковского обращается в равенство в том и только том случае, когда случайные величины
Y
и
Z
линейно связаны между собой.
2.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и
импульса
Модифицируем приведенный выше пример. Рассмотрим вместо
Z
Y
+
ξ
выражение
x
x
+
∂
∂
ξ
. Заметим, что оператор производной не является эрмитовым, потому что
x
x
∂
∂
−
=
∂
∂
+
. Чтобы запись сделать более наглядной введем эрмитов оператор импульса
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
Рассмотрим как и при выводе неравенства Коши- Буняковского заведомо неотрицательную функцию от действительного параметра
ξ
( )
(
)(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
+
ξ
+
ξ
−
ψ
=
ξ
x
p
i
x
p
i
F
В развернутой записи имеем:
( )
( )
(
)
( )
2 2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x
M
p
x
x
p
M
i
p
M
F
+
−
ξ
−
ξ
=
ξ
Учтем каноническое коммутационное соотношение
i
p
x
x
p
−
=
− ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
В качестве наблюдаемых рассмотрим величины
( )
x
M
x
ˆ
ˆ
−
и
( )
p
M
p
ˆ
ˆ
−
, которые, очевидно, удовлетворяют тому же коммутационному соотношению.
Тогда для произведения дисперсий координаты и импульса получим искомое соотношение неопределенностей Гейзенберга :
4 1
≥
p
x
D
D
28
Дисперсия импульса есть средний квадрат импульса минус средний импульс в квадрате:
( )
( )
(
)
2 2
ˆ
ˆ
p
M
p
M
D
p
−
=
В развернутой записи средний квадрат импульса есть:
( )
( )
( )
( )
( )
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
p
M
ψ
∂
∂
ψ
∂
∂
=
ψ
∂
∂
ψ
−
=
∫
∫
∫
*
*
ˆ
2 2
2
Как следует из приведенных выкладок, неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда при некотором
ξ
:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
+
ξ
x
p
i
Это равенство имеет место только для гауссова состояния (основного состояния гармонического осциллятора).
Решение полученного уравнения в координатном и импульсном представлении соответственно есть:
( )
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
−
πσ
=
ψ
2 2
0 4
/
1 2
4
exp
2 1
x
x
x
x
x
( )
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
−
πσ
=
ψ
2 2
0 4
/
1 2
4
exp
2 1
p
p
p
p
p
Здесь
0
x
и
2
x
σ
- соответственно среднее и дисперсия для распределения координаты, а
0
p
и
2
p
σ
- соответственно среднее и дисперсия для распределения импульса.
Дисперсия координаты и импульса полученного гауссовского состояния определяются введенным параметром
ξ
2 2
ξ
=
σ
x
,
ξ
=
σ
2 1
2
p
29
Таким образом, рассматриваемые величины оказываются связанными между собой минимальным соотношением неопределенностей:
4 1
2 2
=
σ
σ
p
x
Мы видим, что состояние, минимизирующее соотношение неопределенностей, описывается действительной функцией.
Это обстоятельство неслучайно. Нетрудно видеть, что добавление произвольного фазового множителя к действительной координатной пси- функции не может уменьшить дисперсию импульса и, таким образом, не может усилить рассматриваемое неравенство.
2.4.
Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона
Неравенство, предложенное Шредингером и Робертсоном, отражает в себе свойства, присущие как неравенству Коши- Буняковского, так и соотношению неопределенностей Гейзенберга и, в известном смысле, может считаться их обобщением [35,36].
Пусть
1
z
и
2
z
- две произвольные наблюдаемые. Без ограничения общности будем считать их центрированными:
( )
( )
0 2
1
=
=
z
M
z
M
Рассмотрим следующее заведомо неотрицательное выражение:
( )
( )
(
)
( )
(
)
ψ
+
ϕ
ξ
+
ϕ
−
ξ
ψ
=
ξ
1 2
1 2
exp exp
z
z
i
z
z
i
F
Здесь
ξ
- произвольное действительное число,
ϕ
- тоже действительное, но фиксированное число (фаза, выбор которой мы осуществим позднее).
Определим ковариацию величин как
(
)
ψ
+
ψ
=
1 2
2 1
2 1
2 1
,
cov
z
z
z
z
z
z
Заметим, что симметризация произведения наблюдаемых потребовалась нам, чтобы сделать соответствующий оператор эрмитовым.
30
Пусть:
iC
z
z
z
z
=
−
2 2
1
, где
C
- эрмитов оператор. Тогда:
( )
ψ
−
ψ
−
=
1 2
2 1
z
z
z
z
i
C
M
В развернутой записи выражение для
( )
ξ
F
имеет вид:
( )
( )
(
) ( )
( ) ( )
(
)
( )
2 1
2 1
2 2
2
sin cos
,
cov
2
z
M
C
M
z
z
z
M
F
+
ϕ
−
ϕ
ξ
+
ξ
=
ξ
Пусть:
(
)
(
)
( )
(
)
2 2
2 1
2
,
cov
4
C
M
z
z
+
=
ρ
,
Очевидно, можно найти такой угол
β
, чтобы выполнялись тождества:
(
)
( )
β
ρ
= cos
,
cov
2 2
1
z
z
( )
( )
β
ρ
= sin
C
M
Тогда:
( )
( )
(
)
( )
0
cos
2 1
2 2
2
≥
+
β
+
ϕ
ξρ
+
ξ
=
ξ
z
M
z
M
F
Распорядимся произволом в выборе фазы
ϕ
, чтобы обеспечить выполнение равенства
(
)
1
cos
=
β
+
ϕ
. Указанный выбор, очевидно, обеспечит получение наиболее сильного неравенства:
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
ρ
≥
=
4
,
cov
4 2
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
C
M
z
z
z
D
z
D
z
M
z
M
Определим коэффициент корреляции между наблюдаемыми
1
z
и
2
z
как:
(
)
( ) ( )
2 1
2 1
,
cov
z
D
z
D
z
z
r
=
В результате, искомое неравенство (соотношение неопределенностей
Шредингера- Робертсона) примет вид:
( ) ( )
( )
(
)
4 2
2 2
1
K
C
M
z
D
z
D
≥
,
31
где
2 1
1
r
K
−
=
Введенный параметр
K
есть аналог известного числа Шмидта [37]. Это число имеет фундаментальное значение для описания квантовых корреляций и квантовой информации (см. Приложение к Главе 3).
Пусть теперь рассматриваемые наблюдаемые есть операторы координаты и импульса соответственно:
x
z
=
1
,
p
z
=
2
Тогда, в силу фундаментального перестановочного соотношения для координаты и импульса,
C
есть тождественный оператор (единичная матрица).
В этом случае соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона будет иметь вид:
( ) ( )
4 2
K
p
D
x
D
≥
Пусть
( )
x
D
x
=
Δ
,
( )
p
D
p
=
Δ
- неопределенности
(стандартные отклонения) для координаты и импульса. Тогда:
2
K
p
x
≥
Δ
Δ
Таким образом, если координата и импульс коррелируют друг с другом, произведение их неопределенностей возрастает в
K
раз по сравнению с величиной, определяемой неравенством Гейзенберга.
Заметим, что в силу некоммутативности координаты и импульса, их квантовая ковариация не может быть оценена по выборке подобно классической ковариации. Для вычисления соответствующей оценки нужно знать априори (или оценить по результатам взаимно- дополнительных измерений) вектор состояния (волновую функцию). Пусть:
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
,
32
где действительные функции
( )
x
P
и
( )
x
S
есть соответственно плотность и фаза пси- функции. Заметим, что фаза
( )
x
S
есть аналог классического действия механической системы.
Используя функции плотности и фазы, нетрудно получить следующее простое представление для ковариации координаты и импульса:
( )
( ) ( )
∫
∂
∂
=
ψ
+
ψ
=
dx
x
P
x
x
S
x
x
p
p
x
p
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2 1
,
cov
Наглядность полученного результата обусловлена тем, что в классической механике производная от функции действия
x
S
∂
∂
есть импульс.
2.5. Многомерное соотношение неопределенностей
Рассмотрим пространство размерности
s
Пусть
s
j
p
x
j
j
,...,
1
,
ˆ
,
ˆ
=
- соответствующие операторы координат и импульсов.
Вывод соотношения неопределенности в многомерном случае аналогичен одномерному, но теперь вместо действительного числа
ξ
следует ввести действительную симметричную матрицу
Ξ
с элементами
s
j
j
,...,
1
,
,
=
σ
ξ
σ
Такое видоизменение диктуется необходимостью придать рассматриваемым величинам геометрически инвариантный вид в гильбертовом пространстве.
Действительно для скалярного
ξ
, такая величина как
(
)
ψ
+
ξ
ρ
l
x
p
i
ˆ
ˆ
неинвариантна, потому что индексы
ρ
и
l
, вообще говоря, различны. В то же время, для матрицы
Ξ
величина
(
)
ψ
+
ξ
ρ
ρ
l
l
x
p
i
ˆ
ˆ
будет кет- вектором в гильбертовом пространстве (по повторяющемуся индексу
ρ
предполагается суммирование). Введем также действительный вектор
η
(
s
j
j
,...,
1
=
η
). С
33
его помощью, взяв скалярное произведение, преобразуем полученный кет- вектор в скаляр:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
η
+
ξ
ρ
ρ
l
l
l
x
p
i
Рассмотрим теперь следующее заведомо неотрицательное выражение (по повторяющимся индексам, как обычно, предполагается суммирование):
( )
(
)
(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
η
+
ξ
+
ξ
−
η
ψ
=
ξ
ρ
ρ
σ
σ
l
l
l
j
j
j
x
p
i
x
p
i
F
В развернутом виде получим:
( )
(
)
(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
+
ξ
−
ξ
−
ξ
ξ
η
η
ψ
=
ξ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
σ
ρ
σ
l
j
j
l
l
j
l
j
l
j
x
x
p
x
x
p
i
p
p
F
Чтобы использовать фундаментальные коммутационные соотношения между координатой и импульсом, перепишем последнее выражение, осуществив замену индексов
j
и
l
друг на друга, после чего сложим полученное выражение с исходным.
В качестве наблюдаемых будем использовать центрированные координаты и импульсы (имеющие нулевые средние).
В результате получим условие, согласно которому нижеследующее матричное выражение является неотрицательно определенным:
0
≥
Σ
+
Ξ
−
Ξ
ΞΣ
x
p
Напомним, что матрица
A
с элементами
jk
a
называется неотрицательно определенной, если для любого вектора
z
:
0
*
≥
=
k
j
jk
z
z
a
z
A
z
В полученном неравенстве мы ввели матрицы ковариаций координат и импульсов. Элементы этих матриц определяются выражениями
( )
ψ
ψ
=
Σ
l
j
jl
x
x
x ˆ
ˆ
( )
ψ
ψ
=
Σ
l
j
jl
p
p
p ˆ
ˆ
34
Учтем, что неотрицательная определенность матрицы ковариаций импульсов позволяет определить квадратный корень из нее.
Напомним, что произвольная эрмитова матрица
A
может быть приведена к диагональному виду, т.е. может быть представлена как:
+
= UDU
A
, где
U
- унитарная матрица, а
D
- действительная диагональная матрица.
Если, к тому же, матрица
A
неотрицательно определена, то неотрицательны и ее собственные значения, образующие диагональ матрицы
D
. В этом случае операция взятия квадратного корня из матрицы является хорошо определенной:
+
=
U
UD
A
2
/
1 2
/
1
С использованием понятия матричного квадратного корня, полученное выше неравенство можно представить в виде:
0 4
1 2
1 2
1 1
2
/
1 2
/
1 2
/
1 2
/
1
≥
Σ
+
Σ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−
Ξ
Σ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−
ΞΣ
−
−
−
x
p
p
p
p
p
Первое слагаемое слева заведомо неотрицательно определено (и обращается в ноль при
1 2
1
−
Σ
=
Ξ
p
). Отсюда следует, что и выражение
x
p
Σ
+
Σ
−
−1 4
1
неотрицательно определено, т.е.
p
x
Σ
≥
Σ
4 1
Полученное неравенство и есть искомое многомерное соотношение неопределенностей. Его смысл заключается в следующем: каково бы ни было квантовое состояние, матрица, равная разности
1 4
1
−
Σ
−
Σ
p
x
между матрицей ковариации координат и одной четвертой от матрицы, обратной к матрице ковариации импульсов, всегда является неотрицательно определенной.
35
Из приведенных расчетов следует, что неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда вектор состояния удовлетворяет следующему условию при
1 2
1
−
Σ
=
Ξ
p
:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
+
ξ
ρ
ρ
l
l
x
p
i
Отсюда получаем, что соответствующее состояние является гауссовским с матрицей ковариаций
p
Σ
в импульсном представлении и матрицей ковариаций
p
x
Σ
=
Σ
4 1
- в координатном.
Мы ограничились рассмотрением многомерного соотношения неопределенностей, которое является непосредственным обобщением одномерного соотношения неопределенностей Гейзенберга. Другие примеры обобщенных соотношений неопределенностей и, в частности, связанные с обобщением соотношения Шредингера- Робертсона можно найти в [35,36]
2.6. Информация Фишера
Рассмотрим квантовую систему, для которой пси- функция действительна:
( )
( )
x
P
x
=
ψ
. Использование таких пси- функций представляет собой простейший способ дополнения классической плотности распределения до квантового состояния. Для такой системы средний импульс равен нулю, а квадрат импульса есть:
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
dx
x
P
x
P
dx
x
P
x
x
P
x
p
M
∫
∫
′
=
∂
∂
∂
∂
=
2 2
4 1
ˆ
Здесь штрих означает производную по
x
Введем информацию Фишера, связанную с дисперсией импульса:
( )
( )
(
)
( )
dx
x
P
x
P
p
M
D
I
p
x
∫
′
=
=
=
2 2
ˆ
4 4
36
Тогда соотношение неопределенностей запишется в виде следующего неравенства:
1
≥
x
x
I
D
Полученное неравенство аналогично неравенству Рао- Крамера, рассматриваемому в следующем разделе
2.7. Неравенство Рао- Крамера
Рассмотрим снова ситуацию, когда плотность распределения дополняется до квантового состояния.
Пусть распределение вероятностей и соответствующее квантовое состояние зависят от некоторого действительного параметра
θ
, т.е.:
( )
( )
θ
=
θ
ψ
x
P
x
Пусть
θˆ
есть несмещенная оценка неизвестного параметра
θ
, основанная на выборке объема
n
в координатном пространстве, т.е.
(
)
n
x
x ,...,
ˆ
ˆ
1
θ
=
θ
Условие несмещенности означает, что среднее значение (математическое ожидание) выборочной оценки
θˆ
совпадает с истинным значением параметра
θ
, т.е.
( )
( ) ( )
(
)
∫
θ
=
⋅⋅
⋅
θ
⋅
θ
⋅⋅
⋅
θ
=
θ
n
n
n
dx
dx
x
x
x
P
x
P
M
1 1
1
,...,
ˆ
ˆ
Примерами несмещенных оценок могут служить известные оценки математического ожидания и дисперсии [31]:
n
x
x
x
n
+
+
=
1
(
)
∑
=
−
−
=
n
k
k
x
x
n
s
1 2
2 1
1
Пусть
θ
∂
∂
−
=
θ
i
p
- оператор, канонически сопряженный параметру
θ
37
Нашей целью является вывод следующего соотношения, называемого неравенством Рао-Крамера:
1
≥
θ
θ
I
D
Здесь введена информация Фишера, которая имеет вид:
( )
(
)
( )
( ) ( )
dx
x
P
x
P
n
dx
x
P
x
P
n
I
θ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
θ
∂
θ
∂
=
θ
θ
∂
θ
∂
=
∫
∫
θ
2 2
ln
/
Воспользуемся тем, что вектор состояния для выборки может быть определен следующим выражением
(
)
( ) ( )
θ
⋅⋅
⋅
θ
=
ψ
n
n
x
P
x
P
x
x
1 1
,...,
Проведем подробные вычисления. Пусть
(
)
ˆ
ψ
ξ
θ θ ψ
θ
∂
+
−
∂
- кет вектор, где
ξ
, как и ранее, произвольный действительный параметр,
( )
ˆ
ψ
ξ
θ θ ψ
θ
∗
∗
∂
+
−
∂
- соответствующий бра- вектор.
Заведомо неотрицательное выражение есть:
( )
(
)
(
)
*
*
ˆ
ˆ
F
dx
ψ
ψ
ξ
ξ
θ θ ψ
ξ
θ θ ψ
θ
θ
⎛
⎞
∂
∂
⎛
⎞
=
+
−
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
∫
Здесь для сокращения записи мы полагаем, что
n
dx
dx
dx
⋅
⋅
⋅
=
1
,
(
)
n
x
x ,...,
1
ψ
ψ
=
В развернутой записи имеем:
( )
0 2
≥
+
+
=
c
b
a
F
ξ
ξ
ξ
, где
dx
I
a
θ
∂
ψ
∂
θ
∂
ψ
∂
=
=
∫
θ
*
4
38
( )
dx
b
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ψ
θ
∂
ψ
∂
+
θ
∂
ψ
∂
ψ
θ
−
θ
=
*
*
ˆ
( )
θ
=
ψ
ψ
θ
−
θ
=
∫
D
dx
с
*
ˆ
2
Можно показать, что
1
−
=
b
. Для этого достаточно представить подинтегральное выражение с помощью формулы для производной произведения в виде
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
ψ
ψ
−
θ
∂
ψ
ψ
θ
−
θ
∂
=
=
θ
∂
θ
−
θ
∂
ψ
ψ
−
θ
∂
ψ
ψ
θ
−
θ
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ψ
θ
∂
ψ
∂
+
θ
∂
ψ
∂
ψ
θ
−
θ
*
*
ˆ
ˆ
*
*
ˆ
*
*
ˆ
Интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу несмещенности оценки. В результате, учитывая условие нормировки, получаем, что
1
−
=
b
Из условия
0 4
2
≤
− ac
b
для дискриминанта получаем искомый результат
– неравенство Рао-Крамера [38- 40]:
θ
θ
≥
I
D
1
Заметим, что мы провели вычисления не только для предполагаемого случая действительных векторов состояния, но и для более общего случая комплексных пси- функций.
В этом случае информация Фишера есть:
dx
I
θ
∂
ψ
∂
θ
∂
ψ
∂
=
∫
θ
*
4
Информация Фишера является аналогом дисперсии импульса и отличается от последней множителем 4 и тем, что под интегралом идет дифференцирование по параметру, а не по координате.
Для случая действительных пси- функций, как нетрудно показать, имеет место приведенное выше выражение для информации Фишера (6). При
39
выводе следует воспользоваться легко проверяемым свойством аддитивности информации Фишера (информация от
n
независимых представителей в
n
раз превосходит информацию от одного представителя).
Полученное неравенство, очевидно, является наиболее сильным для случая, когда информация Фишера
θ
I
минимальна. Как и в случае соотношения неопределенности Гейзенберга, можно показать, что добавление произвольного фазового множителя к действительной пси- функции не может привести к уменьшению информации Фишера.
Выше мы видели, что соотношение неопределенностей из неравенства превращается в равенство для гауссова состояния. Аналогичный результат справедлив и для неравенства Рао- Крамера. Последнее превращается в равенство для оценок, имеющих нормальное распределение и только для них.
Такие оценки называются эффективными.
Выше мы предполагали несмещенность статистической оценки. Однако, проведенные выкладки позволяют также получить более общее неравенство
Рао- Крамера, пригодное и для смещенных оценок. В этом случае оно имеет вид:
( )
( )
(
)
θ
θ
β′
+
≥
θ
−
θ
I
M
2 2
1
ˆ
(2.1) где
( )
( )
θ
−
θ
=
θ
β
ˆ
M
- смещение оценки.
(2.2)
Заметим, что в представленном неравенстве слева вместо обычной дисперсии стоит величина, которая характеризует рассеяние выборочной оценки
θˆ
относительно истинного значения
θ
Задача 2.1 Обоснуйте неравенство Рао- Крамера (2.1)- (1.2), учитывающее возможную смещенность оценки.
40
2.8. Многомерное неравенство Рао- Крамера и корневая оценка
«Смотри в корень!» (Козьма Прутков «Мысли и афоризмы»,
№228).
Неравенство Рао- Крамера, также как и соотношение неопределенностей, может быть обобщено на многомерный случай.
Можно показать, что для любой несмещенной оценки
θˆ
неизвестного многомерного параметра
θ
матрица
1
−
θ
θ
−
Σ
I
является неотрицательно определенной:
0 1
≥
−
Σ
−
θ
θ
I
В случае оценок, близких к эффективным, соответствующая разность близка к нулю. Примером таких оценок могут служить оценки максимального правдоподобия, которые обладают свойством асимптотической эффективности [38- 40].
Здесь
θ
Σ
- матрица ковариации оценки
θˆ
. Элементы матрицы информации Фишера
θ
I
могут быть представлены в виде:
( )
( )
( ) ( )
dx
x
P
x
P
x
P
n
I
k
j
jk
θ
θ
∂
θ
∂
θ
∂
θ
∂
=
∫
θ
ln ln
(2.3)
С точки зрения квантовой информатики принципиально важно, что выражение для информационной матрицы Фишера радикально упрощается, если ввести пси – функцию (здесь для простоты мы считаем ее действительной) [41,42].
( )
( ) ( )
dx
x
x
n
I
k
j
jk
∫
θ
∂
θ
ψ
∂
θ
∂
θ
ψ
∂
=
θ
41
Для задач статистики фундаментальное значение имеет матрица, обратная к матрице информации Фишера. В силу сложности выражения (2.3) для многопараметрической матрицы информации Фишера, получаемые на его основе оценки обратной матрицы, как правило, являются плохо обусловленными. Единственным известным исключением является так называемая корневая оценка, основанная на введении пси – функции.
Приведем кратко соответствующие результаты. Более подробное изложение можно найти в [41,42].
