Арифметическая прогрессия
(4 ч)

У р о к 1

Цели: дать определение арифметической прогрессии; вывести формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

1. Собрать листочки с домашней контрольной работой.

2. Решить на доске задания, вызвавшие затруднения у учащихся в домашней работе.

II. Изложение нового материала (лекция).

1. З а д а ч а. Бригада стеклодувов изготовила в январе 80 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 17 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила бригада в июне?

2. Определение арифметической прогрессии.

Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

3. Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность (a_n), заданная рекуррентно соотношениями:

a₁ = a, a_n = a_{n – 1} + d (n = 2; 3; 4; …)

4. Решить № 16.1 и № 16.3 устно. Формула разности арифметической прогрессии d = a₂ – a₁ = a₃ – a₂ = a₄ – a₃ = …

5. Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d > 0, и убывающей, если d < 0. Рассмотреть решение примеров 1 и 2 на с. 146 учебника.

6. Обозначение арифметической прогрессии:  а₁, а₂, а₃, … а_n …

7. Решить № 16.4 (в; г) и № 16.5 (в; г).

8. Задание арифметической прогрессии, о котором идет речь в определении, является рекуррентным. Во многих случаях оно неудобно: чтобы вычислить, например, а₁₀₀, надо предварительно найти предшествующие 99 членов последовательности. Эту вычислительную работу можно существенно упростить, если удастся найти формулу n-го члена, то есть перейти к аналитическому заданию арифметической прогрессии.

9. Вывод формулы n-го члена арифметической прогрессии:

a_n = a₁ + (n – 1)d.

Разобрать решение примеров 1, 2 на с. 148–149 учебника.

---

10. Формулу n-го члена арифметической прогрессии

a_n = a₁ + (n – 1)d

можно записать иначе:

a_n = dn + (a₁ – d).

Введем обозначения:

а_n = y, a₁ – d = m.

Получим y = dn + m, или y = dx + m, x N.

Значит, арифметическую прогрессию можно рассматривать как линейную функцию (у = dx + m), заданную на множестве N натуральных чисел.

Рассмотреть график арифметической прогрессии – рис. 126 на с. 148 учебника.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить № 16.7 (в; г).

в) 100; 90; 80; 70; … Найти d и а₁₀.

а₁ = 10; а₂ = 90; d = а₂ – а₁ = 90 – 100 = –10; d = –10;

а₁₀ = а₁ + 9d = 100 + 9  (–10) = 100 – 90 = 10; а₁₀ = 10.

г) 3; … Найти d и а₁₀.



2. Решить № 6.14 (в; г) с комментированием на месте.

в) 7; 5; 3; 1; … Найти а_n.

а₁ = 7; а₂ = 5; d = 5 – 7 = –2; а_n = a₁ + d(n – 1) = 7 – 2(n – 1) = 7 – 2n +
+ 2 = 9 – 2n.

О т в е т: а_n = 9 – 2n.

г) –1; … d = а_n = –1 – (n – 1) = – 1 –

---

О т в е т: а_n=

3. Решить № 16.16 (в; г) самостоятельно.

в) a₁₇ = a₁ + 16d = –12 + 16  2 = –12 + 32 = 20; a₁₇ = 20.

г) a₉ = a₁ + 8d = 101 + 8  = 105.

О т в е т: а₉ = 105.

IV. Итог урока.

1. Сформулируйте определение арифметической прогрессии.

2. Какой функцией можно рассматривать арифметическую прогрессию.

Домашнее задание: изучить материал на с. 145–149 учебника; решить № 16.4 (а; б); №; 16.6; № 16.7 (а; б); № 16.14 (а; б); № 16.16 (а; б).

У р о к 2

Цели: учить учащихся решать задачи, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний учащихся.

1. Сформулируйте определение арифметической прогрессии. Какое число называют разностью арифметической прогрессии?

2. Решить № 16.2 устно.

3. Один учащийся на доске выводит формулу n-го члена арифметической прогрессии.

4. Решить № 16.24 (а) и № 16.5 (а; б), записывая решение только на доске, обсуждая решение со всем классом.

II. Выполнение упражнений. Решение задач.

1. Решить № 16.8 на доске и в тетрадях.

х_n = 5n + 3; х₁ = 5  1 + 3 = 8; х₂ = 13; х₃ = 18; х₄ = 23; х₅ = 28…

Имеем: 8; 13; 18; 23; 28; … арифметическая прогрессия. Первый член равен 8, разность 5.

2. Решить № 16.17 (в; г). Найти разность d.

в) а₁ = –8; а₁₁ = –28; а₁₁ = а₁ + 10d; –28 = – 8 + 10d; –20 = 10d; d = –2.

О т в е т: –2.

г) а₁₁ = 4,6; а₃₆ = 54, 6.

Решим систему уравнений:



О т в е т: 2.

3. Решить № 16.18 (в; г). Найти первый член а₁.

