Геометрическая прогрессия
(5 ч)

У р о к 1

Цели: ввести понятие геометрической прогрессии; вывести формулу n-го члена геометрической прогрессии; развивать логическое мышление учащихся и вычислительные навыки.

Ход урока

I. Проверочная работа (10 мин).

В а р и а н т I

1. Выведите формулу n-го члена арифметической прогрессии.

2. Найдите сумму первых шестнадцати членов арифметической прогрессии –16; –13; …

В а р и а н т II

1. Выведите формулу суммы n первых членов арифметической прогрессии.

2. Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии.

II. Объяснение нового материала.

1. Сформулировать определение геометрической прогрессии. Знаменатель геометрической прогрессии

при b_n ≠ 0, q ≠ 0.

2. Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность (b_n), заданная рекуррентно соотношениями

b₁ = b, b_n = b_{n – 1}  q

(n = 2; 3; 4; …)

b и q – заданные числа, b ≠ 0, q ≠ 0.

3. Рассмотреть решение примеров 1–5 по учебнику на с. 157. Геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если
b₁ > 0, q > 1 (см. пример 1), и убывающей, если b₁ > 0, 0 < q < 1 (см. пример 2).

4. Обозначение геометрической прогрессии b₁, b₂, b₃, …, b_n, …

5. Решить устно № 17.1 (а; в) и № 17.2.

6. Решить устно № 17.4 (б; в) и № 17.6 (а; в).

7. Вывод формулы n-го члена геометрической прогрессии

b_n = b₁  q^{n – 1}.

8. Разобрать решение примеров 1–5 на с. 159–160 учебника.

9. Геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию у = mq^х, заданную на множестве N натуральных чисел.

На рис. 127а и рис. 127б изображены графики геометрической прогрессии у = 2^х и

---

где х N.

III. Закрепление изученного материала.

1. Решить № 17.8 (в; г) с комментированием на месте.

в)

г) q = 3,5.

2. Решить № 17.12 (в; б) на доске и в тетрадях.

в) q = b₃ : b₂ = b₁ = b₂ : q =

б) q = b₅ : b₄ = b₄ = b₁  q³, отсюда

b₁ = b₄ : q³ = 1 : = –8; b₁ = –8.

О т в е т: б) –8; –0,5; в) 3; 0,5.

3. Решить № 17.13 (б; г). Учащиеся решают самостоятельно на доске и в тетрадях. Учитель при необходимости помогает в решении.

б)

г)



О т в е т: б) г)

4. Решить № 17.15 (в; г). Решение объясняет учитель.

в) b_n = b₁  q^{n – 1}; тогда отсюда

---

значит,

г) найдем q из равенства

умножим обе части на получим

2^{1 – n} = q^{n – 1}; отсюда

О т в е т: в) г)

5. Решить. Учитель помогает в решении, если учащиеся затрудняются решить самостоятельно.

a) А = –1250; найдем номер n: –1250 = отсюда
= 625 = 5⁴, значит, n = 8 N.

О т в е т: да.

в) отсюда

О т в е т: нет.

IV. Итог урока.

Домашнее задание: изучить материал учебника на с. 156–161; решить № 17.8 (а; б); № 17.12 (а; г); 17.13 (а; в); № 17.15 (а; б).

У р о к 2

Цели: закрепить знание формулы n-го члена геометрической прогрессии в ходе решения задач; способствовать выработке навыков и умений решения систем уравнений.

Ход урока

I. Повторение изученного материала.

---

1. Сформулируйте определение геометрической прогрессии. Что называют знаменателем геометрической прогрессии?

2. Приведите примеры геометрической прогрессии.

3. Решить устно № 17.1 (б; г), № 17.3, № 17.4 (а; г).

4. Записать на доске формулу n-го члена геометрической прогрессии.

5. Решите устно:

а) зная первые два члена геометрической прогрессии 1,6; 0,8; …, найдите следующие за ними четыре числа;

б) в геометрической прогрессии (b_n) известны b₁ = 3,2 и q = 2; найдите b₂, b₃, b₄.

II. Выполнение упражнений и решение задач.

1. Решить № 17.13 (в; г) с комментированием на месте.

в) b₁ = 2,5; q = –0,2; b_n = b₁q^{n – 1} = 2,5  (–0,2)^{n – 1};

г)

2. Решить № 17.14 (в; г).

в) 4; 1; … b₁ = 4; b₂ = 1; q = b₂ : b₁ = b_n = 4

г) ; 2; ; b₂ = 2; ; q = b₃ : b₂ = ;

3. Решить № 17.9 устно.

4. Решить № 17.10 (б; г) самостоятельно с проверкой.

б) b₁ = 270; ; b₅ = b₁  q⁴ = ;

г) b₁ =

---

b₈ = b₁  q⁷ =

5. Решить № 17.21 (в; г). Решение объясняет учитель.

в) b_n = b₁  q^{n – 1}; по условию b_n = 4  10^–3, тогда

отсюда

(0,2)^{n – 1} = (0,2)⁴; n – 1 = 4; n = 5.

г) b_n = –2401;

(–7)^{n – 1} = (–7)⁷; n – 1 = 7; n = 8.

О т в е т: в) 5; г) 8.

6. Решить № 17.22 (в; г) на доске и в тетрадях.

Решение № 17.22 (в) объясняет учитель.

в) Найти b₁ и q.



Разделим почленно второе уравнение на первое уравнение, получим:



г) b₃ = 12; b₅ = 48 (q < 0). Найти b₁ и q.



По условию q < 0, значит, q = –2; b₁ = 12 : 4 = 3.

О т в е т: в) –0,5; 13; г) –2; 3.

7. Решить задачу № 17.42.

Дано: b₁ = 4; b₃ + b₅ = 80. Найти q и b₁₀ (q  1).

b₃ + b₅ = 80; b₁  q² + b₁  q⁴ = 80; b₁(q² + q⁴) = 80; 4  (q² + q⁴) = 80;
q² + q⁴ = 20; q⁴ + q² – 20 = 0; q² = y; y² + y – 20 = 0; y₁ = –5; y₂ = 4; то q² =
= –5 нет решений; q² = 4; q₁ = 2 и q₂ = –2 не удовлетворяет условию q > 1.

Если q = 2, то b₁₀ = b₁  q⁹ = 4  2⁹ = 4  512 = 2048.

О т в е т: q = 2; b₁₀ = 2048.

8. Решить № 17.44. Учитель помогает в решении задачи.





О т в е т: b₁ = 72; q =

---

Смотрите также файлы

• Развитие творческого потенциала личности учащихся в условиях перехода на федеральные государственные образовательные стандарты.doc

• Динамические движения.docx

• Вопросы Опишите решаемую научнопрактическую проблему организации. Ее актуальность. Ответ.docx

• Камень бросили с крутого берега вверх под углом 30 градусов к горизонту со скоростью 10.docx

• 5S система в эргономике рабочего места.docx