Пусть разложение пси- функции по набору ортонормированных базисных функций
( )
1
,...,
1
,
0
−
=
ϕ
s
j
x
j
имеет вид:
( )
(
)
( )
( )
( )
x
c
x
c
x
c
c
x
s
s
s
1 1
1 1
0 2
1 2
1 1
−
−
−
ϕ
+
+
ϕ
+
ϕ
+
+
−
=
ψ
(2.4)
Здесь мы исключили из числа оцениваемых параметров коэффициент
(
)
2 1
2 1
0 1
−
+
+
−
=
s
c
c
c
, так как, согласно условию нормировки, он рассчитывается через другие коэффициенты.
Величины
1 2
1
,...,
,
−
s
c
c
c
являются независимыми оцениваемыми параметрами.
В случае корневого разложения (2.4) информационная матрица ij
I
имеет порядок
(
) (
)
1 1
−
×
−
s
s
и выражается в следующем простом виде:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
δ
=
2 0
4
c
c
c
n
I
j
i
ij
ij
, где
(
)
2 1
2 1
0 1
−
+
+
−
=
s
c
c
c
Замечательной особенностью полученного выражения является его независимость от выбора базисных функций. Оказывается, что этим свойством обладает только корневая оценка плотности.
42
Матрица ковариаций оценки вектора состояния
ˆc
, в случае оценок, близких к эффективным, есть приближенно матрица, обратная к матрице информации Фишера:
( )
( )
c
I
c
1
ˆ
−
=
Σ
Компоненты этой матрицы есть:
(
)
j
i
ij
ij
c
c
n
−
δ
=
Σ
4 1
1
,...,
1
,
−
=
s
j
i
(2.5)
Полученную матрицу ковариаций можно расширить, добавив в нее ковариации компоненты
0
ˆc
вектора состояния с остальными компонентами.
Оказывается, что общая матрица ковариаций будет иметь тот же самый вид, что и (2.5), но теперь
1
,...,
1
,
0
,
−
=
s
j
i
Таким образом, модель статистики, основанная на введении пси- функции, корневом разложении и методах квантовой информатики, является выделенной по отношению к любым другим мыслимым моделям. Её преимущества обусловлены простотой, универсальностью и хорошими вычислительными свойствами. Выражаясь в духе Дирака, можно сказать, что
«Природа просто не могла не воспользоваться столь красивой математической моделью».
Эффективность корневого подхода в задачах восстановления квантовых состояний была подтверждена в работах [43-47]. Была показана возможность экспериментального восстановления оптических квантовых состояний так называемого бифотонного поля с высокой точностью, которая значительно превосходит уровень других известных экспериментов.
Опыт квантовой физики показывает, что при описании поведения микрообъектов целесообразно отказаться от явно ограниченных представлений, сводящих квантовые системы к механическим частицам, волнам и т.п. Вместо механистических картин явлений следует использовать статистическое описание квантовых состояний, которое оказывается наиболее
43
естественным и полным. При этом, само статистическое описание не должно ассоциироваться с механистическими моделями, основанными на случайном механическом выборе объектов, бросании монеты, игральной кости и т.п.
Выше мы пытались показать, что наиболее фундаментальные представления о вероятности никак не связаны с такими механическими моделями и аналогиями. Статистическая модель, в основе которой лежит вектор состояния в гильбертовом пространстве и есть наиболее общая и универсальная модель теории вероятностей.
44
1 2 3 4 5 6 7 8
Глава 2. Точность статистических характеристик гильбертова
пространства
В настоящей главе мы увидим, что различного вида неравенства Коши-
Буняковского, соотношения неопределенностей, а также неравенства Рао-
Крамера получаются, по- существу, с помощью одного и того же математического приема, сводящегося к элементарному требованию неотрицательности некоторого квадратного трехчлена. В разделах 2.1- 2.3 с использованием принципов квантовой информатики излагаются элементарные сведения, связанные с неравенством Коши- Буняковского и соотношением неопределенностей. В разделе 2.4 представлено так называемое соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона. В разделе 2.5 рассмотрено многомерное соотношение неопределенностей.
Информация Фишера и неравенство Рао- Крамера, известные еще из классической математической статистики, изучаются в разделах 2.6- 2.8 с новой квантово- информационной точки зрения.
2.1. Неравенство Коши- Буняковского для векторов состояния и его
статистическая интерпретация
Рассматриваемое неравенство имеет место для векторов произвольных линейных пространств, в которых определено понятие скалярного произведения. Приведем примеры таких пространств.
В комплексном конечномерном пространстве
s
C
размерности
s
скалярное произведение двух векторов определяется следующей формулой (в обозначениях Дирака):
∑
=
∗
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
s
j
j
j
1
В бесконечномерном гильбертовом пространстве
2
l
аналогичное определение имеет вид:
23
∑
∞
=
∗
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
1
j
j
j
Наконец, если
( )
x
ψ
и
( )
x
ϕ
- комплексные функции из пространства
2
L
, то их скалярное произведение есть:
( ) ( )
dx
x
x
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
∫
*
Покажем, что для любых векторов линейного пространства со скалярным произведением выполняется следующее неравенство Коши- Буняковского:
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Для определенности, при проведении выкладок будем иметь ввиду функции из пространства
2
L
Предположим вначале, что скалярное произведение
ψ
ϕ
- действительное число.
Пусть
ξ
- действительный параметр. Рассмотрим следующую заведомо неотрицательную функцию от
ξ
(эта функция представляет собой интеграл от заведомо неотрицательного выражения).
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
∫
≥
ξϕ
+
ψ
ξϕ
+
ψ
=
ξ
0
*
*
dx
x
x
x
x
F
В обозначениях Дирака имеем:
( )
(
)(
)
ϕ
ξ
+
ψ
ϕ
ξ
+
ψ
=
ξ
F
В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:
( )
ψ
ψ
+
ψ
ϕ
ξ
+
ϕ
ϕ
ξ
=
ξ
2 2
F
Здесь мы учли предположение о действительности рассматриваемого скалярного произведения, т.е.
ϕ
ψ
=
ψ
ϕ
24
Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:
(
)
0 4
4 2
≤
ψ
ψ
ϕ
ϕ
−
ψ
ϕ
Таким образом в рассматриваемом случае выполняется неравенство
Коши- Буняковского:
(
)
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Предположим теперь, что
ψ
ϕ
- комплексное число. Пусть
( )
α
=
ψ
ϕ
i
r exp
, где
r
и
α
- действительные числа.
Введем функцию, отличающуюся от
( )
x
ϕ
только фазой
( ) ( ) ( )
α
ϕ
=
ϕ
i
x
x
exp
Тогда
r
=
ψ
ϕ
является действительным числом и для него выполняется доказанное выше неравенство:
(
)
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Учтем, что введенное фазовое преобразование не меняет модуля скалярного произведения, поэтому:
(
)
2 2
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
,
ϕ
ϕ
=
ϕ
ϕ
Таким образом, неравенство Коши- Буняковского выполняется и в общем случае:
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Введем величину
F
, называемую согласованностью (fidelity) квантовых состояний
( )
x
ϕ
и
( )
x
ψ
ψ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
=
2
F
Для состояний, нормированных на единицу, имеем просто:
25 2
ψ
ϕ
=
F
Из неравенства Коши- Буняковского следует, что
1 0
≤
≤ F
Если исходить из этого неравенства, то заманчиво предположить, что
F
задает некоторую вероятность. Так оно и есть. Статистический смысл величины
F
заключается в том, что она задает вероятность обнаружения
квантовой системы в состоянии
( )
x
ϕ
при условии, что она была приготовлена в состоянии
( )
x
ψ
Обмен информацией в природе предполагает, что состояние
( )
x
ψ
, приготовленное (созданное) на одном конце (в системе «передатчик») может быть обнаружено (воспринято) таковым в другой системе-«приёмнике». В идеальном случае «приемник» может быть настроен на получение того же квантового состояния, когда
( ) ( )
x
x
ψ
=
ϕ
(с точностью до фазового множителя). В этом случае
1
=
F
. В действительности состояния
( )
x
ψ
и
( )
x
ϕ
, на которые настроен приемник и передатчик соответственно, всегда хотя бы немного отличаются и
1
<
F
. В рассматриваемом случае, таким образом,
F
задает вероятность «успеха» приемно- передающего акта.
2.2.Неравенство Коши- Буняковского в приложении к случайным
величинам
Пусть
( )
x
Y
Y
=
и
( )
x
Z
Z
=
- действительные случайные величины, представляющие собой произвольные функции от координаты
x
. Пусть
ξ
- действительный параметр. Рассмотрим заведомо неотрицательную функцию от
ξ
:
( )
(
)
0 2
≥
ψ
+
ξ
ψ
=
ξ
Z
Y
F
26
В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
Z
M
YZ
M
Y
M
F
+
ξ
+
ξ
=
ξ
Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:
( )
(
)
( ) ( )
0 4
4 2
2 2
≤
−
Z
M
Y
M
YZ
M
Таким образом для любых (коммутирующих) случайных величин выполняется неравенство Коши- Буняковского:
( )
(
)
( ) ( )
2 2
2
Z
M
Y
M
YZ
M
≤
В частности, если в качестве случайных величин рассмотреть величины
( )
Y
M
Y
−
и
( )
Z
M
Z
−
, приведенные к нулевым средним значениям, то для дисперсий получим неравенство:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
[
]
2
Z
M
Z
Y
M
Y
M
D
D
Z
Y
−
−
≥
Из последнего выражения следует неравенство для коэффициента корреляции
1 2
≤
r
Напомним, что коэффициент корреляции между случайными величинами
Y
и
Z
определяется формулой:
( )
(
)
( )
(
)
[
]
Z
Y
D
D
Z
M
Z
Y
M
Y
M
r
−
−
=
Квадрат коэффициента корреляции иногда называют коэффициентом детерминации. Этот коэффициент показывает, в какой мере случайная величина
Y
определяет (детерминирует) случайную величину
Z
и наоборот.
27
Можно показать, что неравенство Коши- Буняковского обращается в равенство в том и только том случае, когда случайные величины
Y
и
Z
линейно связаны между собой.
2.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и
импульса
Модифицируем приведенный выше пример. Рассмотрим вместо
Z
Y
+
ξ
выражение
x
x
+
∂
∂
ξ
. Заметим, что оператор производной не является эрмитовым, потому что
x
x
∂
∂
−
=
∂
∂
+
. Чтобы запись сделать более наглядной введем эрмитов оператор импульса
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
Рассмотрим как и при выводе неравенства Коши- Буняковского заведомо неотрицательную функцию от действительного параметра
ξ
( )
(
)(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
+
ξ
+
ξ
−
ψ
=
ξ
x
p
i
x
p
i
F
В развернутой записи имеем:
( )
( )
(
)
( )
2 2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x
M
p
x
x
p
M
i
p
M
F
+
−
ξ
−
ξ
=
ξ
Учтем каноническое коммутационное соотношение
i
p
x
x
p
−
=
− ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
В качестве наблюдаемых рассмотрим величины
( )
x
M
x
ˆ
ˆ
−
и
( )
p
M
p
ˆ
ˆ
−
, которые, очевидно, удовлетворяют тому же коммутационному соотношению.
Тогда для произведения дисперсий координаты и импульса получим искомое соотношение неопределенностей Гейзенберга :
4 1
≥
p
x
D
D
28
Дисперсия импульса есть средний квадрат импульса минус средний импульс в квадрате:
( )
( )
(
)
2 2
ˆ
ˆ
p
M
p
M
D
p
−
=
В развернутой записи средний квадрат импульса есть:
( )
( )
( )
( )
( )
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
p
M
ψ
∂
∂
ψ
∂
∂
=
ψ
∂
∂
ψ
−
=
∫
∫
∫
*
*
ˆ
2 2
2
Как следует из приведенных выкладок, неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда при некотором
ξ
:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
+
ξ
x
p
i
Это равенство имеет место только для гауссова состояния (основного состояния гармонического осциллятора).
Решение полученного уравнения в координатном и импульсном представлении соответственно есть:
( )
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
−
πσ
=
ψ
2 2
0 4
/
1 2
4
exp
2 1
x
x
x
x
x
( )
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
−
πσ
=
ψ
2 2
0 4
/
1 2
4
exp
2 1
p
p
p
p
p
Здесь
0
x
и
2
x
σ
- соответственно среднее и дисперсия для распределения координаты, а
0
p
и
2
p
σ
- соответственно среднее и дисперсия для распределения импульса.
Дисперсия координаты и импульса полученного гауссовского состояния определяются введенным параметром
ξ
2 2
ξ
=
σ
x
,
ξ
=
σ
2 1
2
p
29
Таким образом, рассматриваемые величины оказываются связанными между собой минимальным соотношением неопределенностей:
4 1
2 2
=
σ
σ
p
x
Мы видим, что состояние, минимизирующее соотношение неопределенностей, описывается действительной функцией.
Это обстоятельство неслучайно. Нетрудно видеть, что добавление произвольного фазового множителя к действительной координатной пси- функции не может уменьшить дисперсию импульса и, таким образом, не может усилить рассматриваемое неравенство.
2.4.
Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона
Неравенство, предложенное Шредингером и Робертсоном, отражает в себе свойства, присущие как неравенству Коши- Буняковского, так и соотношению неопределенностей Гейзенберга и, в известном смысле, может считаться их обобщением [35,36].
Пусть
1
z
и
2
z
- две произвольные наблюдаемые. Без ограничения общности будем считать их центрированными:
( )
( )
0 2
1
=
=
z
M
z
M
Рассмотрим следующее заведомо неотрицательное выражение:
( )
( )
(
)
( )
(
)
ψ
+
ϕ
ξ
+
ϕ
−
ξ
ψ
=
ξ
1 2
1 2
exp exp
z
z
i
z
z
i
F
Здесь
ξ
- произвольное действительное число,
ϕ
- тоже действительное, но фиксированное число (фаза, выбор которой мы осуществим позднее).
Определим ковариацию величин как
(
)
ψ
+
ψ
=
1 2
2 1
2 1
2 1
,
cov
z
z
z
z
z
z
Заметим, что симметризация произведения наблюдаемых потребовалась нам, чтобы сделать соответствующий оператор эрмитовым.
30
Пусть:
iC
z
z
z
z
=
−
2 2
1
, где
C
- эрмитов оператор. Тогда:
( )
ψ
−
ψ
−
=
1 2
2 1
z
z
z
z
i
C
M
В развернутой записи выражение для
( )
ξ
F
имеет вид:
( )
( )
(
) ( )
( ) ( )
(
)
( )
2 1
2 1
2 2
2
sin cos
,
cov
2
z
M
C
M
z
z
z
M
F
+
ϕ
−
ϕ
ξ
+
ξ
=
ξ
Пусть:
(
)
(
)
( )
(
)
2 2
2 1
2
,
cov
4
C
M
z
z
+
=
ρ
,
Очевидно, можно найти такой угол
β
, чтобы выполнялись тождества:
(
)
( )
β
ρ
= cos
,
cov
2 2
1
z
z
( )
( )
β
ρ
= sin
C
M
Тогда:
( )
( )
(
)
( )
0
cos
2 1
2 2
2
≥
+
β
+
ϕ
ξρ
+
ξ
=
ξ
z
M
z
M
F
Распорядимся произволом в выборе фазы
ϕ
, чтобы обеспечить выполнение равенства
(
)
1
cos
=
β
+
ϕ
. Указанный выбор, очевидно, обеспечит получение наиболее сильного неравенства:
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
ρ
≥
=
4
,
cov
4 2
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
C
M
z
z
z
D
z
D
z
M
z
M
Определим коэффициент корреляции между наблюдаемыми
1
z
и
2
z
как:
(
)
( ) ( )
2 1
2 1
,
cov
z
D
z
D
z
z
r
=
В результате, искомое неравенство (соотношение неопределенностей
Шредингера- Робертсона) примет вид:
( ) ( )
( )
(
)
4 2
2 2
1
K
C
M
z
D
z
D
≥
,
31
где
2 1
1
r
K
−
=
Введенный параметр
K
есть аналог известного числа Шмидта [37]. Это число имеет фундаментальное значение для описания квантовых корреляций и квантовой информации (см. Приложение к Главе 3).
Пусть теперь рассматриваемые наблюдаемые есть операторы координаты и импульса соответственно:
x
z
=
1
,
p
z
=
2
Тогда, в силу фундаментального перестановочного соотношения для координаты и импульса,
C
есть тождественный оператор (единичная матрица).
В этом случае соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона будет иметь вид:
( ) ( )
4 2
K
p
D
x
D
≥
Пусть
( )
x
D
x
=
Δ
,
( )
p
D
p
=
Δ
- неопределенности
(стандартные отклонения) для координаты и импульса. Тогда:
2
K
p
x
≥
Δ
Δ
Таким образом, если координата и импульс коррелируют друг с другом, произведение их неопределенностей возрастает в
K
раз по сравнению с величиной, определяемой неравенством Гейзенберга.
Заметим, что в силу некоммутативности координаты и импульса, их квантовая ковариация не может быть оценена по выборке подобно классической ковариации. Для вычисления соответствующей оценки нужно знать априори (или оценить по результатам взаимно- дополнительных измерений) вектор состояния (волновую функцию). Пусть:
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
,
32
где действительные функции
( )
x
P
и
( )
x
S
есть соответственно плотность и фаза пси- функции. Заметим, что фаза
( )
x
S
есть аналог классического действия механической системы.
Используя функции плотности и фазы, нетрудно получить следующее простое представление для ковариации координаты и импульса:
( )
( ) ( )
∫
∂
∂
=
ψ
+
ψ
=
dx
x
P
x
x
S
x
x
p
p
x
p
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2 1
,
cov
Наглядность полученного результата обусловлена тем, что в классической механике производная от функции действия
x
S
∂
∂
есть импульс.
2.5. Многомерное соотношение неопределенностей
Рассмотрим пространство размерности
s
Пусть
s
j
p
x
j
j
,...,
1
,
ˆ
,
ˆ
=
- соответствующие операторы координат и импульсов.
Вывод соотношения неопределенности в многомерном случае аналогичен одномерному, но теперь вместо действительного числа
ξ
следует ввести действительную симметричную матрицу
Ξ
с элементами
s
j
j
,...,
1
,
,
=
σ
ξ
σ
Такое видоизменение диктуется необходимостью придать рассматриваемым величинам геометрически инвариантный вид в гильбертовом пространстве.
Действительно для скалярного
ξ
, такая величина как
(
)
ψ
+
ξ
ρ
l
x
p
i
ˆ
ˆ
неинвариантна, потому что индексы
ρ
и
l
, вообще говоря, различны. В то же время, для матрицы
Ξ
величина
(
)
ψ
+
ξ
ρ
ρ
l
l
x
p
i
ˆ
ˆ
будет кет- вектором в гильбертовом пространстве (по повторяющемуся индексу
ρ
предполагается суммирование). Введем также действительный вектор
η
(
s
j
j
,...,
1
=
η
). С
33
его помощью, взяв скалярное произведение, преобразуем полученный кет- вектор в скаляр:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
η
+
ξ
ρ
ρ
l
l
l
x
p
i
Рассмотрим теперь следующее заведомо неотрицательное выражение (по повторяющимся индексам, как обычно, предполагается суммирование):
( )
(
)
(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
η
+
ξ
+
ξ
−
η
ψ
=
ξ
ρ
ρ
σ
σ
l
l
l
j
j
j
x
p
i
x
p
i
F
В развернутом виде получим:
( )
(
)
(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
+
ξ
−
ξ
−
ξ
ξ
η
η
ψ
=
ξ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
σ
ρ
σ
l
j
j
l
l
j
l
j
l
j
x
x
p
x
x
p
i
p
p
F
Чтобы использовать фундаментальные коммутационные соотношения между координатой и импульсом, перепишем последнее выражение, осуществив замену индексов
j
и
l
друг на друга, после чего сложим полученное выражение с исходным.
В качестве наблюдаемых будем использовать центрированные координаты и импульсы (имеющие нулевые средние).
В результате получим условие, согласно которому нижеследующее матричное выражение является неотрицательно определенным:
0
≥
Σ
+
Ξ
−
Ξ
ΞΣ
x
p
Напомним, что матрица
A
с элементами
jk
a
называется неотрицательно определенной, если для любого вектора
z
:
0
*
≥
=
k
j
jk
z
z
a
z
A
z
В полученном неравенстве мы ввели матрицы ковариаций координат и импульсов. Элементы этих матриц определяются выражениями
( )
ψ
ψ
=
Σ
l
j
jl
x
x
x ˆ
ˆ
( )
ψ
ψ
=
Σ
l
j
jl
p
p
p ˆ
ˆ
34
Учтем, что неотрицательная определенность матрицы ковариаций импульсов позволяет определить квадратный корень из нее.
Напомним, что произвольная эрмитова матрица
A
может быть приведена к диагональному виду, т.е. может быть представлена как:
+
= UDU
A
, где
U
- унитарная матрица, а
D
- действительная диагональная матрица.
Если, к тому же, матрица
A
неотрицательно определена, то неотрицательны и ее собственные значения, образующие диагональ матрицы
D
. В этом случае операция взятия квадратного корня из матрицы является хорошо определенной:
+
=
U
UD
A
2
/
1 2
/
1
С использованием понятия матричного квадратного корня, полученное выше неравенство можно представить в виде:
0 4
1 2
1 2
1 1
2
/
1 2
/
1 2
/
1 2
/
1
≥
Σ
+
Σ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−
Ξ
Σ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−
ΞΣ
−
−
−
x
p
p
p
p
p
Первое слагаемое слева заведомо неотрицательно определено (и обращается в ноль при
1 2
1
−
Σ
=
Ξ
p
). Отсюда следует, что и выражение
x
p
Σ
+
Σ
−
−1 4
1
неотрицательно определено, т.е.
p
x
Σ
≥
Σ
4 1
Полученное неравенство и есть искомое многомерное соотношение неопределенностей. Его смысл заключается в следующем: каково бы ни было квантовое состояние, матрица, равная разности
1 4
1
−
Σ
−
Σ
p
x
между матрицей ковариации координат и одной четвертой от матрицы, обратной к матрице ковариации импульсов, всегда является неотрицательно определенной.