в) а₂₆ = –71; d = –3; а₂₆ = а₁ + 25d; –71 = а₁ + 25  (–3); –71 = а₁ – 75;
а₁ = 4.

О т в е т: 4.

г) а₁₄ =

---

d =

а₁₄ = а₁ + 13d;



О т в е т:

4. Решить с комментированием на месте.

a_n = –0,1n + 3;

а₁ = –0,1  1 + 3 = 2,9; а₂ = –0,1  2 + 3 = 2,8;

d = а₂ – а₁ = 2,8 – 2,9 = –0,1; d = –0,1.

О т в е т: а₁ = 2,9; d = –0,1.

а_n = 5 – 2n;

а₁ = 5 – 2  1 = 3; а₂ = 5 – 2  2 = 1; d = 1 – 3= –2; d = –2.

О т в е т: а₁ = 3; d = –2.

5. Решить № 16.19 (б) на доске и в тетрадях.

 3; 7; 11; …

а_n = 43.

Найти номер n.

а_n = а₁ + d(n – 1); 43 = 3 + 4(n – 1);

d = 7 – 3 = 4; d = 4; 43 = 3 + 4n – 4; 4 n = 44; n = 11.

О т в е т: 11.

6. Решить № 16.20 (б) с комментированием на месте.

 7,5; 11; 14,5; …

Является ли а_n = 43,5?

а₁ = 7,5; а₂ = 11; d = 11 – 7,5 = 3,5;

а_n = а₁ + d(n – 1); 43,5 = 7,5 + 3,5(n – 1);

43,5 – 7,5 + 3,5 = 3,5n; 39,5 = 3,5n;

О т в е т: не является.

7. Решить № 16.21 (б) самостоятельно с проверкой.

б) а₁ = 3; d = –6; а_n = – 33?

a_n = a₁ + (n – 1)d; –33 = 3 – 6  (n – 1); –33 = 3 – 6n + 6;

– 42 = –6n; n = 7.

О т в е т: является.

8. Решить задачу № 16.31. Решение объясняет учитель.





Решим уравнение 0,75d² – 18d + 60 = 0 | 

d² – 24d + 80 = 0; d₁ = 20; d₂ = 4.

Если d = 20, то а₁ = 9 – 50 = –41; а₂ = –41 + 20 = –21 N, но по условию а₂ – натуральное число.

Если d = 4, то а₁

---

= 9 – 10 = – 1; а₂ = –1 + 4 = 3; а₂ N.

Найдем прогрессию: –1; 3; 7; 11; 15; …

9. Повторение ранее изученного материала.

Решить № 21 (а; б) на с. 7 из «Задачи на повторение». Вспомнить правило умножения и деления дробей.

III. Итог урока.

Домашнее задание: изучить по учебнику на с. 149–151 решение при-
меров 4 и 5 и записать решения в тетрадь; решить № 16.9; № 16.17 (а; б);
№ 16.19 (а); № 16.21 (а); № 16.30.

У р о к 3

Цели: вывести формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии и научить применять ее при решении упражнений.

Ход урока

I. Самостоятельная работа (15 мин).

В а р и а н т I

1. В арифметической прогрессии известны а₁ = –1,2 и d = 3. Найдите
а₄; а₈; а₂₁.

2. Найдите разность арифметической прогрессии (а_n), если а₁ = 2;
а₁₁ = –5.

3. В арифметической прогрессии известны а₁ = –12 и d = 3. Найти номер члена прогрессии, равного 9.

4. Выписали двадцать членов арифметической прогрессии 6,5; 8; … Встретится ли среди них число 36?

В а р и а н т II

1. В арифметической прогрессии (а_n) известны а₁ = –0,8 и d = 4. Найдите а₃; а₇; а₂₄.

2. Найдите разность арифметической прогрессии (а_n), если а₁ = 4;
а₁₈ = –11.

3. В арифметической прогрессии известны а₁ = 14 и d = 0,5. Найти номер члена прогрессии, равного 34.

4. Выписали двадцать членов арифметической прогрессии 18; 4; … Встретится ли среди них число –38?

II. Объяснение нового материала (лекция).

1. Рассказать предание о маленьком Карле Гауссе, будущем немецком короле математики XIX века, решившем в возрасте 5 лет очень быстро задачу о нахождении суммы первых ста натуральных чисел.

2. Предложить учащимся найти сумму первых ста натуральных чисел; решить на доске эту задачу.

3. С помощью аналогичных рассуждений можно найти сумму первых членов любой арифметической прогрессии.

4. Вывод формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии (а_n):

(I)

---

Смотрите также файлы

• История криптовалют. Почему цена Bitcoin не отражает его реальной стоимости.pptx

• Ход урока I. Проверочная работа (10 мин).docx

• Развитие творческого потенциала личности учащихся в условиях перехода на федеральные государственные образовательные стандарты.doc

• Динамические движения.docx

• Вопросы Опишите решаемую научнопрактическую проблему организации. Ее актуальность. Ответ.docx