35
Из приведенных расчетов следует, что неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда вектор состояния удовлетворяет следующему условию при
1 2
1
−
Σ
=
Ξ
p
:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
+
ξ
ρ
ρ
l
l
x
p
i
Отсюда получаем, что соответствующее состояние является гауссовским с матрицей ковариаций
p
Σ
в импульсном представлении и матрицей ковариаций
p
x
Σ
=
Σ
4 1
- в координатном.
Мы ограничились рассмотрением многомерного соотношения неопределенностей, которое является непосредственным обобщением одномерного соотношения неопределенностей Гейзенберга. Другие примеры обобщенных соотношений неопределенностей и, в частности, связанные с обобщением соотношения Шредингера- Робертсона можно найти в [35,36]
2.6. Информация Фишера
Рассмотрим квантовую систему, для которой пси- функция действительна:
( )
( )
x
P
x
=
ψ
. Использование таких пси- функций представляет собой простейший способ дополнения классической плотности распределения до квантового состояния. Для такой системы средний импульс равен нулю, а квадрат импульса есть:
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
dx
x
P
x
P
dx
x
P
x
x
P
x
p
M
∫
∫
′
=
∂
∂
∂
∂
=
2 2
4 1
ˆ
Здесь штрих означает производную по
x
Введем информацию Фишера, связанную с дисперсией импульса:
( )
( )
(
)
( )
dx
x
P
x
P
p
M
D
I
p
x
∫
′
=
=
=
2 2
ˆ
4 4
36
Тогда соотношение неопределенностей запишется в виде следующего неравенства:
1
≥
x
x
I
D
Полученное неравенство аналогично неравенству Рао- Крамера, рассматриваемому в следующем разделе
2.7. Неравенство Рао- Крамера
Рассмотрим снова ситуацию, когда плотность распределения дополняется до квантового состояния.
Пусть распределение вероятностей и соответствующее квантовое состояние зависят от некоторого действительного параметра
θ
, т.е.:
( )
( )
θ
=
θ
ψ
x
P
x
Пусть
θˆ
есть несмещенная оценка неизвестного параметра
θ
, основанная на выборке объема
n
в координатном пространстве, т.е.
(
)
n
x
x ,...,
ˆ
ˆ
1
θ
=
θ
Условие несмещенности означает, что среднее значение (математическое ожидание) выборочной оценки
θˆ
совпадает с истинным значением параметра
θ
, т.е.
( )
( ) ( )
(
)
∫
θ
=
⋅⋅
⋅
θ
⋅
θ
⋅⋅
⋅
θ
=
θ
n
n
n
dx
dx
x
x
x
P
x
P
M
1 1
1
,...,
ˆ
ˆ
Примерами несмещенных оценок могут служить известные оценки математического ожидания и дисперсии [31]:
n
x
x
x
n
+
+
=
1
(
)
∑
=
−
−
=
n
k
k
x
x
n
s
1 2
2 1
1
Пусть
θ
∂
∂
−
=
θ
i
p
- оператор, канонически сопряженный параметру
θ
37
Нашей целью является вывод следующего соотношения, называемого неравенством Рао-Крамера:
1
≥
θ
θ
I
D
Здесь введена информация Фишера, которая имеет вид:
( )
(
)
( )
( ) ( )
dx
x
P
x
P
n
dx
x
P
x
P
n
I
θ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
θ
∂
θ
∂
=
θ
θ
∂
θ
∂
=
∫
∫
θ
2 2
ln
/
Воспользуемся тем, что вектор состояния для выборки может быть определен следующим выражением
(
)
( ) ( )
θ
⋅⋅
⋅
θ
=
ψ
n
n
x
P
x
P
x
x
1 1
,...,
Проведем подробные вычисления. Пусть
(
)
ˆ
ψ
ξ
θ θ ψ
θ
∂
+
−
∂
- кет вектор, где
ξ
, как и ранее, произвольный действительный параметр,
( )
ˆ
ψ
ξ
θ θ ψ
θ
∗
∗
∂
+
−
∂
- соответствующий бра- вектор.
Заведомо неотрицательное выражение есть:
( )
(
)
(
)
*
*
ˆ
ˆ
F
dx
ψ
ψ
ξ
ξ
θ θ ψ
ξ
θ θ ψ
θ
θ
⎛
⎞
∂
∂
⎛
⎞
=
+
−
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
∫
Здесь для сокращения записи мы полагаем, что
n
dx
dx
dx
⋅
⋅
⋅
=
1
,
(
)
n
x
x ,...,
1
ψ
ψ
=
В развернутой записи имеем:
( )
0 2
≥
+
+
=
c
b
a
F
ξ
ξ
ξ
, где
dx
I
a
θ
∂
ψ
∂
θ
∂
ψ
∂
=
=
∫
θ
*
4
38
( )
dx
b
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ψ
θ
∂
ψ
∂
+
θ
∂
ψ
∂
ψ
θ
−
θ
=
*
*
ˆ
( )
θ
=
ψ
ψ
θ
−
θ
=
∫
D
dx
с
*
ˆ
2
Можно показать, что
1
−
=
b
. Для этого достаточно представить подинтегральное выражение с помощью формулы для производной произведения в виде
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
ψ
ψ
−
θ
∂
ψ
ψ
θ
−
θ
∂
=
=
θ
∂
θ
−
θ
∂
ψ
ψ
−
θ
∂
ψ
ψ
θ
−
θ
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ψ
θ
∂
ψ
∂
+
θ
∂
ψ
∂
ψ
θ
−
θ
*
*
ˆ
ˆ
*
*
ˆ
*
*
ˆ
Интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу несмещенности оценки. В результате, учитывая условие нормировки, получаем, что
1
−
=
b
Из условия
0 4
2
≤
− ac
b
для дискриминанта получаем искомый результат
– неравенство Рао-Крамера [38- 40]:
θ
θ
≥
I
D
1
Заметим, что мы провели вычисления не только для предполагаемого случая действительных векторов состояния, но и для более общего случая комплексных пси- функций.
В этом случае информация Фишера есть:
dx
I
θ
∂
ψ
∂
θ
∂
ψ
∂
=
∫
θ
*
4
Информация Фишера является аналогом дисперсии импульса и отличается от последней множителем 4 и тем, что под интегралом идет дифференцирование по параметру, а не по координате.
Для случая действительных пси- функций, как нетрудно показать, имеет место приведенное выше выражение для информации Фишера (6). При
39
выводе следует воспользоваться легко проверяемым свойством аддитивности информации Фишера (информация от
n
независимых представителей в
n
раз превосходит информацию от одного представителя).
Полученное неравенство, очевидно, является наиболее сильным для случая, когда информация Фишера
θ
I
минимальна. Как и в случае соотношения неопределенности Гейзенберга, можно показать, что добавление произвольного фазового множителя к действительной пси- функции не может привести к уменьшению информации Фишера.
Выше мы видели, что соотношение неопределенностей из неравенства превращается в равенство для гауссова состояния. Аналогичный результат справедлив и для неравенства Рао- Крамера. Последнее превращается в равенство для оценок, имеющих нормальное распределение и только для них.
Такие оценки называются эффективными.
Выше мы предполагали несмещенность статистической оценки. Однако, проведенные выкладки позволяют также получить более общее неравенство
Рао- Крамера, пригодное и для смещенных оценок. В этом случае оно имеет вид:
( )
( )
(
)
θ
θ
β′
+
≥
θ
−
θ
I
M
2 2
1
ˆ
(2.1) где
( )
( )
θ
−
θ
=
θ
β
ˆ
M
- смещение оценки.
(2.2)
Заметим, что в представленном неравенстве слева вместо обычной дисперсии стоит величина, которая характеризует рассеяние выборочной оценки
θˆ
относительно истинного значения
θ
Задача 2.1 Обоснуйте неравенство Рао- Крамера (2.1)- (1.2), учитывающее возможную смещенность оценки.
40
2.8. Многомерное неравенство Рао- Крамера и корневая оценка
«Смотри в корень!» (Козьма Прутков «Мысли и афоризмы»,
№228).
Неравенство Рао- Крамера, также как и соотношение неопределенностей, может быть обобщено на многомерный случай.
Можно показать, что для любой несмещенной оценки
θˆ
неизвестного многомерного параметра
θ
матрица
1
−
θ
θ
−
Σ
I
является неотрицательно определенной:
0 1
≥
−
Σ
−
θ
θ
I
В случае оценок, близких к эффективным, соответствующая разность близка к нулю. Примером таких оценок могут служить оценки максимального правдоподобия, которые обладают свойством асимптотической эффективности [38- 40].
Здесь
θ
Σ
- матрица ковариации оценки
θˆ
. Элементы матрицы информации Фишера
θ
I
могут быть представлены в виде:
( )
( )
( ) ( )
dx
x
P
x
P
x
P
n
I
k
j
jk
θ
θ
∂
θ
∂
θ
∂
θ
∂
=
∫
θ
ln ln
(2.3)
С точки зрения квантовой информатики принципиально важно, что выражение для информационной матрицы Фишера радикально упрощается, если ввести пси – функцию (здесь для простоты мы считаем ее действительной) [41,42].
( )
( ) ( )
dx
x
x
n
I
k
j
jk
∫
θ
∂
θ
ψ
∂
θ
∂
θ
ψ
∂
=
θ
41
Для задач статистики фундаментальное значение имеет матрица, обратная к матрице информации Фишера. В силу сложности выражения (2.3) для многопараметрической матрицы информации Фишера, получаемые на его основе оценки обратной матрицы, как правило, являются плохо обусловленными. Единственным известным исключением является так называемая корневая оценка, основанная на введении пси – функции.
Приведем кратко соответствующие результаты. Более подробное изложение можно найти в [41,42].
Пусть разложение пси- функции по набору ортонормированных базисных функций
( )
1
,...,
1
,
0
−
=
ϕ
s
j
x
j
имеет вид:
( )
(
)
( )
( )
( )
x
c
x
c
x
c
c
x
s
s
s
1 1
1 1
0 2
1 2
1 1
−
−
−
ϕ
+
+
ϕ
+
ϕ
+
+
−
=
ψ
(2.4)
Здесь мы исключили из числа оцениваемых параметров коэффициент
(
)
2 1
2 1
0 1
−
+
+
−
=
s
c
c
c
, так как, согласно условию нормировки, он рассчитывается через другие коэффициенты.
Величины
1 2
1
,...,
,
−
s
c
c
c
являются независимыми оцениваемыми параметрами.
В случае корневого разложения (2.4) информационная матрица ij
I
имеет порядок
(
) (
)
1 1
−
×
−
s
s
и выражается в следующем простом виде:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
δ
=
2 0
4
c
c
c
n
I
j
i
ij
ij
, где
(
)
2 1
2 1
0 1
−
+
+
−
=
s
c
c
c
Замечательной особенностью полученного выражения является его независимость от выбора базисных функций. Оказывается, что этим свойством обладает только корневая оценка плотности.
42
Матрица ковариаций оценки вектора состояния
ˆc
, в случае оценок, близких к эффективным, есть приближенно матрица, обратная к матрице информации Фишера:
( )
( )
c
I
c
1
ˆ
−
=
Σ
Компоненты этой матрицы есть:
(
)
j
i
ij
ij
c
c
n
−
δ
=
Σ
4 1
1
,...,
1
,
−
=
s
j
i
(2.5)
Полученную матрицу ковариаций можно расширить, добавив в нее ковариации компоненты
0
ˆc
вектора состояния с остальными компонентами.
Оказывается, что общая матрица ковариаций будет иметь тот же самый вид, что и (2.5), но теперь
1
,...,
1
,
0
,
−
=
s
j
i
Таким образом, модель статистики, основанная на введении пси- функции, корневом разложении и методах квантовой информатики, является выделенной по отношению к любым другим мыслимым моделям. Её преимущества обусловлены простотой, универсальностью и хорошими вычислительными свойствами. Выражаясь в духе Дирака, можно сказать, что
«Природа просто не могла не воспользоваться столь красивой математической моделью».
Эффективность корневого подхода в задачах восстановления квантовых состояний была подтверждена в работах [43-47]. Была показана возможность экспериментального восстановления оптических квантовых состояний так называемого бифотонного поля с высокой точностью, которая значительно превосходит уровень других известных экспериментов.
Опыт квантовой физики показывает, что при описании поведения микрообъектов целесообразно отказаться от явно ограниченных представлений, сводящих квантовые системы к механическим частицам, волнам и т.п. Вместо механистических картин явлений следует использовать статистическое описание квантовых состояний, которое оказывается наиболее
43
естественным и полным. При этом, само статистическое описание не должно ассоциироваться с механистическими моделями, основанными на случайном механическом выборе объектов, бросании монеты, игральной кости и т.п.
Выше мы пытались показать, что наиболее фундаментальные представления о вероятности никак не связаны с такими механическими моделями и аналогиями. Статистическая модель, в основе которой лежит вектор состояния в гильбертовом пространстве и есть наиболее общая и универсальная модель теории вероятностей.
44
1 2 3 4 5 6 7 8
23
∑
∞
=
∗
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
1
j
j
j
Наконец, если
( )
x
ψ
и
( )
x
ϕ
- комплексные функции из пространства
2
L
, то их скалярное произведение есть:
( ) ( )
dx
x
x
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
∫
*
Покажем, что для любых векторов линейного пространства со скалярным произведением выполняется следующее неравенство Коши- Буняковского:
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Для определенности, при проведении выкладок будем иметь ввиду функции из пространства
2
L
Предположим вначале, что скалярное произведение
ψ
ϕ
- действительное число.
Пусть
ξ
- действительный параметр. Рассмотрим следующую заведомо неотрицательную функцию от
ξ
(эта функция представляет собой интеграл от заведомо неотрицательного выражения).
( )
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
∫
≥
ξϕ
+
ψ
ξϕ
+
ψ
=
ξ
0
*
*
dx
x
x
x
x
F
В обозначениях Дирака имеем:
( )
(
)(
)
ϕ
ξ
+
ψ
ϕ
ξ
+
ψ
=
ξ
F
В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:
( )
ψ
ψ
+
ψ
ϕ
ξ
+
ϕ
ϕ
ξ
=
ξ
2 2
F
Здесь мы учли предположение о действительности рассматриваемого скалярного произведения, т.е.
ϕ
ψ
=
ψ
ϕ
24
Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:
(
)
0 4
4 2
≤
ψ
ψ
ϕ
ϕ
−
ψ
ϕ
Таким образом в рассматриваемом случае выполняется неравенство
Коши- Буняковского:
(
)
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Предположим теперь, что
ψ
ϕ
- комплексное число. Пусть
( )
α
=
ψ
ϕ
i
r exp
, где
r
и
α
- действительные числа.
Введем функцию, отличающуюся от
( )
x
ϕ
только фазой
( ) ( ) ( )
α
ϕ
=
ϕ
i
x
x
exp
Тогда
r
=
ψ
ϕ
является действительным числом и для него выполняется доказанное выше неравенство:
(
)
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Учтем, что введенное фазовое преобразование не меняет модуля скалярного произведения, поэтому:
(
)
2 2
ψ
ϕ
=
ψ
ϕ
,
ϕ
ϕ
=
ϕ
ϕ
Таким образом, неравенство Коши- Буняковского выполняется и в общем случае:
ψ
ψ
ϕ
ϕ
≤
ψ
ϕ
2
Введем величину
F
, называемую согласованностью (fidelity) квантовых состояний
( )
x
ϕ
и
( )
x
ψ
ψ
ψ
ϕ
ϕ
ψ
ϕ
=
2
F
Для состояний, нормированных на единицу, имеем просто:
25 2
ψ
ϕ
=
F
Из неравенства Коши- Буняковского следует, что
1 0
≤
≤ F
Если исходить из этого неравенства, то заманчиво предположить, что
F
задает некоторую вероятность. Так оно и есть. Статистический смысл величины
F
заключается в том, что она задает вероятность обнаружения
квантовой системы в состоянии
( )
x
ϕ
при условии, что она была приготовлена в состоянии
( )
x
ψ
Обмен информацией в природе предполагает, что состояние
( )
x
ψ
, приготовленное (созданное) на одном конце (в системе «передатчик») может быть обнаружено (воспринято) таковым в другой системе-«приёмнике». В идеальном случае «приемник» может быть настроен на получение того же квантового состояния, когда
( ) ( )
x
x
ψ
=
ϕ
(с точностью до фазового множителя). В этом случае
1
=
F
. В действительности состояния
( )
x
ψ
и
( )
x
ϕ
, на которые настроен приемник и передатчик соответственно, всегда хотя бы немного отличаются и
1
<
F
. В рассматриваемом случае, таким образом,
F
задает вероятность «успеха» приемно- передающего акта.
2.2.Неравенство Коши- Буняковского в приложении к случайным
величинам
Пусть
( )
x
Y
Y
=
и
( )
x
Z
Z
=
- действительные случайные величины, представляющие собой произвольные функции от координаты
x
. Пусть
ξ
- действительный параметр. Рассмотрим заведомо неотрицательную функцию от
ξ
:
( )
(
)
0 2
≥
ψ
+
ξ
ψ
=
ξ
Z
Y
F
26
В развернутой записи рассматриваемая функция представляет собой квадратный трехчлен:
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
Z
M
YZ
M
Y
M
F
+
ξ
+
ξ
=
ξ
Условие неотрицательности означает, что дискриминант меньше или равен нулю:
( )
(
)
( ) ( )
0 4
4 2
2 2
≤
−
Z
M
Y
M
YZ
M
Таким образом для любых (коммутирующих) случайных величин выполняется неравенство Коши- Буняковского:
( )
(
)
( ) ( )
2 2
2
Z
M
Y
M
YZ
M
≤
В частности, если в качестве случайных величин рассмотреть величины
( )
Y
M
Y
−
и
( )
Z
M
Z
−
, приведенные к нулевым средним значениям, то для дисперсий получим неравенство:
( )
(
)
( )
(
)
(
)
[
]
2
Z
M
Z
Y
M
Y
M
D
D
Z
Y
−
−
≥
Из последнего выражения следует неравенство для коэффициента корреляции
1 2
≤
r
Напомним, что коэффициент корреляции между случайными величинами
Y
и
Z
определяется формулой:
( )
(
)
( )
(
)
[
]
Z
Y
D
D
Z
M
Z
Y
M
Y
M
r
−
−
=
Квадрат коэффициента корреляции иногда называют коэффициентом детерминации. Этот коэффициент показывает, в какой мере случайная величина
Y
определяет (детерминирует) случайную величину
Z
и наоборот.
27
Можно показать, что неравенство Коши- Буняковского обращается в равенство в том и только том случае, когда случайные величины
Y
и
Z
линейно связаны между собой.
2.3. Соотношение неопределенностей Гейзенберга для координаты и
импульса
Модифицируем приведенный выше пример. Рассмотрим вместо
Z
Y
+
ξ
выражение
x
x
+
∂
∂
ξ
. Заметим, что оператор производной не является эрмитовым, потому что
x
x
∂
∂
−
=
∂
∂
+
. Чтобы запись сделать более наглядной введем эрмитов оператор импульса
x
i
p
∂
∂
−
=
ˆ
Рассмотрим как и при выводе неравенства Коши- Буняковского заведомо неотрицательную функцию от действительного параметра
ξ
( )
(
)(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
+
ξ
+
ξ
−
ψ
=
ξ
x
p
i
x
p
i
F
В развернутой записи имеем:
( )
( )
(
)
( )
2 2
2
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
x
M
p
x
x
p
M
i
p
M
F
+
−
ξ
−
ξ
=
ξ
Учтем каноническое коммутационное соотношение
i
p
x
x
p
−
=
− ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
В качестве наблюдаемых рассмотрим величины
( )
x
M
x
ˆ
ˆ
−
и
( )
p
M
p
ˆ
ˆ
−
, которые, очевидно, удовлетворяют тому же коммутационному соотношению.
Тогда для произведения дисперсий координаты и импульса получим искомое соотношение неопределенностей Гейзенберга :
4 1
≥
p
x
D
D
28
Дисперсия импульса есть средний квадрат импульса минус средний импульс в квадрате:
( )
( )
(
)
2 2
ˆ
ˆ
p
M
p
M
D
p
−
=
В развернутой записи средний квадрат импульса есть:
( )
( )
( )
( )
( )
dx
x
x
x
x
dx
x
x
x
p
M
ψ
∂
∂
ψ
∂
∂
=
ψ
∂
∂
ψ
−
=
∫
∫
∫
*
*
ˆ
2 2
2
Как следует из приведенных выкладок, неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда при некотором
ξ
:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
+
ξ
x
p
i
Это равенство имеет место только для гауссова состояния (основного состояния гармонического осциллятора).
Решение полученного уравнения в координатном и импульсном представлении соответственно есть:
( )
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
−
πσ
=
ψ
2 2
0 4
/
1 2
4
exp
2 1
x
x
x
x
x
( )
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
σ
−
−
πσ
=
ψ
2 2
0 4
/
1 2
4
exp
2 1
p
p
p
p
p
Здесь
0
x
и
2
x
σ
- соответственно среднее и дисперсия для распределения координаты, а
0
p
и
2
p
σ
- соответственно среднее и дисперсия для распределения импульса.
Дисперсия координаты и импульса полученного гауссовского состояния определяются введенным параметром
ξ
2 2
ξ
=
σ
x
,
ξ
=
σ
2 1
2
p
29
Таким образом, рассматриваемые величины оказываются связанными между собой минимальным соотношением неопределенностей:
4 1
2 2
=
σ
σ
p
x
Мы видим, что состояние, минимизирующее соотношение неопределенностей, описывается действительной функцией.
Это обстоятельство неслучайно. Нетрудно видеть, что добавление произвольного фазового множителя к действительной координатной пси- функции не может уменьшить дисперсию импульса и, таким образом, не может усилить рассматриваемое неравенство.
2.4.
Соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона
Неравенство, предложенное Шредингером и Робертсоном, отражает в себе свойства, присущие как неравенству Коши- Буняковского, так и соотношению неопределенностей Гейзенберга и, в известном смысле, может считаться их обобщением [35,36].
Пусть
1
z
и
2
z
- две произвольные наблюдаемые. Без ограничения общности будем считать их центрированными:
( )
( )
0 2
1
=
=
z
M
z
M
Рассмотрим следующее заведомо неотрицательное выражение:
( )
( )
(
)
( )
(
)
ψ
+
ϕ
ξ
+
ϕ
−
ξ
ψ
=
ξ
1 2
1 2
exp exp
z
z
i
z
z
i
F
Здесь
ξ
- произвольное действительное число,
ϕ
- тоже действительное, но фиксированное число (фаза, выбор которой мы осуществим позднее).
Определим ковариацию величин как
(
)
ψ
+
ψ
=
1 2
2 1
2 1
2 1
,
cov
z
z
z
z
z
z
Заметим, что симметризация произведения наблюдаемых потребовалась нам, чтобы сделать соответствующий оператор эрмитовым.
30
Пусть:
iC
z
z
z
z
=
−
2 2
1
, где
C
- эрмитов оператор. Тогда:
( )
ψ
−
ψ
−
=
1 2
2 1
z
z
z
z
i
C
M
В развернутой записи выражение для
( )
ξ
F
имеет вид:
( )
( )
(
) ( )
( ) ( )
(
)
( )
2 1
2 1
2 2
2
sin cos
,
cov
2
z
M
C
M
z
z
z
M
F
+
ϕ
−
ϕ
ξ
+
ξ
=
ξ
Пусть:
(
)
(
)
( )
(
)
2 2
2 1
2
,
cov
4
C
M
z
z
+
=
ρ
,
Очевидно, можно найти такой угол
β
, чтобы выполнялись тождества:
(
)
( )
β
ρ
= cos
,
cov
2 2
1
z
z
( )
( )
β
ρ
= sin
C
M
Тогда:
( )
( )
(
)
( )
0
cos
2 1
2 2
2
≥
+
β
+
ϕ
ξρ
+
ξ
=
ξ
z
M
z
M
F
Распорядимся произволом в выборе фазы
ϕ
, чтобы обеспечить выполнение равенства
(
)
1
cos
=
β
+
ϕ
. Указанный выбор, очевидно, обеспечит получение наиболее сильного неравенства:
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
( )
(
)
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
ρ
≥
=
4
,
cov
4 2
2 2
1 2
2 1
2 2
2 1
C
M
z
z
z
D
z
D
z
M
z
M
Определим коэффициент корреляции между наблюдаемыми
1
z
и
2
z
как:
(
)
( ) ( )
2 1
2 1
,
cov
z
D
z
D
z
z
r
=
В результате, искомое неравенство (соотношение неопределенностей
Шредингера- Робертсона) примет вид:
( ) ( )
( )
(
)
4 2
2 2
1
K
C
M
z
D
z
D
≥
,
31
где
2 1
1
r
K
−
=
Введенный параметр
K
есть аналог известного числа Шмидта [37]. Это число имеет фундаментальное значение для описания квантовых корреляций и квантовой информации (см. Приложение к Главе 3).
Пусть теперь рассматриваемые наблюдаемые есть операторы координаты и импульса соответственно:
x
z
=
1
,
p
z
=
2
Тогда, в силу фундаментального перестановочного соотношения для координаты и импульса,
C
есть тождественный оператор (единичная матрица).
В этом случае соотношение неопределенностей Шредингера- Робертсона будет иметь вид:
( ) ( )
4 2
K
p
D
x
D
≥
Пусть
( )
x
D
x
=
Δ
,
( )
p
D
p
=
Δ
- неопределенности
(стандартные отклонения) для координаты и импульса. Тогда:
2
K
p
x
≥
Δ
Δ
Таким образом, если координата и импульс коррелируют друг с другом, произведение их неопределенностей возрастает в
K
раз по сравнению с величиной, определяемой неравенством Гейзенберга.
Заметим, что в силу некоммутативности координаты и импульса, их квантовая ковариация не может быть оценена по выборке подобно классической ковариации. Для вычисления соответствующей оценки нужно знать априори (или оценить по результатам взаимно- дополнительных измерений) вектор состояния (волновую функцию). Пусть:
( )
( )
( )
(
)
x
iS
x
P
x
exp
=
ψ
,
32
где действительные функции
( )
x
P
и
( )
x
S
есть соответственно плотность и фаза пси- функции. Заметим, что фаза
( )
x
S
есть аналог классического действия механической системы.
Используя функции плотности и фазы, нетрудно получить следующее простое представление для ковариации координаты и импульса:
( )
( ) ( )
∫
∂
∂
=
ψ
+
ψ
=
dx
x
P
x
x
S
x
x
p
p
x
p
x
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
2 1
,
cov
Наглядность полученного результата обусловлена тем, что в классической механике производная от функции действия
x
S
∂
∂
есть импульс.
2.5. Многомерное соотношение неопределенностей
Рассмотрим пространство размерности
s
Пусть
s
j
p
x
j
j
,...,
1
,
ˆ
,
ˆ
=
- соответствующие операторы координат и импульсов.
Вывод соотношения неопределенности в многомерном случае аналогичен одномерному, но теперь вместо действительного числа
ξ
следует ввести действительную симметричную матрицу
Ξ
с элементами
s
j
j
,...,
1
,
,
=
σ
ξ
σ
Такое видоизменение диктуется необходимостью придать рассматриваемым величинам геометрически инвариантный вид в гильбертовом пространстве.
Действительно для скалярного
ξ
, такая величина как
(
)
ψ
+
ξ
ρ
l
x
p
i
ˆ
ˆ
неинвариантна, потому что индексы
ρ
и
l
, вообще говоря, различны. В то же время, для матрицы
Ξ
величина
(
)
ψ
+
ξ
ρ
ρ
l
l
x
p
i
ˆ
ˆ
будет кет- вектором в гильбертовом пространстве (по повторяющемуся индексу
ρ
предполагается суммирование). Введем также действительный вектор
η
(
s
j
j
,...,
1
=
η
). С
33
его помощью, взяв скалярное произведение, преобразуем полученный кет- вектор в скаляр:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
η
+
ξ
ρ
ρ
l
l
l
x
p
i
Рассмотрим теперь следующее заведомо неотрицательное выражение (по повторяющимся индексам, как обычно, предполагается суммирование):
( )
(
)
(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
η
+
ξ
+
ξ
−
η
ψ
=
ξ
ρ
ρ
σ
σ
l
l
l
j
j
j
x
p
i
x
p
i
F
В развернутом виде получим:
( )
(
)
(
)
0
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
≥
ψ
+
ξ
−
ξ
−
ξ
ξ
η
η
ψ
=
ξ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
σ
ρ
σ
l
j
j
l
l
j
l
j
l
j
x
x
p
x
x
p
i
p
p
F
Чтобы использовать фундаментальные коммутационные соотношения между координатой и импульсом, перепишем последнее выражение, осуществив замену индексов
j
и
l
друг на друга, после чего сложим полученное выражение с исходным.
В качестве наблюдаемых будем использовать центрированные координаты и импульсы (имеющие нулевые средние).
В результате получим условие, согласно которому нижеследующее матричное выражение является неотрицательно определенным:
0
≥
Σ
+
Ξ
−
Ξ
ΞΣ
x
p
Напомним, что матрица
A
с элементами
jk
a
называется неотрицательно определенной, если для любого вектора
z
:
0
*
≥
=
k
j
jk
z
z
a
z
A
z
В полученном неравенстве мы ввели матрицы ковариаций координат и импульсов. Элементы этих матриц определяются выражениями
( )
ψ
ψ
=
Σ
l
j
jl
x
x
x ˆ
ˆ
( )
ψ
ψ
=
Σ
l
j
jl
p
p
p ˆ
ˆ
34
Учтем, что неотрицательная определенность матрицы ковариаций импульсов позволяет определить квадратный корень из нее.
Напомним, что произвольная эрмитова матрица
A
может быть приведена к диагональному виду, т.е. может быть представлена как:
+
= UDU
A
, где
U
- унитарная матрица, а
D
- действительная диагональная матрица.
Если, к тому же, матрица
A
неотрицательно определена, то неотрицательны и ее собственные значения, образующие диагональ матрицы
D
. В этом случае операция взятия квадратного корня из матрицы является хорошо определенной:
+
=
U
UD
A
2
/
1 2
/
1
С использованием понятия матричного квадратного корня, полученное выше неравенство можно представить в виде:
0 4
1 2
1 2
1 1
2
/
1 2
/
1 2
/
1 2
/
1
≥
Σ
+
Σ
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−
Ξ
Σ
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
Σ
−
ΞΣ
−
−
−
x
p
p
p
p
p
Первое слагаемое слева заведомо неотрицательно определено (и обращается в ноль при
1 2
1
−
Σ
=
Ξ
p
). Отсюда следует, что и выражение
x
p
Σ
+
Σ
−
−1 4
1
неотрицательно определено, т.е.
p
x
Σ
≥
Σ
4 1
Полученное неравенство и есть искомое многомерное соотношение неопределенностей. Его смысл заключается в следующем: каково бы ни было квантовое состояние, матрица, равная разности
1 4
1
−
Σ
−
Σ
p
x
между матрицей ковариации координат и одной четвертой от матрицы, обратной к матрице ковариации импульсов, всегда является неотрицательно определенной.
35
Из приведенных расчетов следует, что неравенство обращается в равенство в том и только том случае, когда вектор состояния удовлетворяет следующему условию при
1 2
1
−
Σ
=
Ξ
p
:
(
)
0
ˆ
ˆ
=
ψ
+
ξ
ρ
ρ
l
l
x
p
i
Отсюда получаем, что соответствующее состояние является гауссовским с матрицей ковариаций
p
Σ
в импульсном представлении и матрицей ковариаций
p
x
Σ
=
Σ
4 1
- в координатном.
Мы ограничились рассмотрением многомерного соотношения неопределенностей, которое является непосредственным обобщением одномерного соотношения неопределенностей Гейзенберга. Другие примеры обобщенных соотношений неопределенностей и, в частности, связанные с обобщением соотношения Шредингера- Робертсона можно найти в [35,36]
2.6. Информация Фишера
Рассмотрим квантовую систему, для которой пси- функция действительна:
( )
( )
x
P
x
=
ψ
. Использование таких пси- функций представляет собой простейший способ дополнения классической плотности распределения до квантового состояния. Для такой системы средний импульс равен нулю, а квадрат импульса есть:
( )
( )
( )
( )
(
)
( )
dx
x
P
x
P
dx
x
P
x
x
P
x
p
M
∫
∫
′
=
∂
∂
∂
∂
=
2 2
4 1
ˆ
Здесь штрих означает производную по
x
Введем информацию Фишера, связанную с дисперсией импульса:
( )
( )
(
)
( )
dx
x
P
x
P
p
M
D
I
p
x
∫
′
=
=
=
2 2
ˆ
4 4
36
Тогда соотношение неопределенностей запишется в виде следующего неравенства:
1
≥
x
x
I
D
Полученное неравенство аналогично неравенству Рао- Крамера, рассматриваемому в следующем разделе
2.7. Неравенство Рао- Крамера
Рассмотрим снова ситуацию, когда плотность распределения дополняется до квантового состояния.
Пусть распределение вероятностей и соответствующее квантовое состояние зависят от некоторого действительного параметра
θ
, т.е.:
( )
( )
θ
=
θ
ψ
x
P
x
Пусть
θˆ
есть несмещенная оценка неизвестного параметра
θ
, основанная на выборке объема
n
в координатном пространстве, т.е.
(
)
n
x
x ,...,
ˆ
ˆ
1
θ
=
θ
Условие несмещенности означает, что среднее значение (математическое ожидание) выборочной оценки
θˆ
совпадает с истинным значением параметра
θ
, т.е.
( )
( ) ( )
(
)
∫
θ
=
⋅⋅
⋅
θ
⋅
θ
⋅⋅
⋅
θ
=
θ
n
n
n
dx
dx
x
x
x
P
x
P
M
1 1
1
,...,
ˆ
ˆ
Примерами несмещенных оценок могут служить известные оценки математического ожидания и дисперсии [31]:
n
x
x
x
n
+
+
=
1
(
)
∑
=
−
−
=
n
k
k
x
x
n
s
1 2
2 1
1
Пусть
θ
∂
∂
−
=
θ
i
p
- оператор, канонически сопряженный параметру
θ
37
Нашей целью является вывод следующего соотношения, называемого неравенством Рао-Крамера:
1
≥
θ
θ
I
D
Здесь введена информация Фишера, которая имеет вид:
( )
(
)
( )
( ) ( )
dx
x
P
x
P
n
dx
x
P
x
P
n
I
θ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
θ
∂
θ
∂
=
θ
θ
∂
θ
∂
=
∫
∫
θ
2 2
ln
/
Воспользуемся тем, что вектор состояния для выборки может быть определен следующим выражением
(
)
( ) ( )
θ
⋅⋅
⋅
θ
=
ψ
n
n
x
P
x
P
x
x
1 1
,...,
Проведем подробные вычисления. Пусть
(
)
ˆ
ψ
ξ
θ θ ψ
θ
∂
+
−
∂
- кет вектор, где
ξ
, как и ранее, произвольный действительный параметр,
( )
ˆ
ψ
ξ
θ θ ψ
θ
∗
∗
∂
+
−
∂
- соответствующий бра- вектор.
Заведомо неотрицательное выражение есть:
( )
(
)
(
)
*
*
ˆ
ˆ
F
dx
ψ
ψ
ξ
ξ
θ θ ψ
ξ
θ θ ψ
θ
θ
⎛
⎞
∂
∂
⎛
⎞
=
+
−
+
−
⎜
⎟
⎜
⎟
∂
∂
⎝
⎠
⎝
⎠
∫
Здесь для сокращения записи мы полагаем, что
n
dx
dx
dx
⋅
⋅
⋅
=
1
,
(
)
n
x
x ,...,
1
ψ
ψ
=
В развернутой записи имеем:
( )
0 2
≥
+
+
=
c
b
a
F
ξ
ξ
ξ
, где
dx
I
a
θ
∂
ψ
∂
θ
∂
ψ
∂
=
=
∫
θ
*
4
38
( )
dx
b
∫
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ψ
θ
∂
ψ
∂
+
θ
∂
ψ
∂
ψ
θ
−
θ
=
*
*
ˆ
( )
θ
=
ψ
ψ
θ
−
θ
=
∫
D
dx
с
*
ˆ
2
Можно показать, что
1
−
=
b
. Для этого достаточно представить подинтегральное выражение с помощью формулы для производной произведения в виде
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
ψ
ψ
−
θ
∂
ψ
ψ
θ
−
θ
∂
=
=
θ
∂
θ
−
θ
∂
ψ
ψ
−
θ
∂
ψ
ψ
θ
−
θ
∂
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
ψ
θ
∂
ψ
∂
+
θ
∂
ψ
∂
ψ
θ
−
θ
*
*
ˆ
ˆ
*
*
ˆ
*
*
ˆ
Интеграл от первого слагаемого равен нулю в силу несмещенности оценки. В результате, учитывая условие нормировки, получаем, что
1
−
=
b
Из условия
0 4
2
≤
− ac
b
для дискриминанта получаем искомый результат
– неравенство Рао-Крамера [38- 40]:
θ
θ
≥
I
D
1
Заметим, что мы провели вычисления не только для предполагаемого случая действительных векторов состояния, но и для более общего случая комплексных пси- функций.
В этом случае информация Фишера есть:
dx
I
θ
∂
ψ
∂
θ
∂
ψ
∂
=
∫
θ
*
4
Информация Фишера является аналогом дисперсии импульса и отличается от последней множителем 4 и тем, что под интегралом идет дифференцирование по параметру, а не по координате.
Для случая действительных пси- функций, как нетрудно показать, имеет место приведенное выше выражение для информации Фишера (6). При
39
выводе следует воспользоваться легко проверяемым свойством аддитивности информации Фишера (информация от
n
независимых представителей в
n
раз превосходит информацию от одного представителя).
Полученное неравенство, очевидно, является наиболее сильным для случая, когда информация Фишера
θ
I
минимальна. Как и в случае соотношения неопределенности Гейзенберга, можно показать, что добавление произвольного фазового множителя к действительной пси- функции не может привести к уменьшению информации Фишера.
Выше мы видели, что соотношение неопределенностей из неравенства превращается в равенство для гауссова состояния. Аналогичный результат справедлив и для неравенства Рао- Крамера. Последнее превращается в равенство для оценок, имеющих нормальное распределение и только для них.
Такие оценки называются эффективными.
Выше мы предполагали несмещенность статистической оценки. Однако, проведенные выкладки позволяют также получить более общее неравенство
Рао- Крамера, пригодное и для смещенных оценок. В этом случае оно имеет вид:
( )
( )
(
)
θ
θ
β′
+
≥
θ
−
θ
I
M
2 2
1
ˆ
(2.1) где
( )
( )
θ
−
θ
=
θ
β
ˆ
M
- смещение оценки.
(2.2)
Заметим, что в представленном неравенстве слева вместо обычной дисперсии стоит величина, которая характеризует рассеяние выборочной оценки
θˆ
относительно истинного значения
θ
Задача 2.1 Обоснуйте неравенство Рао- Крамера (2.1)- (1.2), учитывающее возможную смещенность оценки.
40
2.8. Многомерное неравенство Рао- Крамера и корневая оценка
«Смотри в корень!» (Козьма Прутков «Мысли и афоризмы»,
№228).
Неравенство Рао- Крамера, также как и соотношение неопределенностей, может быть обобщено на многомерный случай.
Можно показать, что для любой несмещенной оценки
θˆ
неизвестного многомерного параметра
θ
матрица
1
−
θ
θ
−
Σ
I
является неотрицательно определенной:
0 1
≥
−
Σ
−
θ
θ
I
В случае оценок, близких к эффективным, соответствующая разность близка к нулю. Примером таких оценок могут служить оценки максимального правдоподобия, которые обладают свойством асимптотической эффективности [38- 40].
Здесь
θ
Σ
- матрица ковариации оценки
θˆ
. Элементы матрицы информации Фишера
θ
I
могут быть представлены в виде:
( )
( )
( ) ( )
dx
x
P
x
P
x
P
n
I
k
j
jk
θ
θ
∂
θ
∂
θ
∂
θ
∂
=
∫
θ
ln ln
(2.3)
С точки зрения квантовой информатики принципиально важно, что выражение для информационной матрицы Фишера радикально упрощается, если ввести пси – функцию (здесь для простоты мы считаем ее действительной) [41,42].
( )
( ) ( )
dx
x
x
n
I
k
j
jk
∫
θ
∂
θ
ψ
∂
θ
∂
θ
ψ
∂
=
θ
41
Для задач статистики фундаментальное значение имеет матрица, обратная к матрице информации Фишера. В силу сложности выражения (2.3) для многопараметрической матрицы информации Фишера, получаемые на его основе оценки обратной матрицы, как правило, являются плохо обусловленными. Единственным известным исключением является так называемая корневая оценка, основанная на введении пси – функции.
Приведем кратко соответствующие результаты. Более подробное изложение можно найти в [41,42].
Пусть разложение пси- функции по набору ортонормированных базисных функций
( )
1
,...,
1
,
0
−
=
ϕ
s
j
x
j
имеет вид:
( )
(
)
( )
( )
( )
x
c
x
c
x
c
c
x
s
s
s
1 1
1 1
0 2
1 2
1 1
−
−
−
ϕ
+
+
ϕ
+
ϕ
+
+
−
=
ψ
(2.4)
Здесь мы исключили из числа оцениваемых параметров коэффициент
(
)
2 1
2 1
0 1
−
+
+
−
=
s
c
c
c
, так как, согласно условию нормировки, он рассчитывается через другие коэффициенты.
Величины
1 2
1
,...,
,
−
s
c
c
c
являются независимыми оцениваемыми параметрами.
В случае корневого разложения (2.4) информационная матрица ij
I
имеет порядок
(
) (
)
1 1
−
×
−
s
s
и выражается в следующем простом виде:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
δ
=
2 0
4
c
c
c
n
I
j
i
ij
ij
, где
(
)
2 1
2 1
0 1
−
+
+
−
=
s
c
c
c
Замечательной особенностью полученного выражения является его независимость от выбора базисных функций. Оказывается, что этим свойством обладает только корневая оценка плотности.
42
Матрица ковариаций оценки вектора состояния
ˆc
, в случае оценок, близких к эффективным, есть приближенно матрица, обратная к матрице информации Фишера:
( )
( )
c
I
c
1
ˆ
−
=
Σ
Компоненты этой матрицы есть:
(
)
j
i
ij
ij
c
c
n
−
δ
=
Σ
4 1
1
,...,
1
,
−
=
s
j
i
(2.5)
Полученную матрицу ковариаций можно расширить, добавив в нее ковариации компоненты
0
ˆc
вектора состояния с остальными компонентами.
Оказывается, что общая матрица ковариаций будет иметь тот же самый вид, что и (2.5), но теперь
1
,...,
1
,
0
,
−
=
s
j
i
Таким образом, модель статистики, основанная на введении пси- функции, корневом разложении и методах квантовой информатики, является выделенной по отношению к любым другим мыслимым моделям. Её преимущества обусловлены простотой, универсальностью и хорошими вычислительными свойствами. Выражаясь в духе Дирака, можно сказать, что
«Природа просто не могла не воспользоваться столь красивой математической моделью».
Эффективность корневого подхода в задачах восстановления квантовых состояний была подтверждена в работах [43-47]. Была показана возможность экспериментального восстановления оптических квантовых состояний так называемого бифотонного поля с высокой точностью, которая значительно превосходит уровень других известных экспериментов.
Опыт квантовой физики показывает, что при описании поведения микрообъектов целесообразно отказаться от явно ограниченных представлений, сводящих квантовые системы к механическим частицам, волнам и т.п. Вместо механистических картин явлений следует использовать статистическое описание квантовых состояний, которое оказывается наиболее
43
естественным и полным. При этом, само статистическое описание не должно ассоциироваться с механистическими моделями, основанными на случайном механическом выборе объектов, бросании монеты, игральной кости и т.п.
Выше мы пытались показать, что наиболее фундаментальные представления о вероятности никак не связаны с такими механическими моделями и аналогиями. Статистическая модель, в основе которой лежит вектор состояния в гильбертовом пространстве и есть наиболее общая и универсальная модель теории вероятностей.
44
1 2 3 4 5 6 7 8
Глава 3. Принципы квантовой информатики и шестая проблема
Гильберта
3.1 Постулаты квантовой информатики
«У всякого портного свой взгляд на искусство!» (Козьма Прутков
«Мысли и афоризмы», №151).
Постулаты квантовой информатики должны вскрывать наиболее глубокие и наиболее фундаментальные идеи квантовой теории. Существуют различные точки зрения на то, какие понятия квантовой теории следует считать основными. В этой связи представляется интересным проследить эволюцию взглядов П. Дирака на парадигму квантовой физики. Именно Дирак еще в
1930 г. в своих выдающихся «Принципах квантовой механики» [48], по признанию фон Неймана, «дал столь краткое и элегантное изложение квантовой механики,…что оно вряд ли может быть превзойдено…» ([49], с.10). Отметим, что подобных же восторженных взглядов на формулировку
Дираком основных положений квантовой теории придерживались и другие известные ученые. Тем ценнее то, что пишет сам Дирак в 1972 г. об эволюции собственных взглядов в работе «Теория относительности и квантовая механика» [50]:
«Возникает вопрос, действительно ли некоммутативность является главной новой идеей квантовой механики. Ранее я всегда полагал, что это так, но недавно я начал сомневаться в этом и думать, что, может быть, с физической точки зрения некоммутативность не является единственной важной идеей, и, возможно, существует некая более глубокая идея, некое более глубокое изменение наших обычных представлений, которое привносит квантовая механика» ([50], с.148).
45
Заметим, что идея некоммутативности была очень близка Дираку. Ведь именно она позволила ему сформулировать понятие квантовых скобок
Пуассона взамен аналогичных классических скобок и, таким образом, очень красиво и элегантно преобразовать классическую механику в квантовую. И вот теперь, спустя более сорока лет после своих пионерских работ, Дирак приходит к выводу, что существует более глубокая по сравнению с некоммутативностью идея, и эта идея связана с существованием амплитуд вероятности. Нижеследующие слова Дирак выделяет курсивом: «Я полагаю,
что понятие амплитуды вероятности, по-видимому, является наиболее
фундаментальным понятием квантовой теории» ([50], с.148).
Интересно задать вопрос: как изменились бы «Принципы квантовой механики», если бы при их написании молодой Дирак придерживался таких же взглядов, к которым он пришел в зрелом возрасте? Анализ данного вопроса показывает, что для преобразования классической механики в квантовую не обязательно исходить из процедуры канонического квантования
Дирака, в основе которой лежат квантовые скобки Пуассона. Достаточно придерживаться концепции амплитуд вероятностей и статистического требования соответствия в среднем результатов новой и старой теорий [30, 51,
52]. Этот вопрос рассматривается подробнее в следующем разделе.
Опираясь на изложенное выше, сформулируем первым следующий постулат.
Постулат 1. Основной объект квантовой информатики – квантовая
система. Поведение квантовой системы полностью описывается
амплитудами вероятностей. Амплитуды вероятностей образуют вектор
состояния в гильбертовом пространстве.
Гильбертово пространство является линейным векторным пространством.
Свойство линейности предполагает выполнение принципа суперпозиции. Это означает, что если
a
и
b
- векторы, описывающие некоторые состояния
46
системы, то и их произвольная линейная комбинация
b
c
a
c
2 1
+
(где
2 1
, c
c
- произвольные комплексные числа) также есть возможное состояние системы (принцип суперпозиции).
Вектор состояния как геометрический объект в гильбертовом пространстве может быть задан в различных эквивалентных представлениях, унитарно связанных между собой подобно тому, как поведение объектов в обычном евклидовом пространстве можно описать в различных координатах, связанных между собой ортогональными преобразованиями. Эти соображения лежат в основе следующего постулата.
Постулат 2. Амплитуды вероятностей как координаты вектора
состояния в гильбертовом пространстве могут быть заданы в различных
эквивалентных представлениях. Эквивалентные представления связаны друг
с другом унитарными преобразованиями. Унитарное преобразование во
времени описывает эволюцию квантовой системы.
Унитарное преобразование может быть записано символически следующим матричным равенством:
ψ
=
ψ′
U
Любая унитарная матрица
U
может быть представлена в виде матричной экспоненты
( )
iH
U
exp
=
, где
H
- эрмитова матрица.
В силу однородности времени, унитарное преобразование во времени должно удовлетворять условию:
(
)
( ) ( )
2 1
2 1
t
U
t
U
t
t
U
=
+
47
Матричная экспонента, удовлетворяющая условию однородности во времени, должна иметь вид:
( )
iHt
U
exp
=
Введенный таким образом эрмитов оператор
H
называется гамильтонианом.
Из последнего соотношения следует, что унитарная эволюция квантовых состояний должна определяться уравнением Шредингера:
ψ
=
∂
ψ
∂
H
t
i
Вектор состояния является объективной статистической характеристикой квантовой системы и должен допускать возможность экспериментального изучения. Для такого изучения, однако, нужен не один, а множество представителей квантового статистического ансамбля. В таком ансамбле каждый представитель приготовлен по одному и тому же рецепту и, таким образом, находится в одном и том же квантовом состоянии. Нам недостаточно проводить измерения в каком- либо одном базисе. Нужно проводить измерения в различных унитарно- связанных между собой базисах.
Результаты таких измерений регулируются следующим постулатом.
Постулат 3. Измерения, проводимые в различных унитарно связанных
друг с другом базисных представлениях, порождают совокупность взаимно-
дополнительных
статистических
распределений.
В
фиксированном
представлении квадрат модуля амплитуды вероятностей задает
вероятность обнаружения квантовой системы в соответствующем
базисном состоянии.
Постулаты 2 и 3 тесно связаны друг с другом и образуют единое целое. С одной стороны, Постулат 3 служит тому, чтобы «материализовать» результаты преобразований, о которых говорится в Постулате 2. С другой стороны, проводя измерения согласно Постулату 3, мы должны позаботиться
48
о том, чтобы такие измерения давали наиболее полную картину явлений.
Этого нельзя добиться, если ограничиться только каким- либо одним представлением. Таким образом, для того, чтобы провести измерения согласно Постулату 3, нужно использовать и Постулат 2, осуществляя переход между различными представлениями. Для каждого представителя статистического квантового ансамбля мы должны сделать выбор: провести измерение в исходном представлении или перейти путем унитарного преобразования к другому представлению и только потом провести измерение. Только совокупность измерений в различных взаимно- дополнительных представлениях способно дать полную картину для квантового состояния с экспериментальной точки зрения.
В изложенных выше соображениях мы предполагаем, что однажды измеренный представитель, далее не измеряется. Если бы мы даже провели такое измерение, то оно бы несло информацию не об исходном квантовом состоянии, а о состоянии, возникшем в результате первого измерения. В этом состоит свойство редукции квантовых состояний. «Однако даже при усердии одного яйца два раза не высидишь» (Козьма Прутков «Мысли и афоризмы»,
№258).
При рассмотрении квантовых состояний составных систем мы естественно приходим к понятию тензорного произведения пространств состояний отдельных подсистем. Рассмотрим для примера систему из двух двухуровневых квантовых систем (квантовых битов- кубитов). Естественно предположить, что данная система в качестве возможных состояний должна содержать следующие четыре базисные состояния:
00
- оба кубита в состоянии
0
,
01
- первый кубит в состоянии
0
, второй в состоянии
1
,
10
- первый кубит в состоянии
1
, второй- в состоянии
0
,
49 11
- оба кубита в состоянии
1
Указанные четыре базисных вектора порождают гильбертово пространство размерности 4. Это означает, что система из двух кубитов может находиться не только в одном из указанных состояний, но и в любом состоянии суперпозиции
11 10 01 00 11 10 01 00
c
c
c
c
+
+
+
=
ψ
Такого рода соображения делают естественным следующий постулат.
Постулат 4. Пространство состояний составной системы образовано
тензорным произведением пространств состояний отдельных систем.
Например,
n
кубитов, рассматриваемые как единая квантовая система, порождают
n
2
базисных состояний и, соответственно, гильбертово пространство размерности
n
2
. Произвольный вектор состояния в таком пространстве определяется
n
2
комплексными амплитудами вероятности.
Заметим, что если бы каждый кубит описывался некоторым состоянием независимо от остальных, то всего было бы
n
2
комплексных амплитуд вероятности, что гораздо меньше при больших
n
. Разность
n
n
2 2
−
обусловлена специфическим квантовым ресурсом, называемым запутанностью (entanglement). Квантовое состояние системы называется запутанным, если оно не сводится к состояниям отдельных подсистем.
Именно запутанность призвана сделать квантовые компьютеры экспоненциально более мощными по сравнению с их классическими собратьями.
Заметим, что Постулат 4 делает неизбежной вероятностную реализацию квантовой информационной модели. Действительно, например, для регистра из
1000
=
n
кубитов, имеет место состояние, описываемое
301 1000 10 07
,
1 2
⋅
≈
комплексными числами. Для Вселенной, имеющей в
50
своем распоряжении «только»
78 10
нуклонов, нет никакой возможности записать подобное состояние детерминированным образом на каком- либо материальном носителе.
Постулат 4 позволяет нам на более высоком уровне вернуться к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей (предварительно этот вопрос уже обсуждался в разделе 1.3).
Отметим следующую принципиальную разницу между описанием с помощью распределения вероятностей и с помощью вектора состояния.
Предположим в рамках классической теории вероятностей, что переменные
s
x
x
x
,...,
,
2 1
связаны между собой распределением вероятностей
(
)
s
x
x
x
P
,...,
,
2 1
. Наличие такого распределения никак не исключает возможного существования дополнительных
r
переменных
r
s
s
s
x
x
x
+
+
+
,...,
,
2 1
, с которыми исходные переменные находятся в отношении статистической зависимости. Напомним, что рассматриваемые переменные являются статистически зависимыми, если совместное распределение размерности
r
s
+
несепарабельно (нефакторизуемо), т.е. не может быть представлено в виде произведения распределений размерностей
s
и
r
. Для статистически зависимых систем имеем:
(
)
(
) (
)
r
s
s
s
s
r
s
s
s
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
x
x
P
+
+
+
+
+
≠
,...,
,
,...,
,
,...,
,
,...,
,
2 1
2 1
1 2
1
На менее формальном языке это свойство означает следующее. Любые статистические связи, обнаруженные внутри исходных переменных
s
x
x
x
,...,
,
2 1
на деле могут оказаться фикцией, поскольку истинные физические причины могут определяться не исходными, а дополнительными
(«скрытыми») переменными
r
s
s
s
x
x
x
+
+
+
,...,
,
2 1
. Таким образом, любой классический статистический анализ не может сам по себе претендовать на получение объективных научных выводов. Высмеивая подобное положение
51
дел, еще 100 лет назад Бернард Шоу писал, что статистики могут легко доказать, что ношение цилиндров удлиняет жизнь и дает иммунитет против болезней [38]. Отмеченный внутренний недостаток классической статистики хорошо известен, поэтому добросовестные исследователи рассматривают статистический анализ только как вспомогательное средство.
Примечательно, что квантовая теория не имеет аналогичного порока.
Пусть переменные
s
x
x
x
,...,
,
2 1
образует квантовое состояние
(
)
s
x
x
x
,...,
,
2 1
ψ
Тогда, исключена возможность статистической зависимости рассматриваемых переменных от любых других переменных во Вселенной (включая «скрытые» переменные внутри самой системы). Другими словами, расширение исходной системы
s
x
x
x
,...,
,
2 1
путем включения любых дополнительных переменных
r
s
s
s
x
x
x
+
+
+
,...,
,
2 1
будет обязательно приводить к сепарабельному совместному квантовому состоянию, т.е. всегда совместное квантовое состояние будет представляться в виде произведения независимых векторов состояний, когда
(
) (
) (
)
r
s
s
s
s
r
s
s
s
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
ψ
ψ
=
ψ
,...,
,
,...,
,
,...,
,
,...,
,
2 1
2 1
1 2
1
Например, при введении спина в нерелятивистскую квантовую механику вектор состояния становится произведением координатной и спиновой функций. Понятно, что рассматриваемая факторизация состояния, приводящая к независимым
«внутренним» и «внешним» переменным, возможна только как некоторая приближенная идеализация, справедливая только в пренебрежении некоторым относительно слабым взаимодействием (например спин- орбитальным).
Заметим, что подобного рода идеализации и составляют основное содержание науки.
Предположим теперь, что, наоборот, рассматриваемое состояние несепарабельно (нефакторизуемо), т.е.
(
) (
) (
)
r
s
s
s
s
r
s
s
s
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
ψ
ψ
≠
ψ
,...,
,
,...,
,
,...,
,
,...,
,
2 1
2 1
1 2
1
52
Тогда невозможно вообще приписать подсистемам
s
x
x
x
,...,
,
2 1
и
r
s
s
s
x
x
x
+
+
+
,...,
,
2 1
каких- либо векторов состояния. Такие системы не могут считаться независимыми замкнутыми системами, как бы далеко они не находились друг от друга. В квантовой информатике состояния указанного типа называются запутанными (entangled). Хорошо известный пример такого рода дают ЭПР состояния (состояния Эйнштейна, Подольского и Розена).
Такие состояния впервые анализировались в знаменитой работе указанных трех авторов в 1935 г. в форме так называемого парадокса ЭПР [53]. Работа называлась «Можно ли считать квантовомеханическое описание физической реальности полным?» и была призвана показать несостоятельность квантовой теории. Парадокс, сформулированный авторами, заключается в том, что если имеются две частицы, которые взаимодействовали в прошлом, то, даже по прошествии сколь угодно большого времени по окончанию взаимодействия, эти частицы продолжают находиться в запутанном состоянии, характеризующимся специфической квантовой корреляцией. Так, производя измерения над одной из них, мы можем получить информацию и о второй частице. При этом частицы могут быть как угодно далеко разнесены в пространстве друг от друга. Таким образом, понятие замкнутости физической системы в квантовой теории существенно отличается от аналогичного понятия в классической теории. Пространственная изолированность больше не может служить признаком замкнутости. Вместо этого в квантовой теории существует внутренний статистический критерий: полное внутренне замкнутое описание системы, независимое от значений любых других переменных (внешних по отношению к рассматриваемой системе или внутренних, но «скрытых»), возможно только для квантовых систем, описываемых вектором состояния. По иронии судьбы, ЭПР состояния, вопреки замыслу их авторов, являются важным аргументом в пользу (а никак
53
не против) полноты квантовой теории. Подробнее ЭПР состояния будут рассмотрены в разделах 4.8- 4.10.
Изложенные соображения позволяют говорить о неполноте классической
(колмогоровской) теории вероятностей и полноте квантовой. Заметим, что неполнота аксиоматики Колмогорова является известным фактом, который, однако, обычно не рассматривается специалистами по классической теории вероятностей как недостаток (см., например, [54]). С точки зрения квантовой информатики, однако, неполнота классической теории вероятностей – это, совершенно определенно, её недостаток. Это недостаток устраняется (правда, только на формальном математическом уровне) путем расширения классического распределения вероятностей до квантового вектора состояния
(как это описано выше). Заметим также, что неполное описание нередко применяется и в квантовой теории. Этому описанию соответствует математический аппарат так называемой матрицы плотности. Краткое описание понятия матрицы плотности будет дано в следующем разделе и
Приложении к настоящей главе. Необходимость введения матрицы плотности обусловлена тем, что часто квантовая физическая система может взаимодействовать сложным (и неконтролируемым) образом со своим окружением. Заметим, что с формальной точки зрения любая матрица плотности может быть дополнена до чистого состояния, подобно тому, как плотность распределения может быть дополнена до вектора квантового состояния. Процедура дополнения матрицы плотности до чистого состояния рассматривается в Приложении к настоящей главе.
3.2 От квантовой информатики к квантовой физике
В настоящем разделе мы покажем, что систематическое применение представленной выше парадигмы квантовой информатики к задачам механики
54
ведет к преобразованию классической механики в механику квантовую
[30,51,52].
Основной закон динамики Ньютона есть:
x
U
m
x
dt
d
r r
∂
∂
−
=
1 2
2
Для того, чтобы применить постулаты квантовой информатики, достаточно предположить, что фигурирующие в основном законе динамики ускорение и сила есть некоторые средние величины. Усреднение обеспечивается посредством введения некоторой плотности распределения
( )
x
P
:
( )
(
)
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
∫
∫
dx
x
U
x
P
m
dx
x
x
P
dt
d
r r
1 2
2
(3.1)
Потребуем в соответствии с Постулатами 1 и 3, чтобы введенная плотность распределения допускала корневое разложение, естественное для квантовой информатики. Пусть всего имеется
s
компонент плотности, т.е.:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1
x
x
x
x
P
s
ψ
+
+
ψ
+
ψ
=
, (3.2) где каждая из компонент представлена в виде разложения:
( )
( )
( )
( ) ( )
x
t
c
x
j
l
j
l
ϕ
=
ψ
,
s
l
,..,
1
=
(3.3)
Предположим, что зависимость коэффициентов разложения от времени определяется гармоническими функциями:
( )
( )
( )
(
)
t
i
c
t
c
j
l
j
l
j
ω
−
=
exp
0
(3.4)
Базисные функции разложения и частоты заранее неизвестны. Их следует определить таким образом, чтобы выполнялись усредненные уравнения движения. Покажем, что модель, задаваемая уравнениями (3.1)- (3.4) приводит к стационарным функциям и частотам уравнения Шредингера.
Подставляя (3.2)-(3.4) в (3.1), получим:
55
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
t
i
j
x
U
k
c
c
t
i
j
x
k
c
c
m
k
j
s
l
l
k
l
j
k
j
s
l
l
k
l
j
k
j
ω
−
ω
−
∂
∂
=
=
ω
−
ω
−
ω
−
ω
∑
∑
=
=
exp exp
1
*
0 0
1
*
0 0
2
r r
(3.5)
Здесь, как обычно, по повторяющимся индексам
j
и k предполагается суммирование.
Матричные элементы в выражении (3.5) определяются формулами:
( )
( )
dx
x
x
x
j
x
k
j
k
ϕ
ϕ
=
∫
*
r r
(3.6)
( )
( )
dx
x
x
U
x
j
x
U
k
j
k
ϕ
∂
∂
ϕ
=
∂
∂
∫
*
r r
(3.7)
Для того, чтобы соотношение (3.5) выполнялось в любой момент времени для произвольных начальных амплитуд, следует потребовать выполнения равенства левых и правых частей отдельно для каждого матричного элемента, поэтому:
(
)
j
x
U
k
j
x
k
m
k
j
r r
∂
∂
=
ω
−
ω
2
(3.8)
Последнее выражение представляет собой матричное уравнение
Гейзенберга для квантовой динамики в энергетическом представлении.
Базисные функции и частоты, удовлетворяющие соотношениям (3.8), есть стационарные состояния и частоты квантовой системы (в соответствии с эквивалентностью картин Гейзенберга и Шредингера).
Действительно, образуем диагональную матрицу из частот системы
j
ω
Рассматриваемая матрица будет эрмитовой в силу того, что частоты – действительные числа. Эта матрица будет представлением некоторого эрмитова оператора, собственные значения которого суть
j
ω
, т.е.
j
j
j
ω
=
Ωˆ
,
(3.9)
56
Найдем явный вид искомого оператора частоты
Ωˆ
. В силу (3.9), матричное соотношение (3.8) можно переписать в виде операторного уравнения
[ ]
[
]
U
m
x
∂
=
Ω
Ω
ˆ
1
,
ˆ
ˆ
r
,
(3.10) где
x
∂
∂
=
∂ˆ
ˆ
x
∂
∂ =
∂r
- оператор дифференцирования,
[ ]
- коммутатор.
Выражение, стоящее в правой части (3.10), представим в виде некоторого коммутатора:
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
−
=
∂
ˆ
,
1
ˆ
1
m
U
U
m
h h
, где h
– произвольная константа, которая, в итоге, должна быть отождествлена с постоянной Планка (см. обсуждение ниже).
Рассматриваемый коммутатор, очевидно, не изменится, если к потенциальной составляющей
U
h
1
добавить произвольную функцию от оператора производной
( )
∂ˆ
1
F
, т.е.
( )
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
−
+
∂
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
−
=
∂
ˆ
,
1
ˆ
ˆ
,
1
ˆ
1 1
m
U
F
m
U
U
m
h h
h h
Аналогичным образом имеем:
( )
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
∂
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
−
=
∂
−
x
x
F
m
x
m
m
r r
h r
h h
,
ˆ
2
,
ˆ
2
ˆ
2 2
2
, где
( )
x
F r
2
- произвольная функция от координат.
Таким образом:
57
[ ]
[
]
( )
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
∂
−
+
∂
=
Ω
Ω
x
x
F
m
U
F
x
r r
h h
r
,
ˆ
2
,
1
ˆ
,
ˆ
ˆ
2 2
1
Последнее соотношение оказывается согласованным, если положить:
( )
2 1
ˆ
2
ˆ
∂
−
=
∂
m
F
h
,
( )
U
x
F
h r
1 2
=
Окончательно находим, что решением уравнения (3.10) является оператор:
( )
x
U
m
h h
1
ˆ
2
ˆ
2
+
∂
−
=
Ω
(3.11)
Для того, чтобы слагаемые в (3.11) имели одинаковую размерность, произвольная константа h
должна иметь размерность постоянной Планка
(эрг*с). Численное значение этой постоянной должно быть выбрано таким, чтобы собственные значения оператора частоты ˆΩ совпадали с реальными атомными частотами. Нетрудно видеть, что выбор численного значения постоянной Планка h
связан с выбором единиц измерения для основных физических величин (длина, время, масса). С теоретической точки зрения единицы измерений можно выбрать так, чтобы было
1
=
h
(заметим, что в квантовой теории поля общеупотребительна система единиц, в которой
1
=
= c
h
).
Вместо оператора частоты
Ωˆ
в квантовой теории принято использовать гамильтониан
Hˆ
( )
x
U
m
H
+
∂
−
=
Ω
=
2 2
ˆ
2
ˆ
ˆ
h h
(3.12)
Собственные значения гамильтониана согласно (10) есть:
j
j
H
j
ω
= h
ˆ
(3.13)
Таким образом, если потребовать, чтобы корневая оценка плотности удовлетворяла в среднем классическим уравнениям движения, то базисные функции и частоты корневого разложения уже не могут быть произвольными,
58
а должны представлять собой соответственно собственные функции и собственные значения гамильтониана системы.
Нетрудно видеть, что динамика амплитуд вероятности, возникающая при описанном выше подходе, является унитарной в полном соответствии с
Постулатом 2.
Постулат 4 квантовой информатики в приложении к изучаемой задаче требует, чтобы многочастичная квантовая система рассматривалась в соответствующем многомерном конфигурационном пространстве (детали такого описания содержатся в общеизвестных руководствах по квантовой механике [55, 56]).
Описанный выше подход представляет собой определенную альтернативу процедуре канонического квантования Дирака, в основе которой лежат квантовые скобки Пуассона [48].
Рассмотрим теперь матрицу плотности, элементы которой определим формулой:
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
t
i
c
c
c
c
k
j
s
l
l
k
l
j
s
l
l
k
l
j
jk
ω
−
ω
−
=
=
ρ
∑
∑
=
=
exp
1
*
0 0
1
*
(3.14)
На основе представленных выше результатов нетрудно получить уравнение для динамики матрицы плотности, называемое обычно квантовым уравнением Лиувилля:
[ ]
ρ
−
=
∂
ρ
∂
ˆ
,
ˆ
ˆ
H
i
t
h
(3.15)
С использованием полученного выражения (3.12) для гамильтониана уже нетрудно получить операторные представления для других динамических величин. Например, понятие импульса можно ввести на основе следующей легко проверяемой цепочки равенств:
59
( )
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
ρ
=
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
=
ω
−
ω
−
ω
−
ω
−
=
∑
∑
∑
∫
=
=
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
exp
1 1
1
*
0 0
p
Tr
p
H
x
x
H
im
t
i
j
x
k
c
c
im
dx
x
x
P
dt
d
m
s
l
l
l
s
l
l
l
k
j
s
l
l
k
l
j
k
j
r r
h r
r
, (3.16) где матрица плотности смеси (3.14) в обозначениях Дирака есть:
( )
( )
∑
ψ
ψ
=
ρ
l
l
l
ˆ
(3.17)
В выражении (3.16) суммирование по индексам
j
и
k
предполагается автоматически, сумма по компонентам смеси (индекс
l
) выписана явно.
Первое из представленных в (3.16) равенств непосредственно следует из определения корневой оценки плотности, при получении второго равенства мы учли (3.13), наконец последние два равенства следуют из определения импульса (в нерелятивистской теории оператор импульса должен быть определен таким образом, чтобы его среднее значение совпадало с произведением массы на среднюю скорость).
Заметим, что в (3.17) компоненты смеси
( )
l
ψ
нормированы таким образом, что
( ) ( )
l
l
l
ρ
=
ψ
ψ
, где
l
ρ - вес l - ой компоненты смеси.
Из соотношения (3.16) с необходимостью вытекает следующее определение импульса:
[ ]
x
i
x
H
im
p
r h
r h
r
∂
∂
−
=
=
ˆ
ˆ
Заметим, что выражения для операторов наблюдаемых величин мы не постулируем (как это делают при стандартном изложении квантовой механики), а выводим как необходимые следствия корневых статистических оценок.
С использованием понятия матрицы плотности, как это следует из (3.16) среднее значение импульса есть:
60
( )
( )
ρ
=
p
Tr
p
M
r r
Точно такая же формула имеет место для среднего значения любой другой наблюдаемой
A
( )
( )
ρ
=
A
Tr
A
M
Соотношения, согласно которым, уравнения классической механики выполняются в среднем и для квантовых систем, называют уравнениями
Эренфеста [57]. Самих этих уравнений, конечно, недостаточно для описания квантовой динамики. Как было показано выше, дополнительное условие, которое позволяет преобразовать классическую механику в квантовую (т.е. условие квантования), есть, по- существу, требование корневого характера плотности.
3.3. Шестая проблема Гильберта
В знаменитом докладе Д. Гильберта «Математические проблемы», прочитанном 8 августа 1900 г. в Париже на 2-ом Международном конгрессе математиков, были сформулированы задачи, оказавшие существенное влияние на развитие математики и связанных с ней наук в XX веке.
Всего Гильберт поставил 23 проблемы, из которых для нас наибольший интерес представляет 6-ая проблема, сформулированная как «математическое изложение аксиом физики».
«С исследованиями по основаниям геометрии», говорится в докладе,
«близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика.
Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних
61
значений в математической физике, в частности в кинетической теории газов»
([58] с.415).
Сегодня, по прошествии более ста лет с момента постановки задачи, можно сказать, что слова Гильберта, прозвучавшие на рубеже XIX и XX веков, были почти пророческими.
Примечательно, что математическая формулировка основ теории вероятностей связывается Гильбертом в единый конгломерат с наукой о микромире. В то время в роли таковой выступала молекулярно- кинетическая теория, основы которой были заложены Максвеллом и Больцманом. Заметим, что всего через несколько месяцев после Гильберта был прочитан еще один доклад, который положил начало новой (квантовой) эре. Этот доклад был прочитан М. Планком 14 декабря 1900 г. на заседании немецкого физического общества.
Гильберт в своем докладе говорит, что искомая аксиоматическая теория вероятностей должна быть построена по аналогии с геометрией. Геометрия гильбертова пространства, заложенная в работах Гильберта, Шмидта и других ученых, как раз, и есть, как мы видели, основа квантовой информатики.
Заметим также, что при построении физических аксиом по образцу аксиом геометрии, как считает Гильберт, «возможно возникнет принцип классификации, который сможет использовать глубокую теорию бесконечных групп преобразования Ли» ([58], с.416). Очевидно, что Гильберт оказался прав и в этом своем предсказании, поскольку важность групп Ли в современной квантовой теории хорошо известна.
Отметим, наконец, что в качестве важной задачи Гильберт видит математически строгое описание перехода от микромира к макромиру. Здесь, по мнению Гильберта, в основу может быть положена «книга Больцмана о принципах механики, в которой следовало бы строго математически обосновать и провести те изложенные в ней процессы предельного перехода,
62
которые ведут от атомистического понимания к теории движения твердого тела» ([58] с.415). Несмотря на колоссальный прогресс, достигнутый в понимании микромира в XX столетии, вопрос математического обоснования соответствующего предельного перехода от описания микроявлений к описанию макромира все еще остается дискуссионным (см., например, [59]).
Постановка 6-ой проблемы Гильбертом не была просто гениальной догадкой одного выдающегося человека. Актуальность рассматриваемой задачи определялась состоянием науки на рубеже XIX и XX веков. Так, знаменитая H- теорема, направленная на механико- статистическое обоснование второго начала термодинамики, была сформулирована
Больцманом еще в 1872 г. [60]. Эта работа вызвала жаркие многолетние дискуссии. С резкой критикой работы Больцмана выступили многие известные ученые, в том числе выдающийся математик и теоретик естествознания А. Пуанкаре. Проблема заключалась в том, что обратимость законов классической механики вступала в противоречие с необратимым характером второго начала термодинамики. Хотя с физической точки зрения ответы Больцмана на возражения против его теории были весьма убедительны, с принципиальной математической точки зрения вопрос оставался открытым. Любой симбиоз представлений классической механики и статистики неизбежно оказывался непоследовательным и внутренне противоречивым. Отметим, в то же время, что подход Больцмана к статистической термодинамике не был чисто классическим. В той же, посвященной H- теореме работе [60], Больцман за 28 лет до Планка использовал (в методических целях) представления о квантованном характере энергии. Как мы теперь понимаем, любые попытки объединения механики и статистики логически должны были вести к квантовым представлениям (пусть и в неявной форме, как у Больцмана). Таким образом, на рубеже XIX и XX столетий, Гильберту и другим ученым было ясно, что развитие механики,
63
теории вероятностей и молекулярно- кинетической теории не могло далее проходить независимо. Прогресс науки настоятельно требовал объединения указанных разделов, однако такое объединение неизбежно оказывалось противоречивым. Формулируя свою знаменитую 6-ую проблему, Гильберт, вероятно, надеялся путем аксиоматизации снять имеющиеся трудности и получить единую универсальную непротиворечивую теорию. На роль такой теории, как мы видим сегодня, вполне может претендовать квантовая информатика.
3.4 Обсуждение
Рассмотрим коротко историю развития 6-ой проблемы Гильберта в XX веке.
Прежде всего, основываясь на своем тезисе о необходимости сочетания исследований по теории вероятностей с развитием кинетической теории газов,
Гильберт применил свою теорию интегральных уравнений к кинетическому уравнению Больцмана. В рамках этих исследований Гильберту удалось найти эффективный способ приближенного решения кинетического уравнения [61].
Кинетическое уравнение Больцмана было для Гильберта примером такого уравнения, которое являлось интегральным по своей сути в том смысле, что не сводилось ни к каким дифференциальным уравнениям.
Возникновение квантовой механики, ознаменованное появлением 1925 г. работ В. Гейзенберга [62], Борна и Иордана [63], а также Гейзенберга, Борна и Иордана [64], побудило Гильберта заняться исследованием математических основ новой теории. Над этой задачей он работал совместно со своими ассистентами – фон Нейманом и Нордгеймом. Результаты исследований были опубликованы в работе [65], в которой авторы впервые попытались осмыслить принципы квантовой теории с математической точки зрения.
64
В свою очередь, сотрудничество с Гильбертом побудило фон Неймана к систематическим исследованиям по математическому обоснованию квантовой теории. Результатом работы, которая продолжалась несколько лет, стала книга [49]. Эта книга до сих пор считается основной среди работ, посвященных математическим аспектам квантовой механики. В своей монографии фон Нейман последовательно развил концепцию гильбертова пространства как арены, на которой развиваются квантовые события, ввел понятие матрицы плотности, развил теорию квантовых измерений, основанных на ортогональных разложениях единицы, провел исследование по обоснованию квантовой статистической механики.
Свое видение фундаментальных статистических основ квантовой механики фон Нейман попытался выразить в своей известной теореме о невозможности введения скрытых параметров в структуру квантовой теории.
Эта теорема, по мнению фон Неймана, должна была обеспечить водораздел между квантовой и классической теориями статистики. Теорема о скрытых параметрах в течение долгого времени не вызывала никаких возражений, пока не была подвергнута жесткой критике со стороны Белла [66]. Позитивным итогом исследований Белла стали известные неравенства, носящие его имя.
Эти неравенства показывают невозможность объяснения результатов статистических экспериментов над квантовыми объектами посредством концепции классического вероятностного пространства. С этой точки зрения неравенства Белла выражают в количественной форме то, что фон Нейман сформулировал в своей теореме на качественном уровне. Пример наиболее известного неравенства Белла будет рассмотрен в разделе 4.10.
Формальные математические инструменты, разработанные фон
Нейманом, были существенно усовершенствованы и обобщены другими авторами. Так, в современной теории квантовых измерений рассматривают не только основанные на проекторах ортогональные разложения единицы,
65
введенные фон Нейманом, но и общие разложения единицы.
Соответствующие объекты называют положительными операторнозначными мерами (Positive Operator- Valued Measure - POVM). Техника POVM будет кратко описана в нижеследующем Приложении.
Современное изложение математических аспектов квантовой механики содержится в книгах А.С. Холево [36, 67, 68]. История аксиоматики классической теории вероятностей излагается в [69].
3.П. Приложение. Разложение Шмидта и формализм матрицы плотности.
Пусть вектор состояния (амплитуда вероятности) составной системы
ψ
зависит от переменных двух подсистем. Оказывается, что вектор состояния составной системы может быть разложен по векторам, относящимся к отдельным подсистемам. Соответствующее представление называется разложением Шмидта [1,2,37]:
( )
( )
∑
ψ
⊗
ψ
λ
=
ψ
k
k
k
k
2 1
(3.18)
Здесь
k
λ
- весовые (заведомо неотрицательные) множители, удовлетворяющие условию нормировки
1
=
λ
∑
k
k
Мы предполагаем, что слагаемые в разложении (3.18) представлены в порядке убывания (невозрастания) коэффициентов
k
λ
Разложение Шмидта дает наглядный математический аппарат для исследования запутанности. Например, регистрация подсистемы №1 наблюдателем
A
в состоянии
( )
1
k
ψ
означает, что подсистема №2 с
66
необходимостью будет зарегистрирована (наблюдателем
B
) в состоянии
( )
2
k
ψ
(при том же самом
k
).
Функции (векторы)
( )
1
k
ψ
и
( )
2
k
ψ
называются модами Шмидта.
Предположим, что каждая из подсистем описывается гильбертовым пространством размерности
s
. Тогда, каждый из наборов функций
( )
1
k
ψ
и
( )
2
k
ψ
(
s
k
,...,
1
=
) будет полным набором, образующим ортонормированный базис.
Опишем алгоритм численной экстракции мод Шмидта. Пусть
ψ
матрица размера
s
s
×
с элементами
2 1
j
j
ψ
, задающими амплитуду вероятности найти подсистемы в базисных состояниях
1
j
и
2
j
соответственно. Введем матрицу
M
следующего вида:
+
ψ
⋅
ψ
=
M
(3.19)
Найдем собственные функции и собственные значения матрицы
M
. В результате, рассматриваемая матрица будет представлена в виде:
+
= UDU
M
,
(3.20)
Здесь
U
- унитарная матрица, составленная из собственных векторов матрицы
M
(каждый столбец матрицы
U
есть некоторый собственный вектор матрицы
M
). Матрица
D
есть диагональная матрица, составленная из собственных значений
k
λ
матрицы
M
. Будем предполагать также, что
k
λ
выстроены на диагонали в порядке убывания (невозрастания).
67
Диагональные элементы матрицы
D
есть искомые весовые множители
k
λ
разложения Шмидта. При этом мода
( )
1
k
ψ
дается
k
- ым столбцом матрицы
U
Для нахождения мод
( )
2
k
ψ
введем матрицу
V
согласно формуле:
ψ
=
+
−
U
D
V
1
(3.21)
В задачах высокой размерности матрица
D
, как правило, содержит элементы, практически равные нулю. Это может приводить к формальному делению на ноль при вычислении матрицы
1
−
D
. Для предотвращения этого явления можно поступить двумя практически эквивалентными способами.
Можно вводить небольшие ненулевые слагаемые ( например, порядка
12 10
−
-
16 10
−
) в диагональ
D
. Результаты фактически не зависят от уровня
«малости» вводимых величин (они нужны только для того, чтобы избежать деления на машинный ноль). Те же результаты можно получить, если
«урезать» размерность матрицы
D
, оставив в ней на диагонали только
r
заведомо ненулевых элементов
r
λ
λ
λ
,...,
,
2 1
(при этом в матрице
U
также необходимо оставить только первые
r
столбцов).
Теперь для получения моды
( )
2
k
ψ
остается только взять
k
- ую
строку
матрицы
V
С использованием матриц
U
и
V
матрица амплитуд вероятностей
ψ
может быть записана в виде:
V
S
U
⋅
⋅
=
ψ
(3.22)
68
где
D
S
=
- диагональная матрица, неотрицательные диагональные элементы которой
k
λ
расположены в порядке убывания (невозрастания).
Разложение (3.22) есть сингулярное разложение матрицы (singular value decomposition, сокращенно- svd), а параметры
k
λ
- сингулярные значения
(singular values) матрицы.
Представленный алгоритм показывает, что определение мод Шмидта есть самосогласованная по переменным подсистем процедура. Так, каждый столбец матрицы
U
(каждая мода
( )
1
k
ψ
) определяется с точностью до независимого несущественного фазового множителя. Добавление такого множителя, однако, приведет, согласно (3.21), к согласованному изменению фазы моды
( )
2
k
ψ
, запутанной с исходной модой.
Задача 3.1
Явным расчетом покажите, что алгоритм, задаваемый формулами (3.19)- (3.22) действительно определяет разложение Шмидта (3.18) для составной системы.
Основная числовая характеристика, связанная с разложением Шмидта есть число Шмидта
K
, которое характеризует эффективное число мод в разложении:
∑
λ
=
k
k
K
2 1
По своему определению, в силу условия нормировки для
k
λ
, число
K
заведомо не ниже единицы (и равно единице только в том случае, когда в
69
разложении Шмидта имеется единственное ненулевое слагаемое). В случае систем, описываемых конечномерным вектором состояния, число
K
лежит в интервале
s
K
≤
≤
1
, где
s
- размерность гильбертова пространства квантовой подсистемы.
Наблюдатель
A
, для которого доступна подсистема №1 и недоступна подсистема №2, не имеет возможности восстановить вектор состояния полной системы. Он вынужден ограничиться описанием подсистемы №1 посредством матрицы плотности:
( )
( )
( )
∑
ψ
ψ
λ
=
ρ
k
k
k
k
1 1
1
Аналогично, наблюдатель
B
, которому доступна только подсистема
№2, имеет дело с матрицей плотности
( )
( )
( )
∑
ψ
ψ
λ
=
ρ
k
k
k
k
2 2
2
Матрица плотности является инструментом неполного описания квантовых систем. Такое описание может быть искусственно домыслено
(дополнено) до описания посредством вектора состояния. Например, наблюдатель
A
, не имея возможности установить действительную систему
№2, с которой запутана его система №1, может рассмотреть некоторую другую вспомогательную систему №2’ и соответствующий ей базисный набор
( )
2
k
ψ′
. Вместо действительного вектора состояния составной системы
ψ
, такой наблюдатель будет рассматривать некоторое другое состояние
ψ′
( )
( )
∑
ψ′
⊗
ψ
λ
=
ψ′
k
k
k
k
2 1
70
Важно отметить, что в отношении описания отдельно взятой системы №1 векторы состояния
ψ
и
ψ′
эквивалентны.
Унитарный оператор
U
, действующий на переменные подсистемы, задает следующее преобразование матрицы плотности (здесь и далее мы опускаем индекс №1, идентифицирующий рассматриваемую подсистему):
+
ρ
=
ρ′
U
U
Для оператора
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
h
iHt
U
exp рассматриваемое преобразование эквивалентно квантовому уравнению Лиувилля (3.15) из раздела 3.2.
В формализме матрицы плотности принято рассматривать следующие обобщенные измерения над системой [36,67,68]. Предположим, что результатом измерения может быть один из
r
исходов:
r
m
,...,
2
,
1
=
Вероятность исхода
m
дается формулой
( )
(
)
ρ
=
m
E
Tr
m
P
Здесь
m
E
(
r
m
,...,
2
,
1
=
) набор эрмитовых операторов, образующих
POVM (положительную операторнозначную меру).
По определению, операторы
m
E
неотрицательно определены:
0
≥
m
E
Кроме того, предполагается, что рассматриваемые операторы задают разложение единицы
I
E
m
m
=
∑
, где
I
- тождественный оператор (единичная матрица).
В силу эрмитовости и неотрицательной определенности, каждый оператор
m
E
может быть представлен в виде:
71
m
m
m
X
X
E
+
=
, где
m
X
(
r
m
,...,
2
,
1
=
) – некоторые операторы измерения.
Частным случаем операторов
m
E
являются хорошо известные в квантовой механике ортогональные проекторы.
Пусть, например, задан ортонормированный базис
s
j
j
,...,
1
=
ϕ
Каждому базисному вектору
j
ϕ
можно сопоставить свой оператор проектирования:
s
j
P
j
j
j
,...,
1
,
=
ϕ
ϕ
=
(3.23)
(по индексу
j
нет суммирования!)
Задача 3.2
Покажите, что введенные посредством (3.23) операторы, удовлетворяют характерным для операторов ортогонального проектирования условиям:
s
j
P
P
j
j
,...,
1 2
=
=
k
j
P
P
k
j
≠
=
0
Задача 3.3
Покажите, что введенные операторы проектирования задают ортогональное разложение единицы, т.е. выполняется условие:
I
P
j
j
j
j
j
=
ϕ
ϕ
=
∑
∑
72
1 2 3 4 5 6 7 8
45
Заметим, что идея некоммутативности была очень близка Дираку. Ведь именно она позволила ему сформулировать понятие квантовых скобок
Пуассона взамен аналогичных классических скобок и, таким образом, очень красиво и элегантно преобразовать классическую механику в квантовую. И вот теперь, спустя более сорока лет после своих пионерских работ, Дирак приходит к выводу, что существует более глубокая по сравнению с некоммутативностью идея, и эта идея связана с существованием амплитуд вероятности. Нижеследующие слова Дирак выделяет курсивом: «Я полагаю,
что понятие амплитуды вероятности, по-видимому, является наиболее
фундаментальным понятием квантовой теории» ([50], с.148).
Интересно задать вопрос: как изменились бы «Принципы квантовой механики», если бы при их написании молодой Дирак придерживался таких же взглядов, к которым он пришел в зрелом возрасте? Анализ данного вопроса показывает, что для преобразования классической механики в квантовую не обязательно исходить из процедуры канонического квантования
Дирака, в основе которой лежат квантовые скобки Пуассона. Достаточно придерживаться концепции амплитуд вероятностей и статистического требования соответствия в среднем результатов новой и старой теорий [30, 51,
52]. Этот вопрос рассматривается подробнее в следующем разделе.
Опираясь на изложенное выше, сформулируем первым следующий постулат.
Постулат 1. Основной объект квантовой информатики – квантовая
система. Поведение квантовой системы полностью описывается
амплитудами вероятностей. Амплитуды вероятностей образуют вектор
состояния в гильбертовом пространстве.
Гильбертово пространство является линейным векторным пространством.
Свойство линейности предполагает выполнение принципа суперпозиции. Это означает, что если
a
и
b
- векторы, описывающие некоторые состояния
46
системы, то и их произвольная линейная комбинация
b
c
a
c
2 1
+
(где
2 1
, c
c
- произвольные комплексные числа) также есть возможное состояние системы (принцип суперпозиции).
Вектор состояния как геометрический объект в гильбертовом пространстве может быть задан в различных эквивалентных представлениях, унитарно связанных между собой подобно тому, как поведение объектов в обычном евклидовом пространстве можно описать в различных координатах, связанных между собой ортогональными преобразованиями. Эти соображения лежат в основе следующего постулата.
Постулат 2. Амплитуды вероятностей как координаты вектора
состояния в гильбертовом пространстве могут быть заданы в различных
эквивалентных представлениях. Эквивалентные представления связаны друг
с другом унитарными преобразованиями. Унитарное преобразование во
времени описывает эволюцию квантовой системы.
Унитарное преобразование может быть записано символически следующим матричным равенством:
ψ
=
ψ′
U
Любая унитарная матрица
U
может быть представлена в виде матричной экспоненты
( )
iH
U
exp
=
, где
H
- эрмитова матрица.
В силу однородности времени, унитарное преобразование во времени должно удовлетворять условию:
(
)
( ) ( )
2 1
2 1
t
U
t
U
t
t
U
=
+
47
Матричная экспонента, удовлетворяющая условию однородности во времени, должна иметь вид:
( )
iHt
U
exp
=
Введенный таким образом эрмитов оператор
H
называется гамильтонианом.
Из последнего соотношения следует, что унитарная эволюция квантовых состояний должна определяться уравнением Шредингера:
ψ
=
∂
ψ
∂
H
t
i
Вектор состояния является объективной статистической характеристикой квантовой системы и должен допускать возможность экспериментального изучения. Для такого изучения, однако, нужен не один, а множество представителей квантового статистического ансамбля. В таком ансамбле каждый представитель приготовлен по одному и тому же рецепту и, таким образом, находится в одном и том же квантовом состоянии. Нам недостаточно проводить измерения в каком- либо одном базисе. Нужно проводить измерения в различных унитарно- связанных между собой базисах.
Результаты таких измерений регулируются следующим постулатом.
Постулат 3. Измерения, проводимые в различных унитарно связанных
друг с другом базисных представлениях, порождают совокупность взаимно-
дополнительных
статистических
распределений.
В
фиксированном
представлении квадрат модуля амплитуды вероятностей задает
вероятность обнаружения квантовой системы в соответствующем
базисном состоянии.
Постулаты 2 и 3 тесно связаны друг с другом и образуют единое целое. С одной стороны, Постулат 3 служит тому, чтобы «материализовать» результаты преобразований, о которых говорится в Постулате 2. С другой стороны, проводя измерения согласно Постулату 3, мы должны позаботиться
48
о том, чтобы такие измерения давали наиболее полную картину явлений.
Этого нельзя добиться, если ограничиться только каким- либо одним представлением. Таким образом, для того, чтобы провести измерения согласно Постулату 3, нужно использовать и Постулат 2, осуществляя переход между различными представлениями. Для каждого представителя статистического квантового ансамбля мы должны сделать выбор: провести измерение в исходном представлении или перейти путем унитарного преобразования к другому представлению и только потом провести измерение. Только совокупность измерений в различных взаимно- дополнительных представлениях способно дать полную картину для квантового состояния с экспериментальной точки зрения.
В изложенных выше соображениях мы предполагаем, что однажды измеренный представитель, далее не измеряется. Если бы мы даже провели такое измерение, то оно бы несло информацию не об исходном квантовом состоянии, а о состоянии, возникшем в результате первого измерения. В этом состоит свойство редукции квантовых состояний. «Однако даже при усердии одного яйца два раза не высидишь» (Козьма Прутков «Мысли и афоризмы»,
№258).
При рассмотрении квантовых состояний составных систем мы естественно приходим к понятию тензорного произведения пространств состояний отдельных подсистем. Рассмотрим для примера систему из двух двухуровневых квантовых систем (квантовых битов- кубитов). Естественно предположить, что данная система в качестве возможных состояний должна содержать следующие четыре базисные состояния:
00
- оба кубита в состоянии
0
,
01
- первый кубит в состоянии
0
, второй в состоянии
1
,
10
- первый кубит в состоянии
1
, второй- в состоянии
0
,
49 11
- оба кубита в состоянии
1
Указанные четыре базисных вектора порождают гильбертово пространство размерности 4. Это означает, что система из двух кубитов может находиться не только в одном из указанных состояний, но и в любом состоянии суперпозиции
11 10 01 00 11 10 01 00
c
c
c
c
+
+
+
=
ψ
Такого рода соображения делают естественным следующий постулат.
Постулат 4. Пространство состояний составной системы образовано
тензорным произведением пространств состояний отдельных систем.
Например,
n
кубитов, рассматриваемые как единая квантовая система, порождают
n
2
базисных состояний и, соответственно, гильбертово пространство размерности
n
2
. Произвольный вектор состояния в таком пространстве определяется
n
2
комплексными амплитудами вероятности.
Заметим, что если бы каждый кубит описывался некоторым состоянием независимо от остальных, то всего было бы
n
2
комплексных амплитуд вероятности, что гораздо меньше при больших
n
. Разность
n
n
2 2
−
обусловлена специфическим квантовым ресурсом, называемым запутанностью (entanglement). Квантовое состояние системы называется запутанным, если оно не сводится к состояниям отдельных подсистем.
Именно запутанность призвана сделать квантовые компьютеры экспоненциально более мощными по сравнению с их классическими собратьями.
Заметим, что Постулат 4 делает неизбежной вероятностную реализацию квантовой информационной модели. Действительно, например, для регистра из
1000
=
n
кубитов, имеет место состояние, описываемое
301 1000 10 07
,
1 2
⋅
≈
комплексными числами. Для Вселенной, имеющей в
50
своем распоряжении «только»
78 10
нуклонов, нет никакой возможности записать подобное состояние детерминированным образом на каком- либо материальном носителе.
Постулат 4 позволяет нам на более высоком уровне вернуться к вопросу о полноте квантовой статистической теории и неполноте классической теории вероятностей (предварительно этот вопрос уже обсуждался в разделе 1.3).
Отметим следующую принципиальную разницу между описанием с помощью распределения вероятностей и с помощью вектора состояния.
Предположим в рамках классической теории вероятностей, что переменные
s
x
x
x
,...,
,
2 1
связаны между собой распределением вероятностей
(
)
s
x
x
x
P
,...,
,
2 1
. Наличие такого распределения никак не исключает возможного существования дополнительных
r
переменных
r
s
s
s
x
x
x
+
+
+
,...,
,
2 1
, с которыми исходные переменные находятся в отношении статистической зависимости. Напомним, что рассматриваемые переменные являются статистически зависимыми, если совместное распределение размерности
r
s
+
несепарабельно (нефакторизуемо), т.е. не может быть представлено в виде произведения распределений размерностей
s
и
r
. Для статистически зависимых систем имеем:
(
)
(
) (
)
r
s
s
s
s
r
s
s
s
x
x
x
P
x
x
x
P
x
x
x
x
x
P
+
+
+
+
+
≠
,...,
,
,...,
,
,...,
,
,...,
,
2 1
2 1
1 2
1
На менее формальном языке это свойство означает следующее. Любые статистические связи, обнаруженные внутри исходных переменных
s
x
x
x
,...,
,
2 1
на деле могут оказаться фикцией, поскольку истинные физические причины могут определяться не исходными, а дополнительными
(«скрытыми») переменными
r
s
s
s
x
x
x
+
+
+
,...,
,
2 1
. Таким образом, любой классический статистический анализ не может сам по себе претендовать на получение объективных научных выводов. Высмеивая подобное положение
51
дел, еще 100 лет назад Бернард Шоу писал, что статистики могут легко доказать, что ношение цилиндров удлиняет жизнь и дает иммунитет против болезней [38]. Отмеченный внутренний недостаток классической статистики хорошо известен, поэтому добросовестные исследователи рассматривают статистический анализ только как вспомогательное средство.
Примечательно, что квантовая теория не имеет аналогичного порока.
Пусть переменные
s
x
x
x
,...,
,
2 1
образует квантовое состояние
(
)
s
x
x
x
,...,
,
2 1
ψ
Тогда, исключена возможность статистической зависимости рассматриваемых переменных от любых других переменных во Вселенной (включая «скрытые» переменные внутри самой системы). Другими словами, расширение исходной системы
s
x
x
x
,...,
,
2 1
путем включения любых дополнительных переменных
r
s
s
s
x
x
x
+
+
+
,...,
,
2 1
будет обязательно приводить к сепарабельному совместному квантовому состоянию, т.е. всегда совместное квантовое состояние будет представляться в виде произведения независимых векторов состояний, когда
(
) (
) (
)
r
s
s
s
s
r
s
s
s
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
ψ
ψ
=
ψ
,...,
,
,...,
,
,...,
,
,...,
,
2 1
2 1
1 2
1
Например, при введении спина в нерелятивистскую квантовую механику вектор состояния становится произведением координатной и спиновой функций. Понятно, что рассматриваемая факторизация состояния, приводящая к независимым
«внутренним» и «внешним» переменным, возможна только как некоторая приближенная идеализация, справедливая только в пренебрежении некоторым относительно слабым взаимодействием (например спин- орбитальным).
Заметим, что подобного рода идеализации и составляют основное содержание науки.
Предположим теперь, что, наоборот, рассматриваемое состояние несепарабельно (нефакторизуемо), т.е.
(
) (
) (
)
r
s
s
s
s
r
s
s
s
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+
+
+
+
+
ψ
ψ
≠
ψ
,...,
,
,...,
,
,...,
,
,...,
,
2 1
2 1
1 2
1
52
Тогда невозможно вообще приписать подсистемам
s
x
x
x
,...,
,
2 1
и
r
s
s
s
x
x
x
+
+
+
,...,
,
2 1
каких- либо векторов состояния. Такие системы не могут считаться независимыми замкнутыми системами, как бы далеко они не находились друг от друга. В квантовой информатике состояния указанного типа называются запутанными (entangled). Хорошо известный пример такого рода дают ЭПР состояния (состояния Эйнштейна, Подольского и Розена).
Такие состояния впервые анализировались в знаменитой работе указанных трех авторов в 1935 г. в форме так называемого парадокса ЭПР [53]. Работа называлась «Можно ли считать квантовомеханическое описание физической реальности полным?» и была призвана показать несостоятельность квантовой теории. Парадокс, сформулированный авторами, заключается в том, что если имеются две частицы, которые взаимодействовали в прошлом, то, даже по прошествии сколь угодно большого времени по окончанию взаимодействия, эти частицы продолжают находиться в запутанном состоянии, характеризующимся специфической квантовой корреляцией. Так, производя измерения над одной из них, мы можем получить информацию и о второй частице. При этом частицы могут быть как угодно далеко разнесены в пространстве друг от друга. Таким образом, понятие замкнутости физической системы в квантовой теории существенно отличается от аналогичного понятия в классической теории. Пространственная изолированность больше не может служить признаком замкнутости. Вместо этого в квантовой теории существует внутренний статистический критерий: полное внутренне замкнутое описание системы, независимое от значений любых других переменных (внешних по отношению к рассматриваемой системе или внутренних, но «скрытых»), возможно только для квантовых систем, описываемых вектором состояния. По иронии судьбы, ЭПР состояния, вопреки замыслу их авторов, являются важным аргументом в пользу (а никак
53
не против) полноты квантовой теории. Подробнее ЭПР состояния будут рассмотрены в разделах 4.8- 4.10.
Изложенные соображения позволяют говорить о неполноте классической
(колмогоровской) теории вероятностей и полноте квантовой. Заметим, что неполнота аксиоматики Колмогорова является известным фактом, который, однако, обычно не рассматривается специалистами по классической теории вероятностей как недостаток (см., например, [54]). С точки зрения квантовой информатики, однако, неполнота классической теории вероятностей – это, совершенно определенно, её недостаток. Это недостаток устраняется (правда, только на формальном математическом уровне) путем расширения классического распределения вероятностей до квантового вектора состояния
(как это описано выше). Заметим также, что неполное описание нередко применяется и в квантовой теории. Этому описанию соответствует математический аппарат так называемой матрицы плотности. Краткое описание понятия матрицы плотности будет дано в следующем разделе и
Приложении к настоящей главе. Необходимость введения матрицы плотности обусловлена тем, что часто квантовая физическая система может взаимодействовать сложным (и неконтролируемым) образом со своим окружением. Заметим, что с формальной точки зрения любая матрица плотности может быть дополнена до чистого состояния, подобно тому, как плотность распределения может быть дополнена до вектора квантового состояния. Процедура дополнения матрицы плотности до чистого состояния рассматривается в Приложении к настоящей главе.
3.2 От квантовой информатики к квантовой физике
В настоящем разделе мы покажем, что систематическое применение представленной выше парадигмы квантовой информатики к задачам механики
54
ведет к преобразованию классической механики в механику квантовую
[30,51,52].
Основной закон динамики Ньютона есть:
x
U
m
x
dt
d
r r
∂
∂
−
=
1 2
2
Для того, чтобы применить постулаты квантовой информатики, достаточно предположить, что фигурирующие в основном законе динамики ускорение и сила есть некоторые средние величины. Усреднение обеспечивается посредством введения некоторой плотности распределения
( )
x
P
:
( )
(
)
( )
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
=
∫
∫
dx
x
U
x
P
m
dx
x
x
P
dt
d
r r
1 2
2
(3.1)
Потребуем в соответствии с Постулатами 1 и 3, чтобы введенная плотность распределения допускала корневое разложение, естественное для квантовой информатики. Пусть всего имеется
s
компонент плотности, т.е.:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
2 2
1
x
x
x
x
P
s
ψ
+
+
ψ
+
ψ
=
, (3.2) где каждая из компонент представлена в виде разложения:
( )
( )
( )
( ) ( )
x
t
c
x
j
l
j
l
ϕ
=
ψ
,
s
l
,..,
1
=
(3.3)
Предположим, что зависимость коэффициентов разложения от времени определяется гармоническими функциями:
( )
( )
( )
(
)
t
i
c
t
c
j
l
j
l
j
ω
−
=
exp
0
(3.4)
Базисные функции разложения и частоты заранее неизвестны. Их следует определить таким образом, чтобы выполнялись усредненные уравнения движения. Покажем, что модель, задаваемая уравнениями (3.1)- (3.4) приводит к стационарным функциям и частотам уравнения Шредингера.
Подставляя (3.2)-(3.4) в (3.1), получим:
55
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
t
i
j
x
U
k
c
c
t
i
j
x
k
c
c
m
k
j
s
l
l
k
l
j
k
j
s
l
l
k
l
j
k
j
ω
−
ω
−
∂
∂
=
=
ω
−
ω
−
ω
−
ω
∑
∑
=
=
exp exp
1
*
0 0
1
*
0 0
2
r r
(3.5)
Здесь, как обычно, по повторяющимся индексам
j
и k предполагается суммирование.
Матричные элементы в выражении (3.5) определяются формулами:
( )
( )
dx
x
x
x
j
x
k
j
k
ϕ
ϕ
=
∫
*
r r
(3.6)
( )
( )
dx
x
x
U
x
j
x
U
k
j
k
ϕ
∂
∂
ϕ
=
∂
∂
∫
*
r r
(3.7)
Для того, чтобы соотношение (3.5) выполнялось в любой момент времени для произвольных начальных амплитуд, следует потребовать выполнения равенства левых и правых частей отдельно для каждого матричного элемента, поэтому:
(
)
j
x
U
k
j
x
k
m
k
j
r r
∂
∂
=
ω
−
ω
2
(3.8)
Последнее выражение представляет собой матричное уравнение
Гейзенберга для квантовой динамики в энергетическом представлении.
Базисные функции и частоты, удовлетворяющие соотношениям (3.8), есть стационарные состояния и частоты квантовой системы (в соответствии с эквивалентностью картин Гейзенберга и Шредингера).
Действительно, образуем диагональную матрицу из частот системы
j
ω
Рассматриваемая матрица будет эрмитовой в силу того, что частоты – действительные числа. Эта матрица будет представлением некоторого эрмитова оператора, собственные значения которого суть
j
ω
, т.е.
j
j
j
ω
=
Ωˆ
,
(3.9)
56
Найдем явный вид искомого оператора частоты
Ωˆ
. В силу (3.9), матричное соотношение (3.8) можно переписать в виде операторного уравнения
[ ]
[
]
U
m
x
∂
=
Ω
Ω
ˆ
1
,
ˆ
ˆ
r
,
(3.10) где
x
∂
∂
=
∂ˆ
ˆ
x
∂
∂ =
∂r
- оператор дифференцирования,
[ ]
- коммутатор.
Выражение, стоящее в правой части (3.10), представим в виде некоторого коммутатора:
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
−
=
∂
ˆ
,
1
ˆ
1
m
U
U
m
h h
, где h
– произвольная константа, которая, в итоге, должна быть отождествлена с постоянной Планка (см. обсуждение ниже).
Рассматриваемый коммутатор, очевидно, не изменится, если к потенциальной составляющей
U
h
1
добавить произвольную функцию от оператора производной
( )
∂ˆ
1
F
, т.е.
( )
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
−
+
∂
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
−
=
∂
ˆ
,
1
ˆ
ˆ
,
1
ˆ
1 1
m
U
F
m
U
U
m
h h
h h
Аналогичным образом имеем:
( )
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
∂
−
=
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
∂
−
=
∂
−
x
x
F
m
x
m
m
r r
h r
h h
,
ˆ
2
,
ˆ
2
ˆ
2 2
2
, где
( )
x
F r
2
- произвольная функция от координат.
Таким образом:
57
[ ]
[
]
( )
( )
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
+
∂
−
+
∂
=
Ω
Ω
x
x
F
m
U
F
x
r r
h h
r
,
ˆ
2
,
1
ˆ
,
ˆ
ˆ
2 2
1
Последнее соотношение оказывается согласованным, если положить:
( )
2 1
ˆ
2
ˆ
∂
−
=
∂
m
F
h
,
( )
U
x
F
h r
1 2
=
Окончательно находим, что решением уравнения (3.10) является оператор:
( )
x
U
m
h h
1
ˆ
2
ˆ
2
+
∂
−
=
Ω
(3.11)
Для того, чтобы слагаемые в (3.11) имели одинаковую размерность, произвольная константа h
должна иметь размерность постоянной Планка
(эрг*с). Численное значение этой постоянной должно быть выбрано таким, чтобы собственные значения оператора частоты ˆΩ совпадали с реальными атомными частотами. Нетрудно видеть, что выбор численного значения постоянной Планка h
связан с выбором единиц измерения для основных физических величин (длина, время, масса). С теоретической точки зрения единицы измерений можно выбрать так, чтобы было
1
=
h
(заметим, что в квантовой теории поля общеупотребительна система единиц, в которой
1
=
= c
h
).
Вместо оператора частоты
Ωˆ
в квантовой теории принято использовать гамильтониан
Hˆ
( )
x
U
m
H
+
∂
−
=
Ω
=
2 2
ˆ
2
ˆ
ˆ
h h
(3.12)
Собственные значения гамильтониана согласно (10) есть:
j
j
H
j
ω
= h
ˆ
(3.13)
Таким образом, если потребовать, чтобы корневая оценка плотности удовлетворяла в среднем классическим уравнениям движения, то базисные функции и частоты корневого разложения уже не могут быть произвольными,
58
а должны представлять собой соответственно собственные функции и собственные значения гамильтониана системы.
Нетрудно видеть, что динамика амплитуд вероятности, возникающая при описанном выше подходе, является унитарной в полном соответствии с
Постулатом 2.
Постулат 4 квантовой информатики в приложении к изучаемой задаче требует, чтобы многочастичная квантовая система рассматривалась в соответствующем многомерном конфигурационном пространстве (детали такого описания содержатся в общеизвестных руководствах по квантовой механике [55, 56]).
Описанный выше подход представляет собой определенную альтернативу процедуре канонического квантования Дирака, в основе которой лежат квантовые скобки Пуассона [48].
Рассмотрим теперь матрицу плотности, элементы которой определим формулой:
( ) ( )
( ) ( )
(
)
(
)
t
i
c
c
c
c
k
j
s
l
l
k
l
j
s
l
l
k
l
j
jk
ω
−
ω
−
=
=
ρ
∑
∑
=
=
exp
1
*
0 0
1
*
(3.14)
На основе представленных выше результатов нетрудно получить уравнение для динамики матрицы плотности, называемое обычно квантовым уравнением Лиувилля:
[ ]
ρ
−
=
∂
ρ
∂
ˆ
,
ˆ
ˆ
H
i
t
h
(3.15)
С использованием полученного выражения (3.12) для гамильтониана уже нетрудно получить операторные представления для других динамических величин. Например, понятие импульса можно ввести на основе следующей легко проверяемой цепочки равенств:
59
( )
(
)
(
)
( ) ( )
(
)
(
)
( )
( )
( )
( )
( )
ρ
=
ψ
ψ
=
ψ
−
ψ
=
=
ω
−
ω
−
ω
−
ω
−
=
∑
∑
∑
∫
=
=
=
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
exp
1 1
1
*
0 0
p
Tr
p
H
x
x
H
im
t
i
j
x
k
c
c
im
dx
x
x
P
dt
d
m
s
l
l
l
s
l
l
l
k
j
s
l
l
k
l
j
k
j
r r
h r
r
, (3.16) где матрица плотности смеси (3.14) в обозначениях Дирака есть:
( )
( )
∑
ψ
ψ
=
ρ
l
l
l
ˆ
(3.17)
В выражении (3.16) суммирование по индексам
j
и
k
предполагается автоматически, сумма по компонентам смеси (индекс
l
) выписана явно.
Первое из представленных в (3.16) равенств непосредственно следует из определения корневой оценки плотности, при получении второго равенства мы учли (3.13), наконец последние два равенства следуют из определения импульса (в нерелятивистской теории оператор импульса должен быть определен таким образом, чтобы его среднее значение совпадало с произведением массы на среднюю скорость).
Заметим, что в (3.17) компоненты смеси
( )
l
ψ
нормированы таким образом, что
( ) ( )
l
l
l
ρ
=
ψ
ψ
, где
l
ρ - вес l - ой компоненты смеси.
Из соотношения (3.16) с необходимостью вытекает следующее определение импульса:
[ ]
x
i
x
H
im
p
r h
r h
r
∂
∂
−
=
=
ˆ
ˆ
Заметим, что выражения для операторов наблюдаемых величин мы не постулируем (как это делают при стандартном изложении квантовой механики), а выводим как необходимые следствия корневых статистических оценок.
С использованием понятия матрицы плотности, как это следует из (3.16) среднее значение импульса есть:
60
( )
( )
ρ
=
p
Tr
p
M
r r
Точно такая же формула имеет место для среднего значения любой другой наблюдаемой
A
( )
( )
ρ
=
A
Tr
A
M
Соотношения, согласно которым, уравнения классической механики выполняются в среднем и для квантовых систем, называют уравнениями
Эренфеста [57]. Самих этих уравнений, конечно, недостаточно для описания квантовой динамики. Как было показано выше, дополнительное условие, которое позволяет преобразовать классическую механику в квантовую (т.е. условие квантования), есть, по- существу, требование корневого характера плотности.
3.3. Шестая проблема Гильберта
В знаменитом докладе Д. Гильберта «Математические проблемы», прочитанном 8 августа 1900 г. в Париже на 2-ом Международном конгрессе математиков, были сформулированы задачи, оказавшие существенное влияние на развитие математики и связанных с ней наук в XX веке.
Всего Гильберт поставил 23 проблемы, из которых для нас наибольший интерес представляет 6-ая проблема, сформулированная как «математическое изложение аксиом физики».
«С исследованиями по основаниям геометрии», говорится в докладе,
«близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика.
Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних
61
значений в математической физике, в частности в кинетической теории газов»
([58] с.415).
Сегодня, по прошествии более ста лет с момента постановки задачи, можно сказать, что слова Гильберта, прозвучавшие на рубеже XIX и XX веков, были почти пророческими.
Примечательно, что математическая формулировка основ теории вероятностей связывается Гильбертом в единый конгломерат с наукой о микромире. В то время в роли таковой выступала молекулярно- кинетическая теория, основы которой были заложены Максвеллом и Больцманом. Заметим, что всего через несколько месяцев после Гильберта был прочитан еще один доклад, который положил начало новой (квантовой) эре. Этот доклад был прочитан М. Планком 14 декабря 1900 г. на заседании немецкого физического общества.
Гильберт в своем докладе говорит, что искомая аксиоматическая теория вероятностей должна быть построена по аналогии с геометрией. Геометрия гильбертова пространства, заложенная в работах Гильберта, Шмидта и других ученых, как раз, и есть, как мы видели, основа квантовой информатики.
Заметим также, что при построении физических аксиом по образцу аксиом геометрии, как считает Гильберт, «возможно возникнет принцип классификации, который сможет использовать глубокую теорию бесконечных групп преобразования Ли» ([58], с.416). Очевидно, что Гильберт оказался прав и в этом своем предсказании, поскольку важность групп Ли в современной квантовой теории хорошо известна.
Отметим, наконец, что в качестве важной задачи Гильберт видит математически строгое описание перехода от микромира к макромиру. Здесь, по мнению Гильберта, в основу может быть положена «книга Больцмана о принципах механики, в которой следовало бы строго математически обосновать и провести те изложенные в ней процессы предельного перехода,
62
которые ведут от атомистического понимания к теории движения твердого тела» ([58] с.415). Несмотря на колоссальный прогресс, достигнутый в понимании микромира в XX столетии, вопрос математического обоснования соответствующего предельного перехода от описания микроявлений к описанию макромира все еще остается дискуссионным (см., например, [59]).
Постановка 6-ой проблемы Гильбертом не была просто гениальной догадкой одного выдающегося человека. Актуальность рассматриваемой задачи определялась состоянием науки на рубеже XIX и XX веков. Так, знаменитая H- теорема, направленная на механико- статистическое обоснование второго начала термодинамики, была сформулирована
Больцманом еще в 1872 г. [60]. Эта работа вызвала жаркие многолетние дискуссии. С резкой критикой работы Больцмана выступили многие известные ученые, в том числе выдающийся математик и теоретик естествознания А. Пуанкаре. Проблема заключалась в том, что обратимость законов классической механики вступала в противоречие с необратимым характером второго начала термодинамики. Хотя с физической точки зрения ответы Больцмана на возражения против его теории были весьма убедительны, с принципиальной математической точки зрения вопрос оставался открытым. Любой симбиоз представлений классической механики и статистики неизбежно оказывался непоследовательным и внутренне противоречивым. Отметим, в то же время, что подход Больцмана к статистической термодинамике не был чисто классическим. В той же, посвященной H- теореме работе [60], Больцман за 28 лет до Планка использовал (в методических целях) представления о квантованном характере энергии. Как мы теперь понимаем, любые попытки объединения механики и статистики логически должны были вести к квантовым представлениям (пусть и в неявной форме, как у Больцмана). Таким образом, на рубеже XIX и XX столетий, Гильберту и другим ученым было ясно, что развитие механики,
63
теории вероятностей и молекулярно- кинетической теории не могло далее проходить независимо. Прогресс науки настоятельно требовал объединения указанных разделов, однако такое объединение неизбежно оказывалось противоречивым. Формулируя свою знаменитую 6-ую проблему, Гильберт, вероятно, надеялся путем аксиоматизации снять имеющиеся трудности и получить единую универсальную непротиворечивую теорию. На роль такой теории, как мы видим сегодня, вполне может претендовать квантовая информатика.
3.4 Обсуждение
Рассмотрим коротко историю развития 6-ой проблемы Гильберта в XX веке.
Прежде всего, основываясь на своем тезисе о необходимости сочетания исследований по теории вероятностей с развитием кинетической теории газов,
Гильберт применил свою теорию интегральных уравнений к кинетическому уравнению Больцмана. В рамках этих исследований Гильберту удалось найти эффективный способ приближенного решения кинетического уравнения [61].
Кинетическое уравнение Больцмана было для Гильберта примером такого уравнения, которое являлось интегральным по своей сути в том смысле, что не сводилось ни к каким дифференциальным уравнениям.
Возникновение квантовой механики, ознаменованное появлением 1925 г. работ В. Гейзенберга [62], Борна и Иордана [63], а также Гейзенберга, Борна и Иордана [64], побудило Гильберта заняться исследованием математических основ новой теории. Над этой задачей он работал совместно со своими ассистентами – фон Нейманом и Нордгеймом. Результаты исследований были опубликованы в работе [65], в которой авторы впервые попытались осмыслить принципы квантовой теории с математической точки зрения.
64
В свою очередь, сотрудничество с Гильбертом побудило фон Неймана к систематическим исследованиям по математическому обоснованию квантовой теории. Результатом работы, которая продолжалась несколько лет, стала книга [49]. Эта книга до сих пор считается основной среди работ, посвященных математическим аспектам квантовой механики. В своей монографии фон Нейман последовательно развил концепцию гильбертова пространства как арены, на которой развиваются квантовые события, ввел понятие матрицы плотности, развил теорию квантовых измерений, основанных на ортогональных разложениях единицы, провел исследование по обоснованию квантовой статистической механики.
Свое видение фундаментальных статистических основ квантовой механики фон Нейман попытался выразить в своей известной теореме о невозможности введения скрытых параметров в структуру квантовой теории.
Эта теорема, по мнению фон Неймана, должна была обеспечить водораздел между квантовой и классической теориями статистики. Теорема о скрытых параметрах в течение долгого времени не вызывала никаких возражений, пока не была подвергнута жесткой критике со стороны Белла [66]. Позитивным итогом исследований Белла стали известные неравенства, носящие его имя.
Эти неравенства показывают невозможность объяснения результатов статистических экспериментов над квантовыми объектами посредством концепции классического вероятностного пространства. С этой точки зрения неравенства Белла выражают в количественной форме то, что фон Нейман сформулировал в своей теореме на качественном уровне. Пример наиболее известного неравенства Белла будет рассмотрен в разделе 4.10.
Формальные математические инструменты, разработанные фон
Нейманом, были существенно усовершенствованы и обобщены другими авторами. Так, в современной теории квантовых измерений рассматривают не только основанные на проекторах ортогональные разложения единицы,
65
введенные фон Нейманом, но и общие разложения единицы.
Соответствующие объекты называют положительными операторнозначными мерами (Positive Operator- Valued Measure - POVM). Техника POVM будет кратко описана в нижеследующем Приложении.
Современное изложение математических аспектов квантовой механики содержится в книгах А.С. Холево [36, 67, 68]. История аксиоматики классической теории вероятностей излагается в [69].
3.П. Приложение. Разложение Шмидта и формализм матрицы плотности.
Пусть вектор состояния (амплитуда вероятности) составной системы
ψ
зависит от переменных двух подсистем. Оказывается, что вектор состояния составной системы может быть разложен по векторам, относящимся к отдельным подсистемам. Соответствующее представление называется разложением Шмидта [1,2,37]:
( )
( )
∑
ψ
⊗
ψ
λ
=
ψ
k
k
k
k
2 1
(3.18)
Здесь
k
λ
- весовые (заведомо неотрицательные) множители, удовлетворяющие условию нормировки
1
=
λ
∑
k
k
Мы предполагаем, что слагаемые в разложении (3.18) представлены в порядке убывания (невозрастания) коэффициентов
k
λ
Разложение Шмидта дает наглядный математический аппарат для исследования запутанности. Например, регистрация подсистемы №1 наблюдателем
A
в состоянии
( )
1
k
ψ
означает, что подсистема №2 с
66
необходимостью будет зарегистрирована (наблюдателем
B
) в состоянии
( )
2
k
ψ
(при том же самом
k
).
Функции (векторы)
( )
1
k
ψ
и
( )
2
k
ψ
называются модами Шмидта.
Предположим, что каждая из подсистем описывается гильбертовым пространством размерности
s
. Тогда, каждый из наборов функций
( )
1
k
ψ
и
( )
2
k
ψ
(
s
k
,...,
1
=
) будет полным набором, образующим ортонормированный базис.
Опишем алгоритм численной экстракции мод Шмидта. Пусть
ψ
матрица размера
s
s
×
с элементами
2 1
j
j
ψ
, задающими амплитуду вероятности найти подсистемы в базисных состояниях
1
j
и
2
j
соответственно. Введем матрицу
M
следующего вида:
+
ψ
⋅
ψ
=
M
(3.19)
Найдем собственные функции и собственные значения матрицы
M
. В результате, рассматриваемая матрица будет представлена в виде:
+
= UDU
M
,
(3.20)
Здесь
U
- унитарная матрица, составленная из собственных векторов матрицы
M
(каждый столбец матрицы
U
есть некоторый собственный вектор матрицы
M
). Матрица
D
есть диагональная матрица, составленная из собственных значений
k
λ
матрицы
M
. Будем предполагать также, что
k
λ
выстроены на диагонали в порядке убывания (невозрастания).
67
Диагональные элементы матрицы
D
есть искомые весовые множители
k
λ
разложения Шмидта. При этом мода
( )
1
k
ψ
дается
k
- ым столбцом матрицы
U
Для нахождения мод
( )
2
k
ψ
введем матрицу
V
согласно формуле:
ψ
=
+
−
U
D
V
1
(3.21)
В задачах высокой размерности матрица
D
, как правило, содержит элементы, практически равные нулю. Это может приводить к формальному делению на ноль при вычислении матрицы
1
−
D
. Для предотвращения этого явления можно поступить двумя практически эквивалентными способами.
Можно вводить небольшие ненулевые слагаемые ( например, порядка
12 10
−
-
16 10
−
) в диагональ
D
. Результаты фактически не зависят от уровня
«малости» вводимых величин (они нужны только для того, чтобы избежать деления на машинный ноль). Те же результаты можно получить, если
«урезать» размерность матрицы
D
, оставив в ней на диагонали только
r
заведомо ненулевых элементов
r
λ
λ
λ
,...,
,
2 1
(при этом в матрице
U
также необходимо оставить только первые
r
столбцов).
Теперь для получения моды
( )
2
k
ψ
остается только взять
k
- ую
строку
матрицы
V
С использованием матриц
U
и
V
матрица амплитуд вероятностей
ψ
может быть записана в виде:
V
S
U
⋅
⋅
=
ψ
(3.22)
68
где
D
S
=
- диагональная матрица, неотрицательные диагональные элементы которой
k
λ
расположены в порядке убывания (невозрастания).
Разложение (3.22) есть сингулярное разложение матрицы (singular value decomposition, сокращенно- svd), а параметры
k
λ
- сингулярные значения
(singular values) матрицы.
Представленный алгоритм показывает, что определение мод Шмидта есть самосогласованная по переменным подсистем процедура. Так, каждый столбец матрицы
U
(каждая мода
( )
1
k
ψ
) определяется с точностью до независимого несущественного фазового множителя. Добавление такого множителя, однако, приведет, согласно (3.21), к согласованному изменению фазы моды
( )
2
k
ψ
, запутанной с исходной модой.
Задача 3.1
Явным расчетом покажите, что алгоритм, задаваемый формулами (3.19)- (3.22) действительно определяет разложение Шмидта (3.18) для составной системы.
Основная числовая характеристика, связанная с разложением Шмидта есть число Шмидта
K
, которое характеризует эффективное число мод в разложении:
∑
λ
=
k
k
K
2 1
По своему определению, в силу условия нормировки для
k
λ
, число
K
заведомо не ниже единицы (и равно единице только в том случае, когда в
69
разложении Шмидта имеется единственное ненулевое слагаемое). В случае систем, описываемых конечномерным вектором состояния, число
K
лежит в интервале
s
K
≤
≤
1
, где
s
- размерность гильбертова пространства квантовой подсистемы.
Наблюдатель
A
, для которого доступна подсистема №1 и недоступна подсистема №2, не имеет возможности восстановить вектор состояния полной системы. Он вынужден ограничиться описанием подсистемы №1 посредством матрицы плотности:
( )
( )
( )
∑
ψ
ψ
λ
=
ρ
k
k
k
k
1 1
1
Аналогично, наблюдатель
B
, которому доступна только подсистема
№2, имеет дело с матрицей плотности
( )
( )
( )
∑
ψ
ψ
λ
=
ρ
k
k
k
k
2 2
2
Матрица плотности является инструментом неполного описания квантовых систем. Такое описание может быть искусственно домыслено
(дополнено) до описания посредством вектора состояния. Например, наблюдатель
A
, не имея возможности установить действительную систему
№2, с которой запутана его система №1, может рассмотреть некоторую другую вспомогательную систему №2’ и соответствующий ей базисный набор
( )
2
k
ψ′
. Вместо действительного вектора состояния составной системы
ψ
, такой наблюдатель будет рассматривать некоторое другое состояние
ψ′
( )
( )
∑
ψ′
⊗
ψ
λ
=
ψ′
k
k
k
k
2 1
70
Важно отметить, что в отношении описания отдельно взятой системы №1 векторы состояния
ψ
и
ψ′
эквивалентны.
Унитарный оператор
U
, действующий на переменные подсистемы, задает следующее преобразование матрицы плотности (здесь и далее мы опускаем индекс №1, идентифицирующий рассматриваемую подсистему):
+
ρ
=
ρ′
U
U
Для оператора
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
h
iHt
U
exp рассматриваемое преобразование эквивалентно квантовому уравнению Лиувилля (3.15) из раздела 3.2.
В формализме матрицы плотности принято рассматривать следующие обобщенные измерения над системой [36,67,68]. Предположим, что результатом измерения может быть один из
r
исходов:
r
m
,...,
2
,
1
=
Вероятность исхода
m
дается формулой
( )
(
)
ρ
=
m
E
Tr
m
P
Здесь
m
E
(
r
m
,...,
2
,
1
=
) набор эрмитовых операторов, образующих
POVM (положительную операторнозначную меру).
По определению, операторы
m
E
неотрицательно определены:
0
≥
m
E
Кроме того, предполагается, что рассматриваемые операторы задают разложение единицы
I
E
m
m
=
∑
, где
I
- тождественный оператор (единичная матрица).
В силу эрмитовости и неотрицательной определенности, каждый оператор
m
E
может быть представлен в виде:
71
m
m
m
X
X
E
+
=
, где
m
X
(
r
m
,...,
2
,
1
=
) – некоторые операторы измерения.
Частным случаем операторов
m
E
являются хорошо известные в квантовой механике ортогональные проекторы.
Пусть, например, задан ортонормированный базис
s
j
j
,...,
1
=
ϕ
Каждому базисному вектору
j
ϕ
можно сопоставить свой оператор проектирования:
s
j
P
j
j
j
,...,
1
,
=
ϕ
ϕ
=
(3.23)
(по индексу
j
нет суммирования!)
Задача 3.2
Покажите, что введенные посредством (3.23) операторы, удовлетворяют характерным для операторов ортогонального проектирования условиям:
s
j
P
P
j
j
,...,
1 2
=
=
k
j
P
P
k
j
≠
=
0
Задача 3.3
Покажите, что введенные операторы проектирования задают ортогональное разложение единицы, т.е. выполняется условие:
I
P
j
j
j
j
j
=
ϕ
ϕ
=
∑
∑
72
1 2 3 4 5 6 7 8
Глава 4. Основные логические элементы квантовой информатики и
их свойства
4.1 Квантовые биты
Квантовый бит или кубит (qubit) представляет собой двухуровневую квантовую систему [1-5]. Кубит описывается единичным вектором в двумерном комплексном векторном пространстве. Базис такого пространства задается всего двумя единичными ортогональными векторами, обозначаемыми соответственно
0
и
1
. Кубит может быть реализован в различных физических системах.
Приведем только некоторые примеры. Ортонормированный базис
0
и
1
может соответствовать поляризациям фотонов (вертикальной
↑
и горизонтальной
→
), а также любым другим взаимно ортогональным поляризациям, например
4 3
π
и
4
π
(здесь в скобках указан угол между поляризацией фотона и горизонталью).
Базисные состояния кубита могут отвечать состояниям электрона со спином, направленным вверх (spin-up) и вниз (spin-down), в качестве
0
и
1
могут выступать основное и возбужденное состояния так называемого двухуровневого атома (модель двухуровневого атома предполагает, что за счет специального резонансного выбора частоты лазера накачки, в атоме эффективно оказываются задействованными только два определенные энергетические состояния).
Квантовые состояния
0
и
1
, конечно, могут использоваться для записи значений 0 и 1 классического бита информации. Однако, возможности квантового описания информации гораздо шире. В отличие от классического
73
бита, квантовый бит (кубит) может быть представлен суперпозицией базисных векторов
0
и
1
в виде:
1
b
0
+
=
ψ
a
, где
a
и b
–
комплексные числа, такие что
1
a
2 2
=
+ b
Если над кубитом производится измерение в базисе
{
}
1
,
0
, то с вероятностью
2
a кубит окажется в состоянии
0
, а с вероятностью
2
b
в состоянии
1
Рассмотрим подробнее математическую модель кубита. Исторически приведенное ниже описание впервые применялось для рассмотрения поляризационных состояний частиц со спином ½ (электронов, протонов, нейтронов, определенных атомов и др.). Представленный формализм, однако, оказывается пригодным и для описания кубитов произвольной физической природы.
Пусть вектор состояния спина- кубита есть:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
ψ
2 1
2 1
1 0
0 1
c
c
c
c
Для описания математической модели кубита нам потребуются основные сведения из теории спина. Как известно [55,56], оператор спина есть:
σ
= v h
r
2
s
, где введены матрицы Паули, которые в стандартном представлении задаются следующими формулами:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
σ
=
σ
0 1
1 0
1
x
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
σ
=
σ
0 0
2
i
i
y
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
σ
=
σ
1 0
0 1
3
z
Матрицы Паули удовлетворяют следующему соотношению:
74
l
jkl
jk
k
j
i
I
σ
ε
+
δ
=
σ
σ
3
,
2
,
1
,
=
k
j
Здесь по повторяющемуся индексу
l
предполагается суммирование,
jk
δ
- символ Кронекера,
jkl
ε
- полностью антисимметричный тензор (символ
Леви- Чивита).
I
- единичная матрица (для сокращения записи ее часто опускают).
В квантовой информатике удобно использовать систему единиц, в которой
1
=
h
Нетрудно видеть, что вектор
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
ψ
0 1
является собственным вектором оператора
z
z
s
σ
=
2 1
, отвечающим собственному значению +½. Аналогично, вектор
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
ψ
1 0
является собственным вектором оператора
z
z
s
σ
=
2 1
, отвечающим собственному значению -½
Задача 4.1
Покажите, что:
1. Состояния
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
ψ
1 1
2 1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
=
ψ
1 1
2 1
отвечают соответственно собственным значениям + ½ и - ½ оператора
x
x
s
σ
=
2 1
2. Состояния
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
−
=
ψ
i
i
1 1
2 1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
+
=
ψ
i
i
1 1
2 1
отвечают соответственно собственным значениям + ½ и - ½ оператора
y
y
s
σ
=
2 1
75
Введем операторы проектирования спина на направление, задаваемое единичным вектором
nr
:
(
) (
)
n
s
P
P
n
r r
1 2
1 2
/
1
σ
±
=
±
=
=
±
Здесь и в других аналогичных случаях обозначение
1
символизирует единичную матрицу размером
2 2
×
Знаки
±
отвечают соответственно операторам проектирования на направление вдоль и против оси
nr
Примером оператора проектирования может служить оператор
(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
σ
+
0 0
0 1
1 2
1 3
, который выделяет из произвольного состояния амплитуду, отвечающую проекции спина +½ на ось
z
. Аналогично, оператор
(
)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
=
σ
−
1 0
0 0
1 2
1 3
выделяет из произвольного состояния амплитуду, отвечающую проекции спина -½ на ось
z
Говорят, что операторы проектирования задают разложение единицы, поскольку:
(
) (
)
I
s
P
s
P
n
n
=
−
=
+
+
=
2
/
1 2
/
1
- единичный оператор
Задача
4.2 Покажите, что
( )
1 2
=
σnr r
(единичная матрица)
Задача 4.3
Покажите, что введенные операторы проектирования являются ортогональными проекторами, т.е. удовлетворяют условиям:
±
±
= P
P
2
,
0
=
=
+
−
−
+
P
P
P
P
Вероятности иметь соответственно положительное и отрицательное значение проекции спина на направление
nr есть